［摘 要］ 教育信息化是時代發(fā)展的必然趨勢，將數(shù)學(xué)史滲透在教學(xué)中的各個環(huán)節(jié)是滿足學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的重要舉措. HPM微課是將數(shù)學(xué)史融入微課中的一種教學(xué)方法，它能從真正意義上激發(fā)學(xué)生的求真精神，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 文章以“兩角和的正弦公式”教學(xué)為例，分別從概念界定、研究框架與教學(xué)實施三個方面展開分析.

［關(guān)鍵詞］ HPM；微課；應(yīng)用；兩角和的正弦公式

隨著時代的發(fā)展，借助信息技術(shù)提高教學(xué)實效成了廣大教育工作者的教學(xué)手段之一. HPM微課是將數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育、信息技術(shù)有機融合在一起的一種教學(xué)方式，它能讓學(xué)生更便捷地了解數(shù)學(xué)知識的本源與發(fā)展歷程，體會知識架構(gòu)，彰顯出信息技術(shù)輔助教學(xué)的強大功能. 本文以“兩角和的正弦公式”教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾卧谡n堂中應(yīng)用好HPM微課，以提高教學(xué)實效，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

概念界定

1. HPM

HPM即History and Pedagogy of Mathematics，是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究統(tǒng)稱. 很早之前，數(shù)學(xué)是一門脫離社會文化的孤立學(xué)科，隨著人們認(rèn)知水平的發(fā)展，數(shù)學(xué)文化逐漸進(jìn)入了數(shù)學(xué)體系，并發(fā)揮著重要作用. 20世紀(jì)，國際數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)關(guān)系小組的成立，使HPM登上了歷史舞臺. 自2005年起，我國對HPM的研究越發(fā)重視，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡稱新課標(biāo)）著重強調(diào)要將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)［1］.

2. 微課

1960年，美國艾奧瓦大學(xué)附屬學(xué)校首先提出微型課程，鑒于這類課程具有可操作性強、時間短等優(yōu)點，受到各國教育界的關(guān)注；1993年，McGrew等人提出“60秒課程”，便于在一些非正式場合普及相關(guān)知識；2008年，David Pemose首創(chuàng)“一分鐘微視頻”，也就是今日的“微視頻”，即將教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系起來，讓學(xué)習(xí)者通過觀看短視頻獲得聚焦性學(xué)習(xí)體驗.

如今的數(shù)學(xué)微課是指一種以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為中心的短視頻，時長基本控制在6～10分鐘. 微課與微視頻最大的區(qū)別在于微視頻著重用來展示教學(xué)內(nèi)容，而微課則是結(jié)合教學(xué)需求開發(fā)的系列教育資源，如微教案、微視頻與微反思等［2］.

3. HPM微課

HPM微課是指將一些重要的解題思想、數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)家小故事等制作成微視頻，作為輔助教學(xué)的手段之一. HPM本身就承載著傳播數(shù)學(xué)史、滲透數(shù)學(xué)文化、培養(yǎng)學(xué)科精神等作用，微課作為傳播HPM的一種方式，可更高效地利用課堂時間拓展數(shù)學(xué)文化. 實踐證明，如今的高中數(shù)學(xué)HPM微課主要以6～10分鐘的短視頻為主，著重圍繞某個知識重點或難點展開數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)教育資源的播放.

研究框架

結(jié)合新課標(biāo)要求與近期微課活動評價標(biāo)準(zhǔn)，筆者根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知特點構(gòu)建了一個研究框架（如圖1所示），主要包括分析、設(shè)計、制作、應(yīng)用與評價等環(huán)節(jié)，每一個環(huán)節(jié)相對獨立又環(huán)環(huán)相扣、互相融合，形成了一個整體.

HPM微課分析是課堂教學(xué)的首要環(huán)節(jié)，需要理清微課教學(xué)的各項要素，如課標(biāo)、學(xué)情、教材、史料等. HPM微課設(shè)計屬于重要環(huán)節(jié)，具有承上啟下的作用，教師要以分析出來的結(jié)果為設(shè)計依據(jù)，根據(jù)實際情況將與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史融入微課中，形成HPM微課教案、腳本、學(xué)習(xí)單等. HPM微課制作是基于以上兩個環(huán)節(jié)的課程拍攝、錄制、剪輯、完善等，屬于技術(shù)層面，一般借助軟件Camtasia Studio錄屏，后期通過剪輯加工，完善成微課. HPM微課應(yīng)用有線上與線下兩類，教師可將制作好的微課發(fā)布到教育平臺供學(xué)生提取學(xué)習(xí). HPM微課評價主要關(guān)注學(xué)生“四基”與“四能”的掌握情況，“三會”能力的發(fā)展趨勢，以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)六大要素的提升情況等［3］.

教學(xué)目標(biāo)與重難點分析

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）引導(dǎo)學(xué)生在HPM微課中感知與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的歷史情境，經(jīng)歷兩角和的正弦公式的探究過程，掌握兩角和的正弦公式的推導(dǎo)方法，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

（2）借助菱形、矩形等模型，通過面積計算推導(dǎo)兩角和的正弦公式，提煉數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算與直觀想象等素養(yǎng).

