摘 要：本文先就一道模擬題給出了解答，基于該題題設(shè)的情境提出了更一般化的問(wèn)題，并分別從幾何和積分兩個(gè)角度定量地對(duì)問(wèn)題作出了解答，得出物體在自身重力作用下沿14光滑圓弧下滑的時(shí)間小于其沿直線(xiàn)下滑時(shí)間的結(jié)論。文章最后簡(jiǎn)單介紹了最速降線(xiàn)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出了物體沿不同軌道下滑時(shí)間長(zhǎng)短關(guān)系的一般規(guī)律。希望能為此類(lèi)問(wèn)題的解答提供思路。

關(guān)鍵詞： 光滑圓??；切向加速度；速度；下滑時(shí)間；Tracker

1 試題再現(xiàn)

如圖1所示，甲、乙中半徑為R的圓弧均與水平面相切，對(duì)應(yīng)的圓心角θ均很?。ㄐ∮?°，圖中沒(méi)有按比例畫(huà)出），圓弧光滑，水平面粗糙且均勻。在圖1甲中，質(zhì)量為m的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在頂端由靜止開(kāi)始沿圓弧自由滑下，在水平面上滑行了s的距離后停下。在圖1乙中，同樣的物體從靜止開(kāi)始沿固定光滑板滑下，不考慮拐角處機(jī)械能的損失，物體在水平面上同樣滑行了s的距離后停下。甲、乙中物體的初始高度相同，均為h，則（" ）。

A. 甲、乙中水平面與物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，且均為μ＝hs

B. 甲、乙中物體下滑的過(guò)程中重力做功的平均功率相同

C. 從開(kāi)始下滑到停止的過(guò)程中，圖1甲中重力的沖量比圖1乙中的小

D. 從開(kāi)始下滑到停止的過(guò)程中，圖1甲中除重力外的其他力的合力對(duì)物體做的功比圖1乙中的多

2 試題解答與問(wèn)題提出

本題是2023屆湖南師大附中高三第二次月考卷的選擇壓軸題，參考答案為A、C選項(xiàng)。

2.1 試題解答

本題的A、D選項(xiàng)較易判斷，甲、乙兩情境中物體在下滑過(guò)程中均只有重力做功，在水平面上滑行過(guò)程中均只有摩擦力做功， 由于全過(guò)程中支持力的方向始終與速度的方向垂直，所以支持力不做功。由動(dòng)能定理有mgh-μmgs＝0，可得μ＝hs。除重力外的其他力的合力對(duì)物體做的功即摩擦力對(duì)物體做的功，顯然是一樣大的。

B、C選項(xiàng)中的平均功率和沖量均與物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間有關(guān)。由于物體剛運(yùn)動(dòng)到水平面時(shí)的速度相同，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式Δv＝aΔt可知，兩情境中物體在水平面上的滑行時(shí)間相等，故關(guān)鍵在于比較物體下滑過(guò)程的時(shí)間長(zhǎng)短。由題可知圓弧所對(duì)的圓心角θ很小，可認(rèn)為兩情境中物體下滑的路程一樣長(zhǎng)，但與圖1乙相比，圖1甲中物體在開(kāi)始下滑的前一段時(shí)間內(nèi)，由于獲得較大的切向加速度，下滑過(guò)程的平均速率較大，所以甲中物體下滑的時(shí)間更短一些，由P＝mght下滑和I＝mg（t下滑＋t水平），可知C選項(xiàng)正確。

2.2 問(wèn)題提出

不難看出，本題的出題者在題干中告知θ很小的用意在于讓學(xué)生根據(jù)極限思想判斷出兩情境中物體下滑的路程長(zhǎng)短一致。同時(shí)又要考慮甲中物體的切向加速度剛開(kāi)始時(shí)大于乙中物體的加速度，所以甲中物體由于先獲得較大速度而下滑時(shí)間更短。

