鄭景文 付亞平

摘 ?要：隨著全球制造業(yè)的快速發(fā)展，物流企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)加劇，生產(chǎn)制造缺乏有效協(xié)同，企業(yè)急需更加高效的生產(chǎn)運(yùn)作模式。分布式制造可以將位于不同地點(diǎn)的原材料、機(jī)器設(shè)備、操作人員等資源進(jìn)行有效地整合協(xié)同并充分利用。此外，設(shè)備維護(hù)是企業(yè)運(yùn)營(yíng)管理的核心內(nèi)容，直接關(guān)系到企業(yè)的生產(chǎn)成本、質(zhì)量與交貨期。基于以上背景，文章提出了考慮機(jī)器預(yù)防性維護(hù)的分布式柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題，建立了目標(biāo)為最小化最大完工時(shí)間的數(shù)學(xué)模型，提出了協(xié)同進(jìn)化算法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。通過(guò)與兩種經(jīng)典的元啟發(fā)式算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明所提出的算法能較好地求解所研究的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：分布式柔性作業(yè)車間;預(yù)防性維護(hù);協(xié)同進(jìn)化算法

中圖分類號(hào)：F403.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2024.11.004

Abstract： With the rapid development of the global manufacturing industry， the competition of logistics enterprises has intensified， and the production and manufacturing lack of effective coordination， and enterprises are in urgent need of more efficient production and operation mode. Distributed manufacturing can effectively integrate and coordinate raw materials， machinery and equipment， operators and other resources located in different locations and make full use of them. In addition， equipment maintenance is the core content of enterprise operation management， which is directly related to the production cost， quality and delivery time of the enterprise. Based on the above background， this paper proposes a distributed flexible job shop scheduling problem considering machine preventive maintenance， establishes a mathematical model with the goal of minimizing the maximum completion time， and proposes a coevolutionary algorithm to solve the problem. Compared with two classical meta-heuristic algorithms， the results show that the proposed algorithm can solve the problem well.

Key words： distributed flexible job shop; preventive maintenance; cooperative evolutionary algorithm

0 ?引 ?言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化的發(fā)展，科技不斷進(jìn)步，物流企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)也日益激烈，現(xiàn)代物流管理要想在競(jìng)爭(zhēng)中脫穎而出，就必須把科技手段轉(zhuǎn)化為企業(yè)的生產(chǎn)力，其中，調(diào)度問(wèn)題是急需解決的重要問(wèn)題。由于市場(chǎng)中產(chǎn)品需求多變，需要企業(yè)具備快速響應(yīng)市場(chǎng)的能力，眾多企業(yè)紛紛引進(jìn)柔性制造系統(tǒng)，逐漸具備了柔性制造的能力[1]?；诖吮尘暗姆植际饺嵝宰鳂I(yè)車間調(diào)度問(wèn)題（Distributed Flexible Job Shop Scheduling Problem， DFJSP）一經(jīng)提出就成為了研究熱點(diǎn)。由于分布式柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題本身的復(fù)雜性，使得考慮其維護(hù)任務(wù)時(shí)更加困難。為了描述這個(gè)問(wèn)題，本文建立了目標(biāo)為最小化最大完成時(shí)間的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了一種協(xié)同進(jìn)化算法對(duì)該模型進(jìn)行求解。通過(guò)對(duì)一組測(cè)試算例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并與兩種流行的元啟發(fā)式算法進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 ?相關(guān)研究

