［摘 要］ 將探究式教學模式應用在高三一輪復習教學中，能完善學生的認知結構，有效提高學生的創(chuàng)造力，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 文章從探究式教學理論基礎出發(fā)，以“正弦定理和余弦定理”的復習教學為例，從教學分析與具體措施兩個方面展開論述，并談幾點思考，與同行交流.

［關鍵詞］ 探究式教學；復習；教學

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：數(shù)學教學要提倡獨立思考、合作交流與研究性學習，要注重對學生學習興趣與創(chuàng)造力的培養(yǎng)［1］. 事實證明，探究式教學模式是實現(xiàn)這一目標的重要手段，它不僅能發(fā)展學生的創(chuàng)新意識與科學精神，還能有效促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

探究式教學理論基礎

1. 主體性教育理論

學生是學習的主體，是課堂的主人，主體性教育理論主張將學生放在教學首位：①從教育目標來看，數(shù)學教育的目的在于發(fā)展、增強學生的主體性；②從教育過程來看，數(shù)學教育的本質就是借助合理的手段與方法，將人類積累的活動經驗、優(yōu)秀文化以及科學知識等轉化為學習者的“德”“才”，實現(xiàn)人類精神財富與核心素養(yǎng)的提升.

主體性教育涵蓋了理性與非理性教育，這兩者是相輔相成的關系，它們互相滲透、影響、補充、支持. 想要促進個體的長足發(fā)展，可從理性與非理性兩個角度出發(fā)，鼓勵學生獨立思考與深入探究，讓學生在積極主動、興奮的狀態(tài)下建構新知，形成良好的創(chuàng)造精神.

2. 科學哲學理論

科學哲學理論源于古希臘的自然哲學，分別經歷了歷史主義、邏輯經驗主義以及批判理性主義等發(fā)展階段，各個派別的理念雖然呈現(xiàn)出了差異性，但每種科學觀都表現(xiàn)出了Gzy3QyES83r7uAPiSlGmcWZgaN74wgEUfM0R1l2ak5I=共同的合理性，即主張用發(fā)展與辯證的眼光來認識并理解科學. 實踐告訴我們，在某個確定的時期內，人類已經掌握的知識體系與科學認知是基本穩(wěn)定的，這些穩(wěn)定的知識體系經實踐、科學實驗與推理論證過；從長遠的角度來分析，歷史上任何階段的知識體系并不是絕對的真理，任何知識都存在一些不全面的地方，這是促進科學持續(xù)向前發(fā)展的原動力.

探究式教學既能幫助學生建構知識結構，又能促使學生大膽猜測、敢于探索，這些都是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的前提，而且在彰顯科學精神的同時還能有效推動學科的發(fā)展.

3. “再創(chuàng)造”理論

弗賴登塔爾提出知識的“再創(chuàng)造”是推動教育發(fā)展的關鍵，該理論主張數(shù)學學習屬于一種實踐、掌握與反思的過程，推崇學生為教學的主體［2］. 在該理論的指導下，體現(xiàn)“教輔助學”是教學的立足點，即將教師的灌輸轉化為學生的自主探索與實踐.

“再創(chuàng)造”理念下的數(shù)學教學，要求學生根據(jù)自身已有的認知經驗自主探索教學內容，并在教師適當?shù)狞c撥下，自主發(fā)展數(shù)學思維，提升創(chuàng)造意識，建構完整的知識結構. 如創(chuàng)設豐富的情境可調動學生的探究欲，激發(fā)學生探究的積極性，并經歷猜想、想象、推理、驗證、抽象、概括等環(huán)節(jié)，實現(xiàn)知識的“再創(chuàng)造”，深化學生對知識本質的理解.

下面筆者結合上述教學理論，以“正弦定理和余弦定理”為例，講述高三數(shù)學復習課教學應如何開展.

教學分析

1. 學情分析

本節(jié)課的授課對象為高三物化組合的學生，學生有較扎實的知識基礎和自主學習能力，運算素養(yǎng)與數(shù)據(jù)分析能力都不錯，大部分學生能綜合應用“解三角形”相關知識解決實際問題.

2. 考情分析

“解三角形”是高考重點內容之一，其中正弦定理和余弦定理是解決此類問題的重要定理. 縱觀近些年的高考試題，發(fā)現(xiàn)解三角形問題主要出現(xiàn)在填空題與解答題中. 以填空題的形式出現(xiàn)，主要考查學生對三角形邊角互化的理解程度，這一類題屬于小綜合題，對學生而言稍有難度；以解答題的形式呈現(xiàn)，意在考查學生對三角恒等變換、正弦定理和余弦定理的綜合應用，雖說難度系數(shù)不大，但對運算能力與推理能力有較高要求.