（3）借助微課激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生務(wù)實求真的理性精神.

2. 教學(xué)重點與難點

理解并掌握兩角和的正弦公式及證明方法.

3. 教學(xué)材料

HPM微課；微學(xué)習(xí)單；兩對斜邊為1的直角三角形紙片（一對含銳角α，一對含銳角β，且α≥β）.

教學(xué)簡錄

1. 情境創(chuàng)設(shè)，引入主題

筆者用多媒體播放HPM微課，微課的主要內(nèi)容是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，要求學(xué)生觀看后思考會標(biāo)所蘊含的數(shù)學(xué)定理，并說一說其證明方法.

學(xué)生一致回答的是“勾股定理”，并自主回顧勾股定理的證明方法. 在此基礎(chǔ)上，筆者播放趙爽證明勾股定理時應(yīng)用的面積出入相補法，以及畢達(dá)哥拉斯證明勾股定理的方法，以激活學(xué)生對勾股定理的探究興趣，為本節(jié)課的教學(xué)奠定基礎(chǔ).

2. 活動探究，深化理解

筆者繼續(xù)播放HPM微課，內(nèi)容為古希臘數(shù)學(xué)家應(yīng)用幾何法推導(dǎo)和角公式. 學(xué)生通過微課的觀看，沿著數(shù)學(xué)家的腳步借助課前準(zhǔn)備好的直角三角形紙片，繼續(xù)探索兩角和的正弦公式與證明過程.

師：請將課前準(zhǔn)備好的兩對直角三角形紙片（見圖2）拼成菱形或矩形.

學(xué)生開始在微學(xué)習(xí)單上進(jìn)行模擬拼接（用筆勾勒模型示意圖，將已知的長度與角度標(biāo)注出來），各小組通過分工合作，最終有幾個小組拼出了菱形，也有幾個小組拼出了矩形.

師：如圖3①所示，你們拼出的這種矩形模型與趙爽所著的《勾股圓方圖注》中記載的大方圖類似，這是由兩對直角三角形拼接而成的矩形，其長為cosα+cosβ，寬為sinα+sinβ. 已知該矩形的中間是一個“邊長為1，內(nèi)角為α+β”的菱形，這個菱形的面積該怎樣計算呢？面積出入相補法能帶給我們一些解題啟示或思路嗎？

生1：借助菱形的面積公式，可獲得其面積為sin（α+β）.

生2：借助面積出入相補法，移動其中兩個直角三角形可拼成圖3②，即將菱形拆分成了兩個長方形，可得其面積為sinαcosβ+cosαsinβ.

師：非常好！出入相補前后，大長方形的面積發(fā)生了改變嗎？由此可進(jìn)一步推導(dǎo)出什么？

生3：大長方形的面積未發(fā)生改變，由此可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

師：不錯，這就是我們本節(jié)課著重探索的知識——兩角和的正弦公式.

隨著問題的逐步引導(dǎo)，學(xué)生的思維拾級而上，尤其是微課的應(yīng)用讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)面積出入相補法對推導(dǎo)兩角和的正弦公式具有重要意義. 在微學(xué)習(xí)單的輔助下，學(xué)生不僅自主計算出了矩形模型中各個部分的面積，還進(jìn)一步揭示了探究主題，從而充分認(rèn)識到了微課對教學(xué)的輔助價值.

接下來，筆者依然借助多媒體播放HPM微課，與學(xué)生一起總結(jié)上述探索中矩形模型所蘊含的兩角和的正弦公式.

師：我看到大家拼出的菱形模型與趙爽所著的《勾股圓方圖注》中記載的弦圖也非常相似. 若由兩對直角三角形拼成的菱形的邊長是1，一個內(nèi)角是α+β（見圖4①），則菱形的面積該怎樣計算呢？若利用面積出入相補法來探尋，能否獲得什么啟示？

通過微學(xué)習(xí)單中模型示意圖的分析，以及菱形面積公式的應(yīng)用，可知菱形的面積是S=sin（α+β）.

如圖4②所示，學(xué)生展示小組討論結(jié)果：結(jié)合面積出入相補法，我們可將菱形模型中的左上方的直角三角形轉(zhuǎn)移到右下方的位置，右上方的直角三角形轉(zhuǎn)移到左下方的位置. 轉(zhuǎn)化而來的圖形成了三個長方形，這三個長方形的面積分別是sinαcosα，sinβcosβ和（sinα-sinβ）（cosβ-cosα）.

筆者肯定了學(xué)生的轉(zhuǎn)移與運算方式，并提出：“應(yīng)用面積出入相補法還能進(jìn)一步推導(dǎo)出一些什么結(jié)論？”學(xué)生指出兩角和的正弦公式，即sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ. 至此，筆者繼續(xù)播放HPM微課，與學(xué)生共同小結(jié)菱形模型中所蘊含的兩角和的正弦公式.