目前，分布式車間調(diào)度問(wèn)題備受關(guān)注，理論研究的重心轉(zhuǎn)移到將算法與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合上[2]。Jiang等[3]提出了考慮節(jié)能的分布式作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題，通過(guò)改進(jìn)帶有分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。為了最小化分布式作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題中的完工時(shí)間，Xie等[4]設(shè)計(jì)了人工蜂群算法。方瀟珞等[5]建立了設(shè)備隨機(jī)故障下的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量模型，目的是求得使單位費(fèi)用期望值最低的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量和檢查次數(shù)。Ahmadi等[6]提出了進(jìn)化算法來(lái)解決機(jī)器故障下的多目標(biāo)柔性作業(yè)車間問(wèn)題。Park等[7]提出了一種基于遺傳規(guī)劃的超啟發(fā)式方法來(lái)解決機(jī)器故障下的動(dòng)態(tài)車間調(diào)度問(wèn)題。Zandieh等[8]提出了改進(jìn)的帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法，用于基于條件的柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題的維護(hù)。

基于上述情況，本文以最小化最大完成時(shí)間為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，針對(duì)考慮預(yù)防性維護(hù)的分布式柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種協(xié)同進(jìn)化算法（Cooperative Evolutionary Algorithm， CEA），并與兩種經(jīng)典算法進(jìn)行比較，通過(guò)對(duì)一組測(cè)試算例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

2 ?問(wèn)題描述及數(shù)學(xué)模型

本文研究了考慮預(yù)防性維護(hù)的分布式柔性作業(yè)車間的單目標(biāo)調(diào)度問(wèn)題。該問(wèn)題涉及三個(gè)調(diào)度決策：工件分配到工廠;工序分配到機(jī)器;工序的排序。同時(shí)，在實(shí)際的加工過(guò)程中，往往會(huì)出現(xiàn)由于機(jī)器故障導(dǎo)致加工中斷的情況，這會(huì)使加工完成時(shí)間、加工成本、加工能耗增加，導(dǎo)致企業(yè)的生產(chǎn)效率降低，進(jìn)而影響企業(yè)的效益。因此，在生產(chǎn)調(diào)度的過(guò)程中提前考慮機(jī)器的維護(hù)任務(wù)，更加符合企業(yè)的實(shí)際需要。因此，本文以最小化最大完成時(shí)間為目標(biāo)建立模型，在表1中定義了相關(guān)符號(hào)。

在該問(wèn)題中，可行的調(diào)度必須滿足以下約束條件：（1）所有工件都在零時(shí)等待處理;（2）所有機(jī)器在零時(shí)可用;（3）每臺(tái)機(jī)器一次只能加工一道工序;（4）每道工序一次只能在一臺(tái)機(jī)器上進(jìn)行加工;（5）禁止機(jī)器中斷;（6）如果一個(gè)工件被分配到一個(gè)工廠，那么這個(gè)工件的所有工序都在同一個(gè)工廠進(jìn)行加工;（7）預(yù)防性維護(hù)操作可以在任何時(shí)間執(zhí)行;（8）同一時(shí)刻在同一臺(tái)機(jī)器上工件的操作和預(yù)維護(hù)任務(wù)不能同時(shí)進(jìn)行?；谏鲜雒枋?，建立數(shù)學(xué)模型如下：

其中：式（1）表示目標(biāo)是最小化最大完成時(shí)間;式（2）表示任意工廠中一臺(tái)機(jī)器上的操作排序;式（3）表示如果一個(gè)工件被分配到一個(gè)工廠，那么這個(gè)工件的所有操作都在同一個(gè)工廠進(jìn)行加工;式（4）表示一個(gè)操作只能在一個(gè)工廠的一臺(tái)機(jī)器上進(jìn)行加工;式（5）表示每個(gè)工件上各個(gè)操作的排序;式（6）表示在加工o之前進(jìn)行維護(hù)任務(wù);式（7）表示所有工件上的操作都要進(jìn)行，且不能同時(shí)進(jìn)行加工;式（8）表示必須在時(shí)間窗口內(nèi)進(jìn)行預(yù)維護(hù)任務(wù);G表示一個(gè)極大數(shù)。

