謝翰君　王欽若

摘要：針對龍門同步雙驅(qū)（GSD）平臺因負(fù)載不均導(dǎo)致的同步誤差影響加工精度的問題，目前的研究大多忽略了雙驅(qū)軸之間的交叉耦合效應(yīng)，或者重負(fù)載在龍門架橫梁上的位置變化對同步誤差的影響。為解決這一問題，首先，通過定義龍門架橫梁的虛擬質(zhì)心，量化雙驅(qū)電機之間的交叉耦合力；然后，設(shè)計一種基于虛擬質(zhì)心的GSLQR最優(yōu)控制和力前饋解耦控制算法；最后，進行仿真實驗。仿真實驗結(jié)果表明，該算法的同步誤差最大值比GSLQR最優(yōu)控制算法和推力分配算法分別降低了約70%和60%，提高了GSD平臺的同步性能和運動性能。

關(guān)鍵詞：龍門同步雙驅(qū)平臺；龍門同步線性二次調(diào)節(jié)器；最優(yōu)控制；力前饋解耦控制；虛擬質(zhì)心；重負(fù)載

中圖分類號：TP13 ???????????文獻標(biāo)志碼：A ???????????文章編號：1674-2605（2024）03-0003-07

DOI：10.3969/j.issn.1674-2605.2024.03.003

GSLQR Optimal Control and Force Feedforward Decoupling Control Algorithm Based on Virtual Centroid

Abstract： In response to the problem of synchronization errors affecting machining accuracy caused by uneven load on the gantry synchronous dual drive （GSD） platform， current research has mostly ignored the cross-coupling effect between the dual drive shafts， or the impact of changes in the position of heavy loads on the gantry crossbeam on synchronization errors. To solve this problem， first， quantify the cross-coupling force between the dual drive motors by defining the virtual center of mass of the gantry crossbeam; Then， design a GSLQR optimal control and force feedforward decoupling control algorithm based on virtual centroid; Finally， conduct simulation experiments. The simulation experiment results show that the maximum synchronization error of the algorithm is reduced by about 70% and 60% compared to the GSLQR optimal control algorithm and thrust allocation algorithm， respectively， improving the synchronization and motion performance of the GSD platform.

Keywords： gantry synchronous dual drive platform; gantry synchronous linear quadratic regulator; optimal control; force feedforward decoupling control; virtual centroid; heavy load

0 引言

在大跨度、長行程笛卡爾機器人系統(tǒng)中，龍門同步雙驅(qū)（gantry synchronous dual drive， GSD）平臺因具有較高的剛性和加速性能而受到廣泛關(guān)注[1]。在GSD平臺實際運行中，龍門架橫梁上的重負(fù)載移動時，致使雙驅(qū)電機的負(fù)載不均衡、運動不同步，從而導(dǎo)致

GSD平臺的加工精度下降，甚至龍門架變形損壞。

目前，許多專家學(xué)者提出了多種解耦控制策略，以提高龍門雙驅(qū)電機的同步性能和運動性能。MENG等[2]提出一種模型預(yù)測控制策略，基于面向線性時不變（linear time invariant， LTI）系統(tǒng)控制的切換模型，在雙驅(qū)電機同步性能不佳的情況下，可保證輪廓公差，

但該模型忽略了激光切割工作頭（負(fù)載）的轉(zhuǎn)動慣量。HE等[3]引入一種商用控制器實現(xiàn)GSD平臺的同步控制，但欠缺相關(guān)的理論分析。ISHIZAKI等[4]提出交叉耦合比例微分控制器，通過修改參考位置和速度命令來補償龍門軸線性驅(qū)動之間的差分定位誤差，但該控制器僅基于反饋控制，沒有考慮因負(fù)載位置變化而導(dǎo)致的雙驅(qū)同步誤差。WANG等[5]提出一種模型參考自適應(yīng)控制與變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合的方法，可以在線確定并補償雙驅(qū)電機之間的同步運動誤差，但該方法沒有考慮橫梁剛性結(jié)構(gòu)對雙驅(qū)電機產(chǎn)生的交叉耦合效應(yīng)。YU等[6]提出一種改進型變結(jié)構(gòu)控制的位置控制器解耦控制算法，不僅可以補償因龍門結(jié)構(gòu)而導(dǎo)致的耦合力，還能增強系統(tǒng)的魯棒性，但該算法沒有考慮負(fù)載位置變化而導(dǎo)致的雙驅(qū)同步誤差。KIM等[7]針對GSD平臺提出線性二次調(diào)節(jié)器（linear quadratic regulator， LQR）最優(yōu)控制方法，可提高雙驅(qū)電機的同步精度，但該方法僅對單軸模型進行優(yōu)化控制。QUAN[8]將GSD耦合系統(tǒng)的同步控制問題轉(zhuǎn)化為線性二次最優(yōu)控制問題，但計算過程復(fù)雜。GOMAND等[9]基于GSD物理模型推導(dǎo)出一種解耦控制算法，但沒有考慮重負(fù)載在龍門架橫梁上的位置變化對同步誤差的影響。LI等[10]提出一種帶推力分配的自適應(yīng)魯棒控制（adaptive robust control， ARC）算法，實現(xiàn)了雙驅(qū)電機的運動同步及內(nèi)力同步調(diào)節(jié)，但在前饋補償策略方面，該算法較為簡單。

