[摘 要] 數(shù)學(xué)交流的類型主要有：知識(shí)的交流、體驗(yàn)的交流與解題的交流等. 研究者以“等腰三角形的軸對(duì)稱性”教學(xué)為例，具體從“實(shí)驗(yàn)引發(fā)交流、操作驗(yàn)證猜想、練習(xí)提升學(xué)力”三個(gè)方面展開闡述，具體談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)如何聚焦于課堂交流，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 課堂交流;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)能力

人類社會(huì)的進(jìn)步與發(fā)展以人與人之間的交流為基礎(chǔ)，人的認(rèn)知、意志、情感、觀念與行為等都在有效交流中得以發(fā)展. 數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科，以發(fā)展核心素養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo). 事實(shí)證明，良好的數(shù)學(xué)交流能力是人們適應(yīng)時(shí)代發(fā)展不可或缺的能力，也是提升核心素養(yǎng)的重要渠道. 從杜威“做中學(xué)”理論的興起，到陶行知倡導(dǎo)的“小先生制”教學(xué)法，無不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)合作與交流的重要性.

數(shù)學(xué)交流的類型

（一）知識(shí)的交流

知識(shí)的交流一般指用口頭描述或書面表達(dá)的方式，呈現(xiàn)自己對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，如概念、公式、定理等. 個(gè)體在表達(dá)時(shí)，也嘗試?yán)斫馑说挠^點(diǎn). 如課堂中以合作學(xué)習(xí)的方式來抽象某個(gè)概念時(shí)，組內(nèi)成員就通過口頭表達(dá)的方式提出自己對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，同伴給予補(bǔ)充與完善，最終形成完整的概念.

（二）體驗(yàn)的交流

體驗(yàn)的交流是指學(xué)習(xí)者將自己在學(xué)習(xí)過程中獲得的認(rèn)知、感受、情緒或觀點(diǎn)等與同伴分享的過程，一般表現(xiàn)在對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象形成概括性的理解與認(rèn)識(shí)上，是對(duì)自己或他人學(xué)習(xí)喜好或效果的評(píng)論. 如將自己在學(xué)習(xí)過程中獲得的數(shù)學(xué)美與他人分享或?qū)W(xué)習(xí)過程中形成的畏懼心理、認(rèn)知障礙、特殊偏好等進(jìn)行傾訴，這些都屬于體驗(yàn)交流的范疇.

（三）解題的交流

解題交流指學(xué)生將自己在解題過程中形成的解題思路、方法、困惑等，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述給同伴聽的過程. 解題交流對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要意義，尤其是在新課改背景下，倡導(dǎo)“團(tuán)結(jié)協(xié)作、合作交流”的學(xué)習(xí)模式，這就要求學(xué)習(xí)者摒棄原來單打獨(dú)斗、冥思苦想解題的模式，應(yīng)用和他人協(xié)商或合作的方法，將自己的解題方法與資料共享，達(dá)到共同進(jìn)步的目的.

數(shù)學(xué)交流的實(shí)踐

（一）實(shí)驗(yàn)引發(fā)交流

學(xué)習(xí)理應(yīng)為自主、活潑、生動(dòng)、豐富的過程，課堂中的動(dòng)手操作、實(shí)踐思考、主動(dòng)探究與合作交流等，都是促進(jìn)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵方式. 但觀察如今的數(shù)學(xué)課堂，愿意主動(dòng)舉手表達(dá)自己觀點(diǎn)的學(xué)生占比并不高. 為此，筆者對(duì)如何提高學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的交流意識(shí)，促進(jìn)質(zhì)疑與合作能力的發(fā)展做了大量研究.

事實(shí)證明，豐富的教學(xué)情境或?qū)嶒?yàn)活動(dòng)是促進(jìn)師生雙邊交流的重要載體，尤其是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用，學(xué)生在“做中學(xué)”的背景下積極思考與交流，有效克服了因“注入式”教學(xué)導(dǎo)致的淺層學(xué)習(xí)問題，切實(shí)實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí).

