[摘 要] 數(shù)列概念是高中數(shù)學(xué)的重要概念. 研究者從編排思路與知識結(jié)構(gòu)、概念形成的素材、用函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列、教材例題等角度入手,對人教A版(2019版)、蘇教版(2021版)、北師大版(2019版)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)列概念內(nèi)容進(jìn)行比較研究,并提出兩個課時的教學(xué)建議.
[關(guān)鍵詞] 數(shù)列概念;教材比較;知識結(jié)構(gòu);函數(shù)觀點(diǎn)
以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))為依據(jù)編寫的新教材是新課程理念的集中體現(xiàn),是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)中落地的媒介. 不同版本的教材都嚴(yán)格按照課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行編寫,但具體內(nèi)容的呈現(xiàn)方式和內(nèi)容所折射出來的能力和素養(yǎng)要求又有一定差異. 因此,對不同版本的教材進(jìn)行比較研究,能在領(lǐng)會教材的編寫意圖,吸取各版本教材的閃光點(diǎn)的基礎(chǔ)上,創(chuàng)造性地使用教材.
數(shù)列是“函數(shù)”主題的內(nèi)容之一,數(shù)列的學(xué)習(xí)是對函數(shù)的認(rèn)識的深化.數(shù)列概念是高中數(shù)學(xué)的重要概念,是學(xué)生體會數(shù)學(xué)對象的獲得過程和數(shù)學(xué)對象的研究思路的典型載體,其學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).因此,有必要以教材為基礎(chǔ)對數(shù)列概念進(jìn)行深度研究.本文對人教A版(2019版)、蘇教版(2021版)、北師大版(2019版)數(shù)學(xué)教材(分別簡稱人教A版教材、蘇教版教材、北師大版教材)中的數(shù)列概念內(nèi)容進(jìn)行比較研究,并提出兩個課時的教學(xué)建議.
三版本教材的比較
1. 編排思路與知識結(jié)構(gòu)的比較
三版本教材的編排思路和重點(diǎn)內(nèi)容大致相同——都按照如下思路編排內(nèi)容:數(shù)列事實(實際例子)→抽象出數(shù)列的概念→概念辨析(數(shù)列是特殊函數(shù))→數(shù)列的表示與性質(zhì). 它們都采用概念形成的方式建構(gòu)數(shù)列的概念,即從典型豐富的具體案例中抽象出它們的共同特征,進(jìn)而對數(shù)列下定義. 數(shù)列概念的抽象、數(shù)列通項公式的探究是三版本教材共同的重點(diǎn)內(nèi)容. 從函數(shù)的視角看數(shù)列在三版本教材中都有重點(diǎn)體現(xiàn).
雖然三版本教材的編寫總體思路相同,但知識結(jié)構(gòu)有一定差異. (1)關(guān)于數(shù)列的表示,人教A版和蘇教版教材給出的是列表、圖象、通項公式、遞推公式等四種方法,并以例題的形式呈現(xiàn)這四種表示方法,而北師大版教材沒有用遞推公式表示數(shù)列. (2)北師大版教材更加凸顯用函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列,將“數(shù)列的函數(shù)特性”單獨(dú)作為一小節(jié)內(nèi)容,并將研究函數(shù)的兩條基本思路(evk50xZfDHsxx3EKFDuYFTor5SCyNRHZD2UQN786iHk=形的角度直觀認(rèn)識和數(shù)的角度精確刻畫)遷移到數(shù)列的研究中. (3)人教A版和北師大版教材都研究了數(shù)列的單調(diào)性,其中北師大版教材用文字語言、符號語言和圖形語言等刻畫數(shù)列的單調(diào)性,并且利用例題深化學(xué)生的理解,而人教A版教材僅用文字語言進(jìn)行了刻畫. 蘇教版教材沒有講解數(shù)列的單調(diào)性. (4)人教A版教材介紹了數(shù)列的前n項和S,并說明通項a與S之間的關(guān)系,另外兩版教材沒有這部分內(nèi)容. 三版本教材的知識結(jié)構(gòu)圖分別如圖1、圖2、圖3所示.
