[摘 要] 深度學(xué)習(xí)是一種契合新課改背景的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)科教學(xué)提供了導(dǎo)向. 研究者從深度學(xué)習(xí)的特征出發(fā)，以“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)為例，著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“猜圖—畫圖—悟圖—賞圖”的探究過程，以促使深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

[關(guān)鍵詞] 深度學(xué)習(xí);理解教學(xué);反比例函數(shù)

隨著新課改的不斷深入，深度學(xué)習(xí)為初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)提供了新的導(dǎo)向. 美國(guó)學(xué)者Eric Jensen與LeAnn Nickelsen在《深度學(xué)習(xí)的7種有力策略》中提出了深度學(xué)習(xí)路線（DELC，The Deeper Learning Cycle）（見圖1），對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有指導(dǎo)意義. 本文以“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為例，對(duì)基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略展開了實(shí)踐與研究.

深度學(xué)習(xí)的特征

1. 深度學(xué)習(xí)屬于理解性的學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是相對(duì)于淺層學(xué)習(xí)而言的一種學(xué)習(xí)方式，相較于淺層學(xué)習(xí)的模式化、表面化，深度學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的理解性，需要學(xué)習(xí)者通過自主觀察、分析、思考對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生疑問，從而批判性地理解知識(shí)本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)隱匿在知識(shí)背后的觀念與思想. 學(xué)生在此過程中，不再是機(jī)械地記憶新知，而是在理解的基礎(chǔ)上，帶著自己的思維去建構(gòu)新知.

2. 深度學(xué)習(xí)屬于體系化的學(xué)習(xí)

淺層學(xué)習(xí)所建構(gòu)的知識(shí)比較零碎，缺乏體系化，學(xué)生在應(yīng)用時(shí)常因?yàn)樗季w混亂而錯(cuò)誤百出. 深度學(xué)習(xí)更注重知識(shí)的整體性與結(jié)構(gòu)化，它是在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過各種方法獲取新知，形成新的知識(shí)體系的過程. 在此過程中，學(xué)生的認(rèn)知不斷得以優(yōu)化，建立知識(shí)層級(jí)，使得基礎(chǔ)知識(shí)在理解中沉淀，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從宏觀的角度看待問題，同時(shí)不斷補(bǔ)充、完善、拓展新知，擴(kuò)大認(rèn)知角度.

3. 深度學(xué)習(xí)是主動(dòng)發(fā)生的學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是學(xué)習(xí)的根本動(dòng)力. 淺層學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)往往源自外部，不少學(xué)生是為了獲得他人的認(rèn)同而學(xué)習(xí)，但因?yàn)橐恍┮蛩氐挠绊懢蜁?huì)減弱學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī);深度學(xué)習(xí)更注重學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展，其學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)主要源自學(xué)習(xí)者的本身，因此這是一種有價(jià)值的學(xué)習(xí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中因不斷獲得良好的體驗(yàn)而形成良好的思維習(xí)慣.

教學(xué)分析

為了踐行深度學(xué)習(xí)，筆者在備課時(shí)著重思考了如下兩個(gè)問題：

思考一 學(xué)生的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)在何處？

本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)接觸過了平面直角坐標(biāo)系與一次函數(shù)有關(guān)的內(nèi)容，對(duì)于坐標(biāo)、一次函數(shù)、函數(shù)等有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，探索函數(shù)圖象時(shí)積累了“列表、描點(diǎn)與連線”的基本方法. 鑒于知識(shí)存在正、負(fù)遷移兩類情況，一些學(xué)生在畫反比例函數(shù)圖象時(shí)容易受思維定式的影響，因此引導(dǎo)學(xué)生深刻理解并感悟反比例函數(shù)的圖象為平滑的雙曲線是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn).

思考二 什么樣的活動(dòng)能深化學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí)？

結(jié)合以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)于為什么反比例函數(shù)的圖象是平滑的雙曲線難以理解. 與一次函數(shù)探索方法進(jìn)行類比，明確本節(jié)課探索的方法與方向：①由“數(shù)”出發(fā)猜想“形”，感知反比例函數(shù)的圖象特征;②通過列表、描點(diǎn)與連線嘗試自主畫反比例函數(shù)的圖象;③進(jìn)行錯(cuò)例辨析，體會(huì)數(shù)形的一致性;④從特殊出發(fā)，總結(jié)圖象的共性特征，明確反比例函數(shù)為平滑的雙曲線;⑤感知反比例函數(shù)圖象的美.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 提出類比問題

問題1 一次函數(shù)的定義是什么，當(dāng)時(shí)是怎樣研究一次函數(shù)的？

問題2 與一次函數(shù)類比，本節(jié)課我們將會(huì)探索反比例函數(shù)的哪些方面？會(huì)用到什么方法進(jìn)行探索？

設(shè)計(jì)意圖 明確知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)是踐行深度學(xué)習(xí)理念的根本，鑒于學(xué)生已經(jīng)有了探索一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)屬于一脈相承的關(guān)系. 由此可確定一次函數(shù)的研究方法就是反比例函數(shù)的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn). 這種結(jié)合知識(shí)特點(diǎn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的教學(xué)方式，不僅能讓學(xué)生進(jìn)一步夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，還能讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)方法的遷移獲得自主探索新知的能力.

