充分條件和必要條件作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),同時(shí)也是數(shù)學(xué)推理的重要依據(jù),所涉及題型是難點(diǎn),也是易錯(cuò)題型.在判斷充分條件和必要條件時(shí),包含了充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件和既不充分也不必要條件四種結(jié)果.本文基于多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),對(duì)充分條件和必要條件相關(guān)題型進(jìn)行梳理,借助集合關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為取值范圍問(wèn)題,使問(wèn)題具體化,以期幫助讀者輕松快速求解此類問(wèn)題.
1 集合中的充分條件和必要條件
對(duì)于命題p 和q,若p ?q,則p 是q 的充分條件,q 是p 的必要條件;若p?q,且q ?/p,則p 是q的充分不必要條件,q 是p 的必要不充分條件;若p?q,則p 與q 互為充要條件.
在集合中,設(shè)兩個(gè)集合A 和B,若集合A 是集合B 的真子集,即A ?B,則有x∈A ?x∈B,也就是說(shuō)“x∈A”是“x∈B”的充分條件,“x∈B”是“x∈A ”的必要條件.受此啟發(fā),若把集合A 看作一個(gè)命題,集合B 也看作一個(gè)命題,則當(dāng)A ?B 時(shí),A 是B 的充分不必要條件,B 是A 的必要不充分條件;當(dāng)A =B 時(shí),A與B 互為充要條件;當(dāng)A 不包含于B,且B 不包含于A 時(shí),A 與B 互為既不充分也不必要條件.
例1 (2020年天津卷2)設(shè)a∈R,則“a>1”是“a2>a”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解析
根據(jù)上述的思想方法分析,設(shè)命題p 為a>1,命題q 為a2>a,而由不等式a2>a,解得a<0或a>1,故命題q 可轉(zhuǎn)化為a<0或a>1,所以p?q,且q ?/p,則p 是q 的充分不必要條件,故選A.
點(diǎn)評(píng)
這種題型體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象,通過(guò)上面的例題,不難發(fā)現(xiàn)利用這種思想方法解決這類問(wèn)題的一般步驟:第一步,根據(jù)已知條件定好“元素”,這個(gè)“元素”是兩個(gè)命題主要圍繞的方面,前后要統(tǒng)一;第二步,設(shè)集合,兩個(gè)命題涉及的“元素”各為一個(gè)集合;第三步,對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn),將兩個(gè)集合化為最簡(jiǎn)形式;第四步,根據(jù)“小推大”確定關(guān)系,要根據(jù)元素明確兩個(gè)集合之間的關(guān)系;第五步,下結(jié)論,即根據(jù)集合關(guān)系下結(jié)論.
2 解題思想
充分條件和必要條件就是在集合的基礎(chǔ)之上進(jìn)行學(xué)習(xí)的,現(xiàn)在把這個(gè)問(wèn)題放在集合問(wèn)題上來(lái)討論,相當(dāng)于是回歸基礎(chǔ).經(jīng)過(guò)梳理發(fā)現(xiàn),充分條件和必要條件題型均可以轉(zhuǎn)化為取值范圍的問(wèn)題處理,即“小范圍推大范圍”,故在解決充分條件和必要條件問(wèn)題時(shí),030511e0a49b8116b7cfeb916acdfe9b只需要將問(wèn)題研究的對(duì)象轉(zhuǎn)化為一個(gè)統(tǒng)一方向的取值范圍問(wèn)題,再由“小范圍推大范圍”下定結(jié)論即可.
例2 (2023年全國(guó)甲卷理7)“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析
由sin2α+sin2β=1,可得sin2α=cos2β,即sinα=±cosβ,所以α=kπ+π/2±β(k∈Z).由sinα+cosβ=0,可得sinα=-cosβ,即α=2kπ+3π/2±β(k∈Z),所以sinα+cosβ=0?sin2α+sin2β=1,但sin2α+sin2β=1?/cosα+cosβ=0,故選B.
點(diǎn)評(píng)
該題是三角函數(shù)問(wèn)題,對(duì)命題進(jìn)行化簡(jiǎn)后,不妨設(shè)
A ={α|α=kπ+π/2±β,k∈Z},
B={α|α=2kπ+3π/2±β,k∈Z},
很明顯有B ?A ,所以“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的必要不充分條件.將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合之后,抽象問(wèn)題具體化了,但其關(guān)鍵是要認(rèn)定統(tǒng)一研究方向,即轉(zhuǎn)化為同一類元素的集合.
