[摘 要] 教師所秉承的教學(xué)理念，對(duì)課堂來(lái)說(shuō)起到?jīng)Q定性作用，一個(gè)教師若將教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)放在問(wèn)題的解法探索上，就很難真正揭露知識(shí)本質(zhì)，而將教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)放在幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的結(jié)構(gòu)化體系上，則可起到事半功倍的效果. 文章以“一次函數(shù)的圖象”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，從現(xiàn)狀分析、教學(xué)分析、教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)思考等方面展開(kāi)探索與研究.

[關(guān)鍵詞] 結(jié)構(gòu)化;知識(shí)本質(zhì);復(fù)習(xí);一次函數(shù)

科學(xué)本為統(tǒng)一體，將它劃分成各門(mén)學(xué)科并非由知識(shí)本質(zhì)所決定，而是迫于人類認(rèn)知的局限與實(shí)際需要，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、人類學(xué)、社會(huì)學(xué)……之間存在很強(qiáng)的聯(lián)系，眾多學(xué)科中，數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一性更為明顯. 從結(jié)構(gòu)化的視角探尋數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，一方面能讓學(xué)生從簡(jiǎn)約的維度完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面能讓學(xué)生增強(qiáng)對(duì)知識(shí)檢索與記憶功能，為知識(shí)的遷移與應(yīng)用夯實(shí)基礎(chǔ). 本文以“一次函數(shù)的圖象”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，探討如何基于結(jié)構(gòu)化視角探索知識(shí)本質(zhì).

現(xiàn)狀分析

1. 知識(shí)的“間斷性”與“結(jié)構(gòu)化”間的矛盾

雖然新課改的不斷深入推進(jìn)有效提高了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率，然而，受課時(shí)的局限性影響，教學(xué)內(nèi)容分散的問(wèn)題一直存在，這種知識(shí)的“間斷性”與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“結(jié)構(gòu)化”理念形成了沖突. 為了處理好這一矛盾，教師可結(jié)合學(xué)情與教情，從結(jié)構(gòu)化的角度設(shè)計(jì)課堂教學(xué)方案，引導(dǎo)學(xué)生在自主合作與深入探索中發(fā)現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，獲得結(jié)構(gòu)化的思維.

2. 課堂過(guò)度開(kāi)放致使教學(xué)主線不明朗

課堂中，有些教師雖然具備了基于結(jié)構(gòu)化視角揭露知識(shí)本質(zhì)的意識(shí)，但課堂上因?yàn)檫^(guò)度強(qiáng)調(diào)“開(kāi)放”導(dǎo)致教學(xué)主線不明確，學(xué)生只能獲得一些缺乏有序組織的零散知識(shí)，嚴(yán)重影響了他們構(gòu)建知識(shí)體系. 關(guān)注單元、章節(jié)知識(shí)間的聯(lián)系，強(qiáng)化主題或板塊教學(xué)，可將零散的知識(shí)點(diǎn)聚合到一起，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整合.

教學(xué)分析

1. 內(nèi)容梳理

對(duì)學(xué)生而言，一次函數(shù)屬于常量到變量的一次飛躍，也是生活實(shí)際與數(shù)學(xué)知識(shí)間聯(lián)系的橋梁，很多生活中的實(shí)際問(wèn)題可揭露函數(shù)的本質(zhì). 復(fù)習(xí)教學(xué)更能體現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化特征，是促進(jìn)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)化發(fā)展的重要機(jī)會(huì)，將一次函數(shù)與相關(guān)的知識(shí)羅列到一起，可幫助學(xué)生從整體的視域更好地理解什么是一次函數(shù)，構(gòu)建模型的同時(shí)揭露圖象性質(zhì)與方程以及不等式間存在怎樣的關(guān)聯(lián)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

本章節(jié)究竟涵蓋了哪些知識(shí)點(diǎn)呢？這是課前需搞清楚的問(wèn)題. 結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》筆者對(duì)本章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了梳理與總結(jié)，形成圖1.

2. 學(xué)情調(diào)查

部分教師認(rèn)為本節(jié)課并不好上，因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)比較多且散，很難將那么多內(nèi)容聚攏到一起. 為了避免炒冷飯，教師可在課前做一些“功課”，如設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷充分了解學(xué)情.