1. 視覺體驗(yàn)是交流的基礎(chǔ)

問題1 觀察圖1，這些令人賞心悅目的圖案涵蓋了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？（軸對(duì)稱）

問題2 如圖2，請(qǐng)取出課前準(zhǔn)備好的卡紙，按照?qǐng)D示步驟進(jìn)行折疊、剪切、展開，經(jīng)剪切后的紙張是什么形狀？ （等腰三角形）

設(shè)計(jì)意圖 從認(rèn)知建構(gòu)理論來看，新知的建構(gòu)應(yīng)基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)進(jìn)行. 此環(huán)節(jié)，教師設(shè)置了兩個(gè)層次的觀察活動(dòng)，而這兩個(gè)活動(dòng)都基于“軸對(duì)稱”的知識(shí)衍生而來，且均以直觀的圖形或?qū)嵨镎故驹趯W(xué)生面前，豐富了學(xué)生的視覺體驗(yàn).

第一個(gè)問題，學(xué)生通過對(duì)美麗圖案的觀察，不僅引出軸對(duì)稱，還滲透了數(shù)學(xué)美;第二個(gè)問題，剪紙活動(dòng)意在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)等腰三角形產(chǎn)生深入探究的意識(shí). 這兩個(gè)問題同時(shí)展示，也給學(xué)生一種暗示，即等腰三角形與軸對(duì)稱之間存在某種關(guān)系. 這兩個(gè)問題簡(jiǎn)潔、通俗，學(xué)生通過觀察、思考與分析即可獲得較深層次的理解，為接下來的深度交流做好鋪墊.

2. 實(shí)際操作是交流的素材

眾所周知，手是意識(shí)的培育者與智慧的創(chuàng)造者. 數(shù)學(xué)教學(xué)中，立足于“動(dòng)手操作”可促使學(xué)生的思維從具體形象轉(zhuǎn)化到抽象邏輯上來，隨著手、腦、眼的協(xié)同作用，學(xué)生的各個(gè)感官系統(tǒng)都參與到課堂實(shí)驗(yàn)中，這不僅能有效活躍學(xué)生的思維，還能深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，強(qiáng)化記憶，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，幫助學(xué)生形成創(chuàng)新意識(shí). 鑒于此，通過實(shí)驗(yàn)操作引導(dǎo)學(xué)生“做中學(xué)”，可讓學(xué)生從多維度進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，提升質(zhì)疑與合作能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

問題3 嘗試用折疊、剪切等方式，把圖3這張卡紙變成等腰三角形.

設(shè)計(jì)意圖 問題2帶領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用矩形紙片剪出了等腰三角形，但問題3卻要求從一張不規(guī)則的卡紙中取一個(gè)等腰三角形，顯然增加了難度，學(xué)生的思維也受到了挑戰(zhàn). 比較發(fā)現(xiàn)，問題2的關(guān)鍵在于操作與觀察，重點(diǎn)在于學(xué)生的視覺感受;而問題3的關(guān)鍵在于思考、操作與分析，重點(diǎn)在于實(shí)驗(yàn)操作的體驗(yàn). 為了讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中親歷思考和思辨，筆者要求學(xué)生在獨(dú)立分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組合作交流，對(duì)活動(dòng)體驗(yàn)談一些看法，實(shí)現(xiàn)從“看懂”到“做出”的轉(zhuǎn)變，以促使學(xué)生空間觀念的有效發(fā)展，提升學(xué)生手、腦、口共同協(xié)作的能力.

（二）操作驗(yàn)證猜想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的新課標(biāo)明確提出初中階段的學(xué)生要能邏輯清晰且準(zhǔn)確地表達(dá)自己的觀點(diǎn)與思想，并強(qiáng)調(diào)學(xué)生要會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)世界. 由此可看出，數(shù)學(xué)表達(dá)能力與交流能力的重要性.