那么，若圓弧所對(duì)的圓心角θ取一般值，即不能認(rèn)為兩情境中物體下滑路程相等時(shí)，物體的下滑時(shí)間又該如何比較？很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為，由于物體沿圓弧下滑與沿直線(xiàn)下滑的初末速率分別相等，但因沿圓弧下滑的路程更長(zhǎng)，所以沿圓弧下滑的時(shí)間也更長(zhǎng)。這一判斷是否正確呢？我們可嘗試定性地畫(huà)出兩情境中物體下滑過(guò)程的速率—時(shí)間圖像（如圖2所示）。圖中曲線(xiàn)Ⅰ、Ⅱ分別表示物體沿圓弧下滑和沿直線(xiàn)下滑的速率—時(shí)間圖像，二者與橫軸圍成的面積分別為S1、S2。在曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中，速率—時(shí)間圖像與t軸所圍面積表示物體的路程（軌跡長(zhǎng)度），因此S1與S2的比值等于圓弧長(zhǎng)度與其所對(duì)弦長(zhǎng)之比。故欲比較t1與t2的大小關(guān)系，關(guān)鍵在于如何求出S1（含t1的表達(dá)式），即找出曲線(xiàn)Ⅰ的函數(shù)關(guān)系，而這一關(guān)系卻是比較復(fù)雜的。［1］因此該問(wèn)題還需要進(jìn)一步探究。

3 問(wèn)題解決

為定量地比較兩情境中物體下滑時(shí)間的長(zhǎng)短，本文分別從初等幾何和微積分兩個(gè)角度入手給出解答。 為便于問(wèn)題研究，設(shè)圓弧所對(duì)的圓心角θ為90°，半徑為R，圓弧最低點(diǎn)B的切線(xiàn)水平?？梢暈橘|(zhì)點(diǎn)的物體在重力作用下沿光滑圓弧由頂端A下滑至底端B的時(shí)間記為t1，沿圓弧所對(duì)弦的光滑直線(xiàn)下滑至底端B的時(shí)間記為t2。

3.1 用幾何方法求解

作出線(xiàn)段AB所在的等時(shí)圓，具體作法為（如圖3所示）：先過(guò)A點(diǎn)作圓弧的切線(xiàn)AD，再過(guò)圓弧的圓心O作AB的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)與AD的交點(diǎn)即為等時(shí)圓的圓心O′（圖中未畫(huà)出），最后以O(shè)′ 為圓心，O′A為半徑作出等時(shí)圓。易證等時(shí)圓的半徑與圓弧半徑R相等，根據(jù)等時(shí)圓模型可知，物體從A點(diǎn)沿直線(xiàn)下滑至B點(diǎn)與從A點(diǎn)做自由落體運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)所用時(shí)間相等（讀者可自行證明）。所以可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較物體沿圓弧下滑的時(shí)間與沿線(xiàn)段AD做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

再作相關(guān)輔助線(xiàn)，在物體沿圓弧下滑過(guò)程中任取一段極小圓弧Δs，其所對(duì)的圓心角大小為2Δθ，過(guò)C點(diǎn)作圓弧Δs的圓周角Δθ，與AD交于E、F兩點(diǎn)，作EG⊥CF。由于Δθ極小，可認(rèn)為EG亦垂直于CE，所以∠FEG＝θ，由幾何關(guān)系可得h＝AE＝2R tanθ，CE＝2Rcosθ，由極限思想可得EG＝CEΔθ＝2RcosθΔθ，所以線(xiàn)段AD上的線(xiàn)元Δh＝EF＝EG

cosθ＝2Rcos2θΔθ，且Δh與Δs是一一對(duì)應(yīng)的。

在圓弧軌道上，由幾何關(guān)系可得Δs＝2RΔθ，物體運(yùn)動(dòng)Δs的速率v＝2gR sin2θ ，故物體運(yùn)動(dòng)Δs的時(shí)間

Δt1＝Δsv＝Rg sinθcosθ ·Δθ。

物體沿AD做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由功能關(guān)系得

vE＝2g·2Rtanθ ，故物體經(jīng)過(guò)EF的時(shí)間

Δt2＝ΔhvE＝Rg sinθcosθ ·Δθcosθ。

則Δt1Δt2＝cosθ＜1，θ∈0，π4，即Δt1＜Δt2，累加后t1＝Δt1，t2＝Δt2 ，即得到t1＜t2。

該方法巧用等時(shí)圓模型，［2］但其中處處滲透著極限思想，作為教師，在教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生用極限思想解題的能力。