3 ?算法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

協(xié)同進(jìn)化算法（Cooperative Evolutionary Algorithm， CEA）的基本思想是將一個(gè)系統(tǒng)劃分為多個(gè)子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)獨(dú)立進(jìn)化。通過(guò)整合子系統(tǒng)形成一個(gè)新的系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)整體進(jìn)化的目標(biāo)[9]。本文將協(xié)同進(jìn)化算法應(yīng)用于種群和染色體。由于解的表示涉及三個(gè)問(wèn)題，而這些問(wèn)題是相互獨(dú)立的，因此，協(xié)同進(jìn)化方法非常適合解決所研究的問(wèn)題。

3.1 ?編碼與解碼。在所提出的方法中，使用三個(gè)向量來(lái)表示一個(gè)解。這三個(gè)向量分別是工廠分配向量FA、機(jī)器分配向量MA、工序序列向量OS。工廠分配向量的長(zhǎng)度等于工件的數(shù)量。工序序列向量和機(jī)器分配向量具有相同的長(zhǎng)度，并且等于所有工件的工序總數(shù)。同時(shí)，采用Wang等[10]設(shè)計(jì)的左移解碼方案，將解決方案轉(zhuǎn)解碼為一個(gè)可行的解。在本文中，使用以下啟發(fā)式方法動(dòng)態(tài)調(diào)度維護(hù)任務(wù)[11]：在每臺(tái)機(jī)器的時(shí)間窗口開始時(shí)調(diào)度維護(hù)任務(wù);在進(jìn)行工件加工的總時(shí)間內(nèi)進(jìn)行維護(hù);如果維護(hù)任務(wù)與工序o不重疊，則分別進(jìn)行維護(hù)和調(diào)度操作的任務(wù);維護(hù)任務(wù)與工序o有時(shí)間重疊時(shí)，若開始進(jìn)行維護(hù)任務(wù)會(huì)中斷工序操作，則先完成該工序再進(jìn)行維護(hù)任務(wù)，若工件的工序會(huì)中斷維護(hù)任務(wù)，則在調(diào)度工序之前進(jìn)行維護(hù)。

3.2 ?初始化種群與種群劃分。種群的質(zhì)量對(duì)種群智能算法的求解速度和求解能力有很大的影響。因此，本文采用幾種策略，通過(guò)所研究問(wèn)題的特點(diǎn)來(lái)初始化種群。

對(duì)于操作序列向量，在初始種群中，使用兩個(gè)啟發(fā)式規(guī)則生成兩個(gè)個(gè)體的工序序列，即優(yōu)先選擇余下加工時(shí)間最長(zhǎng)[12]的工件和優(yōu)先選擇余下工序數(shù)最多[12]的工件，其余的隨機(jī)生成。對(duì)于所有工廠分配向量，其中50%是隨機(jī)產(chǎn)生的，另外50%是通過(guò)以下啟發(fā)式規(guī)則生成的：首先，通過(guò)生成的工序序列向量獲得工件序列，迭代生成工序序列向量;其次，計(jì)算每個(gè)工件的平均工作量;然后，通過(guò)策略將每項(xiàng)工件連續(xù)地分配到特定的工廠;最后，根據(jù)獲得的工件順序，將每個(gè)工件依次分配給最先完成該作業(yè)的工廠。對(duì)于所有機(jī)器分配向量，有50%的部分是隨機(jī)生成的，其余50%是通過(guò)結(jié)合最小完成時(shí)間啟發(fā)式規(guī)則獲得的[12]。

根據(jù)編碼方法和問(wèn)題的特點(diǎn)，將工廠分配、機(jī)器分配和工序序列三個(gè)子問(wèn)題獨(dú)立進(jìn)化，種群P可分為三個(gè)子種群，分別是工廠分配種群P，機(jī)器分配種群P，工序序列種群P。