3 應(yīng)用舉例
經(jīng)分析總結(jié),考查充分條件和必要條件的題型主要有兩類:一類是基本知識(shí)、概念、推理和定理,這類問(wèn)題只要基礎(chǔ)牢固,記住相關(guān)概念、定理和推論即可;另外一類是知識(shí)的應(yīng)用,則可以利用本文提供的思想方法求解,該方法既快速又準(zhǔn)確.下面將這一思想推廣到其他知識(shí)與充分條件及必要條件相結(jié)合的情況.
3.1 基礎(chǔ)題型
例3 (2023年北京卷8)若xy≠0,則“x+y=0”是“y/x +x/y =-2”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析
由xy≠0,以及yx +xy =-2,可得y2+x2/xy =-2,即(x+y)2 =0,所以“x +y =0”是“y/x +x/y =-2”的充要條件,故選C.
點(diǎn)評(píng)
該題型是對(duì)一些基礎(chǔ)知識(shí)的直接考查,求解這類問(wèn)題不需要過(guò)多解題技巧和策略,根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)可以將題設(shè)中的兩個(gè)命題進(jìn)行化簡(jiǎn),然后再根據(jù)集合關(guān)系判定結(jié)論即可.
3.2 對(duì)知識(shí)的融合應(yīng)用
1)與不等式相結(jié)合
例4 對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,“a<b<0”是“b/a <1”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析
設(shè)命題p 為a<b<0,命題q 為b/a<1.命題q可化為當(dāng)a<0時(shí),a<b,當(dāng)a>0時(shí),a>b.根據(jù)“小范圍推大范圍”,p?q 且q ?/p,所以p 是q 的充分不必要條件,故選A.
2)與函數(shù)相結(jié)合
例5 “函數(shù)y=-x3+ax 在(0,1)上是增函數(shù)”是“實(shí)數(shù)a>3”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析
設(shè)命題p 為函數(shù)y=-x3+ax 在(0,1)上是增函數(shù),命題q 為實(shí)數(shù)a>3,因?yàn)楹瘮?shù)y=-x3+ax 在(0,1)上是增函數(shù),則當(dāng)x ∈(0,1)時(shí),y′≥0恒成立.因?yàn)閥=-x3+ax,所以y′=-3x2+a.設(shè)g(x)=-3x2+a,則函數(shù)g(x)的圖像是開(kāi)口向下且對(duì)稱軸為x=0的拋物線,所以g(x)=-3x2+a 在(0,1)上單調(diào)遞減,故gmin(x)=g(1)=-3+a,則-3+a≥0,解得a≥3.此時(shí)p 為{a|a≥3},q 為{a|a>3},則根據(jù)“小范圍推大范圍”,有q?p,且p?/q,所以“函數(shù)y=-x3+ax 在(0,1)上是增函數(shù)”是“實(shí)數(shù)a>3”的必要不充分條件,故選B.
3)與數(shù)列相結(jié)合
例6 (2023年全國(guó)Ⅰ卷7)記Sn 為數(shù)列{an }的前n 項(xiàng)和,設(shè)甲:{an }為等差數(shù)列;乙:{Sn/n }為等差數(shù)列,則( ).
A.甲是乙的充分不必要條件
B.甲是乙的必要不充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
解析
對(duì)于甲,設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則{an}的前n 項(xiàng)和Sn =na1+n(n-1)d/2 ,故Sn/n =a1+(n-1)d/2.對(duì)于乙,{Sn/n }為等差數(shù)列,不妨設(shè)首項(xiàng)為p,公差為q,則Sn/n =p+(n-1)q,即Sn =np+n(n-1)q,所以甲是乙的充要條件,故選C.
4)與向量相結(jié)合
例7 (2017年北京卷文7)設(shè)m ,n 為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m =λn”是“m ·n<0”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析
“存在負(fù)數(shù)λ,使得m =λn”,說(shuō)明向量m 與向量n 的方向相反,即兩個(gè)向量的夾角為π.而根據(jù)向量數(shù)量積的定義,由“m ·n<0”得到向量m與向量n 的夾角取值范圍是(π/2,π],所以該題應(yīng)該以兩個(gè)向量m 與n 的夾角為元素.顯然,π∈(π/2,π],所以“存在負(fù)數(shù)λ,使得m =λn”是“m ·n<0”的充分不必要條件,故選A.
5)與三角函數(shù)相結(jié)合
例8 (2020年北京卷9)已知α,β∈R,則“存在k∈Z 使得α =kπ+ (-1)kβ”是“sinα =sinβ”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析
該題是充分條件和必要條件與三角函數(shù)相結(jié)合的題型,題目看似比較復(fù)雜,但是從兩個(gè)命題看,可以看作以角α 和β 的關(guān)系為元素的集合.設(shè)集合A 為“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”.
因?yàn)閗∈Z,所以當(dāng)k 為偶數(shù)時(shí),有
α=2nπ+β(n∈Z),
即α 與β 是終邊相同的角.
