［摘 要］ 基于SEC模型，并結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)相關(guān)理論框架，從內(nèi)容主題和認(rèn)知水平兩個(gè)維度對(duì)人教A版教材和北師大版教材高中數(shù)學(xué)教材中的三角函數(shù)習(xí)題與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）（簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn)）》進(jìn)行一致性研究. 研究發(fā)現(xiàn)，北師大版教材與課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性更高.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；一致性研究；教材習(xí)題；課程標(biāo)準(zhǔn)

提出問(wèn)題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn)）正式提出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并將其描述為學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力，具體包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析［1］.

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫、教學(xué)、評(píng)估和考試命題的依據(jù)，是國(guó)家管理和評(píng)價(jià)課程的基礎(chǔ)［2］. 教材作為課程內(nèi)容的重要載體，其編寫需要與課程標(biāo)準(zhǔn)保持一致. 習(xí)題作為教材內(nèi)容的重要組成部分，是教學(xué)過(guò)程中不可或缺的因素. 一方面，習(xí)題是幫助學(xué)生掌握知識(shí)、提升能力的重要工具；另一方面，習(xí)題是教師了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況的重要途徑. 余元慶認(rèn)為習(xí)題配備得好不好，直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量的高低［3］. 雖然學(xué)界對(duì)試卷與課程標(biāo)準(zhǔn)有大量的一致性研究［4-7］，但有關(guān)教材習(xí)題與課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性研究較少. 有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，不少教師沒(méi)有充分挖掘教材中習(xí)題的功能，盲目使用教輔［8］. 三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù)，提供了對(duì)周期性變化的思考，在高中數(shù)學(xué)教材中占有重要地位［9］.

通過(guò)上述多方面的思考，本研究以核心素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)現(xiàn)行教材中的三角函數(shù)習(xí)題與課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了一致性比較，希望從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，以便為后續(xù)改進(jìn)提供參考和借鑒.

研究設(shè)計(jì)

1. 研究對(duì)象

鑒于人民教育出版社和北京師范大學(xué)出版社2019年出版的普通高中數(shù)學(xué)教科書（分別簡(jiǎn)稱人教A版教材和北師大版教材）使用范圍較廣且影響較大，本研究選定這兩版教材中的三角函數(shù)習(xí)題與課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行一致性比較，涉及教材中的“例題”“練習(xí)題”“習(xí)題”“復(fù)習(xí)參考題”等版塊.

2. 研究工具

John Smithson和Andrew Porter等人在Norman L.Webb的研究基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)了SEC一致性分析模型，通常用于判斷教學(xué)項(xiàng)目與課程標(biāo)準(zhǔn)之間的一致性［10］.

本研究采用SEC模型從內(nèi)容主題和認(rèn)知水平兩個(gè)維度來(lái)探討教材習(xí)題和課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性程度. 研究過(guò)程大致分為三步：

第一，建立“5×3”的二維矩陣. 在內(nèi)容主題維度上，參照課程標(biāo)準(zhǔn)，將“三角函數(shù)”章節(jié)劃分為“角與弧度”“三角函數(shù)的概念與性質(zhì)”“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”“三角恒等變換”和“三角函數(shù)的應(yīng)用”五部分. 在認(rèn)知水平維度上，根據(jù)喻平教授所提的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架，劃分為知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新三類［11］. 知識(shí)理解表現(xiàn)為初步了解、初步體會(huì)、感受、認(rèn)識(shí)知識(shí)；知識(shí)遷移表現(xiàn)為掌握、利用知識(shí)，運(yùn)用多種知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題；知識(shí)創(chuàng)新表現(xiàn)為設(shè)計(jì)不同方法，選擇不同知識(shí)解決非常規(guī)問(wèn)題［11］.

第二，將二維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為比率分別填入三張二維矩陣表.

第三，利用Porter一致性公式［12］P=1-算出結(jié)果. 其中n是二維框架單元格的總數(shù)，a表示課程標(biāo)準(zhǔn)矩陣的第i個(gè)單元格所對(duì)應(yīng)的數(shù)值，b表示教材矩陣的第i個(gè)單元格所對(duì)應(yīng)的數(shù)值；P為一致性系數(shù)，范圍在0到1之間，越趨近于1代表一致性越高.