3.3 ?交叉與變異。為了實(shí)現(xiàn)更高效的搜索，對(duì)子種群P采用了多重工序交叉[13]，其目的是通過(guò)使用工序序列來(lái)增加種群多樣性;對(duì)于子種群P，采用均勻交叉[1];對(duì)于子種群P，采用隨機(jī)概率交叉[14]。本文設(shè)計(jì)了四種變異算子，對(duì)于種群P，使用交換和插入方法;種群P使用隨機(jī)選擇方法，隨機(jī)選擇一個(gè)工件，并將其工廠更改為另一個(gè)工廠;種群P使用隨機(jī)選擇方法，隨機(jī)選擇一種工序，并將其機(jī)器更改為所選工廠中另一臺(tái)可用的機(jī)器。其中，交換方法即交換兩個(gè)隨機(jī)選擇的工序的位置;插入方法即隨機(jī)選擇一個(gè)工序并插入到其他位置。當(dāng)每個(gè)子種群發(fā)生變異時(shí)，需要注意以下方面：所有種群的每個(gè)個(gè)體都需要進(jìn)行變異;新個(gè)體直接取代父?jìng)€(gè)體;各個(gè)種群的變異率相同。

3.4 ?局部搜索。在生產(chǎn)中，解決方案的加工時(shí)間取決于關(guān)鍵路徑的長(zhǎng)度，在關(guān)鍵路徑保持不變的情況下，加工時(shí)間無(wú)法縮短。為了減少加工總時(shí)間，通過(guò)在執(zhí)行本地搜索時(shí)打破關(guān)鍵路徑，來(lái)獲得更好的解。因此，設(shè)計(jì)三種打破關(guān)鍵路徑的方法，分別是工序位置變換方法、改變工件所屬工廠的方法和改變某一工序的加工機(jī)器的方法。此外，設(shè)計(jì)了一種迭代局部搜索方法[15]來(lái)優(yōu)化最優(yōu)個(gè)體。

3.5 ?更新種群的方法。為了保證下一段種群具有更高的質(zhì)量，首先，將當(dāng)前種群中的最優(yōu)個(gè)體直接保留到下一代種群。其次，下一代種群的其他個(gè)體通過(guò)交叉、變異和局部搜索方法產(chǎn)生。

3.6 ?CEA的算法步驟

步驟1：初始化算法參數(shù)，即種群大小PS，變異率Pm;

步驟2：使用啟發(fā)式規(guī)則生成初始種群;

步驟3：評(píng)估初始種群并確定最佳個(gè)體;

步驟4：重復(fù)以下步驟，直到滿足給定的停止條件;

步驟4.1：交叉。對(duì)子種群P進(jìn)行多重工序交叉;對(duì)子種群P進(jìn)行均勻交叉;對(duì)子種群P進(jìn)行隨機(jī)概率交叉;

步驟4.2：變異。從區(qū)間0，1中生成隨機(jī)數(shù)r，如果r小于p，繼續(xù)步驟4.1，否則，請(qǐng)轉(zhuǎn)步驟4.3;從區(qū)間0，1中獲取隨機(jī)小數(shù)r，如果r<0.5，則對(duì)子種群P執(zhí)行交換方法，否則，對(duì)子種群P執(zhí)行插入方法;對(duì)子種群P和子種群P執(zhí)行隨機(jī)選擇方法;

步驟4.3：評(píng)估各個(gè)種群;

步驟4.4：局部搜索。通過(guò)迭代局部搜索方法，尋找找獲得新個(gè)體的最優(yōu)解;

步驟4.5：更新種群;

步驟4.6：如果給定條件不滿足，返回步驟4.1，否則，執(zhí)行步驟5;

步驟5：輸出最佳個(gè)體及其目標(biāo)值。

算法流程圖如圖1所示。其中包括各種工廠分配規(guī)則、機(jī)器分配規(guī)則和工序順序規(guī)則;工廠分配向量、機(jī)器分配向量和工序序列向量協(xié)同優(yōu)化;打破關(guān)鍵路徑，增強(qiáng)局部搜索能力。該算法通過(guò)多種搜索策略的協(xié)同使用，有望在考慮的問(wèn)題上取得優(yōu)異的性能。

