［摘 要］ 結(jié)構(gòu)性問(wèn)題是聯(lián)結(jié)新舊知識(shí)的橋梁，能激發(fā)學(xué)生的探究欲，并助其形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)直觀具體，有利于揭示概念本質(zhì). 因此，研究者以結(jié)構(gòu)性問(wèn)題為導(dǎo)向、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為主線，融合直觀與邏輯來(lái)設(shè)計(jì)和探究概念教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 結(jié)構(gòu)性問(wèn)題；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；概念教學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

引言

概念是思維的細(xì)胞，是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式. 數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式.數(shù)學(xué)中的推理、判斷、證明等都要建立在正確的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)之上. 理解數(shù)學(xué)概念是開展其他一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基石，因此概念教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位.

一些學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很困難，往往都是由于他們對(duì)概念的理解不夠清晰導(dǎo)致的. 與此同時(shí)，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師持有重解題、輕概念的思想，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，傾向于直接講授，缺乏對(duì)教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì). 因此，想要提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，廣大一線數(shù)學(xué)教師必須重視對(duì)概念教學(xué)的設(shè)計(jì).

結(jié)構(gòu)性問(wèn)題

一般認(rèn)為，在解題過(guò)程中，為了實(shí)現(xiàn)條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，利用問(wèn)題的特殊性設(shè)計(jì)一個(gè)新的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)去實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題的解決，這樣的問(wèn)題是一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)，也稱為結(jié)構(gòu)性問(wèn)題［1］.也就是說(shuō)結(jié)構(gòu)性問(wèn)題是通過(guò)設(shè)計(jì)新的數(shù)學(xué)對(duì)象使原問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化的一種媒介性問(wèn)題. 但實(shí)際上，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，結(jié)構(gòu)性問(wèn)題更像一種教學(xué)策略，不局限于解題，只要能夠設(shè)計(jì)得當(dāng)，在課堂教學(xué)的引入環(huán)節(jié)、新授環(huán)節(jié)、鞏固環(huán)節(jié)中都可以使用.

高中數(shù)學(xué)概念數(shù)量多、內(nèi)容雜，再加上抽象性強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)會(huì)感到困難且枯燥乏味，很難產(chǎn)生自主探究的欲望. 教師要想強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，在概念教學(xué)中就需要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容來(lái)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)性問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 這樣一來(lái)，在教師精心創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境下，學(xué)生經(jīng)由好奇心的驅(qū)使，在探究問(wèn)題的過(guò)程中能夠深度思考，與同學(xué)合作交流，進(jìn)而深入理解數(shù)學(xué)概念的核心內(nèi)涵，并且在此基礎(chǔ)上發(fā)展數(shù)學(xué)思維，qfcNSsZSRxxrFt+rprRYGg==培養(yǎng)實(shí)事求是的優(yōu)秀品質(zhì).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境，向?qū)W生提出的探究性問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)具有知識(shí)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)性，因?yàn)橛袃r(jià)值的、合適的初始問(wèn)題一定不是一個(gè)孤零零的問(wèn)題，它應(yīng)該與學(xué)生已經(jīng)掌握的、正在或即將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)及其組織活動(dòng)“血肉相連”，具有深刻的背景（例如蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀念與數(shù)學(xué)思想等），能揭示新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，以及新數(shù)學(xué)知識(shí)從舊數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的清晰的脈絡(luò)等內(nèi)容［2］. 因此，教師要基于學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題.通過(guò)巧妙的設(shè)計(jì)將一個(gè)新的概念轉(zhuǎn)化為一個(gè)可以在原來(lái)知識(shí)基礎(chǔ)上繼續(xù)探討的問(wèn)題，幫助學(xué)生把即將學(xué)習(xí)的抽象的概念轉(zhuǎn)變?yōu)樾枰鉀Q的問(wèn)題，便于學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)學(xué)習(xí)新概念的必要性.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想、獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助實(shí)物和工具，對(duì)實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”操作的一種學(xué)習(xí)方式［3］.

由于概念在反映某類事物或?qū)ο髸r(shí)，已經(jīng)不再是反映它們的表面現(xiàn)象，而是反映它們所特有的本質(zhì)屬性，具有很強(qiáng)的抽象性，因此學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握不是一蹴而就的事情，需要經(jīng)歷一個(gè)由感性到理性的循環(huán)往復(fù)的過(guò)程. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要不斷深入探索，不斷消化吸收，才能將概念內(nèi)化. 因此，在概念教學(xué)中，教師要注重教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念生成的過(guò)程，經(jīng)歷將感性知識(shí)抽象為理性知識(shí)的過(guò)程，從中感悟概念的本質(zhì). 只有當(dāng)學(xué)生能深度吸收數(shù)學(xué)概念時(shí)，數(shù)學(xué)概念才能真正被學(xué)生所掌握.

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生把要學(xué)的東西親自去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái). 學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，生成概念，就是一個(gè)“再創(chuàng)造”的過(guò)程. 學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作的過(guò)程中建構(gòu)概念，能夠獲得直觀的經(jīng)驗(yàn)，深化對(duì)概念的理解，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也讓學(xué)生有了更多的學(xué)習(xí)自由、更大的探索空間，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動(dòng).