2. 開展探究活動(dòng)

活動(dòng)一 猜圖

問題3 反比例函數(shù)y=的圖象是什么？說明理由.

問題4 能否自主畫出反比例函數(shù)y=的圖象？設(shè)法驗(yàn)證其正確性.

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生認(rèn)知“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)式子來猜想圖象，此為由數(shù)猜形的過程，屬于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 學(xué)生從式子出發(fā)自主嘗試畫圖象，需思考該圖象和坐標(biāo)軸是否存在交點(diǎn)，圖象在坐標(biāo)系中位于哪個(gè)象限，呈現(xiàn)怎樣的走勢(shì)等. 這是揭露反比例函數(shù)圖象本質(zhì)的必經(jīng)之路.

活動(dòng)二 畫圖

問題5 怎樣用“列表、描點(diǎn)、連線”的方法畫出反比例函數(shù)y=的圖象？

師生活動(dòng) 列表環(huán)節(jié)，著重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量的取值范圍與所取值是否合理;描點(diǎn)環(huán)節(jié)，著重引導(dǎo)學(xué)生感知有序數(shù)對(duì)和坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;畫圖環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生自主畫圖之后再交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并糾正錯(cuò)誤.

如圖2，此為學(xué)生所畫的典型錯(cuò)誤圖象.

問題6 （投影圖2）該圖象畫得對(duì)不對(duì)？

學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考、合作交流，對(duì)圖2的畫法進(jìn)行正誤的辨析，并說明錯(cuò)誤的理由. 教師在此過程中進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，著重強(qiáng)調(diào)函數(shù)存在三種表達(dá)方式，想要辨別圖2的畫法的正誤，關(guān)鍵在于回歸到列表環(huán)節(jié)，從數(shù)與形兩個(gè)維度出發(fā)進(jìn)行思考與分析.

從“形”的角度來看，計(jì)算與描點(diǎn)方面可在列表時(shí)取x≠0的整數(shù)值，在描點(diǎn)后取相鄰整數(shù)間的其他實(shí)數(shù)，比如在1和2之間取1.2或1.5等，那么y所對(duì)應(yīng)的值就是5或4，即在點(diǎn)A（1，6）與點(diǎn)B（2，3）中間還存在點(diǎn)（1.2，5）與（1.5，4），如圖3所示，實(shí)際描點(diǎn)后發(fā)現(xiàn)這兩點(diǎn)并不位于線段AB上.

問題7 點(diǎn)A、點(diǎn)B之間還存在多少這樣的點(diǎn)呢？其他任意兩點(diǎn)間是否和點(diǎn)A、點(diǎn)B之間的情況一樣呢？

為了深化學(xué)生的理解，讓學(xué)生能直觀地看到問題的本質(zhì)，教師可借助幾何畫板進(jìn)行描點(diǎn)操作，隨著點(diǎn)個(gè)數(shù)的不斷增加，平滑的曲線呈現(xiàn)出來.

從數(shù)的角度來看，圖2是用線段將各個(gè)點(diǎn)進(jìn)行了依次聯(lián)結(jié)，顯然這種方法是不科學(xué)的. 因此，筆者要求學(xué)生重新畫反比例函數(shù)y=的圖象，并分析所畫圖象與之前自己心中所想的圖象是否一樣.

設(shè)計(jì)意圖 “用平滑的曲線來連線”為本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，受一次函數(shù)圖象畫法的影響，不少學(xué)生在初次畫圖時(shí)會(huì)呈現(xiàn)出類似于圖2的錯(cuò)誤，利用好學(xué)生在課堂中的錯(cuò)誤資源是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的重要手段，學(xué)生的思維隨著錯(cuò)例辨析的深入而清晰.

此過程，教師引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)、形”兩個(gè)角度進(jìn)行錯(cuò)因辨析，并借助幾何畫板展示從有限到無限，不僅讓學(xué)生深刻理解了反比例函數(shù)的圖象，還讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到知識(shí)遷移需要考慮周全，避免思維定式帶來的負(fù)面影響. 隨著探究的深入，學(xué)生不僅能自主畫出反比例函數(shù)的圖象，還進(jìn)一步感知了圖象的本質(zhì)與“數(shù)形”的一致性，提煉了從有限到無限的數(shù)學(xué)思維，為促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生奠定了基礎(chǔ).

活動(dòng)三 悟圖

問題8 請(qǐng)自主畫出反比例函數(shù)y=與y=-的圖象，它們形態(tài)的異同點(diǎn)是什么？

問題9 若k發(fā)生變化，圖象形態(tài)特征會(huì)不會(huì)隨之發(fā)生改變？（借助幾何畫板探索）

設(shè)計(jì)意圖 帶領(lǐng)學(xué)生從特例出發(fā)進(jìn)行畫圖、觀察、分析與比較，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象是由兩個(gè)分支的平滑曲線組成，雖然無限趨近坐標(biāo)軸，卻不會(huì)與坐標(biāo)軸相交. 幾何畫板的直觀性，讓學(xué)生進(jìn)一步感知結(jié)論的合理性，并從中提煉由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

活動(dòng)四 賞圖

問題10 反比例函數(shù)的雙曲線帶給你什么感受？

學(xué)生一致認(rèn)為平滑的雙曲線給人一種美的享受，反比例函數(shù)圖象具有特別的平滑美、簡(jiǎn)約美、對(duì)稱美等.