2. 概念形成素材的比較
為了形成數(shù)列概念,三版本教材都用實例作為問題情境. 按照各版本教材實例的編排順序分別編號,從實例的數(shù)量、來源、剖析、數(shù)列特征,以及與后續(xù)內(nèi)容之間的聯(lián)系等維度進(jìn)行比較分析,整理成表1.
從表1可以看出,三版本教材的實例都能做到“低起點(diǎn)、高立意”. 首先,所選實例主要來自現(xiàn)實生活和熟悉的數(shù)學(xué)問題,便于學(xué)生理解. 其次,實例能揭示數(shù)列的本質(zhì)特征. 實例所蘊(yùn)含的數(shù)列既包含有規(guī)律的數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列),又包含沒有規(guī)律的數(shù)列,避免學(xué)生誤以為具有規(guī)律的一列數(shù)才是數(shù)列;數(shù)列的項既有整數(shù),又有非整數(shù),避免學(xué)生誤認(rèn)為數(shù)列的項只能是整數(shù). 對學(xué)生可能出現(xiàn)的錯誤認(rèn)識的規(guī)避意在指向數(shù)列的本質(zhì)特征:數(shù)列是一列數(shù),且這列數(shù)具有實際意義,不能調(diào)換順序. 再次,實例成為推動數(shù)學(xué)知識發(fā)展的內(nèi)在力量. 實例的共同特征讓數(shù)列的概念呼之欲出,實例中的無窮數(shù)列讓數(shù)列的通項公式和遞推公式這兩種表示方法的呈現(xiàn)成為必然.
人教A版對數(shù)列本質(zhì)特征的揭示更充分,易于學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn).在給出實例之前,用一句引導(dǎo)語“在現(xiàn)實生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們經(jīng)常需要根據(jù)問題的意義,通過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對象”呈現(xiàn)本節(jié)內(nèi)容的先行組織者.引導(dǎo)語中的“一些數(shù)據(jù)”和“特定順序”順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理,具有統(tǒng)攝性,指明三個實例的分析方向. 然后以“示范+模仿”的方式幫助學(xué)生了解數(shù)列,如通過第一實例和第二實例的詳細(xì)分析,引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)列中的數(shù)不能交換位置,在此基礎(chǔ)上指出它們都是“具有確定順序的一列數(shù)”. 接著在第三實例后面提出問題引發(fā)學(xué)生思考:“你能仿造上面的敘述,說明第三實例中的數(shù)也是具有確定順序的一列數(shù)嗎?”最后引導(dǎo)學(xué)生歸納三個實例的共同特征. 由于學(xué)生難以從實例中直接提煉數(shù)列的本質(zhì)特征——具有確定順序的一列數(shù),因此教材搭建思維臺階,聚焦思考方向,便于學(xué)生抽象概念.
蘇教版和北師大版教材給學(xué)生提供了更多自主探究的空間.它們給出實例前,沒有針對實例提出思考方向,而是呈現(xiàn)更豐富的例子(蘇教版6個,北師大版5個),進(jìn)而幫助學(xué)生從眾多實例中抽象概括出“一定次序排列的一列數(shù)”. 學(xué)生沒有受到問題起源闡述的思考限制,可以從不同角度進(jìn)行分析、歸納、提煉,在充分體驗概念形成的過程中,逐步增強(qiáng)問題意識,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 同時,蘇教版教材注重內(nèi)容的前后聯(lián)系,實例1與實例2和實例3與實例4分別在等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義中作為問題情境素材再次被利用.
3. 用函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列的比較
課程標(biāo)準(zhǔn)指出“了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)”,并要求“感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異,體會數(shù)學(xué)的整體性”.三版本教材都從三個角度讓學(xué)生體會數(shù)列是特殊的函數(shù):第一,數(shù)列滿足函數(shù)的定義.數(shù)列中每一個給定的序號n,都有唯一的項a與之對應(yīng),符合函數(shù)的定義. 為幫助學(xué)生理解,三版本教材都用表格直觀呈現(xiàn)這種對應(yīng)關(guān)系. 第二,用函數(shù)的三種表示方法來表示數(shù)列. 函數(shù)有列表法、圖象法、解析式法三種表示方法,分別對應(yīng)數(shù)列的列表法、圖象法、通項公式法. 第三,數(shù)列是特殊的函數(shù),其特殊性在于定義域為正整數(shù)集或其有限子集,因此數(shù)列的圖象是一些孤立的點(diǎn).
