摘? ? 要：在磁場對運動電荷作用力的教學(xué)過程中，教材利用安培力表達(dá)式推導(dǎo)洛倫茲力表達(dá)式，指出導(dǎo)體中載流子受到的力等于洛倫茲力，這種簡單的推理過程在一定程度上可以降低洛倫茲力教學(xué)的難度，但容易忽略學(xué)生對已掌握的物理規(guī)律在新課教學(xué)中的深度理解，不利于學(xué)生形成正確的物理觀念和發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維能力。從2023年北京市高考物理第13題出發(fā)，進(jìn)一步論述洛倫茲力教學(xué)中的深度思維問題。

關(guān)鍵詞：自由電子；晶格；霍爾電場力；洛倫茲力；安培力

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）5-0066-4

1? ? 問題提出

原題（2023年北京市高考物理第13題） 如圖1所示，在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場中，固定一內(nèi)部真空且內(nèi)壁光滑的圓柱形薄壁絕緣管道，其軸線與磁場垂直。管道橫截面半徑為a，長度為l（l>>a）。帶電粒子束持續(xù)以某一速度v沿軸線進(jìn)入管道，粒子在磁場力作用下經(jīng)過一段圓弧垂直打到管壁上，與管壁發(fā)生彈性碰撞，多次碰撞后從另一端射出。單位時間進(jìn)入管道的粒子數(shù)為n，粒子電荷量為+q，不計粒子的重力、粒子間的相互作用，下列說法不正確的是（? ? ?）

A.粒子在磁場中運動的圓弧半徑為a

B.粒子質(zhì)量為

C.管道內(nèi)的等效電流為nqπa2v

D.粒子束對管道的平均作用力大小為Bnql

分析 由于粒子源源不斷注入，每個粒子均沿半圓周運動，多次與筒壁碰撞，其運動軌跡如圖2所示。

長為l（l>>a）的筒，其四分圓個數(shù)為，粒子在筒內(nèi)運動的總路程為·=，因此筒內(nèi)粒子數(shù)為N=·n。一個粒子的碰撞頻率為f=，則一個粒子在Δt時間內(nèi)碰撞筒壁fΔt次。設(shè)一個粒子的撞擊力為F0，由動量定理得F0Δt=2mv·fΔt，則有F0=2mvf?？紤]筒內(nèi)總共有N個粒子，結(jié)合每個粒子的撞擊力F0，N個粒子的總撞擊力為F=NF0=·n·2mv·=Bnql。

根據(jù)電流定義式I==nq，則總撞擊力為F=Bnql=BIl。因此，大部分學(xué)生都是直接利用安培力公式進(jìn)行等效計算。但是，一些善于深度思考的學(xué)生不禁會想：通電導(dǎo)線受到的安培力是不是類似上面的情況，是載流子側(cè)移撞擊晶格造成的？

2? ? 碰撞觀點的問題所在

答案顯然是否定的。一般來說，金屬導(dǎo)體原子密度較高，電子在金屬中運動的平均自由程較短，因此碰到晶格的概率較大。按照碰撞觀點，首先，如果自由電子側(cè)向移動撞擊晶格的力宏觀表現(xiàn)為安培力，那么在無外磁場存在時，自由電子沿導(dǎo)體定向運動與晶格碰撞的力，在宏觀上肯定也表現(xiàn)為導(dǎo)體受力，但迄今為止未在實驗上測量到這個力的存在。其次，電子沿導(dǎo)體定向運動與晶格碰撞產(chǎn)生電阻，同時產(chǎn)生焦耳熱。在外磁場存在時，如果存在電子側(cè)向運動也會與晶格碰撞產(chǎn)生焦耳熱，則在相同電流情況下，有外磁場存在時導(dǎo)體電阻的焦耳熱比沒有磁場時大，但是這種增大未在實驗上測量到。最后，在外磁場存在時，定向運動的自由電子受洛倫茲力偏移，會產(chǎn)生一個霍爾電場，直到自由電子受到霍爾電場力和洛倫茲力平衡，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，后續(xù)電子不再做側(cè)向運動，就不存在側(cè)移碰撞情況。綜上所述，不能用類似上述撞擊筒壁的方法解釋。

人教版高中物理教材在處理磁場對運動電荷的作用力時，預(yù)設(shè)了定向運動的載流子受到洛倫茲力的宏觀合力就是通電導(dǎo)線受到的安培力，從而從安培力出發(fā)導(dǎo)出洛倫茲力公式。安培力是載流子受到的洛倫茲力的宏觀合力嗎？有一個事實顯然存疑，那就是安培力可以做功而洛倫茲力不能做功。

3? ? 從經(jīng)典微觀機制看洛倫茲力和安培力的本質(zhì)關(guān)系

如圖3所示，通電金屬導(dǎo)體單位體積中的自由電子數(shù)為n，自由電子定向運動速度為v，電流強度為I，磁感應(yīng)強度為B。為分析方便，做如下約定：形成霍爾電場的晶格正離子和電子稱為霍場電荷；除形成霍爾電場的晶格正離子外的所有晶格正離子稱為有效晶格；除形成霍爾電場的電子外的所有定向運動的電子稱為自由電子（定向運動形成電流）。因金屬導(dǎo)體呈電中性，故有效晶格數(shù)等于自由電子數(shù)。為了理解洛倫茲力和安培力的內(nèi)在關(guān)系，從具體問題入手，分三種情況展開分析，如表1—表3所示。