問(wèn)卷主要包含了如下幾項(xiàng)內(nèi)容：①本章節(jié)包含的主要內(nèi)容有概念、圖象與函數(shù)的應(yīng)用等，哪些是你覺(jué)得比較容易掌握的？②復(fù)習(xí)本章節(jié)知識(shí)，你希望老師在哪些方面給你更多的幫助？如梳理知識(shí)點(diǎn)、練習(xí)講解或?qū)W法指導(dǎo)等. ③你覺(jué)得本章節(jié)比較難的地方在哪里？如運(yùn)算、圖象性質(zhì)或題目比較繁雜等. ④你認(rèn)為本章節(jié)的難度系數(shù)有多大，由低到高為1分-5分，你評(píng)幾分？⑤面對(duì)難題，你怎么辦？⑥你對(duì)自己在本章節(jié)的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)是什么？

調(diào)查結(jié)論顯示，58%的學(xué)生認(rèn)為一次函數(shù)的難度較大，對(duì)自己應(yīng)用一次函數(shù)解決問(wèn)題的能力評(píng)價(jià)不高，認(rèn)為自己需要在解題方法與學(xué)法指導(dǎo)上得到教師的幫助.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，引入主題

有課前調(diào)查作為學(xué)情分析的依據(jù)，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)明確，因此不需要拖泥帶水，課堂伊始教師則可開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí).

師：大家已經(jīng)學(xué)完了一次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，本節(jié)課我們就針對(duì)這一章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí). 首先從知識(shí)點(diǎn)方面來(lái)看，我們可將一次函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容聚合到一起，進(jìn)行整理歸納;其次從記憶方法上來(lái)看，想要深刻理解知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于揭露知識(shí)本質(zhì)，理解各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系. 現(xiàn)在，我們就開(kāi)啟一次函數(shù)的復(fù)習(xí)之旅.

設(shè)計(jì)意圖 基于課前調(diào)查的結(jié)論，設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)方案，不僅理?yè)?jù)清晰，還為基于結(jié)構(gòu)化視域梳理知識(shí)、揭露本質(zhì)做好鋪墊. 開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的導(dǎo)入方式簡(jiǎn)潔明了，符合初中階段學(xué)生身心發(fā)展的規(guī)律，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課將要探索的內(nèi)容有了明確的認(rèn)識(shí).

2. 背景探索，進(jìn)入狀態(tài)

問(wèn)題 如圖2所示，直線l在直角坐標(biāo)系內(nèi)分別和坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A（8，0）與點(diǎn)B（0，6）. 通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析與圖象的觀察，首先讓你想到求什么？

生1：我的第一反應(yīng)是求直線l的解析式.

師：你會(huì)應(yīng)用哪些知識(shí)與方法來(lái)求解直線l的解析式呢？

生1：鑒于直線為一次函數(shù)的圖象，我會(huì)選擇待定系數(shù)法來(lái)求解直線的解析式.

師：還有補(bǔ)充的嗎？

生2：還可以從數(shù)形結(jié)合或函數(shù)思想等角度來(lái)分析直線的解析式.

師：通過(guò)你們的描述，可總結(jié)為從知識(shí)、方法與思想三個(gè)層面來(lái)獲得直線的解析式.

設(shè)計(jì)意圖 教師以一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題成功啟發(fā)了學(xué)生的思維，讓學(xué)生自主進(jìn)入深度思考與探索狀態(tài)，此為一個(gè)激趣啟思的過(guò)程. 學(xué)生從這個(gè)問(wèn)題中感知了直線解析式的數(shù)形關(guān)系，為形成結(jié)構(gòu)化的思維夯實(shí)了基礎(chǔ). 通過(guò)對(duì)此問(wèn)的探索，也讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的維度分析問(wèn)題，為形成多元化開(kāi)放性思維打下基礎(chǔ).

3. 變式應(yīng)用，靈活思維

變式1 假設(shè)點(diǎn)C位于OA上，以BC為折痕翻折線段OB，使得點(diǎn)O剛好處于AB邊上的點(diǎn)D. 根據(jù)這個(gè)條件，你首先會(huì)想到求什么？

生3：第一反應(yīng)是求點(diǎn)C的坐標(biāo).