3. 編碼方法

分析教材和課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，首先，將三角函數(shù)的五個(gè)內(nèi)容主題“角與弧度”“三角函數(shù)的概念與性質(zhì)”“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”“三角恒等變換”和“三角函數(shù)的應(yīng)用”分別編碼為1，2，3，4，5；其次，將數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象分別編碼為A，R，M，O，I（由于“三角函數(shù)”章節(jié)基本不涉及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，所以將其去除）；再者，將知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新分別編碼為L(zhǎng)1，L2，L3. 在認(rèn)知水平分布時(shí)，可簡(jiǎn)寫為1，2，3，例如A1表示數(shù)學(xué)抽象知識(shí)理解水平.

需要特別說(shuō)明的是，分析教材時(shí)，若一道題有多個(gè)小問(wèn)，則將每一小問(wèn)記為一道習(xí)題，根據(jù)已有研究［13］，若一道習(xí)題涉及多個(gè)核心素養(yǎng)，則編碼時(shí)只選取其中最主要的兩個(gè)核心素養(yǎng).

編碼結(jié)果

為了減少人工編碼的誤差，編碼工作由兩位研究人員獨(dú)立完成，然后用SPSS26.0軟件對(duì)編碼結(jié)果進(jìn)行Kappa一致性檢驗(yàn)，得出Kappa值為0.867，說(shuō)明編碼結(jié)果具有良好的一致性，對(duì)分歧點(diǎn)進(jìn)行討論修改，形成最終一致的編碼結(jié)果，數(shù)據(jù)結(jié)果見(jiàn)表1至表3.

結(jié)果與分析

1. 兩版教材中的三角函數(shù)習(xí)題與課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性系數(shù)

根據(jù)Porter一致性公式，計(jì)算人教A版教材和北師大版教材中的三角函數(shù)習(xí)題與課程標(biāo)準(zhǔn)的P值分別為0.7641，0.7807.Gavin W.Fulmer利用R軟件通過(guò)隨機(jī)模擬，得出“5×3”編碼標(biāo)準(zhǔn)（30標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)）臨界值范圍為0.8667～0.9444［14］. 雖然北師大版教材與課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性系數(shù)略高于人教A版教材與課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性系數(shù)，但二者均低于臨界值下限0.8667，說(shuō)明兩版教材中的三角函數(shù)習(xí)題與課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性程度較弱.

2. 內(nèi)容主題維度

（1）內(nèi)容主題維度下的兩版教材與課程標(biāo)準(zhǔn)之間的差異

由圖1可知，總體上課程標(biāo)準(zhǔn)中內(nèi)容主題的占比為：三角函數(shù)的概念與性質(zhì)=三角恒等變換>角與弧度=同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式=三角函數(shù)的應(yīng)用. 兩版教材與課程標(biāo)準(zhǔn)差別不大. 其中，“三角函數(shù)的概念與性質(zhì)”和“三角恒等變換”的占比均超過(guò)均值0.2，而“角與弧度”“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”和“三角函數(shù)的應(yīng)用”的占比則均在均值0.2之下.

從內(nèi)容主題來(lái)看，對(duì)于“三角函數(shù)的概念與性質(zhì)”和“角與弧度”，在兩版教材中的占比都高于課程標(biāo)準(zhǔn)，其中人教A版教材更接近課程標(biāo)準(zhǔn)；對(duì)于“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”和“三角恒等變換”，在兩版教材中的占比都低于課程標(biāo)準(zhǔn)，其中北師大版教材更接近課程標(biāo)準(zhǔn)；對(duì)于“三角函數(shù)的應(yīng)用”，在人教A版教材中的考察比重高于課程標(biāo)準(zhǔn)，而北師大版教材的考察比重則低于課程標(biāo)準(zhǔn).

（2）內(nèi)容主題維度下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分布情況

根據(jù)統(tǒng)計(jì)后的編碼結(jié)果得到課程標(biāo)準(zhǔn)、人教A版教材和北師大版教材在內(nèi)容主題維度下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的分布情況，如圖2所示.