綜合上面的分析，從經(jīng)典電磁學(xué)角度看，首先，安培力并不是載流子受到的洛倫茲力的宏觀合力，而是導(dǎo)體中晶格受力的宏觀表現(xiàn)。其次，當(dāng)導(dǎo)體相對觀察者不存在電流方向分運動時，安培力是導(dǎo)體中晶格受到的霍爾電場力的宏觀合力；當(dāng)導(dǎo)體相對觀察者存在電流方向分運動時，安培力是導(dǎo)體中晶格受到的霍爾電場力和洛倫茲力（平行電流方向分運動導(dǎo)致）兩者的宏觀合力。但是，晶格平行于電流方向的分運動產(chǎn)生的洛倫茲力Bqu恰與霍爾電場力-Bqu相抵消。所以，通電導(dǎo)體在磁場中受到的安培力，只決定于自由電子相對于導(dǎo)體的定向運動速度v所產(chǎn)生的霍爾電場力。

4? ? 洛倫茲力不做功和安培力做功的統(tǒng)一

安培力是作用在通電導(dǎo)體晶格正離子上的霍爾電場力。當(dāng)導(dǎo)體沿安培力方向運動時，產(chǎn)生（電子偏移產(chǎn)生霍爾電場）安培力的洛倫茲力不做功，但安培力又在做功，這兩者如何統(tǒng)一呢？功是能量轉(zhuǎn)換的橋梁和量度，從能的轉(zhuǎn)化角度有助于對功的理解。這里引入一個簡單的情境：接恒流源I，長為l的通電直導(dǎo)線在垂直于自身的勻強磁場B中沿安培力方向以速度u運動，導(dǎo)線中自由電子定向運動速度為v，如圖4所示。

首先，分析自由電子受到的洛倫茲力的做功情況。穩(wěn)定后，自由電子定向運動速度v對應(yīng)的洛倫茲力fly=Bev，與u同向，對電子做的元功為BevuΔt；自由電子隨導(dǎo)體棒移動速度u對應(yīng)的洛倫茲力flx=Beu，與I同向，對電子做的元功為-BevuΔt，故總功為零。電子受到的洛倫茲力是flx和fly的合力，其方向與電子的合速度（u和v的合成）方向垂直，顯然洛倫茲力對自由電子不做功。

接著，分析安培力Fa的做功情況。安培力做功本質(zhì)上是導(dǎo)體中晶格正離子受到的霍爾電場力做功。設(shè)研究的導(dǎo)體微元Δl中晶格正離子總電量為Δq，則霍爾電場力對晶格做的元功為Δwa=BΔqvuΔt，即為安培力做的元功。電子隨導(dǎo)體棒運動產(chǎn)生向右的洛倫茲力flx=Beu，為維持電流不變，即電子定向運動速度v不變，須增加導(dǎo)體中的場強，滿足eEx=flx，得Ex=Bu，對應(yīng)電動勢為Δε=BuΔl。從導(dǎo)體棒切割磁場產(chǎn)生電動勢角度看，恒流源增加電壓Δε用來克服反電動勢以維持電流I不變，因此恒流源需向電路多注入IΔεΔt的電能，結(jié)合I=nesv和Δq=nesΔl得恒流源增加的電能IΔεΔt=BΔqvuΔt=Δwa。由于電流強度不變，電路中焦耳熱不變，因此恒流源增加的電能全部用于安培力對導(dǎo)線棒做的功。

自由電子受到的洛倫茲力兩個分力做了等值異號的功，這對正、負(fù)功把電源注入電路的電能轉(zhuǎn)化為安培力對通電導(dǎo)線做的功。其具體機制是：恒流源注入導(dǎo)線中的電能，除轉(zhuǎn)化為焦耳熱外，另一部分用于克服作用于電子沿導(dǎo)線的洛倫茲力做功，以保持電子定向運動速度不變；由電子定向運動速度決定的垂直于導(dǎo)線的洛倫茲力則克服霍爾電場力對電子做功，從而維持霍爾電場強度不變，霍爾電場力則驅(qū)動導(dǎo)體中的晶格正離子隨導(dǎo)體運動，對導(dǎo)體做功，即安培力對導(dǎo)體做功。

5? ? 教學(xué)改進(jìn)建議

基于發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維能力、形成正確物理觀念及提升學(xué)生科學(xué)質(zhì)疑精神的理念，從安培力出發(fā)推導(dǎo)洛倫茲力時，有必要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考安培力背后的科學(xué)本質(zhì)。雖然安培力由洛倫茲力引起，但不能像教材上那樣直接認(rèn)定安培力是載流子受到的洛倫茲力的宏觀合力?？紤]到普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)的限定和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平，教學(xué)中可以只分析磁場中通電導(dǎo)體相對觀察者靜止的情況，分析中涉及的霍爾電場和受力平衡等知識均是高考考查的熱點，這對提高學(xué)生的科學(xué)思維能力大有裨益。

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2024-02-06

作者簡介：許文龍（1977-），男，中學(xué)正高級教師，主要從事物理（競賽）教學(xué)工作。