3.2 用積分法求解

如圖4所示，當(dāng)物體沿圓弧AB下滑時(shí)，設(shè)下滑過(guò)程中的某一時(shí)刻其位置與圓心O的連線(xiàn)與水平方向的夾角為θ。

由機(jī)械能守恒定律有mgRsinθ＝12mv2，得v＝2gRsinθ ，物體下滑過(guò)程中的切向加速度aτ＝

gcosθ，根據(jù)aτ＝dvdt得

dt＝dvaτ＝2Rg1cosθdsinθ ＝R2g1sinθ dθ。

以t＝0，θ＝0為初值條件對(duì)上式兩邊同時(shí)積分，可得

∫t10

dt＝∫π20R2g1sinθ dθ。

解得t1＝R2g∫π201sinθ dθ，式中∫π201sinθ dθ的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，但可利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。筆者用Maple軟件計(jì)算得到∫π201sinθ dθ≈2.62206，則t1＝

2.62206R2g≈1.8541Rg。

當(dāng)物體沿直線(xiàn)AB下滑時(shí)，其加速度a＝gcos45°，AB＝2R，由2R＝12gcos45°·t22得t2＝2Rg。

所以t1＜t2，這與用幾何方法得到的結(jié)論是一致的。

不難看出，用積分法求解相比幾何法的過(guò)程更簡(jiǎn)潔，但其中涉及高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，且依賴(lài)計(jì)算機(jī)軟件的輔助計(jì)算，所以作為教師，應(yīng)充分適應(yīng)當(dāng)下的信息化環(huán)境，多掌握并利用各種軟件輔助教學(xué)。

4 拓展與總結(jié)

上文通過(guò)兩種定量的方法得到了物體在自身重力作用下沿14光滑圓弧下滑的時(shí)間小于沿直線(xiàn)下滑時(shí)間的結(jié)論。那么物體沿圓弧軌道下滑的時(shí)間是否是從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短時(shí)間呢？事實(shí)并非如此，物體沿著什么樣的曲線(xiàn)下滑所需時(shí)間最短，這是物理學(xué)發(fā)展史上著名的最速降線(xiàn)問(wèn)題。最速降線(xiàn)是圓環(huán)在直線(xiàn)上無(wú)滑動(dòng)摩擦滾動(dòng)時(shí)，圓環(huán)上某一定點(diǎn)所形成的軌跡，因此最速降線(xiàn)也被稱(chēng)為擺線(xiàn)或旋輪線(xiàn)。［3］顧名思義，物體沿著最速降線(xiàn)從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)，所需的時(shí)間是最短的。最速降線(xiàn)還有許多有趣的性質(zhì)與應(yīng)用，例如等時(shí)性和應(yīng)用于古代建筑屋頂設(shè)計(jì)等。［4］

最后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)并利用Tracker軟件追蹤物體的運(yùn)動(dòng)情況得到了實(shí)驗(yàn)的一般規(guī)律。如圖5所示，A、B是空間中存在高度差且不在同一豎直線(xiàn)上的兩定點(diǎn)，l1、l2、l3、l4是從A點(diǎn)到B點(diǎn)的不同軌道，其中l(wèi)1為直線(xiàn)，l2為圓弧， l3為最速降線(xiàn)，l4為AOB區(qū)域內(nèi)任意一條只有一個(gè)凹側(cè)的曲線(xiàn)。

將一質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)由靜止釋放（下滑過(guò)程中不考慮摩擦力），則質(zhì)點(diǎn)沿l3從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)用時(shí)最短，沿l1下滑用時(shí)最長(zhǎng)，沿l2、l4下滑用時(shí)介于二者之間。即沿曲線(xiàn)下滑所用的時(shí)間均小于沿直線(xiàn)AB下滑所用的時(shí)間，并且該曲線(xiàn)與最速降線(xiàn)擬合程度越高，用時(shí)越短。

參考文獻(xiàn)

［1］崔延鋒.再談速度何處最大［J］.物理教師，2019，40（4）：64-65．

［2］王進(jìn)峰.“等時(shí)圓”的一般規(guī)律［J］.物理教學(xué)，2022，44（4）：52-53．

［3］程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程 力學(xué)篇 第2版［M］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013：69-71．

［4］鄭琦.最速降線(xiàn)及其等時(shí)性［J］.物理與工程，2019，29（6）：45-46，51．