當(dāng)k 為奇數(shù)時(shí),有
α+β=(2n-1)π(n∈Z).
設(shè)集合B 為“sinα=sinβ”,由sinα=sinβ,可得α=2nπ+β(n∈Z)或α+β=(2n-1)π(n∈Z),所以有A =B,則“存在k∈Z 使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要條件,故選C.
6)與立體幾何相結(jié)合
例9 (2020年浙江卷6)已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線m ,n,l,則“m ,n,l 在同一平面”是“m ,n,l 兩兩相交”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析
根據(jù)題意,兩個(gè)命題所講的是三條直線m ,n,l 的位置關(guān)系,故可以把兩個(gè)命題看作兩個(gè)以三條直線m ,n,l 的位置關(guān)系為元素的集合.設(shè)“m ,n,l 在同一平面”為集合A ,則A 的元素包括m ,n,l 兩兩相交;m ∥n∥l,且共面;在m ,n,l 中,其中有兩條直線平行,剩下的一條直線與這兩平行直線相交.設(shè)“m ,n,l 兩兩相交”為集合B,則B ?A ,所以“m ,n,l 在同一平面”是“m ,n,l 兩兩相交”的必要不充分條件,故選B.
7)與對(duì)數(shù)、指數(shù)相結(jié)合
例10 設(shè)a,b 都是不等于1的正數(shù),則“3a >3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析
該題型實(shí)質(zhì)和不等式一樣,由“3a >3b >3”得a>b>1,由“l(fā)oga3<logb3”得0<b<a<1或1<b<a 或0<a<1<b,從取值范圍來(lái)說(shuō),0<b<a<1或1<b<a 或0<a<1<b 的范圍比a>b>1大,則“3a >3b>3”是“l(fā)oga3<logb3”的充分不必要條件,故選A.
8)與復(fù)數(shù)相結(jié)合
例11 設(shè)z1,z2∈C,則“z1,z2 中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“z1-z2 是虛數(shù)”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析
設(shè)“z1,z2 中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”為集合A ,則集合A 的元素包括z1 為實(shí)數(shù),z2 為虛數(shù);z1 為虛數(shù),z2 為實(shí)數(shù);z1,z2 均為虛數(shù).設(shè)“z1-z2是虛數(shù)”為集合B,則集合B 中的元素包括z1 為實(shí)數(shù),z2 為虛數(shù);z1 為虛數(shù),z2 為實(shí)數(shù);z1,z2 均為虛數(shù),但虛部不相等.由此可知B ?A ,所以“z1,z2 中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“z1-z2 是虛數(shù)”的必要不充分條件,故選B.
4 小結(jié)
以上從不同的知識(shí)方面對(duì)方法進(jìn)行推廣應(yīng)用,體現(xiàn)不同方式的轉(zhuǎn)化方法,雖然不是所有這種題均能直接或轉(zhuǎn)化為取值范圍的問(wèn)題來(lái)解決,但是梳理發(fā)現(xiàn)這種題目可以分為兩類:一類是考查不同知識(shí)的基礎(chǔ),這類問(wèn)題按照定義和定理進(jìn)行推理就可以了,如2018年浙江卷第6題,考查立體幾何中的線面平行的判定定理;另外一類就是考查對(duì)各個(gè)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力問(wèn)題,這類問(wèn)題可以用本文的方法解決.總而言之,解決這類問(wèn)題的一般思想:一是題型識(shí)別,判斷題目是不是考查基本定義、定理和推論,如果是,就根據(jù)相關(guān)知識(shí)判斷即可;二如果考查的不是基本定義、定理和推論,那就按照提供的思想進(jìn)行,找好集合的元素;三就是根據(jù)已知求出兩個(gè)命題中確定的元素的取值范圍;四是根據(jù)“小范圍推大范圍”確定關(guān)系,再根據(jù)集合關(guān)系下結(jié)論.
本文雖然只列舉了部分不同知識(shí)與充分條件及必要條件相結(jié)合的題目,但是其他知識(shí)方面也是一樣的情況,將命題轉(zhuǎn)化為集合,利用集合關(guān)系判斷充分條件和必要條件.求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是要準(zhǔn)確地定好“元素”,把“元素”定好就可以將原問(wèn)題完全轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系問(wèn)題,則問(wèn)題就具體化了.但也不能隨意定“元素”,要根據(jù)題目要求和已知條件來(lái)定,兩個(gè)集合所包含的“元素”應(yīng)該是同一類.
綜上,借集合之石攻充分條件和必要條件之玉,即利用集合思想求解與充分條件和必要條件有關(guān)的題目,思路更清晰、解題速度更快、準(zhǔn)確率更高.
(完)