3. 積極互動，構(gòu)建新知

師：借助微課與探究，我們對兩角和的正弦公式有了初步認(rèn)識，現(xiàn)在我們一起從HPM微課中了解這個公式的形成與發(fā)展史. （播放微課）

待學(xué)生看完微課后，要求學(xué)生從自己的角度說一說對兩角和的正弦公式的理解，同時完成如下計算任務(wù)，以鞏固新知：（1）sin105°；（2）sin25°·cos65°+cos25°sin65°.

練習(xí)訓(xùn)練的應(yīng)用意在考查學(xué)生對公式的理解程度與應(yīng)用能力，學(xué)生通過微學(xué)習(xí)單的輔助，應(yīng)用新建構(gòu)的知識實施解題，取得了良好的效果.

4. 課堂小結(jié)，完善認(rèn)知

要求學(xué)生在此環(huán)節(jié)回顧本節(jié)課的整個教學(xué)流程，說一說在HPM微課的幫助下獲得了哪些知識與數(shù)學(xué)思想方法等.

本節(jié)課教學(xué)的核心知識為兩角和的正弦公式，通過課堂回顧與總結(jié)可幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理公式的形成過程，總結(jié)知識結(jié)構(gòu)，為建構(gòu)完整的認(rèn)知體系與高階思維奠定基礎(chǔ)，也為后續(xù)靈活應(yīng)用服務(wù).

課堂反饋情況

本節(jié)課后，筆者利用問卷的方式對全班學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，46份有效問卷中，約有95%的學(xué)生對HPM微課表現(xiàn)出了較強的興趣，認(rèn)為這種教學(xué)方式能激發(fā)自己對數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化與教學(xué)內(nèi)容的探究興趣，拓寬自己的視野，進(jìn)一步幫助自己了解知識的來龍去脈，對提煉數(shù)學(xué)思想方法具有重要意義.

通過問卷調(diào)查，收集到學(xué)生的主要觀點有如下幾種：①HPM微課比較有趣，可將數(shù)學(xué)史更直觀地展現(xiàn)出來；②這種教學(xué)方式能更好地幫助自己了解知識發(fā)展的來龍去脈；③用微課播放公式的推導(dǎo)過程，將數(shù)形結(jié)合思想方法淋漓盡致地展示了出來；④微課講授更風(fēng)趣，更容易接受微課講授的數(shù)學(xué)知識.

從學(xué)生的反饋情況來看，他們對HPM微課的應(yīng)用保持著積極、肯定的態(tài)度. HPM微課對幫助學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)能力，發(fā)展運算能力、邏輯推理能力、直觀想象力、抽象能力等都具有重要意義，因此這是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的一種重要手段.

教學(xué)思考

1. HPM微課對學(xué)生的影響

HPM微課將數(shù)學(xué)史內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)的學(xué)生喜聞樂見的方式進(jìn)行展示，更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展需求. 本節(jié)課課堂伊始，筆者將2002年在北京召開的數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)作為微課內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生對勾股定理和面積出入相補法的探究興趣，為兩角和正弦公式的引出做鋪墊. 由此也能看出，HPM微課對學(xué)生而言，具有激興趣、啟回憶、促思維、引新知的作用.

課堂上，筆者帶領(lǐng)學(xué)生利用HPM微課探究矩形與菱形模型，親歷兩角和的正弦公式的推理過程，不僅提升了學(xué)生的“四基”與“四能”，還引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會了“三會”能力. 同時，HPM微課對發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力、邏輯推理能力、高階思維能力等都具有重要意義，而這一切都是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

2. HPM微課對教師的影響

這種教學(xué)方式可規(guī)避教師本身對數(shù)學(xué)史了解不夠的現(xiàn)象，它能在有限的時間內(nèi)，高效、準(zhǔn)確地展示與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史，避免科學(xué)性錯誤的發(fā)生，同時也避免數(shù)學(xué)史闡述時間難以控制等問題的出現(xiàn). 因此，HPM微課固定的時間為教師更好地掌控課堂奠定了基礎(chǔ).

本節(jié)課，筆者以HPM微課引導(dǎo)學(xué)生自主探究，并以啟發(fā)式的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)面積出入相補法的應(yīng)用來探索兩角和的正弦公式. 微課的介入，從很大程度上解放了筆者的手腦，避免因為冗長的闡述而浪費課堂時間.

總之，HPM微課既有微課的精煉、靈活、適合自學(xué)等特征，還具備圖文結(jié)合、聲音與動畫結(jié)合等特點，更便于數(shù)學(xué)史的植入，課堂也因HPM微課的介入而更具活力. 事實證明，這是一種優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)文化的重要舉措，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 陳晏蓉，汪曉勤. 數(shù)學(xué)史料的選取原則與案例分析［J］. 教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2017（12）：37-43.

［3］ 侯小敏，汪曉勤. HPM微課在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（06）：61-63.