［摘 要］ 數(shù)學(xué)教育既要遵循科學(xué)性，又要凸顯藝術(shù)性. 藝術(shù)與科學(xué)的本質(zhì)區(qū)別在于：科學(xué)研究的是客觀規(guī)律，而藝術(shù)更強(qiáng)調(diào)獨(dú)特性. 在教育領(lǐng)域，永遠(yuǎn)找不到兩個(gè)完全一樣的情境，因?yàn)檎n堂會隨著教學(xué)活動的推進(jìn)而不斷變化. 文章從以下幾點(diǎn)對高中數(shù)學(xué)課堂的動態(tài)生成展開闡述：順應(yīng)學(xué)生思維，自然生成；借助典型錯(cuò)誤，促進(jìn)生成；探索教學(xué)方法，驅(qū)動生成.

［關(guān)鍵詞］ 動態(tài)生成；思維；錯(cuò)誤

課堂預(yù)設(shè)是指教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)而設(shè)計(jì)的教學(xué)方案；課堂生成是指教學(xué)活動過程中，因?yàn)闆]有出現(xiàn)課堂預(yù)設(shè)的信息或目標(biāo)，教師結(jié)合當(dāng)時(shí)的實(shí)際情況靈活調(diào)控課堂教學(xué)方向，更新教學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)超越原計(jì)劃完成教學(xué)任務(wù)的過程. 預(yù)設(shè)與生成是課堂教學(xué)的重要組成部分. 精心預(yù)設(shè)能促進(jìn)課堂的成功，而預(yù)設(shè)背景下的“生成”更精彩.

順應(yīng)學(xué)生思維，自然生成

數(shù)學(xué)是思維的體操，不論是課前預(yù)習(xí)、課堂教學(xué)、課后作業(yè)，還是應(yīng)試等，都離不開思維的支撐. 葉瀾教授認(rèn)為：課堂是向未知方向前進(jìn)的旅程，意外隨時(shí)都有可能發(fā)生，正是這些意外促成了課堂美麗的風(fēng)景［1］. 學(xué)生思維的變化是課堂預(yù)設(shè)無法完全把握的，正是這些變化讓課堂變得更加生動，富有生命力.

縱然教師在課前都會結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，做好精心預(yù)設(shè)，但課堂教學(xué)是一個(gè)動態(tài)過程，學(xué)生的思維會隨著課堂教學(xué)的推進(jìn)而發(fā)生一些奇妙的變化，靈感與奇思妙想就在這個(gè)時(shí)候不期而至. 面對這種情況，教師應(yīng)敏捷地捕捉到學(xué)生思維的火花，應(yīng)用自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與智慧，順應(yīng)學(xué)生的思維迅速作出判斷并調(diào)整教學(xué)方向，使課堂生成自然發(fā)生.

例1 在圖1的平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x+1）2+y2=16，點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)E為圓C上的動點(diǎn)，點(diǎn)G為圓C上的另一動點(diǎn)，EF⊥FG，點(diǎn)M為線段EG的中點(diǎn). 判斷：線段OM的長度是不是定值？如果是，請求出；若不是，請說明.

1. 課堂預(yù)設(shè)

預(yù)設(shè)1：結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，分別連接CM，CG，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)CM2+GM2=CG2=16. 在Rt△FEG中，已知MF是斜邊GE的中線，所以MF與GM相等，由此可知MC2+MF2=16. 假設(shè)點(diǎn)M（x，y），則（x0+1）2+y+（x0-1）2+y=16，經(jīng)整理，得x+y=7，即OM2=x+y=7. 由此確定線段OM的長度是定值.

預(yù)設(shè)2：設(shè)y=kx+b為線段EG所在直線的方程，點(diǎn)E，G的坐標(biāo)分別為（x，y），（x，y），列方程組（x+1）2+y2=16，

y=kx+b，消去y，得（1+k2）x2+（2+2kb）x+b2=15. 根據(jù)EF⊥FG，可知（x-1）（x-1）+yy=0，即（x-1）（x-1）+yy=xx-（x+x）+（kx+b）（kx+b）+1=（k2+1）xx+（kb-1）（x+x）+b2+1=b2-15++b2+1=0. 經(jīng)化簡，得b2=7k2+6.

因?yàn)辄c(diǎn)M是線段EG的中點(diǎn)，所以x=，y=，所以O(shè)M2=x+y=. 把式子b2=6+7k2代入其中進(jìn)行化簡，可得OM2=7. 由此確定線段OM的長度是定值.

2. 課堂生成

雖然教師在預(yù)設(shè)環(huán)節(jié)將兩種解題思路都考慮到了，但在實(shí)際教學(xué)中，沒有完全按照預(yù)設(shè)路徑走，學(xué)生給出了如下思維過程.

