[摘 要] 研究者在單元整體教學思想的指導下，將“整式乘法”這節(jié)課的部分內容重組，形成關于整式乘法的結構化知識，讓學生經(jīng)歷自主建構，從概括整式乘法法則到發(fā)現(xiàn)乘法公式，體會從數(shù)到式、具體到抽象、特殊到一般的思維過程和程序化思想，習得結構化知識和研究方法，逐步實現(xiàn)從“學會”到“會學”的學習能力的躍遷.

[關鍵詞] 自主建構;單元教學;結構化

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，要改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內在邏輯關系[1]. 傳統(tǒng)的課時教學，往往就課論課，關注某一課時的知識點教學或技能訓練，很少瞻前顧后、前后呼應. 這種數(shù)學知識“線性呈現(xiàn)”的方式，無法走向“結構化”生長，常常讓學生“只見樹木，不見森林”，缺乏對數(shù)學知識結構體系的整體把握. 自主建構是指在教學活動中學生主動參與學習活動，積極有效地建構知識. 自主建構離不開問題驅動，以問題引領思維，用探究發(fā)展思維. 指向自主建構的單元教學主要通過單元整體教學的實施，與學生自主建構學習之間建立關聯(lián)，促使學生自主建構真正發(fā)生，實現(xiàn)學生自主建構與單元教學雙發(fā)展. 本文以蘇科版“整式乘法”為例，整合學材，在單元教學的基礎上，讓自主建構真正發(fā)生.

內容和內容解析

1. 內容

單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式、乘法公式.

2. 內容解析

本節(jié)課的內容是蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第九章第1—4節(jié)“單項式乘單項式”“單項式乘多項式”“多項式乘多項式”“乘法公式”四節(jié)內容的單元整合. 整式乘法包括單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式，而乘法公式是多項式乘多項式的特殊化，這些都是基本而重要的代數(shù)運算，是以后進一步學習分式和二次根式運算、函數(shù)等知識的基礎.

本節(jié)課的核心思想是類比、轉化、數(shù)形結合. 在整式乘法中，由于單項式乘多項式、多項式乘多項式都可轉化為單項式乘單項式，因此單項式乘單項式是整式乘法的關鍵. 單項式乘單項式是在學生學習了有理數(shù)乘法和冪的運算的基礎上，學習“式”的一種運算，是對數(shù)的運算的一種延伸;同時它又是學習單項式乘多項式、多項式乘多項式的基礎，也為學習單項式除法積累學習方法經(jīng)驗，起著承上啟下的作用. 在研究整式乘法運算法則時，一方面可以通過乘法交換律、結合律及分配律獲得，也可以通過圖形面積對運算法則進行解釋，這體現(xiàn)了數(shù)形結合思想. 乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，是多項式相乘的一種特殊形式，具有廣泛的應用.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：整式乘法法則的概括過程和運用.

目標和目標解析

1. 目標

（1）會用整式乘法法則進行運算，理解整式乘法法則的由來.

（2）能夠推導乘法公式，理解乘法公式的結構特點.

（3）經(jīng)歷整式乘法法則與乘法公式的形成過程，體會類比、轉化、數(shù)形結合思想，發(fā)展運算能力、符號意識、幾何直觀等.

2. 目標解析

（1）學生能從數(shù)與形兩個角度解釋整式相乘的過程，并用數(shù)學語言概括整式乘法法則，能夠正確運用法則進行運算.

（2）學生能從數(shù)的角度推導出乘法公式，并能從形的角度驗證;把握公式的特征，理解公式的結構.

（3）學生能夠理解整式乘法之間的關聯(lián);體會從特殊到一般、一般到特殊的思維過程和程序化思想.

教學問題診斷分析

本節(jié)課知識的學習是根據(jù)已有的活動經(jīng)驗生長出新的活動經(jīng)驗，而已有的經(jīng)驗中，如有理數(shù)的乘法、冪的運算等，學生可能存在不同程度的遺忘現(xiàn)象. 同時，若干知識之間的內在關系，對學生提出了更高的要求，因此相關運算的正確性可能得不到有效的保障，教學時教師可以提前布置學生適當?shù)貜土曀婕暗闹R點. 學生剛接觸整式乘法公式，對多項式乘法法則運用不是很熟練、理解不是很透徹，此時來學習乘法公式，對公式結構與特征的理解和掌握會有一定的難度.

基于問題分析，確定本節(jié)課的教學難點是：乘法公式的結構、特征及公式的圖形驗證方法的掌握.

教學過程

1. 初步探究

問題1 下圖由一個邊長為a的小正方形通過平移而成，求這個圖形的面積.