基于數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的漸進(jìn)性特點(diǎn)，教師可通過(guò)優(yōu)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作方式和操作時(shí)機(jī)，給學(xué)生創(chuàng)造深度消化、吸收與運(yùn)用概念的機(jī)會(huì)，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在促進(jìn)數(shù)學(xué)概念理解的基礎(chǔ)上，給學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)提供方法，讓數(shù)學(xué)概念建構(gòu)指向數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用. 這樣一來(lái)，在教師優(yōu)化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)下，能有效改變學(xué)生學(xué)習(xí)概念的方式，學(xué)生親身經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過(guò)程，就能夠在實(shí)踐中體會(huì)和感悟概念的生成. 在不知不覺(jué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過(guò)程從“機(jī)械聽(tīng)講”向“主動(dòng)探究”轉(zhuǎn)變，學(xué)生的主體意識(shí)獲得了增強(qiáng)，思維能力也得到了提升.

結(jié)構(gòu)性問(wèn)題與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)合

概念教學(xué)由結(jié)構(gòu)性問(wèn)題出發(fā)，把教學(xué)內(nèi)容巧妙地隱含在解決問(wèn)題的過(guò)程中. 秉持教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)理念，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，認(rèn)真觀察，合作交流，最終不僅使學(xué)生在問(wèn)題解決中獲得新知識(shí)，還培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力. 為了使學(xué)生能夠更好地解決問(wèn)題，對(duì)結(jié)構(gòu)性問(wèn)題解答過(guò)程的設(shè)計(jì)要盡可能直觀，對(duì)象應(yīng)是學(xué)生熟悉的，這樣才能夠?qū)㈦y以入手的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)正是直觀表征數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段. 若教師能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)性問(wèn)題和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，應(yīng)用到概念教學(xué)中，則能夠達(dá)到雙重效果，使學(xué)生更好地理解概念的本質(zhì)，讓概念教學(xué)“活”起來(lái). 下面筆者以高中“弧度制”的概念教學(xué)為例，來(lái)說(shuō)明結(jié)構(gòu)性問(wèn)題與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)合對(duì)于概念教學(xué)的意義所在.具體設(shè)計(jì)如下：

1. 問(wèn)題導(dǎo)入

師：在初中我們是如何度量角的大小的呢？1度的角是怎樣定義的呢？

生1：用“度”來(lái)度量角，也就是我們學(xué)習(xí)的角度制. 把一個(gè)圓周360等分，每一份就是1度的角.

師：同學(xué)們還記得角單位的進(jìn)制是多少嗎？

生2：角的度、分、秒是六十進(jìn)制的，如1°=60′.

師：非常正確. 我們?cè)跀?shù)學(xué)中常見(jiàn)的長(zhǎng)度單位的進(jìn)制是多少呢？

生3：常見(jiàn)的長(zhǎng)度單位有米、分米、厘米，長(zhǎng)度單位是十進(jìn)制的，如1 m=10 dm，1 dm=10 cm.

師：非常正確. 之前我們學(xué)過(guò)特殊角（如30°，60°）的三角函數(shù)值，都知道sin30°=. 在這個(gè)式子中，30°以度為單位，是六十進(jìn)制的，而是十進(jìn)制的實(shí)數(shù)，它們的進(jìn)制不同，我們應(yīng)當(dāng)如何統(tǒng)一進(jìn)制呢？

設(shè)計(jì)意圖 弧度制是一個(gè)抽象的、陌生的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生很難理解透徹.在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中所學(xué)的單位制，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)sin30°=提出如何統(tǒng)一進(jìn)制這一問(wèn)題，促使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突. 這樣的數(shù)學(xué)情境問(wèn)題，不但能夠幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固先前所學(xué)的知識(shí)，建立起知識(shí)間的聯(lián)系，而且能夠引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)問(wèn)題進(jìn)行思考，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)去探尋新知識(shí).

生4：那我們能不能用十進(jìn)制的單位制來(lái)度量角或者用六十進(jìn)制的單位制來(lái)度量長(zhǎng)度呢？

師：好，接下來(lái)我們一起探究.

2. 動(dòng)手實(shí)驗(yàn)

師：老師讓大家在課前準(zhǔn)備了一個(gè)有30°角的三角形，以及圓規(guī)、直尺和若干細(xì)線，現(xiàn)在我們一起來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：用這些工具畫出一個(gè)弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為30°的扇形.

（學(xué)生用尺規(guī)作圖）

師：老師選擇了兩位同學(xué)所作的圖呈現(xiàn)在大屏幕上（見(jiàn)圖1和圖2），同學(xué)們仔細(xì)觀察這兩位同學(xué)所作的圖，能發(fā)現(xiàn)它們的共同特點(diǎn)嗎？

生4：扇形中弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角都是30°.

師：我們現(xiàn)在思考一個(gè)問(wèn)題：在上述兩圖中能否找到與30°的圓心角相關(guān)的進(jìn)制為十的量呢？

生5：由于長(zhǎng)度單位是十進(jìn)制的，因此我們可以測(cè)量圖中扇形的兩半徑和一條弧的長(zhǎng)度.