因?yàn)辄c(diǎn)E（x，y），G（x，y）都位于圓C上，同時(shí)FG⊥FE，所以列方程組（

x+1）2+y

=16，

（

x+1）2+y

=16，

（

x-1）（

x-1）

+y

y=0，整理該方程組，可得x

+y

=

15-2x，

x

+y

=15-2x，

x

x

+y

y

=x

+x-1.此方程組共有x，y，x，y四個(gè)未知數(shù)，而解這一方程組無法獲得這些未知數(shù)的值，學(xué)生的思維在此處出現(xiàn)了障礙. 教師若選擇置之不理，強(qiáng)行將學(xué)生的解題思路“掰”到預(yù)設(shè)的解題方法上去，難免消減學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 教師若順應(yīng)學(xué)生的思維繼續(xù)前行，不僅能柳暗花明，還能凸顯學(xué)生思維的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

師：獲得x，y，x，y這四個(gè)未知數(shù)的值并非我們解題的最終目標(biāo)，對嗎？我們解題的最終目標(biāo)是判斷MO是否為定值，因此可以換個(gè)角度思考，想辦法避開求這四個(gè)未知數(shù)的具體值——用這四個(gè)未知數(shù)來表示MO2，結(jié)合上述方程組中的三個(gè)等式，可以嘗試通過消除未知數(shù)求解問題.

教師話音剛落，就有學(xué)生提出了以下方法：MO2=

+

=［（x+y）+（x+y）+2（xx+yy）］=7，由此可確定線段OM的長度是定值.

師：太棒了！這就是解析幾何中常常用到的“設(shè)而不求”法，雖然我們無法獲得x，y，x，y這四個(gè)未知數(shù)的具體值，卻不會妨礙“線段OM的長度是定值”這個(gè)結(jié)論的生成.

教師用自己的智慧肯定了學(xué)生的思維價(jià)值，保護(hù)了學(xué)生的思維路徑，同時(shí)又不著痕跡地化解了學(xué)生思維受阻的點(diǎn)，成功讓課堂生成自然發(fā)生. 在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步與學(xué)生一起總結(jié)本題的解題方法，以深化學(xué)生對“設(shè)而不求”法的認(rèn)識. 因此，這是一個(gè)成功的教學(xué)案例，具有一定的參考意義.

<D：＼DW＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（下旬）＼2023年＼2023數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（02期）＼aa-2.tif> 借助典型錯(cuò)誤，促進(jìn)生成

“過程與方法”教學(xué)強(qiáng)調(diào)教師要善于捕捉學(xué)生的錯(cuò)誤，并充分利用錯(cuò)誤的教學(xué)價(jià)值，幫助學(xué)生判斷錯(cuò)誤的根源，尋求糾錯(cuò)方法，以揭示知識的本質(zhì)［2］. 實(shí)踐證明，錯(cuò)誤是課堂動態(tài)生成的良好資源，正如心理學(xué)家蓋耶所言：“不允許學(xué)生犯錯(cuò)，將會錯(cuò)過最有成效的教學(xué)時(shí)刻.”確實(shí)，利用好課堂中一些關(guān)鍵且隱蔽的錯(cuò)誤，不僅能有效啟發(fā)學(xué)生的思維，還能揭示問題的本質(zhì)，提高教學(xué)效率.

例2 若想讓7個(gè)人排成一排，且甲、乙、丙三人為互不相鄰的關(guān)系，存在多少種排隊(duì)情況？

此為典型的排列組合中“相鄰與不相鄰”的問題，解決這一類問題行之有效的方法為“插空法”. 為了激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生明確思考方向，教師對“插空法”先行示范，并適當(dāng)加以練習(xí)，而后再將此題交給學(xué)生解決. 大部分學(xué)生拿到此題后，根據(jù)自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，應(yīng)用“插空法”很快就獲得了答案：存在AA=1440種排隊(duì)情況.

當(dāng)教師認(rèn)為此題求解結(jié)束時(shí)，突然有學(xué)生舉手提出：用“插空法”獲得的確實(shí)是這個(gè)結(jié)果，但用“排除法”卻得出了不同的結(jié)論，具體列式為A-3AA+2AA=2160.

師：你能將想法表達(dá)出來，值得表揚(yáng). 請給大家解釋一下所列式子的意義.

生1：從“排除法”的角度來看，甲、乙相鄰有AA種情況；乙、丙相鄰有AA種情況；甲、丙相鄰有AA種情況. 利用“捆綁法”可得甲、乙、丙三人相鄰有AA種情況. 3個(gè)式子AA都包含有甲、乙、丙三人相鄰的情況，這些情況一共被減了3次，因此需要加上2倍的AA，得到A-3AA+2AA=2160. 但用這種方法來計(jì)算，比用“插空法”多了720種情況，這是為什么呢？

這個(gè)問題成功吸引住了全體師生的注意力，此情此景，教師若回避這個(gè)問題，顯然不是上上之策，于情于理教師都必須解決這位學(xué)生的困惑. 因此，教師順勢將此作為一個(gè)典型的教學(xué)素材加以利用，一方面凸顯了這個(gè)問題的價(jià)值，另一方面可以從根本上幫助學(xué)生解題.