問題4 嘗試?yán)脤?shí)驗(yàn)操作來驗(yàn)證如下兩個(gè)猜想：①等腰三角形的兩個(gè)底角為相等的關(guān)系;②“三線重合”，即等腰三角形的底邊中線、高、頂角平分線是重合的關(guān)系.

生1：折疊等腰三角形，底邊中線為折痕，發(fā)現(xiàn)兩底角在折疊后會(huì)重合，由此可確定猜想①成立.

生2：這種驗(yàn)證方法不嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)檫@個(gè)猜想本就因折疊而來，再通過折疊進(jìn)行驗(yàn)證，不科學(xué). 我認(rèn)為直接用尺規(guī)測(cè)量邊角關(guān)系，可驗(yàn)證猜想的準(zhǔn)確性.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引發(fā)了學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)產(chǎn)生一定的猜想，至于這些猜想是否合理，需加以驗(yàn)證與論證才能確定. 初中數(shù)學(xué)最常見的驗(yàn)證方式為說、辯等，學(xué)生將自己思維流程展示出來. 事實(shí)證明，教師若給予學(xué)生充足的時(shí)間與空間，學(xué)生可還給教師以驚喜. 數(shù)學(xué)交流的過程中，不僅凸顯出學(xué)生自身的主體地位，還將自己的感知、體悟表達(dá)出來，積極的互動(dòng)讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)自身的不足，從而引發(fā)學(xué)生的思考，幫助學(xué)生形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

生2所提出的測(cè)量方法也不是一定可靠的，因?yàn)槎攘勘厝淮嬖谡`差. 對(duì)此，教師還可引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用更精準(zhǔn)有效的軟件進(jìn)行驗(yàn)證. 如幾何畫板的應(yīng)用，它能將靜態(tài)的圖形進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，這種驗(yàn)證方法也非常具有說服力. 具體過程如下：

如圖4，點(diǎn)A為△ABC上的一個(gè)動(dòng)頂點(diǎn)，在幾何畫板上，只要點(diǎn)A的位置發(fā)生改變，那么AC，AB邊的長(zhǎng)度以及∠B，∠C的度數(shù)均會(huì)發(fā)生改變，只要存在AC=AB這個(gè)條件，必然有∠B=∠C;

CA=2.66厘米 ∠ACB=68.12°]

如圖5，通過對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的移動(dòng)觀察△ABC的中線AD、頂角平分線AE、底邊高AF這三條線與三角形邊AC、邊AB的長(zhǎng)度之間存在怎樣的關(guān)系，當(dāng)AC=AB時(shí)，AD=AE=AF，即三線合一.

AD是BC邊上的中線 AC=2.64厘米

AE是頂角∠BAC的平分線 BA=4.35厘米][D][E][F]

幾何畫板的展示，將靜圖變成充滿視覺沖突的動(dòng)圖，瞬間就吸引了學(xué)生的注意力. 此刻，多媒體的應(yīng)用在學(xué)生心中埋下了一顆奇妙的種子，讓學(xué)生對(duì)教育信息化產(chǎn)生了別樣的情感，也對(duì)合理猜想與驗(yàn)證形成了新的體驗(yàn).

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上發(fā)表驗(yàn)證言論，展示的是自己的思維，隨著交流的深入，驗(yàn)證方法也越發(fā)先進(jìn). 在教師的點(diǎn)撥下，最終將驗(yàn)證途徑聚焦到幾何畫板上. 此設(shè)計(jì)一方面營(yíng)造了良好的交流氛圍，提升了學(xué)生的交流成效;另一方面通過幾何畫板拓寬了學(xué)生的視野，讓學(xué)生感知教育信息化的便利.

（三）練習(xí)提升學(xué)力

問題5 如何從說理的角度證明猜想？

如圖6，通過輔助線的添加，再?gòu)娜鹊慕嵌葘?shí)施證明，以確定等腰三角形的兩底角相等.

證法1 已知△ABC為一個(gè)等腰三角形，過點(diǎn)A作AD與BC垂直，由HL可證△ADB≌△ADC，由此可確定∠B=∠C.