三版本教材在內(nèi)容組織、側(cè)重點(diǎn)、語言的描述上有一定差異. 首先,用表格呈現(xiàn)序號n與項a的對應(yīng)關(guān)系時,呈現(xiàn)形式和順序不全相同. 北師大版教材先以具體數(shù)列a=為例,再過渡到一般數(shù)列,分別分析序號n與項a的對應(yīng)關(guān)系;人教A版教材先介紹一般數(shù)列的序號n與項a的對應(yīng)關(guān)系,再用表格和圖象來表示具體數(shù)列的序號n與項a的對應(yīng)關(guān)系;蘇教版教材以文字語言直接指出數(shù)列是特殊的函數(shù),在例題(例2)中用表格引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識序號n與項a的對應(yīng)關(guān)系. 其次,北師大版教材沒有局限于從定義和表示方法挖掘數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,而是更注重研究方法的滲透. 它以數(shù)列的單調(diào)性為載體,引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)單調(diào)性的研究方法中的作差法和圖象分析法遷移到數(shù)列中,讓學(xué)生深刻體會用函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列,用函數(shù)的研究方法研究數(shù)列. 再次,行文風(fēng)格上,蘇教版教材更“隱晦”,人教A版和北師大版教材更“直接”. 例如,“數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式”在人教A版和北師大版教材都有,人教A版更是指出“與其他函數(shù)一樣,數(shù)列也可以用表格和圖象來表示”,這些文字都清晰直接地說明了數(shù)列與函數(shù)在表示方法上的一致性. 蘇教版教材則含蓄地描述為“數(shù)列可以由通項公式來給定,也可以通過列表或圖象來表示”,這樣表達(dá)給了學(xué)生思考和聯(lián)想的空間.
4. 教材例題的比較
人教A版、蘇教版、北師大版教材中的例題分別有5個、4個、5個,按照各版本教材例題的編排順序分別編號,得到三版本教材例題內(nèi)容一覽表(如表2所示). 從設(shè)計意圖來看,人教A版和蘇教版中的例題以知識立意為主,以能力和素養(yǎng)立意為輔. 兩版本教材主要圍繞gDXvH0YWpVZX+Jz7FyT2lQ==通項公式和遞推公式設(shè)置例題.根據(jù)通項公式寫出前幾項并作圖象,以及根據(jù)遞推公式寫出前幾項,都是對數(shù)列概念的理解和表示方法的應(yīng)用;根據(jù)通項公式判斷某個數(shù)是否為數(shù)列中的項,意在將求數(shù)列中的項數(shù)n轉(zhuǎn)化為求方程的正整數(shù)解. 這些例題相對簡單,學(xué)生容易理解,可以幫助學(xué)生鞏固和運(yùn)用本章節(jié)的主要知識,培養(yǎng)學(xué)生的計算能力和理性精神. 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出它的一個通項公式對學(xué)生來說有一定難度,需要通過觀察、計算,尋找項數(shù)n與通項a的對應(yīng)關(guān)系,并用數(shù)學(xué)符號表達(dá)出來,可以發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).
北師大版教材中的例題側(cè)重能力和素養(yǎng)立意,兼顧知識立意. 主要圍繞通項公式和單調(diào)性設(shè)置例題,并有一個例題是數(shù)列的表示方法與單調(diào)性相結(jié)合的實際應(yīng)用問題.北師大版教材中的例題與人教A版和蘇教版教材中的例題的最大不同在于其通過數(shù)列的通項公式(或通項)研究數(shù)列的單調(diào)性,需要學(xué)生先了解數(shù)列單調(diào)性的符號化表達(dá),再調(diào)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,將函數(shù)單調(diào)性的判斷方法遷移到數(shù)列中,不僅能幫助學(xué)生理解數(shù)列的本質(zhì),促進(jìn)知識內(nèi)化,還能在與函數(shù)的研究方法的聯(lián)系中幫助學(xué)生建構(gòu)方法體系,提升數(shù)學(xué)方法的遷移能力. 北師大版教材中的實際應(yīng)用問題有一定難度,需要學(xué)生通過文字閱讀,提取信息,并用符號和圖象表示,有助于學(xué)生閱讀理解能力、推理能力和數(shù)學(xué)建模能力的提升.