師：求點(diǎn)C的坐標(biāo)需用到哪些知識(shí)與解題方法？

生4：可借助全等變換，從勾股定理與設(shè)元等角度分析問(wèn)題.

師：哪位同學(xué)能從知識(shí)、方法、思想的角度歸納？

生5：知識(shí)層面主要涉及圖形的翻折問(wèn)題，方法層面主要應(yīng)用到方程和勾股定理，思想層面則涉及全等變換及方程思想.

生6：我的第一反應(yīng)是求點(diǎn)D的坐標(biāo)，主要從坐標(biāo)法出發(fā)，具體的解題方法為應(yīng)用構(gòu)造思想作坐標(biāo)軸的垂線.

……

設(shè)計(jì)意圖 圖形翻折與全等變換有著直接關(guān)聯(lián)，在坐標(biāo)系中探索翻折問(wèn)題的方法較多，但萬(wàn)變不離其宗，不論問(wèn)題怎么變化，全等為翻折的本質(zhì). 學(xué)生積極主動(dòng)表達(dá)自己的想法是思維結(jié)構(gòu)化的外在表現(xiàn). 學(xué)生分析問(wèn)題的過(guò)程是自我反思的過(guò)程，反思越深入，對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解就越深刻.

變式2 將AB這根線段圍繞點(diǎn)A進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到90°時(shí)，點(diǎn)B，E剛好重疊. 對(duì)此，你最想求什么？

生7：首先想到求點(diǎn)E坐標(biāo)，過(guò)該點(diǎn)向橫軸作垂線，即可揭露點(diǎn)E的具體位置.

師：此過(guò)程涉及哪些知識(shí)、方法和思想？

生7：知識(shí)層面主要涉及求點(diǎn)的坐標(biāo)、圖形旋轉(zhuǎn)等;方法層面主要涉及通過(guò)垂線構(gòu)造全等;思想層面主要涉及模型思想與構(gòu)造思想.

設(shè)計(jì)意圖 不論是翻折，還是旋轉(zhuǎn)，均揭露了圖象變換和全等之間的關(guān)聯(lián)，只要弄清楚朝哪個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，問(wèn)題就能順利解決. 隨著對(duì)圖形的探索，進(jìn)一步深化學(xué)生的模型觀念，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力.

變式3 觀察圖3，若將圖中△ABO圍繞著點(diǎn)O進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得△FKO，若FK與AB交于點(diǎn)G，那么點(diǎn)G的坐標(biāo)是什么？

生8：想要解決此問(wèn)，關(guān)鍵在于聯(lián)立直線FK與直線AB的一次函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建方程組即可.

師生活動(dòng)：本題從知識(shí)層面來(lái)看是求交點(diǎn)問(wèn)題;從方法層面分析，用到聯(lián)立方程的思路;從思想層面來(lái)看，主要涉及方程思想等.

設(shè)計(jì)意圖 隨著復(fù)習(xí)的推進(jìn)，學(xué)生的思維從研究單線問(wèn)題逐漸過(guò)渡到探索雙線問(wèn)題，此為一次知識(shí)的遷移. 在教師的輔助下，學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法和思想進(jìn)行總結(jié)回顧與梳理，在凸顯結(jié)構(gòu)化教學(xué)的同時(shí)有效揭露了此類問(wèn)題的本質(zhì).

變式4 保持變式3的基本條件不變，添加條件如下：若點(diǎn)M位于AB上，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥OM，交KF于點(diǎn)N，連接N，M得△NMO，這些條件讓你想到什么問(wèn)題？

生9：我可以證明△NMO為一個(gè)等腰直角三角形，并探究其面積的最小值.

師：非常好！現(xiàn)在我們就圍繞△NMO面積最小值展開(kāi)討論.

學(xué)生合作交流，最終提煉出如下兩類解法：①將求面積最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成探索直角邊最小值的問(wèn)題;②借助函數(shù)來(lái)描述三角形的面積. 隨著探索的深入，學(xué)生最終一致認(rèn)為借助“垂線段最短”實(shí)施解題更科學(xué).