師：我們?nèi)绾螠y(cè)量它們的長(zhǎng)度呢？

生6：用直尺可以測(cè)量.

師：用直尺能夠測(cè)量圓心角所對(duì)圓弧的長(zhǎng)度嗎？

生7（搶著回答）：不能，但是可以用細(xì)線將圓弧圍繞起來(lái)，再用直尺測(cè)量細(xì)線的長(zhǎng)度就能得到弧長(zhǎng).

師：非常不錯(cuò)，生7對(duì)“化曲為直”思想領(lǐng)悟得很好.接下來(lái)請(qǐng)大家動(dòng)手操作一下，將自己所得到的數(shù)據(jù)記錄下來(lái)，填入下表（表1）.

師：觀察表（表1）中的幾組數(shù)據(jù)，我們能否用弧長(zhǎng)來(lái)度量一個(gè)角的大??？（由于每一個(gè)學(xué)生選取的半徑不同，因此所畫的圓弧也會(huì)出現(xiàn)大小不同的情況.）

生8：不能，因?yàn)橥粋€(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)可能不同.

師：我們得到的數(shù)據(jù)中，除了弧長(zhǎng)不同外，還有什么不同呢？

生9：半徑也不同，而且我發(fā)現(xiàn)半徑長(zhǎng)的弧更長(zhǎng).

生10：老師，我猜想半徑與弧長(zhǎng)應(yīng)該有某種關(guān)系.

師：很好，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)想一想，結(jié)合角度、半徑還有弧長(zhǎng)，大家可以聯(lián)想到我們學(xué)過(guò)的哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)呢？

生11：弧長(zhǎng)公式l=. 如果我們把變量移到同一邊，可得=.

生12：當(dāng)n=30時(shí)，=，也就是30°.

師：那這說(shuō)明什么呢？

生13：弧長(zhǎng)與半徑的比值可以用來(lái)度量角的大小.

師：用我們得到的數(shù)據(jù)計(jì)算一下，看看結(jié)果如何.

生14：結(jié)果基本相符，弧長(zhǎng)與半徑的比值趨近于定值.

師：是的，我們通過(guò)觀察分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)角度固定時(shí)，弧長(zhǎng)與半徑的比值是一定的，因此可以用弧長(zhǎng)與半徑的比值來(lái)度量角的大小，這就是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的另一種度量角的單位制——弧度制.

3. 生成概念

用弧度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制.

師：我們之前學(xué)習(xí)了1度角的概念，1弧度的角又該如何定義呢？

（學(xué)生思維中斷）

師：我們?cè)賮?lái)看生11經(jīng)弧長(zhǎng)公式變形得到的式子=.大家能不能用這個(gè)式子來(lái)說(shuō)明1弧度的角是怎樣的？

生15：當(dāng)l等于r時(shí)，l與r的比值為1，這時(shí)圓弧所對(duì)的圓心角就是1弧度的角.

師：非常好，現(xiàn)在我們就得到了1弧度的角的概念：等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做“1弧度的角”.

評(píng)析 本節(jié)課是高中弧度制的概念課，教師首先提出一個(gè)合適的結(jié)構(gòu)性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中所學(xué)的角度制以及特殊角的三角函數(shù)值，利用角單位與長(zhǎng)度單位的進(jìn)制的不同，引發(fā)學(xué)生思考如何統(tǒng)一進(jìn)制，進(jìn)而明晰引入弧度制這一概念的價(jià)值. 在后續(xù)對(duì)于結(jié)構(gòu)性問(wèn)題的探究過(guò)程中，教師又設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)踐活動(dòng)，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的模式，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，主動(dòng)探索，由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，親身體驗(yàn)弧度制概念的形成過(guò)程. 這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，符合建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀——學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)參與并建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程. 當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷弧度制概念的整個(gè)建構(gòu)過(guò)程后，不但能夠從真正意義上理解弧度制概念的本質(zhì)，做到知其然且知其所以然，還能夠培養(yǎng)善于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣以及解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)啟示

（1）教師在設(shè)計(jì)概念教學(xué)時(shí)，不應(yīng)拘泥于某一課時(shí)的知識(shí)點(diǎn)，要著眼于教材、學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展軌跡，尋找概念教學(xué)的立足點(diǎn). 教師要能夠提出與新知識(shí)密切相關(guān)且符合學(xué)生實(shí)際情況的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下不斷深入探索，始終以思考的狀態(tài)進(jìn)行學(xué)習(xí)，使課堂活動(dòng)能有條不紊地推進(jìn).

（2）教師既要重視設(shè)計(jì)概念教學(xué)，又要注意設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該深入淺出，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 教師要善于將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入教學(xué)環(huán)節(jié)中，為學(xué)生呈現(xiàn)充分的感性知識(shí)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)感性知識(shí)向理性知識(shí)的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生更加深刻地理解概念，達(dá)到教學(xué)目的.

（3）始終秉持“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體”的教學(xué)理念. 加強(qiáng)課堂上師生、生生之間的互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問(wèn)題，大膽闡述自己的觀點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神. 在傳授知識(shí)的同時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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