綜上所述,三版本教材在落實新課程理念的基礎(chǔ)上各具特色. 人教A版教材知識內(nèi)容全面、脈絡(luò)清晰,概念形成過程注重示范,突破學(xué)習(xí)難點(diǎn),揭示數(shù)學(xué)本質(zhì),例題選擇兼顧知識鞏固與能力發(fā)展. 蘇教版教材知識內(nèi)容簡明,突出主干知識,注重從單元整體架構(gòu)的角度選擇學(xué)習(xí)素材,以典型豐富的例子促進(jìn)概念形成,例題選擇精煉且基礎(chǔ). 北師大版教材強(qiáng)調(diào)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系,注重知識體系的構(gòu)建和研究方法的遷移,例題選擇對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有一定要求.
教學(xué)建議
基于上述三版本教材的比較分析,綜合它們的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué).以數(shù)列的概念為載體,讓學(xué)生明晰研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑,發(fā)展其認(rèn)知結(jié)構(gòu),完善其認(rèn)知體系.
因為遞推公式反映了數(shù)列的項之間的迭代關(guān)系,是數(shù)列重要的表示形式;數(shù)列的前n項和S與通項a之間的關(guān)系是后續(xù)學(xué)習(xí)構(gòu)造法證明數(shù)列型不等式的主要依據(jù);數(shù)列的單調(diào)性對體會數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系具有不可替代的作用. 因此,將遞推公式、前n項和、單調(diào)性三部分內(nèi)容都列入教學(xué)內(nèi)容. 從內(nèi)容上對“數(shù)列的概念”單元劃分課時如下:
課時1:數(shù)列的概念(1)——數(shù)列概念的形成、數(shù)列概念的辨析、數(shù)列的三種表示.
課時2:數(shù)列的概念(2)——數(shù)列的遞推公式、單調(diào)性、前n項和.
現(xiàn)呈現(xiàn)每個課時教學(xué)設(shè)計的重點(diǎn)環(huán)節(jié).
1. 課時1:數(shù)列的概念(1)
師:高一時我們研究了重要的數(shù)學(xué)對象——函數(shù).回顧函數(shù)的研究思路“現(xiàn)實情境→函數(shù)概念→符號表示→具體函數(shù)→知識應(yīng)用”.本節(jié)課開始,我們將研究一種新的數(shù)學(xué)對象.
(1)問題情境,形成概念
情境1[1] 王芳從1歲到17歲,每年生日那天測量身高. 將這些身高數(shù)據(jù)(單位:cm)依次排成一列數(shù):
75,87,96,103,110,116,120,128, 138,145,153,158,160,162,163,165, 168. ①
情境2[1] 在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版上,有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù):
5,10,20,40,80,96,112,128,144, 160,176,192,208,224,240. ②
情境3[1] -的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù):
-,,-,,…. ③
情境4[2] 某種樹木第1年長出幼枝,第2年幼枝長成粗干,第3年粗干可生出幼枝(如圖4所示),那么按照這個規(guī)律,各年樹木的枝干數(shù)依次為:
1,1,2,3,5,8,….④
問題1 根據(jù)情境1和情境2,回答下列問題.
①情境1中,第4、第6個數(shù)的實際意義分別是什么?若交換103和116的順序,所表示的實際意義還一樣嗎?
②如何表示每一個數(shù)所在的位置?能否引入一個符號,表示上述情境中的數(shù)?
師生活動:用序號表示每一個數(shù)所在的位置,并引入與序號相關(guān)的符號來表示情境中的數(shù),如用h表示王芳第i歲生日那天的身高,用s表示第i天月亮可見部分的數(shù)……
追問:按這樣的表述,s的實際意義是什么?
設(shè)計意圖 通過實際意義的表明和符號表示,讓學(xué)生體會①②都是具有確定順序的一列數(shù).
問題2 你能仿造上面的研究過程,說明③④也都是具有確定順序的一列數(shù)嗎?
問題3 上述4個例子有何共同特征?
師生活動:抽象出數(shù)列的定義,并給出數(shù)列的一般形式.