4 ?算例分析

4.1 ?參數(shù)設(shè)置及比較算法。為了評(píng)估CEA在處理所提問(wèn)題方面的性能，本文采用關(guān)于柔性作業(yè)車間的Hurink， Jurisch和thole基準(zhǔn)[19]測(cè)試問(wèn)題構(gòu)建了一組測(cè)試實(shí)例。此外，選擇了兩種著名的智能優(yōu)化算法，即混合遺傳算法（Hybrid Genetic Algorithm， HGA）[16]和混合教學(xué)優(yōu)化算法（Hybrid Teaching-Learning-Based Optimization， HTLBO）[17]進(jìn)行比較。為了公平比較，CEA的參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為30，變異概率為0.20，局部搜索次數(shù)為12。HGA的參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為30，變異概率為0.15。HTLBO的參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為50，TS搜索次數(shù)為15，適應(yīng)值評(píng)估次數(shù)為150n，n表示工件數(shù)，將適應(yīng)值評(píng)估次數(shù)設(shè)置為算法停止準(zhǔn)則。

4.2 ?評(píng)價(jià)指標(biāo)。本文選用相對(duì)百分比偏差（Relative Percentage Difference， RPD）指標(biāo)[18]CEA與其比較算法的結(jié)果進(jìn)行比較，RPD指標(biāo)的計(jì)算公式如下：

RPD= ?（9）

其中：θ為最佳目標(biāo)函數(shù)值，θ為某算法在第v次復(fù)制時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值。在接下來(lái)的實(shí)驗(yàn)中，計(jì)算20個(gè)重復(fù)的平均RPDaRPD、最優(yōu)RPDbRPD和RPD的標(biāo)準(zhǔn)差sRPD，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。

4.3 ?結(jié)果分析。CEA及其對(duì)比算法對(duì)aRPD、bRPD和sRPD的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。從表2中可以發(fā)現(xiàn)，幾乎在所有情況下，CEA都明顯優(yōu)于HGA和HTLBO。通過(guò)比較CEA和HTLBO的sRPD值，我們可以看到HTLBO只有一組數(shù)據(jù)優(yōu)于CEA，有一組數(shù)據(jù)表現(xiàn)相同。對(duì)于HGA而言，CEA在所有情況下都優(yōu)于它。HGA、HTLBO和CEA的平均aRPD值分別為1.027 8、0.370 4和0.024 8，平均bRPD值分別為0.333 0、0.305 4和0.000 0，平均sRPD值分別為0.058 6、0.036 7和0.017 4。三種算法的平均aRPD值、平均bRPD值和平均sRPD值的比較結(jié)果也進(jìn)一步證明了CEA比其比較算法具有更好的性能。

此外，還使用Friedman檢驗(yàn)，Nemenyi后續(xù)檢驗(yàn)和Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)比較了CEA與比較算法之間的差異[19]。

（1）通過(guò)對(duì)三種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行Friedman檢驗(yàn)，可以得到p值為0.000 0，說(shuō)明三種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是有明顯差異的，結(jié)果如圖2所示。

（2）在Friedman檢驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了Nemenyi后續(xù)檢驗(yàn)?？梢园l(fā)現(xiàn)CEA和HGA的秩平均值之差為1.75，此值大于臨界范圍值0.781 3，說(shuō)明CEA的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是顯著優(yōu)于HGA的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的。此外，CEA和HTLBO的秩平均值之差為1.166 6，此值也大于臨界范圍值0.781 3，同樣說(shuō)明CEA的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是顯著優(yōu)于HTLBO的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的。