證法2 已知△ABC為一個(gè)等腰三角形，過點(diǎn)A作AD平分∠CAB，由SAS可證得△ADB≌△ADC，由此也可確定∠B=∠C.

證法3 已知△ABC為一個(gè)等腰三角形，作底邊BC的中線AD，由SSS可證得△ADB≌△ADC，由此也可確定∠B=∠C.

設(shè)計(jì)意圖 從說理的角度證明猜想，意在發(fā)展學(xué)生的推理能力，不同輔助線的添加，證明方法也各不一樣，但每一種結(jié)論都指向“等腰三角形的兩底角相等”這個(gè)結(jié)論. 學(xué)生在證明過程中積極互動(dòng)與交流，不僅豐富了思維，還完善了知識(shí)結(jié)構(gòu)，為形成知識(shí)體系夯實(shí)了基礎(chǔ).

教學(xué)思考

（一）推理是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵

以上證明過程告訴我們，測(cè)量、觀察與表達(dá)等都屬于淺層研究的范疇，學(xué)生想要真正了解等腰三角形的性質(zhì)，還需從數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评沓霭l(fā)，將思維從直觀感知轉(zhuǎn)向周密的邏輯推理上，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明來驗(yàn)證猜想的正確性.

拿問題5來說，若教師換一種問法：若想將一個(gè)等腰三角形構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形，輔助線該怎么添加？不同的問法給學(xué)生帶來不一樣的感受，雖然學(xué)生也會(huì)通過不同輔助線的添加提煉出三種輔助線導(dǎo)致圖形一致的現(xiàn)象，但整個(gè)教學(xué)的方向卻完全不一樣，學(xué)生對(duì)此的體驗(yàn)也大相徑庭.

（二）幾何交流需關(guān)注“三觀”問題

這里的“三觀”是指圖形觀、表達(dá)觀與推理觀. 其中，圖形觀的發(fā)展與幾何直觀素養(yǎng)有著密不可分的聯(lián)系，即引導(dǎo)學(xué)生在畫圖、識(shí)圖、用圖等過程中深化交流，從更深層次理解知識(shí)點(diǎn);“推理觀”與推理能力素養(yǎng)有著關(guān)聯(lián)，學(xué)生在合情推理與演繹推理中規(guī)范表達(dá)，嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)思維;“表達(dá)觀”與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)有著密切聯(lián)系，屬于數(shù)學(xué)思維或能力的顯化過程，對(duì)提升學(xué)生的讀、寫、畫、說具有重要意義.

本節(jié)課，關(guān)于“等腰三角形的性質(zhì)”可從“三觀”出發(fā)：①基于圖形觀的角度，可借助圖形與符號(hào)語(yǔ)言記錄整個(gè)說理過程;②基于推理觀或深層學(xué)習(xí)的角度，可將等腰三角形的性質(zhì)由來及推理依據(jù)展示出來，這對(duì)發(fā)展推理能力及提升解題能力具有重要作用;③基于表達(dá)觀的角度，學(xué)生在學(xué)習(xí)初中幾何時(shí)需關(guān)注數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用，尤其要避免出現(xiàn)“會(huì)說不會(huì)寫”的情況，這是規(guī)范解題的關(guān)鍵.

（三）多種形式增強(qiáng)交流能力

數(shù)學(xué)交流的對(duì)象包括知識(shí)、問題與體驗(yàn)等，文中涉及的“看、說、做、寫”等都是學(xué)生用來傳遞信息的方式，屬于數(shù)學(xué)知識(shí)外顯的過程. 當(dāng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解不斷加深后，教師可培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與獨(dú)立應(yīng)用新知的能力. 豐富多樣的教學(xué)手段可有效增進(jìn)學(xué)生的交流，如常見的“想一想、畫一畫、證一證”等都是促使學(xué)生從理解到應(yīng)用，再到發(fā)展核心素養(yǎng)的過程.