3. 教情分析

本節(jié)課為高三一輪復習課，其教學重點在于引導學生靈活應用正弦、余弦定理解三角形，其中選擇定理與優(yōu)化求解是教學難點，尤其涉及多解取舍的問題，需要學生能自主辨析. 本節(jié)課，若借助探究式教學模式實施教學，不僅能進一步夯實學生的知識基礎，還能幫助學生建立良好的解題意識與辨析能力.

教學實施

1. 自測探底

為了充分了解學情，課前教師發(fā)放導學案，借機了解學生對正弦、余弦定理的掌握情況. 關注學生在定理變形、證明及應用方面的掌握程度，以更好地認識學生的實際認知水平，為后續(xù)教學提供參考.

導學案中的自測題：

（1）已知△ABC中，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，則A=______.

（2）已知△ABC中，acosA=bcosB，則△ABC的形狀是______.

（3）已知△ABC中，A=45°，C=30°，c=10，則△ABC的面積是______.

2. 探究梳理

第一步 定理的證明回顧.

要求學生回顧正弦、余弦定理的證明方法（多種），展示余弦定理的向量證法，師生互動交流. 一方面提高學生的探究欲，另一方面達到復習提升的效果.

學生展示：因為=-，所以a2=·=（-）（-）=2-2

·

cosA+2=b2-2bccosA+c2.

教師先肯定了學生的證明過程，并提出這種證法簡潔明了，體現(xiàn)了向量的工具性，然后要求學生進一步說明此處應用了向量的哪些知識內容促進代數(shù)與幾何的靈活轉化. 學生一致認為是“數(shù)量積公式”.

師生共同總結：正弦、余弦定理的向量證明，先構建三角形中的向量等式，再借助數(shù)量積運算將向量等式“實數(shù)化”，此為用向量解決幾何問題的重要途徑與方法.

第二步 定理應用的探究.

第一，探究解三角形的類型.

師：如圖1所示，這四個三角形應用哪種定理可以求解？

生1：前兩個三角形中，第一個已知兩個角和一對邊，第二個已知兩條邊和一對角，因此可借助正弦定理求解；后兩個三角形中，第一個已知三邊，第二個已知兩邊和一夾角，因此可借助余弦定理求解.

生2：我認為第②個三角形可用余弦定理構建關于c邊的一元二次方程求解.

師：很好！想得比較周全，哪位學生能對此做一個小小的總結？

生3：這四個三角形，可用正弦定理求解的有①②兩個三角形，可用余弦定理求解的有②③④三個三角形，值得注意的是三角形②可用兩種定理求解.

第二，探究邊角互化的途徑.

師：請大家思考并說一說自測第（3）題的求解思路.

生4：可借助正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB將邊統(tǒng)一為角，把問題直接轉化成三角問題進行分析.

生5：還可借助余弦定理cosA=，cosB=變形，即把角都轉化為邊，也是將幾何問題轉化成代數(shù)問題來分析.

教師肯定了學生的兩種解題思路，并再次強調邊角互化是解三角形最常用的方法.

第三，探究邊角關系的規(guī)律.

師：哪位學生來說一說，應用正弦定理時需要注意什么？其求解的關鍵是什么？

生6：用正弦定理解題時需要注意可能有兩解的情況，其關鍵是辨析多解的取舍.

師：解此類題型存在什么竅門嗎？

生7：只要關注到“大邊所對的角比較大”這一點，在多解的取舍上就能節(jié)約很多時間.

師：非常好！接下來我們一起探索一個新問題：已知△ABC中，sinA=，cosB=，則cosC的值是多少？解決本題的關鍵是什么？

生8：解決本題的關鍵是判斷角A屬于鈍角還是銳角. 若角A為鈍角，則cosA=-，sinB=，可得cosC=；若角A為銳角，則cosA=，可得cosC= -，因此無法判斷角A屬于鈍角還是銳角.

師：還有其他判定方法嗎？

生9：根據(jù)cosB=得sinB=，因此sinA<sinB，結合正弦定理得<，也就是a<b，因此角A必然為銳角.

師：非常好！一般情況下，在△ABC中，sinA>sinB?a>b?A>B，此為取舍三角形多解的基本規(guī)律.

第三步 探究典型例題.

例題 已知△ABC中，a=3，b=2，B=2A.