設(shè)計(jì)意圖 這一系列的變式，伴隨著點(diǎn)、線、面的不斷深入研究，成功激活了學(xué)生的思維，發(fā)展了學(xué)生的推理能力，促使學(xué)生自主建構(gòu)出一套解題方法. 難度逐漸增加的四個(gè)變式獨(dú)具匠心，不僅將課時(shí)內(nèi)容有機(jī)地整合成問(wèn)題，還促使學(xué)生的思維在解題過(guò)程中逐漸結(jié)構(gòu)化. 學(xué)生真正構(gòu)建了完整的知識(shí)體系，對(duì)一次函數(shù)的認(rèn)識(shí)也更加深入.

教學(xué)思考

1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)是設(shè)計(jì)教學(xué)的載體

復(fù)習(xí)教學(xué)的第一步是厘清知識(shí)結(jié)構(gòu)，明確章節(jié)所擁有的具體知識(shí)，搞清楚知識(shí)間的縱橫聯(lián)系是揭露知識(shí)本質(zhì)，彰顯結(jié)構(gòu)化教學(xué)意義的基本載體. 從整體視域設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)教學(xué)，需將促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維螺旋式上升作為基本目標(biāo)，讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)所學(xué)內(nèi)容形成新的認(rèn)知沖突，為進(jìn)行認(rèn)知的同化與順應(yīng)奠定基礎(chǔ).

從知識(shí)、方法與思想三個(gè)層面梳理與總結(jié)教學(xué)內(nèi)容，不僅能讓學(xué)生進(jìn)一步厘清知識(shí)結(jié)構(gòu)，還能讓學(xué)生提升對(duì)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí). 如本節(jié)課從一次函數(shù)的內(nèi)容出發(fā)，結(jié)合各個(gè)問(wèn)題的探索方法與涉及的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生構(gòu)建了完整的知識(shí)體系，讓學(xué)生真正理解教材編寫(xiě)的意圖，并對(duì)一次函數(shù)相關(guān)的知識(shí)、方法及其實(shí)際應(yīng)用有了深刻的理解.

整體來(lái)說(shuō)，學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)不再局限于探索某一個(gè)知識(shí)或解決某一道試題，而是將思維拓展到知識(shí)間的聯(lián)系. 拓展問(wèn)題與應(yīng)用變式，都是為了促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)，最終構(gòu)建完整的一次函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2. 學(xué)情是確定教學(xué)難度的根本

“以學(xué)定教”是新課標(biāo)背景下數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，充分了解學(xué)情是確定教學(xué)難度的根本，也是構(gòu)建良好學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵. 所謂的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)指根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)間的內(nèi)部與外部聯(lián)系，其中內(nèi)部聯(lián)系指知識(shí)與知識(shí)的關(guān)聯(lián)情況，屬于知識(shí)的縱向發(fā)展關(guān)系;外部聯(lián)系指思想方法或?qū)W法上的關(guān)聯(lián)情況，屬于知識(shí)的橫向發(fā)展關(guān)系.

從本節(jié)課來(lái)看，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與翻折過(guò)程，需學(xué)生分別從知識(shí)的結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)出發(fā)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于“關(guān)鍵點(diǎn)”定位的分析，此為知識(shí)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)過(guò)程，屬于知識(shí)、方法、思想等維度的結(jié)構(gòu)化.

鑒于本節(jié)課為單元復(fù)習(xí)課程，需要學(xué)生將一章節(jié)的內(nèi)容整合到一起，構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系. 對(duì)單個(gè)問(wèn)題的解法探索無(wú)法滿足這一目標(biāo)，而題組模式的解法分析與思想提煉則能彌補(bǔ)單個(gè)問(wèn)題的不足，滿足學(xué)生知識(shí)體系構(gòu)建的實(shí)際需要. 如拓展變化一個(gè)圖形，不僅能鞏固學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，還能揭露知識(shí)本質(zhì)，讓學(xué)生做到知其然且知其所以然.

總之，基于結(jié)構(gòu)化的視角探尋知識(shí)本質(zhì)需經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期不懈的過(guò)程，一節(jié)成功的課并不一定是教學(xué)手段有多高超，但教學(xué)理念一定是先進(jìn)的. 在復(fù)習(xí)課型上應(yīng)用結(jié)構(gòu)化理念實(shí)施教學(xué)，可幫助學(xué)生從整體視域上構(gòu)建知識(shí)體系與研究方法，促使結(jié)構(gòu)化思維的形成，推進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.