隨著贊頌聲，本節(jié)課的教學(xué)也接近尾聲，教師可在此時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課進(jìn)行整體性的回顧與總結(jié)，對(duì)研究方式方法、重點(diǎn)難點(diǎn)、涉及的數(shù)學(xué)思想方法等進(jìn)行歸納.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)是踐行新課標(biāo)要求的過程，這種以美激趣的方法不僅能陶冶學(xué)生的情操，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，還能提高學(xué)生的個(gè)人修養(yǎng)，賦予雙曲線以獨(dú)特的生命，讓深度學(xué)習(xí)在學(xué)生良好的感悟中發(fā)生.

教學(xué)思考

1. 深度學(xué)習(xí)需理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

“知識(shí)的寬度、深度以及思維的高度”是構(gòu)成深度學(xué)習(xí)的三個(gè)維度，實(shí)踐證明所謂的深度學(xué)習(xí)并非是線性發(fā)展的過程，而應(yīng)是三維立體逐漸深化的過程. 章建躍提出“三個(gè)理解”的理念，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué). 一線數(shù)學(xué)教師首先要理解數(shù)學(xué)，即對(duì)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、本質(zhì)、內(nèi)涵等有明確的認(rèn)識(shí)，如知識(shí)的形成背景、邏輯發(fā)展規(guī)律與蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等要一清二楚.

教師在一次函數(shù)的基礎(chǔ)上類比教學(xué)本節(jié)課，通過對(duì)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)的剖析，帶領(lǐng)學(xué)生在類比分析中深刻認(rèn)識(shí)什么是反比例函數(shù)，它具備怎樣的特征與邏輯發(fā)展規(guī)律等. 反比例函數(shù)圖象的探究是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，因此筆者由始至終借助反比例函數(shù)y=的圖象探索設(shè)計(jì)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“猜圖—畫圖—悟圖—賞圖”的過程，讓學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的圖象為什么是平滑的雙曲線產(chǎn)生深刻理解.

在對(duì)圖象的探索過程中，學(xué)生切身體會(huì)了數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法等，尤其是幾何畫板的介入，讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加直觀，有效發(fā)展了學(xué)生的抽象素養(yǎng)與直觀想象力，這些都是踐行深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

2. 深度學(xué)習(xí)需關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展

對(duì)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的預(yù)設(shè)與評(píng)估是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，教師作為課堂的組織者，需思考如何讓學(xué)生完成自主建構(gòu)，怎樣將所學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成個(gè)人能力等. 澳大利亞的John Biggs作為深度學(xué)習(xí)的資深學(xué)者，他認(rèn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)新知之前的知識(shí)、智力、能力、家庭背景與個(gè)性是影響深度學(xué)習(xí)的主要因素. 同時(shí)，學(xué)習(xí)環(huán)境等是影響深度學(xué)習(xí)的另一重要因素（見圖4）. 因此，教師在預(yù)設(shè)與評(píng)估方面需著重關(guān)注學(xué)生原有的認(rèn)知.

筆者在“John Biggs深度學(xué)習(xí)的3P模型”基礎(chǔ)上對(duì)本節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行了思考，分別從“知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)”與“如何設(shè)計(jì)探究活動(dòng)”兩個(gè)方面對(duì)課堂進(jìn)行了預(yù)設(shè)與評(píng)估，取得了不錯(cuò)的教學(xué)成效.

3. 深度學(xué)習(xí)離不開問題導(dǎo)向

問題是推進(jìn)教學(xué)的靈魂，想要讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與探究活動(dòng)，離不開任務(wù)的驅(qū)動(dòng). 而任務(wù)的驅(qū)動(dòng)往往隱藏在一個(gè)個(gè)的問題中，合理的問題可有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生的思維有明確的方向，這也是激活課堂的重要方法.

一環(huán)接一環(huán)的問題是派發(fā)給學(xué)生的指令，學(xué)生在問題的導(dǎo)向下深受啟發(fā). 本節(jié)課中，學(xué)生在十個(gè)問題的啟發(fā)下，自主探索反比例函數(shù)的概念與圖象，對(duì)圖象的畫法、易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行了辨析，從根本上掌握了反比例函數(shù)圖象的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí).

總之，新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)將“三個(gè)理解”放在首位，教師可結(jié)合學(xué)情與教情從對(duì)知識(shí)的關(guān)注轉(zhuǎn)化成對(duì)學(xué)力發(fā)展的關(guān)注，從對(duì)結(jié)果的關(guān)注轉(zhuǎn)化到對(duì)教學(xué)過程的關(guān)注，這是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的關(guān)鍵，更是踐行深度學(xué)習(xí)的重要方法.