追問1 你有哪些方法？

追問2 通過上述不同的角度解決問題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問3 從運算的角度看為什么3a·2a可以寫成6a2？

【師生活動】 從整體看：S=3a·2a，從局部看：S=6·a2. 很容易發(fā)現(xiàn)3a·2a=6a2，一個圖形面積通過“算2次”的方法可以得到一個等式. 從運算的角度看，運用乘法的交換律與結合律發(fā)現(xiàn)3a·2a=3×2·a·a=（3×2）·（a·a）=6a2.

設計意圖 通過簡單而熟悉的情境，激發(fā)學生的學習興趣;為學生提供探究的時間和空間，并及時給予指導和肯定，讓學生感受成功的喜悅. 先從形的角度，感悟“算2次”的思想，再從數(shù)的角度體會運算的依據(jù)，讓學生感受到研究整式乘法的嚴謹性.

2. 深入感知

問題2 計算下列各式：

（1）2a3b·3ab2;

（2）6x3·（-2x2y）.

追問1 上述運算是什么運算？

追問2 單項式乘單項式是如何運算的？依據(jù)是什么？

【師生活動】 學生獨立思考后，很容易知道這是單項式乘單項式;通過第（1）小題猜想單項式與單項式如何相乘：系數(shù)相乘，字母相乘;通過第（2）小題學生相互補充完善并歸納出單項式乘單項式法則. 借助問題1的活動經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)其依據(jù)是乘法的交換律與結合律.

設計意圖 通過兩道具體的單項式乘單項式運算，讓學生體會“數(shù)式通性”的特點. 激發(fā)學生思考運算的法則及其依據(jù)，經(jīng)歷猜想、運算、驗證、歸納等過程. 在概括單項式乘法法則過程中，體會從特殊到一般的思維過程. 學生先通過自由發(fā)言，闡述自己的觀點，再通過相互補充加以反思，最后完成對法則的抽象，在概括法則的過程中培養(yǎng)學生的語言表達能力.

3. 總結歸納

問題3 計算下列各式：

（1）a（b+c+d）;

（2）（a+b）（c+d）.

追問1 第（1）題與第（2）題分別是什么運算？如何運算？依據(jù)是什么？

【師生活動】 學生先獨立思考，再小組交流. 第（1）題是單項式乘多項式，感悟其運算的依據(jù)（乘法分配律）;第（2）題是多項式乘多項式，借助第（1）題經(jīng)驗，從運算過程來看，把其中一個多項式看成一個整體，運用乘法分配律進行轉化;同時從運算結果來看，多項式乘多項式也可以直接轉化為單項式乘單項式，為概括多項式乘法法則奠定基礎.

追問2 你能從形的角度驗證第（1）題與第（2）題嗎？拼圖分析.

【師生活動】 給予學生充分的時間拼圖驗證，借助單項式乘單項式圖形的經(jīng)驗，類比拼出描述單項式乘多項式、多項式乘多項式的圖形，體會類比、轉化、數(shù)形結合思想.

追問3 你能歸納單項式乘多項式、多項式乘多項式的法則嗎？

【師生活動】 回顧兩道題的解決的依據(jù)，歸zT4qAdxJJlggbPTBTEZpEQ==納單項式乘多項式、多項式乘多項式的法則. 單項式乘多項式：先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加;多項式乘多項式：先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加. 感悟運算的依據(jù)（乘法分配律），進一步體會整體、轉化的思想.

設計意圖 在掌握單項式乘單項式的基礎上，激發(fā)學生用轉化的思想解決問題，同樣從數(shù)與形兩個角度來思考問題. 用語言概括發(fā)現(xiàn)的結論，抽象出單項式乘多項式、多項式乘多項式法則. 在教師的引導下進一步感知，通過合作交流，得出整式乘法之間的關聯(lián)，獲取新知，體會類比、轉化、數(shù)形結合的思想.

4. 拓展延伸

問題4 計算下列各式：

（1）（a+b）（a-b）;

（2）（a+b）2;

（3）（a-b）2.

【師生活動】 學生通過運算鞏固整式乘法，從數(shù)的角度思考，將其轉化為多項式乘多項式來解決.

追問1 第（3）題你還有哪些方法？

【師生活動】 學生自主探究，合作共贏. 常見兩種解決思路，一是類比第（2）題的方法，（a-b）2=（a-b）·（a-b），轉化為多項式乘多項式來解決，體會方法一致性;二是利用第（2）題結論，（a-b）2=[a+（-b）]2，體會結論一致性.

追問2 你能從形的角度驗證這三題嗎？拼圖分析.

