殷文濤 朱曉明

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）提出“核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習過程中逐漸形成和發(fā)展的，不同學段發(fā)展水平不同，是制定課程目標的基本依據(jù)”.根據(jù)《課標（2022年版）》修訂的教材出版發(fā)行前，教師使用的教材是依據(jù)《課標（2011年版）》的課程目標、課程理念編寫的.在這個“過渡期”內(nèi)，教師也應站在核心素養(yǎng)的高度去研讀現(xiàn)行教材、設計教學方案、實施教學方案、評估學生的學業(yè)質量，從而實現(xiàn)數(shù)學教育教學的“三會”目標.我們站在培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”的高度對青島版教材“解直角三角形的應用”一節(jié)進行解讀.

1 解讀教材的核心內(nèi)容

《課標（2011年版）》提出，教材編寫“應當體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學生學習的整體性”，《課標（2022年版）》指出“教材內(nèi)容結構要著重關注核心素養(yǎng)的整體性”.數(shù)學教材是教師教學的主要依據(jù)，教師只有反復研讀才能充分理解教材的編寫意圖，明確主要內(nèi)容，確定教學目標，找出教學重難點，設計教學方案.

我們經(jīng)過反復研讀“解直角三角形的應用”一節(jié)的教材內(nèi)容，認為本節(jié)內(nèi)容主要是以模型思想作為“統(tǒng)領”.模型思想是《課標（2011年版）》提出的“十大”核心詞之一.在《課標（2022年版）》提出了核心素養(yǎng)的概念后，模型觀念成為初中階段“九大”核心素養(yǎng)的組成之一，在解讀“解直角三角形的應用”內(nèi)容時，應圍繞培養(yǎng)學生的“模型觀念”的高度，去理解、把握教材，這樣才能實現(xiàn)培養(yǎng)與發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.

初中階段用以培養(yǎng)學生模型觀念的主要內(nèi)容有方程（組）、不等式、函數(shù)三大塊.每種具體模型觀念都是在經(jīng)歷圖１所示的學習過程逐漸形成和發(fā)展起來的.

本節(jié)共分3課時，是在學生會“解直角三角形”的基礎上，通過精心選擇了來自于生活和生產(chǎn)中的一些具體實例，圍繞“建立直角三角形模型—求解直角三角形模型—應用直角三角形模型”的“主線”展開的.通過本節(jié)課的學習，學生能以“直角三角形模型”為例，進一步認識、理解、感悟圖1所示的數(shù)學建模過程.

（1）第1課時

教科書先設計了測量“上海東方明珠塔高度”的問題情境.通過閱讀發(fā)現(xiàn)，根據(jù)測量得到的數(shù)據(jù)，計算塔高的關鍵是把問題轉化為解直角三角形的問題，從而抽象出對應的“幾何基本模型”（圖2）.這是解決這一類測量問題的“通用模型”，建立起這個模型后就是純粹的數(shù)學計算問題，運用前面剛學習的解直角三角形的知識就很容易解決了.這種設計體現(xiàn)了“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，有助于學生感悟模型思想、形成模型觀念.

教科書隨后又設計了兩個背景和計算都比較簡單的例題：例1可直接由背景材料轉化為已知兩邊解直角三角形的問題；例2對應的數(shù)學模型是一個等腰三角形，通過作等腰三角形的高，利用等腰三角形的性質，可以把等腰三角形轉化為直角三角形，進而問題得到解決.

（2）第2課時

第2課時安排了例3，本例取材于學生熟悉的生活實際，是以“住宅樓采光”為背景的實際問題，解決的關鍵在于把實際問題轉化為解直角三角形問題.本例有兩問，第一問的轉化過程是通過把示意圖3抽象為幾何圖形（圖4）來解決問題，第二問是通過添加輔助線把問題轉化為能利用圖4所示的基本模型解決的問題.

學生通過學習本例題，能夠進一步感受到借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路.

教科書在例3之后對利用解直角三角形解決實際問題的基本思路進行了概括，并把圖１中右上角的“數(shù)學模型”具體為“解直角三角形問題”，把右下角的“數(shù)學模型的解”具體為“求出有關的邊或角”.

這樣圖1所呈現(xiàn)的解題過程實質上是數(shù)學建模的過程，即從實際生活（或具體情境）中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號表示出數(shù)學問題中的數(shù)量關系，求出結果，并回到實際問題中去檢驗.這與建立方程（組）模型、不等式模型、函數(shù)模型的過程是一致的.