本文提出基于虛擬質(zhì)心的GSLQR最優(yōu)控制和力前饋解耦控制算法。首先，針對GSD平臺的重負(fù)載位置變化，采用全局的GSLQR優(yōu)化方法對龍門雙驅(qū)軸的交叉耦合力進行初步補償；然后，在此基礎(chǔ)上深化力前饋解耦算法的研究，有效處理因負(fù)載位置變化而導(dǎo)致的雙驅(qū)同步誤差。

1 GSD平臺模型

雙邊直線電機驅(qū)動的GSD平臺的雙驅(qū)軸（ 軸）由永磁直線電機（permanent magnet linear motor， PMLM）驅(qū)動，2條磁軌（PMLM定子）平行固定在大理石底座上；精密滾珠直線導(dǎo)軌平行于2條磁軌安裝；2個PMLM動子（位于橫梁兩端的下方）與精密滾珠直線導(dǎo)軌滑塊剛性連接；正交于精密滾珠直線導(dǎo)軌的龍門架橫梁通過滑塊與精密滾珠直線導(dǎo)軌剛性連接；龍門架橫梁上的激光切割工作頭（負(fù)載）由PMLM（ 軸）驅(qū)動。GSD平臺結(jié)構(gòu)如圖1所示。

GSD平臺的等效集參數(shù)模型如圖2所示[1]。當(dāng)龍門架橫梁轉(zhuǎn)角 為0時，雙驅(qū)PMLM的 電機同步運動；當(dāng) 不為0時，雙驅(qū)PMLM的 電機異步運動（為簡便起見，圖2中沒有畫出 電機，其位置分別與圖2中的2個滑塊位置重合）。精密滾珠直線導(dǎo)軌滑塊的滾珠相對于結(jié)合部位的剛度較低，可看作是彈性元件[10]。

圖2中， 為固定的慣性坐標(biāo)系，原點 位于兩條精密滾珠直線導(dǎo)軌中間， 軸與導(dǎo)軌平行； 為龍門架橫梁的等效質(zhì)心； 為龍門架橫梁上的移動慣性坐標(biāo)系， 軸平行于龍門架橫梁的軸向； 為龍門架橫梁上重負(fù)載的質(zhì)量； 為龍門架橫梁的質(zhì)量； 分別為 電機的位置值（由線性光柵編碼器獲得）； 分別為精密滾珠直線導(dǎo)軌的阻尼系數(shù)； 為龍門架橫梁的長度； 、 分別為C到 電機之間的距離。上述變量的參數(shù)值詳見文獻[1]。

XIE等[1]給出了圖2 GSD平臺的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型，并通過實際系統(tǒng)的頻率響應(yīng)辨識實驗證實了其有效性。該數(shù)學(xué)模型表明，雙驅(qū) 電機耦合效應(yīng)主要由龍門架橫梁上重負(fù)載 的位置變化引起的。

2? GSLQR最優(yōu)控制及力前饋解耦控制算法

GSD平臺等效集參數(shù)模型的耦合狀態(tài)方程為[1]

為減少GSD平臺的雙驅(qū)電機在動態(tài)重負(fù)載下的同步誤差，首先，利用GSLQR最優(yōu)控制算法對系統(tǒng)的交叉耦合力進行初步補償；然后，提出基于虛擬質(zhì)心的GSLQR最優(yōu)控制和力前饋解耦控制算法，進一步提高 電機的同步精度。

2.1? GSLQR最優(yōu)控制算法

一般情況下，設(shè)定系統(tǒng)的狀態(tài)權(quán)值矩陣 和輸入權(quán)值R后，最優(yōu)反饋增益 可由Riccati方程計算[11]。