【師生活動】 學生經(jīng)歷獨立構圖—小組交流—完善圖形的過程. 在解決過程中，學生會感到有困難，教師給予充足的時間，并適時介入，引導學生觀察等式的結構特征，再構造圖形表示相關的面積，類比學習.

追問3 觀察這三個式子的結構，說說其特點.

【師生活動】 學生從多個角度觀察三個式子的特殊性（相對于多項式乘多項式），然后嘗試用文字語言概括，最后歸納三個式子的結構特征.

設計意圖 以三道練習來鞏固整式乘法法則，在解決問題的過程中進行一般化，進而發(fā)現(xiàn)乘法公式，在式結構中理解乘法公式，在形結構中深化乘法公式的認識. 通過不同角度驗證乘法公式的正確性，讓學生學會辯證地看待問題，從而加深對公式的理解和公式結構的掌握. 以形助文，以文構形，形文結合，讓學生加深對公式結構特征的理解和掌握.

5. 回顧反思

（1）本節(jié)課研究了什么？

（2）如何研究的？涉及了哪些思想方法？

（3）接下來你想研究什么？

【師生活動】 師生共同反思回顧，形成整式乘法的結構化知識，習得研究知識的思路.

設計意圖 問題由易到難，逐層遞進，首先是對本節(jié)課知識的回顧，突出規(guī)范的語言表述;其次是研究思路的再現(xiàn)，突出研究方法的重要性;最后是研究內容的延續(xù)，將研究對象延伸到接下來的因式分解，讓學生產(chǎn)生一種學習的期待，延伸到整式的除法，以開啟對未知領域的探索. 這樣的回顧反思，發(fā)生于課內，延伸至課外，一脈相承，使得知識更加系統(tǒng)化、結構化，有利于學生初步形成知識網(wǎng)絡. 對學生數(shù)學素養(yǎng)的形成有著很好的鞏固、促進的作用.

教學思考

如開篇所述，傳統(tǒng)的課時教學，不利于學生發(fā)展核心素養(yǎng).

1. 把握單元教學內容，喚醒自主建構意識

新課標認為單元整體教學設計要整體分析數(shù)學內容本質和學生認知規(guī)律，合理整合教學內容，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環(huán)節(jié)，整體設計，分步實施，促進學生對數(shù)學學習內容的整體理解與把握[1]. 數(shù)學知識不是簡單的知識點排列和堆砌，所有知識之間都存在著不可割裂的內在聯(lián)系，是一個有結構的有機整體. 喚醒自主意識是自主建構的重點，通過對單元內容的深度理解，提煉結構化知識體系;結合學生的學情需要，提升“線性知識”之間的關聯(lián)性，形成系統(tǒng)化的認知結構;創(chuàng)設適切的情境，激發(fā)學生的好奇心，不斷形成自主學習的意識，提升自主建構的有效性. 本節(jié)課以“整式乘法”為主題，先從數(shù)與形兩個角度探究單項式與單項式相乘，再通過類比、轉化自主建構單項式與多項式、多項式與多項式相乘，最后經(jīng)歷一般到特殊的思維過程，建構出乘法公式，讓學生經(jīng)歷用整體、聯(lián)系、發(fā)展的數(shù)學眼光看待問題，形成科學的思維習慣，讓自主建構在高位發(fā)生，發(fā)展學生核心素養(yǎng).

2. 優(yōu)化單元教學設計，提升自主建構能力

單元教學的價值在于用整體統(tǒng)領的觀點來搭建知識結構，用類比聯(lián)想的策略來滿足自然生長，用自主建構的方法來積累活動經(jīng)驗. 自主建構需要重視學生已有的原始概念，對學生來說，已有的知識和經(jīng)驗對自主建構知識、促進思維發(fā)展具有重要作用;對教師來說，教學是學生自主建構知識的過程，教師需要優(yōu)化教學設計，喚起學生已有的感性認識，聯(lián)系學生已學知識進行教學. 自主建構需要學生之間的合作交流，通過合作交流相互質疑彼此觀點的對立、指出對方的邏輯矛盾，可以更好地引發(fā)學生的認知沖突和自我反思，有助于學生促進彼此建構出新的假設和產(chǎn)生更深層的理解. 本節(jié)課搭建了以“整式乘法”為主題的單元知識結構，通過優(yōu)化設計，引領學生在已有知識經(jīng)驗的基礎上進行自主建構，從整體上把握知識的脈絡，形成對未來學習有支撐意義的數(shù)學知識體系. 學生通過自主建構，習得結構化知識體系與研究思路，逐步實現(xiàn)從“學會”到“會學”的學習能力的躍遷.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2022.