問題4 你能舉出一個數(shù)列的例子,并說明它的實際意義嗎?
(2)概念辨析,建立聯(lián)系
問題5 根據(jù)上述4個數(shù)列中的項與序號之間的關(guān)系,你能聯(lián)想到已經(jīng)學(xué)過的什么知識嗎?
追問:能用函數(shù)的定義進(jìn)行分析嗎?
問題6 既然數(shù)列是函數(shù),它的定義域是什么?類比函數(shù)的表示方法,你認(rèn)為數(shù)列有哪些表示方法?
追問:你能用列表法和圖象法來表示數(shù)列①嗎?
問題7 函數(shù)的解析式法對應(yīng)數(shù)列的什么表示方法?
引導(dǎo)學(xué)生分析得到:函數(shù)可以用一個式子(解析式)來刻畫其因變量與自變量之間的對應(yīng)關(guān)系,數(shù)列也可以用一個式子(通項公式)來刻畫項與序號之間的對應(yīng)關(guān)系. 師生共同分析情境3中的數(shù)列,得到a=
-n是其通項公式.
(3)概念運(yùn)用,承上啟下
例1 根據(jù)下列數(shù)列{a}的通項公式,寫出數(shù)列的前5項,并畫出它們的圖象.
(1)a=;
(2)a=cos.
例2 根據(jù)下列數(shù)列的前4項,寫出數(shù)列的一個通項公式:
(1)1,-,,-,…;
(2)2,0,2,0,….
師:一個數(shù)列的通項公式是否唯一?
2. 課時2:數(shù)列的概念(2)
(4)形成沖突,豐富表示
師:是否所有的數(shù)列都有通項公式?哪些數(shù)列有通項公式?
生1:根據(jù)例2可知,能找出規(guī)律的數(shù)列才能寫出其通項公式.
問題8 你能找出數(shù)列④的規(guī)律嗎?能寫出它的通項公式嗎?
生2:從第3項起,每一項都是前兩項的和,寫不出它的通項公式.
師:如何用符號刻畫這種規(guī)律?
生3:a=a+a,a=a+a,…,a=a+a,….
例3 已知數(shù)列{a}滿足a=1,a=1,a=a+a,其中n∈N*,寫出這個數(shù)列的前5項.
設(shè)計意圖 以學(xué)生現(xiàn)有的知識,雖然知道數(shù)列④有規(guī)律,但寫不出它的通項公式,從而引發(fā)了認(rèn)知沖突. 通過例3指出數(shù)列還可以用遞推公式來表示,并引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)列的每一項與遞推公式之間的關(guān)系.
(5)方法遷移,建構(gòu)體系
問題9 學(xué)習(xí)函數(shù)時,我們研究了它的哪些性質(zhì)?你能給出單調(diào)遞增(遞減)數(shù)列的定義,并用數(shù)學(xué)符號來刻畫嗎?如何根據(jù)數(shù)列的通項公式來判斷它的單調(diào)性?
例4[3] 寫出下面數(shù)列的一個通項公式,并判斷其增減性:
,,,…,,….
例5[3] 一輛郵車每天從A地往B地運(yùn)送郵件,沿途(包括A,B)共8站.從A地出發(fā)時,裝上發(fā)往后面7站的郵件各1件,到達(dá)后面各站后卸下前面各站發(fā)往該站的郵件,同時裝上該站發(fā)往后面各站的郵件各1件. 試寫出郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件數(shù)所成的數(shù)列,畫出該數(shù)列的圖象,并判斷該數(shù)列的增減性.
完成例5后,給出數(shù)列{a}的前n項和S的定義,并探究S與a之間的關(guān)系.
設(shè)計說明 前3個情境源于人教A版教材,第4個情境來自蘇教版教材;例1、例2來自人教A版教材,例3是對蘇教版教材中的例題的改編,例4、例5選自北師大版教材. 在教學(xué)中,采用人教A版“模仿+示范”的方式與學(xué)生一起分析問題情境,歸納總結(jié)數(shù)列的本質(zhì)特征. 類比函數(shù)的研究思路來研究數(shù)列,并將數(shù)列知識及研究方法納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),在豐富和完善認(rèn)知體系的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).
參考文獻(xiàn):
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