由圖2可知，在“角與弧度”的維度下，課程標(biāo)準(zhǔn)側(cè)重于培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象；人教A版教材同樣如此，但考查數(shù)學(xué)抽象的比重略小于課程標(biāo)準(zhǔn)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的比重略大于課程標(biāo)準(zhǔn)；相較于課程標(biāo)準(zhǔn)，北師大版教材側(cè)重于培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的同時(shí)，考查直觀想象的比重大于數(shù)學(xué)抽象.在“三角函數(shù)的概念與性質(zhì)”的維度下，課程標(biāo)準(zhǔn)側(cè)重于培養(yǎng)直觀想象，同時(shí)注重對(duì)數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)，并未涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算；而人教A版教材對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查比重最大，其次為直觀想象，考查數(shù)學(xué)建模的比重最小，且明顯小于課程標(biāo)準(zhǔn)；北師大版教材考查比重最大的核心素養(yǎng)與課程標(biāo)準(zhǔn)相同，均為直觀想象，其次為數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)建模最小，其中直觀想象、數(shù)學(xué)建模的比重明顯小于課程標(biāo)準(zhǔn). 在“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”的維度下，課程標(biāo)準(zhǔn)側(cè)重于數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)；人教A版教材只涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查；北師大版教材側(cè)重于數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的培養(yǎng). 在“三角恒等變換”的維度下，課程標(biāo)準(zhǔn)側(cè)重于邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)；人教A版教材考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的比重高于課程標(biāo)準(zhǔn)，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的比重均低于課程標(biāo)準(zhǔn)，此外，人教A版教材還有較少的關(guān)于數(shù)學(xué)建模和直觀想象的考查；北師大版教材考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的比重明顯高于課程標(biāo)準(zhǔn)，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的比重則均低于課程標(biāo)準(zhǔn)，此外，北師大版教材還考查了直觀想象和數(shù)學(xué)建模. 在“三角函數(shù)的應(yīng)用”的維度下，課程標(biāo)準(zhǔn)側(cè)重于數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)；人教A版教材在這兩項(xiàng)上的考查比重均低于課程標(biāo)準(zhǔn)，另外考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象；北師大版教材對(duì)該主題的考查比重較低，且對(duì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的考查比重均低于課程標(biāo)準(zhǔn).

3. 認(rèn)知水平維度

（1）認(rèn)知水平維度下的兩版教材與課程標(biāo)準(zhǔn)之間的差異

由圖3可知，對(duì)于認(rèn)知水平的分布，課程標(biāo)準(zhǔn)主要集中在知識(shí)遷移，其次是知識(shí)理解，最后是知識(shí)創(chuàng)新，兩版教材也有同樣的趨勢(shì).對(duì)于知識(shí)遷移水平，在人教A版教材中的占比低于課程標(biāo)準(zhǔn)，而在北師大版教材中的占比則高于課程標(biāo)準(zhǔn)；對(duì)于知識(shí)理解水平，在兩版教材中的占比均高于課程標(biāo)準(zhǔn)；對(duì)于知識(shí)創(chuàng)新水平，在兩版教材中的占比均遠(yuǎn)低于課程標(biāo)準(zhǔn).

（2）認(rèn)知水平維度下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分布情況

根據(jù)統(tǒng)計(jì)后的編碼結(jié)果得到課程標(biāo)準(zhǔn)、人教A版教材和北師大版教材在認(rèn)知水平維度下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分布情況，如圖4所示.

由圖4可知，參照課程標(biāo)準(zhǔn)，在認(rèn)知水平上，兩版教材習(xí)題的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的分布很不均衡.在知識(shí)理解上，在課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)抽象的占比最多，其次為數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模；在人教A版教材中，數(shù)學(xué)運(yùn)算的占比最大，其次為數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模的占比最小，數(shù)學(xué)運(yùn)算的占比大于課程標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的占比均小于課程標(biāo)準(zhǔn)；在北師大版教材中，占比最大的依然是數(shù)學(xué)運(yùn)算，大于課程標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的占比均小于課程標(biāo)準(zhǔn).在知識(shí)遷移上，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)五項(xiàng)核心素養(yǎng)均有所考查，占比最大的是直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算；在人教A版教材中，占比最大的是數(shù)學(xué)運(yùn)算，而且明顯大于課程標(biāo)準(zhǔn)，但邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象的占比均小于課程標(biāo)準(zhǔn)；在北師大版教材中，數(shù)學(xué)運(yùn)算的占比最大，超過(guò)了課程標(biāo)準(zhǔn)兩倍. 在知識(shí)創(chuàng)新上，課程標(biāo)準(zhǔn)只涉及邏輯推理，兩版教材均涉及邏輯推理，且占比均小于課程標(biāo)準(zhǔn).此外，人教A版教材還涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和直觀想象，北師大版教材涉及數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算.

結(jié)論與建議

通過(guò)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)與兩版教材的一致性比較，得到如下結(jié)論：

根據(jù)Porter一致性公式可得，人教A版教材和北師大版教材中的三角函數(shù)習(xí)題與課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性系數(shù)均低于臨界值下限，兩版教材中的三角函數(shù)習(xí)題與課程標(biāo)準(zhǔn)的一致性不強(qiáng)，北師大版教材比人教A版教材更接近臨界值下限.