（3）另外，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)。第一步，對(duì)于每個(gè)實(shí)例，計(jì)算兩種算法之間的差異。第二步，根據(jù)每個(gè)指標(biāo)的差的絕對(duì)值對(duì)每個(gè)實(shí)例進(jìn)行排序。第三步，通過(guò)秩值得到兩兩比較的“R”和“R”值。用“R”表示第一種算法優(yōu)于第二種算法的秩和，用“R”表示第二種算法優(yōu)于第一種算法的秩和。p值可以由“R”和“R”值確定。在實(shí)驗(yàn)時(shí)，第一種算法是CEA，第二種算法是比較算法。兩兩比較的Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)結(jié)果如表3所示。符號(hào)“w”、“w”和“w”分別表示測(cè)試實(shí)例中的CEA優(yōu)于、等于和低于其比較算法。

通過(guò)分析表3可以發(fā)現(xiàn)，與HGA算法相比，在aRPD、bRPD和sRPD的18個(gè)測(cè)試實(shí)例中，CEA在性能方面優(yōu)于HGA。與HTLBO算法相比，CEA分別在17、17和16個(gè)測(cè)試實(shí)例上獲得了更好的結(jié)果。通過(guò)觀察“R”和“R”的值可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于aRPD、bRPD和sRPD，每次兩兩比較的“R”值都大于“R”值。此外，CEA與其他兩種比較算法兩兩比較的P值均為0.000 0。

5 ?總 ?結(jié)

分布式制造系統(tǒng)有助于降低運(yùn)營(yíng)成本和提高生產(chǎn)效率，因此它正在逐步取代單一工廠生產(chǎn)流程。為了充分利用分布式柔性作業(yè)車間的優(yōu)勢(shì)，提高企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，分布式柔性作業(yè)車間調(diào)度方法被用于各個(gè)行業(yè)。在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，機(jī)器不可避免地會(huì)出現(xiàn)不可用期。這種情況將給企業(yè)帶來(lái)一定的生產(chǎn)成本和經(jīng)濟(jì)損失。因此，基于以上現(xiàn)實(shí)需求，本文設(shè)計(jì)了一種協(xié)同進(jìn)化算法來(lái)解決帶有預(yù)防性維護(hù)的分布式柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題，選擇兩種比較算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的算法性能更好。本文從理論上設(shè)計(jì)了考慮問(wèn)題特點(diǎn)的算法，針對(duì)預(yù)防性維護(hù)問(wèn)題，豐富了分布式柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題的研究?jī)?nèi)容。幫助企業(yè)降低成本、提高生產(chǎn)效率，進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)效益的提高，有一定的實(shí)踐意義。從管理學(xué)角度分析，考慮預(yù)防性維護(hù)的分布式柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題能夠?qū)⑸a(chǎn)出現(xiàn)的問(wèn)題提前了解并做好防護(hù)，有效調(diào)動(dòng)各個(gè)生產(chǎn)裝置，消除安全隱患，保證生產(chǎn)安全有序地運(yùn)行。本文限制了一個(gè)工件只能在一個(gè)工廠進(jìn)行加工，不同工廠之間不可轉(zhuǎn)移，然而在企業(yè)真實(shí)的制造系統(tǒng)中，可能由于環(huán)境污染等因素造成某些操作必須在某一工廠進(jìn)行加工的情形。因此，未來(lái)研究可以考慮工件在工廠之間可以轉(zhuǎn)移的情況，建立新的考慮工件轉(zhuǎn)移的問(wèn)題模型。

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收稿日期：2023-06-12

作者簡(jiǎn)介：鄭景文（1996—），女，山西侯馬人，青島大學(xué)商學(xué)院碩士研究生，研究方向：工業(yè)工程與管理;付亞平（1985—），男，山東平度人，青島大學(xué)商學(xué)院，教授，博士，研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)計(jì)劃與調(diào)度、多目標(biāo)優(yōu)化。

引文格式：鄭景文，付亞平. 考慮預(yù)防性維護(hù)的分布式柔性作業(yè)車間調(diào)度問(wèn)題研究[J]. 物流科技，2024，47（11）：19-23.