（1）cosA的值是多少？

（2）c的值是多少？

解 （1）根據(jù)題設條件，借助正弦定理得=，所以=，解得cosA=.

（2）方法1（先求sinC，再用正弦定理解題）：根據(jù)（1）可知，cosA=，所以sinA==；根據(jù)B=2A可知，cosB=2cos2A-1=，因此sinB==. 在△ABC中，sinC=sin（A+B）=，所以c==5.

方法2（先求cosC后，再用余弦定理解題）：略.

方法3（構建關于邊c的方程解題）：根據(jù)余弦定理a2=b2-2bccosA+c2得c2-8c+15=0，因此c=3或5. 根據(jù)（1）可得sinA=<，因此A<45°，B<90°，可知C>45°>A，c>3，所以c=5.

學生通過對題設條件與結論的綜合分析，擇取了合適的定理解題. 其中，方法3看起來容易，但要排除增解卻不那么簡單. 關于多解取舍問題的解決，本題除了應用之前強調的“大邊所對的角比較大”外，還結合三角函數(shù)值對角的范圍進行了估算，這也是解決多解取舍問題的常用方法之一.

探究：已知△ABC中的B=2A，則a，b，c三邊之間必須滿足什么條件？

生10：根據(jù)B=2A可知，cosB=2cos2A-1，應用余弦定理把角化為邊，即可明確三邊必須滿足的條件.

生11：根據(jù)B=2A可知，sinB=2sinA·cosA，借助正弦或余弦定理把角化為邊，有b2c=a（b2+c2-a2）.

師：生10的方法雖然能獲得結論，但過程比較繁雜，而且化簡時容易出錯；生11的方法相對便捷很多. 大家想一想有沒有什么辦法可化簡生10的方法？

生12：通過因式分解可得b2=a2+ac或a=c.

師：若a=c，那么b與a，c之間存在怎樣的關系？

生13：若a=c，則△ABC為等腰直角三角形，b2=2a2.

探究至此，學生自主發(fā)現(xiàn)a=c這個結論源于b2=a2+ac. 鑒于此，形成結論：在△ABC中，如果B=2A，那么b2=a2+ac. 教師準備就此結束本題的探索，一位學生提出他還有更簡便的方法：根據(jù)B=2A，可知sin（B-A）=sinA，也就是sinBcosA-cosBsinA=sinA，結合正弦定理，得b·-·a=a，經化簡，得b2=a2+ac.

教師充分肯定了這種證法，并強調將B=2A變形為B-A=A是這種解法的大膽之處，它打破了常規(guī)解題模式，聯(lián)用正弦、余弦定理化角為邊，值得推廣.

第四步 課堂小結.

（略）

幾點感悟

1. 回歸基礎，選準探究起點

高三一輪復習是進一步夯實學生知識基礎的過程，在教學設計上應回歸教材，帶領學生對知識點進行查漏補缺，為后續(xù)二輪、三輪復習夯實基礎. 值得注意的是，探究起點決定復習教學的成敗，起點太低無法激發(fā)學生的探索欲，缺乏探究的必要；起點過高使學生無法順利銜接知識與方法，會挫傷學生的探究信心. 本節(jié)課，每一步的探究活動都是基于學生的最近發(fā)展區(qū)而設置的，既滿足學生對知識基礎復習的需要，又有效提升學生的推理能力.

2. 注重練習，構建知識體系

復習課與新授課有較大區(qū)別. 開展復習課，學生具備一定的認知基礎，因此無需像新授課一樣“再創(chuàng)造”概念. 精選練習一方面能激活學生的思維，讓學生不由自主地回顧舊知；另一方面讓學生在解題中自主構建完整的知識體系，并厘清各個知識點之間的聯(lián)系，完善認知結構［3］. 本節(jié)課，以自測的方式來分析學情，并在此基礎上精心準備練習，探究過程中師生積極互動，取得了不錯的教學成效.

3. 自主探究，發(fā)展核心素養(yǎng)

學生是課堂的主人，探究式教學同樣需要將學生放在首位. 本節(jié)課的復習容量大、時間緊，為了在有限時間內獲取最大的效益，教師鼓勵學生結合原有的認知結構進行自主探究，必要時通過合作交流攻克難關，有效推進了教學深度，整個課堂充滿了生機與活力.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 弗賴登塔爾. 作為教育任務的數(shù)學［M］. 上海：上海教育出版社，1995.

［3］ 鄭毓信，肖伯榮，熊萍. 數(shù)學思維與數(shù)學方法論［M］. 成都：四川教育出版社，2001.