在內(nèi)容主題上，人教A版教材與北師大版教材的內(nèi)容占比與課程標(biāo)準(zhǔn)相差不大，差距基本上都不超過(guò)0.1. 兩版教材在不同內(nèi)容主題上的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查有所不同，在“角與弧度”“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”和“三角恒等變換”三個(gè)內(nèi)容主題上，人教A版教材習(xí)題對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，相較于北師大版教材，更符合課程標(biāo)準(zhǔn)的核心素養(yǎng)要求；在“三角函數(shù)的概念與性質(zhì)”和“三角函數(shù)的應(yīng)用”兩個(gè)內(nèi)容主題上，北師大版教材習(xí)題對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，相較于人教A版教材，更符合課程標(biāo)準(zhǔn)的核心素養(yǎng)要求.

在認(rèn)知水平上，以課程標(biāo)準(zhǔn)作為參照，兩版教材在認(rèn)識(shí)水平維度下的核心素養(yǎng)占比不同. 整體上，課程標(biāo)準(zhǔn)和兩版教材對(duì)認(rèn)知水平的考查均是“知識(shí)遷移>知識(shí)理解>知識(shí)創(chuàng)新”，這與課程標(biāo)準(zhǔn)是相吻合的.在知識(shí)理解上，課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)抽象的占比最大，而北師大版教材和人教A版教材是數(shù)學(xué)運(yùn)算占比最大. 在知識(shí)遷移上，兩版教材中數(shù)學(xué)運(yùn)算的占比都遠(yuǎn)超課程標(biāo)準(zhǔn)，但對(duì)于直觀想象的重視程度存在不足；在知識(shí)創(chuàng)新上，課程標(biāo)準(zhǔn)只考查邏輯推理，兩版教材對(duì)五項(xiàng)核心素養(yǎng)均有考查，北師大版教材對(duì)核心素養(yǎng)的考查與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求更加一致.

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)核心素養(yǎng)的考查比例適中，但兩版教材對(duì)三角函數(shù)習(xí)題的編制都傾向于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，這可能導(dǎo)致學(xué)生發(fā)展失衡. 在今后教材修訂與完善的過(guò)程中，可從以下幾方面去考慮.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》首次提出六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，它們既相互獨(dú)立，又彼此交融，是一個(gè)有機(jī)整體. 以課程標(biāo)準(zhǔn)作為參照，人教A版教材和北師大版教材中的三角函數(shù)習(xí)題對(duì)核心素養(yǎng)的考查分布并不均衡，兩版教材習(xí)題尤其注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，這與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求并不一致. 教材代表編寫者對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的一種理解，卻未必真正代表課程標(biāo)準(zhǔn)的本來(lái)含義［15］. 因此，在教材編寫過(guò)程中，教材習(xí)題編寫者應(yīng)仔細(xì)研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，圍繞課程標(biāo)準(zhǔn)要求，合理設(shè)置對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查比例，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 兩版教材中的三角函數(shù)習(xí)題對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)的考查較少，而數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要素養(yǎng)，因此建議教材增加培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和直觀想象素養(yǎng)的習(xí)題.

長(zhǎng)期以來(lái)，我國(guó)中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平在國(guó)際上遙遙領(lǐng)先，與多年來(lái)我國(guó)重視“雙基”密不可分. 但在知識(shí)創(chuàng)新水平上，兩版教材的權(quán)重都低于課程標(biāo)準(zhǔn). 因此，教材應(yīng)增加一些創(chuàng)新性、開(kāi)放性習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生多角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 例如北師大版教材第八節(jié)中的“水車問(wèn)題”，要求學(xué)生利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)建立水車運(yùn)動(dòng)模型，并且考慮當(dāng)河水上漲或旱季河流量減少對(duì)數(shù)學(xué)模型的影響. 這種富有濃厚生活氣息，具有開(kāi)放性、發(fā)展性與實(shí)踐性的習(xí)題，結(jié)合閱讀、寫作、建模等實(shí)踐活動(dòng)，可為學(xué)生的發(fā)展搭建平臺(tái).

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［6］ 張定強(qiáng)，裴陽(yáng). 新高考改革背景下數(shù)學(xué)試卷與課標(biāo)一致性研究——以2017—2018年全國(guó)Ⅱ卷與浙江卷為例［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（04）：55-60.

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［13］ 王彥棋，石玲瑜. 基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的普通高中數(shù)學(xué)教科書與課程標(biāo)準(zhǔn)比較分析——以人教A版中的“函數(shù)”習(xí)題為例［J］. 遼寧師專學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，23（03）：1-7.

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