教材這樣設計的目的是為了讓學生再一次具體感悟模型思想，體會到數(shù)學思想和方法的一致性，有助于培養(yǎng)學生的抽象能力、模型觀念、應用意識和創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng).

（3）第3課時

為了讓學生進一步熟悉建立圖1所示的解題程序，本課時設計了例4和例5兩個例題，前者是水利工程中的筑壩計算問題，后者是根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算鐵塔的高度問題.進一步落實第2課時的素養(yǎng)目標.

2 解讀核心素養(yǎng)

初中階段的九大核心素養(yǎng)分為四大類：

一個直觀（幾何素養(yǎng)）：幾何直觀；

兩個意識（意識素養(yǎng)）：應用意識，創(chuàng)新意識；

三大能力（能力素養(yǎng)）：抽象能力，運算能力，推理能力；

三大觀念（觀念素養(yǎng)）：空間觀念，數(shù)據(jù)觀念，模型觀念.

下面就“解直角三角形的應用”一節(jié)所能培養(yǎng)的數(shù)學核心素養(yǎng)分析如下.

2.1 運算能力素養(yǎng)

運算能力是《課標（2011年版）》提出的“十大”核心概念之一，是《課標（2022年版）》界定的核心素養(yǎng)之一.“運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力.能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數(shù)學推理能力的發(fā)展.運算能力有助于形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度.”運算能力是在不斷地運用數(shù)學概念（定理、運算法則、運算律、運算公式等），進行一定數(shù)量練習的過程中逐步形成和發(fā)展起來的.

本節(jié)內(nèi)容共涉及具體題目23個（其中5個例題、6道練習題和12道習題），這些問題都需要經(jīng)過數(shù)學運算才能解決，可以說本課的所有素材都是培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力的載體.

2.2 抽象能力素養(yǎng)

《課標（2022年版）》指出“抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學的研究對象，形成數(shù)學概念、性質、法則和方法的能力”.本課中所有問題的解決都需要建立幾何模型，建立模型的過程是數(shù)學抽象的過程，這個過程可逐步培養(yǎng)、提升學生的數(shù)學抽象能力.

例如，本節(jié)課測量“上海東方明珠塔高度”問題得到的幾何模型2是經(jīng)過數(shù)學抽象的結果，學生每經(jīng)過一次數(shù)學抽象活動，其抽象能力就會有相應的提高.

2.3 模型觀念素養(yǎng)

《課標（2022年版）》提出“模型觀念主要是指對運用數(shù)學模型解決實際問題有清晰的認識”.這種觀念是面對生產(chǎn)、生活實際問題時，學生通過數(shù)學思考建立數(shù)學模型，并利用數(shù)學知識解決模型，從而解決實際問題的過程中逐漸形成和發(fā)展起來的.

本節(jié)的23個具體題目都是通過建立相應的幾何模型得以解決的，有助于培養(yǎng)學生的模型觀念.

2.4 應用意識素養(yǎng)

《課標（2022年版）》指出“應用意識主要是指有意識地利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實世界中的問題”.

本節(jié)課中的23個問題涉及我們生活中的方方面面：測量建筑物高度問題、飛機飛行問題、長江大橋問題、攔河大壩問題、樓梯安全問題、釣魚問題等.學生通過思考、分析，抽象出三角形模型.直角三角形模型，可以利用解直角三角形的知識直接解決；非直角三角形模型，可以通過添加輔助線轉化為直角三角形模型.

在解決這些問題的過程中，學生進一步感悟到現(xiàn)實生活中蘊含著大量與數(shù)量和圖形有關的問題，可以用解直角三角形的方法予以解決，感悟到數(shù)學的應用已經(jīng)滲透到現(xiàn)代社會的各個方面，體會到“數(shù)學來源于生活”“數(shù)學服務于生活”，不斷增強應用意識.同時在解決問題的過程中，有可能產(chǎn)生創(chuàng)新的火花，有助于學生創(chuàng)新意識的形成.

另外，學生在解決這些問題的過程中，還能體會到知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，不斷提高“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力”（即平常說的“四能”），這些都是重要的數(shù)學素養(yǎng).

3 解讀數(shù)學思想方法

《課標（2022年版）》在“總目標”的第一條中，要求學生掌握“四基”，其中之一就是數(shù)學基本思想.基本數(shù)學思想是具有本質性特征和基本重要性的一些思想，處于較高的層次.史寧中教授認為，“數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型.通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念和運算發(fā)展，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系”.其他的數(shù)學思想都可以由這些“數(shù)學的基本思想”演變而來的.