師：學(xué)貴有疑，你所提出的問題非常好！在排列組合類的問題中，探尋一個(gè)錯(cuò)誤解法的根源確實(shí)不那么容易，現(xiàn)在我們就一起來探討：用“排除法”為什么比“插空法”多了720種情況？

（學(xué)生沉默）

師：現(xiàn)在我們一起來分析，當(dāng)甲、乙兩人相鄰時(shí)，丙與他們相鄰存在多少種情況？

生（眾）：AA種. （顯然，錯(cuò)誤的結(jié)果具有先入為主的效應(yīng). ）

師：究竟是不是這么多種呢？我們一起來排排看. 現(xiàn)在我們暫時(shí)不考慮其他四人，就排一排當(dāng)甲、乙捆綁在一起時(shí)，丙與他們相鄰存在多少種情況. 用“甲乙”代表他們捆綁在一起，不可分開.

在教師的提示下，學(xué)生很快就得到下列4種情況：丙“甲乙”、丙“乙甲”、“甲乙”丙、“乙甲”丙.

師：很好，此排列的關(guān)鍵在于將“甲乙”捆綁在了一起. 如果將甲、乙、丙三人捆綁在一起排列，那么存在幾種情況呢？

生2：6種，分別為“甲乙丙”“甲丙乙”“乙丙甲”“乙甲丙”“丙乙甲”“丙甲乙”.

師：非常好！通過這個(gè)簡單的問題，你們有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生頓悟，當(dāng)“甲乙”確定在一起時(shí)，丙無法插入他們的中間. 同理可知，“甲丙”在一起時(shí)，乙不能插入他們的中間；“乙丙”在一起時(shí)，甲也不能插入他們的中間. 由此可知，在算式3AA中，“甲乙丙”在一起的情況有：“甲乙”丙、“乙甲”丙、“丙乙”甲、“乙丙”甲、丙“乙甲”、“甲丙”乙、“丙甲”乙、丙“甲乙”、甲“乙丙”、乙“甲丙”、乙“丙甲”、甲“丙乙”，共有2個(gè)A.

從中可以看出，在算式3AA中，包含的是2個(gè)AA，并非3個(gè)AA，因此A-3AA僅需加上1個(gè)AA，而AA=720，因此多出來的720種情況就顯現(xiàn)出來了?。◣熒妓闪艘豢跉猓?/p>

此過程充分顯示了教師教學(xué)的靈活性與智慧，列舉法的應(yīng)用，使得模糊的問題變得一目了然，學(xué)生在一個(gè)簡單問題的牽引下，順利突破了思維障礙，錯(cuò)解的根源也水落石出. 在實(shí)際教學(xué)中，教師把握好學(xué)生的錯(cuò)誤資源，審時(shí)度勢地利用這些資源幫助學(xué)生追查錯(cuò)誤根源并糾錯(cuò)，不僅能充分暴露思維的障礙點(diǎn)，還能拓寬學(xué)生的視野，開闊學(xué)生的思維，深化學(xué)生對知識本質(zhì)的認(rèn)識，讓課堂在動態(tài)生成中煥發(fā)蓬勃生機(jī).

探索教學(xué)方法，驅(qū)動生成

個(gè)體差異性使每一個(gè)學(xué)生偏好的解題方法不一樣，課堂上豐富多樣的解題方法常能營造出百花齊放的氛圍，讓每一個(gè)學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)適合自己的思維方式. 同時(shí)，“一己之見”無法滿足學(xué)生的思維需求，將各種解題方法匯聚到一起，能讓學(xué)生從中辨析各種方法的優(yōu)劣，從而優(yōu)化解題思路，提高解題能力［3］. 當(dāng)然，集思廣益的解題方法，也是對學(xué)生思維的回應(yīng).

例3 已知直線l的方程為2mx+（1-m2）y-4m-4=0，如果對任意實(shí)數(shù)m，直線l都與一個(gè)定圓呈相切的關(guān)系，則該定圓的方程是什么？

生3：假設(shè)該定圓的方程是（x-x）2+（y-y）2=r2，圓心（x，y）到直線l的距離為半徑r. 由題意可列等式=r，將該式整理成關(guān)于m的方程為（y-r2）m4+4y（2-x）m3+2（2x-y-8x+4y-r2+8）m2+4（xy-4x-2y+8）m+y-8y-r2+16=0. 根據(jù)題設(shè)條件“對任意實(shí)數(shù)m，直線l都與所設(shè)定圓相切”，可知上式為一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)m的恒等式，且m的各次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)都是0，由此可得x=2，y=2，r=2. 因此，該定圓的方程是（x-2）2+（y-2）2=4.