將公式（5）的最后一項用分部積分法展開，可得

為獲得 的極小值，令公式（7）～（9）都等于零。

對公式（10）進行轉(zhuǎn)置并整理，有

（12）

矩陣的數(shù)值解可由后向逼近動態(tài)規(guī)劃（back-ward approximate dynamic programm， BADP）算法求解。將解出的 代入公式（8），可得到最優(yōu)反饋增益 ，則控制律為

由公式（12）可知，GSLQR與LQR都具有無限增益裕度 ，保證相位裕度 。該結(jié)論可由李亞普諾夫第二方法證明[11]。

2.2? 算法設(shè)計

由于GSLQR最優(yōu)控制算法具有魯棒性，在GSLQR中加入力前饋解耦可進一步提高系統(tǒng)的同步精度[12]。受B?AR?E等[13]提出的因果序圖逆模型概念的啟發(fā)，本文提出基于虛擬質(zhì)心的GSLQR最優(yōu)控制和力前饋解耦控制算法。

式中： 分別為龍門架橫梁運動時不平衡負(fù)載對 電機的耦合力。注意，重負(fù)載 移動，導(dǎo)致質(zhì)心C在龍門架橫梁縱向上發(fā)生變化。

由此，基于虛擬質(zhì)心的GSLQR最優(yōu)控制和力前饋解耦控制算法的框圖如圖3所示。

至此，基于虛擬質(zhì)心的GSLQR最優(yōu)控制和力前饋解耦控制算法設(shè)計完成。

3 實驗與分析

本文實驗在MATLAB/Simulink環(huán)境下進行，采用的計算機配置為Intel（R） Core（TM） I7-7500U CPU，8 GB 內(nèi)存，GSD平臺模型參數(shù)詳見文獻[1]。仿真實驗對比GSLQR最優(yōu)控制算法（算法1）、文獻[10]的推力分配算法 （算法2）和本文算法（算法3）。

3.1? GSLQR最優(yōu)控制算法的仿真實驗

圖4仿真結(jié)果表明：當(dāng)重負(fù)載 位于龍門架橫梁的不同位置時，GSLQR最優(yōu)控制算法可以保證 電機的響應(yīng)速度基本相同；然而，由圖4（a）、（c）可以看出，當(dāng)雙驅(qū)電機的重負(fù)載越來越不平衡時， 電機的同步誤差趨于惡化。

需要指出的是，GSLQR最優(yōu)控制算法的有效性主要取決于圖2中 是否近似為零（此時 ）。 得益于龍門架橫梁與精密滾珠直線導(dǎo)軌的剛性連接，始終保證平臺運動時 ，即平臺的運動始終由線性方程組控制[1]。實際操作中， 的范圍還與精密滾珠直線導(dǎo)軌的間隙有關(guān)：間隙越大， 越大。如果不滿足 ，則需要非線性解決方案，這將在下一步的研究中討論。

3.2? 對比試驗

設(shè)置 ，將重負(fù)載 的位置調(diào)整到 電機側(cè)。權(quán)重設(shè)置為 ， ，可得最優(yōu)反饋增益為

設(shè)置 ，將重負(fù)載 的位置調(diào)整到 電機側(cè)。權(quán)重設(shè)置為 ， ，可得最優(yōu)反饋增益為

從以上仿真結(jié)果可知，當(dāng)重負(fù)載 位于龍門架橫梁的不同位置時，本文算法比算法1和算法2的同步誤差最大值分別降低了約70%和60%。

4 結(jié)論

針對重負(fù)載位置變化影響雙驅(qū)電機耦合效應(yīng)的問題，提出基于虛擬質(zhì)心的GSLQR最優(yōu)控制和力前饋解耦控制算法。GSLQR最優(yōu)控制算法將系統(tǒng)的交叉耦合力初步解耦；為了進一步提高 電機的同步精度，提出基于虛擬質(zhì)心的GSLQR最優(yōu)控制和力前饋解耦控制算法，通過定義虛擬質(zhì)心量化雙驅(qū)電機之間的交叉耦合力，加入力前饋解耦控制進一步補償系統(tǒng)的交叉耦合力。仿真實驗結(jié)果顯示，本文算法比GSLQR最優(yōu)控制算法、推力分配算法的同步誤差最大值分別降低了約70%和60%。

參考文獻

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[2] MENG Y， MANZIE C， LU G， et al. Modelling and contouring error bounded control of a biaxial industrial gantry machine[C]. The 3rd Conference on Control Technology and Applications （CCTA 2019）， 2019： 388-393.

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[4] ISHIZAKI KOSUKE， SENCER BURAK， SHAMOTO EIJI. Cross coupling controller for accurate motion synchronization of dual servo systems[J]. International Journal of Automation Technology， 2013，7（5）：514-522.