數(shù)學思想方法是數(shù)學教材構成體系的靈魂.在解讀教材時，要把學生學習教材內(nèi)容時能感悟到的數(shù)學思想找出來，這樣便于在具體教學時做到有意識地引導學生去感悟.學生通過學習本節(jié)課內(nèi)容可以感悟到下面兩種重要的數(shù)學思想.

3.1 轉化思想

解題就是把所要解決的問題轉化為已經(jīng)熟悉的問題的過程，通過對條件、結論的轉化，使問題化難為易，化生為熟，化未知為已知，最終求得問題的解答.這個過程體現(xiàn)了轉化的思想方法.本節(jié)教材內(nèi)容中，學生在學習、解答具體問題時，可以進一步感悟到轉化的數(shù)學思想.

案例1攔水壩問題（教材例4）

某地計劃在河流的上游修建一條攔水大壩.

大壩的橫斷面ABCD是梯形（圖5），壩頂寬

BC=6 m，壩高25 m，迎水坡AB的坡度i=1∶3，

背水坡CD的坡度i=1∶2.5.

（1）求斜坡AB和CD的長（精確到0.01 m）；

（2）求攔水大壩的底面AD的寬.

設計意圖：為了讓學生了解坡度的意義及其數(shù)學表示，知道現(xiàn)實生活中斜坡傾斜程度的意義，并且進一步熟悉通過建立直角三角形模型解決生產(chǎn)中實際問題的步驟，體會數(shù)學與生產(chǎn)生活的密切關系，教科書以“攔河壩”為背景設計了例4.

通過閱讀教材，首先要明確問題的意義：如圖5，ABCD是梯形，BC表示壩頂?shù)膶?，AD表示壩底的寬.找出解決問題的關鍵——作輔助線BE⊥AD，CF⊥AD，構造Rt△AEB和Rt△DFC，這樣就將求斜坡AB和CD長的問題轉化為解直角三角形的問題.教學時特別提醒學生∠A，∠D的正切可分別由i=tan A=１３，i=tan D=１２.５得出.

3.2 方程思想

方程思想就是指把所研究數(shù)學問題中的已知量與未知量之間的等量關系，轉化為方程（組），從而達到解決數(shù)學問題的一種思維方法.方程思想在初中數(shù)學學習中經(jīng)常用到.初中階段體現(xiàn)方程思想的數(shù)學問題主要有兩類：一是列方程（組）解決生活或生產(chǎn)中的實際問題；二是列方程（組）解其他的代數(shù)問題或幾何問題.

案例２計算鐵塔的高度問題（教材例5）

如圖6所示，要測量鐵塔的高AB，在地面上選取一點C，在A，C兩點間選取一點D，測得CD=14 m，在C，D兩點處分別用測角儀測得鐵塔頂端B的仰角為α=30°和β=45°.測角儀支架的高為1.2 m，求鐵塔的高（精確到0.1 m）.

設計意圖：為了讓學生利用方程的知識解決有關解直角三角形的問題，設計了這個測量鐵塔高度的計算問題.教學時，引導學生思考如何將問題轉化為解直角三角形的問題.

學生通過觀察圖6可得C1C=D1D=A1A=1.2 m，鐵塔的高AB可表示為（A1A+A1B），只要求出A1B的長，就能得到塔的高度AB.

進一步發(fā)現(xiàn)，A1B是Rt△BA1D1與Rt△BA1C1的公共邊，設A1B=x，把兩直角三角形的其他邊分別用含x的式子表示出來，找出其中的等量關系，列出關于x的方程，解含有x的方程即可.

解答例5的關鍵是利用兩個直角三角形，通過設輔助量列方程.學生通過解答本題，能進一步體會用代數(shù)的方法解幾何題的過程，感悟方程思想.

本節(jié)內(nèi)容主要是通過建立直角三角形模型解決實際問題，其本質是圖形的計算問題.圖形的計算問題最終都可歸結為求線段的長度或角的大小，建立方程是求線段的長度或角的大小的常用方法，建立三角形模型解決實際問題時往往需要通過建立方程來完成.

學生通過學習本課的內(nèi)容，能進一步加深對用解直角三角形的有關知識解決某些簡單實際問題的理解，認識到數(shù)學與生產(chǎn)、生活的聯(lián)系.在學習過程中，學生能感悟到抽象、轉化和數(shù)形結合等數(shù)學思想方法，不斷增強應用意識、逐步形成模型觀念，提高自己的數(shù)學核心素養(yǎng).

教師通過研讀教材，在設計教學方案以及課堂教學中，就能始終把圖1所示的“程序”放在心中，把實際問題抽象成三角形模型，通過解直角三角形模型達到解決實際問題的目的.