生4：取幾個(gè)m的特殊值，獲得特殊的幾條直線，只要能求出這些直線的內(nèi)切圓，而后通過檢驗(yàn)即可完成求解. 如當(dāng)m=0時(shí)，直線是y=4；當(dāng)m=1時(shí)，直線是x=4；當(dāng)m=-1時(shí)，直線是x=0. 探索發(fā)現(xiàn)，與“y=4，x=4，x=0”三條直線相切的圓為（x-2）2+（y-2）2=4. 檢驗(yàn)可知：從圓心（2，2）到直線l的距離d===2=r，與實(shí)數(shù)m并沒有關(guān)系. 因此，直線l和定圓（x-2）2+（y-2）2=4是相切的關(guān)系.

生5：把直線l的方程進(jìn)行整理，生成關(guān)于m的一元二次方程為ym2-2（x-2）m-y+4=0，令判別式為0，可得4（x-2）2-4y（4-y）=0，經(jīng)整理，得（x-2）2+（y-2）2=4.

分析幾位學(xué)生所展示的解題方法后，師生共同認(rèn)為：第一位學(xué)生所展示的解題方法，思維清晰、脈絡(luò)清楚，缺點(diǎn)是運(yùn)算量大，對變形能力與運(yùn)算能力的要求高；第二位學(xué)生的解題方法從幾個(gè)特殊情況出發(fā)，通過幾條特殊直線獲得定圓方程，并檢驗(yàn)其是否符合一般情況，這種解題方法的可操作性強(qiáng)且計(jì)算量不大，值得推薦；第三位學(xué)生的解題方法，從表面上看是一步就獲得了定圓的方程，但該生自己都覺得是歪打正著的方法，并不理解為什么. 但有學(xué)生認(rèn)為，第三種解法必然存在一定的道理，既然能準(zhǔn)確獲得定圓的方程，并不一定是巧合，這種解法存在繼續(xù)研究的價(jià)值. 在該生的提議下，教師帶領(lǐng)學(xué)生沿著第三種解法繼續(xù)往下探索：

如圖2所示，關(guān)于x，y的方程2mx+（1-m2）y-4m-4=0表示無數(shù)條直線和一個(gè)定圓相切，無數(shù)條直線匯聚在一起就組成了定圓的包絡(luò)線. 定圓的圓心為（2，2），半徑為2. 若確定一個(gè)m，則對應(yīng)包絡(luò)線中的一條.

相反，如果確定一個(gè)點(diǎn)（x，y），那么過點(diǎn)（x，y）的包絡(luò)線可能有兩條，對應(yīng)關(guān)于m的方程有兩解；也可能只有一條，對應(yīng)關(guān)于m的方程只有一解；還可能沒有，對應(yīng)關(guān)于m的方程無解.

令判別式為0，從本質(zhì)上來看，就是過點(diǎn)（x，y）的圓的包絡(luò)線只有一條，而點(diǎn)（x，y）是包絡(luò)線在定圓上的切點(diǎn). 通過判別式為0而獲得的關(guān)于x，y的二元二次方程，即為待求的定圓的方程.

第三種解法的探索對教師的業(yè)務(wù)水平與專業(yè)素養(yǎng)的要求都比較高，該采取怎樣的方式與學(xué)生一起探索，需要結(jié)合實(shí)際情況而定. 若教師有過強(qiáng)的專業(yè)素養(yǎng)，選擇直接講解，能為學(xué)生答疑解惑；若將一些解法作為課堂研究的素材，師生通力合作，能促進(jìn)課堂動態(tài)生成，不乏為上上之策.

總之，動態(tài)生成是教學(xué)所需，也是課堂常態(tài). 教師應(yīng)不斷地提升自身的業(yè)務(wù)水平與綜合素養(yǎng)，靈活應(yīng)對課堂中的各種意外事件，充分利用各種臨時(shí)形成的素材與資源，通過一定的教學(xué)手段改進(jìn)方法，讓每一節(jié)課都在動態(tài)生成中煥發(fā)光彩.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 葉瀾.讓課堂煥發(fā)出生命活力——論中小學(xué)教學(xué)改革的深化［J］. 教育研究，1997（09）：3-8.

［2］ 池長環(huán). 新課程理念下數(shù)學(xué)“生成性”備課研究［J］. 教育教學(xué)論壇，2012（24）：32-33+117.

［3］ 喻平，董林偉，魏玉華. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)：靜態(tài)數(shù)學(xué)觀與動態(tài)數(shù)學(xué)觀的融通［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（01）：26-28.