唐彥 李豫 李特

摘? 要：針對(duì)衛(wèi)星鐘差具有趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)變化的特征問題，該文提GM－RBF組合模型的方法。該模型首先用GM（1，1）提取預(yù)處理后的衛(wèi)星鐘差趨勢(shì)項(xiàng)部分并進(jìn)行建模預(yù)報(bào)，得到相應(yīng)的殘差序列，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練用灰色模型預(yù)報(bào)所獲得的殘差序列，然后將GM（1，1） 模型的鐘差后續(xù)預(yù)報(bào)值與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的殘差預(yù)報(bào)值對(duì)應(yīng)相加可得組合模型的預(yù)報(bào)結(jié)果。為驗(yàn)證組合模型的有效性和可行性將組合模型預(yù)報(bào)結(jié)果與GM（1，1）模型、ARIMA模型、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，組合模型預(yù)報(bào)精度要高于其他單一模型，其在不同時(shí)段的平均預(yù)報(bào)精度可提高46.4%～86.2%。

關(guān)鍵詞：BDS衛(wèi)星鐘差? 灰色模型? RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)? 組合模型? 鐘差預(yù)報(bào)

中圖分類號(hào)：P228.1

Short-Term Prediction of BDS-3 Satellite Clock Errors Based on the GM-RBF Combined Model

TANG Yan1? ?LI Yu2? ? LI Te3

（1.Xinjiang Institute of Engineering， Urumqi， Xinjiang Uyghur Autonomous Region， 830000 China；2.Yingkou Chuangxue Jiaoyu， Yingkou， Liaoning Province， 115000 China；3.Heilongjiang Institute of Technology，Harbin，Heilongjiang Province，150000 China）

Abstract： In order to address the eigenproblem of the change of the trend term and random term of the satellite clock error， this paper proposes a method of the GM-RBF combined model. First， this model uses GM（1，1） to extract the pre-processed trend term of the satellite clock error， conducts modeling and forecasting to obtain the corresponding residual sequence， and uses the grey model to predict the obtained residual sequence by RBF neural network training. Then， the prediction result of the combined model can be obtained by adding the subsequent prediction value of the clock error of the GM（1，1） model and the residual prediction value of the RBF neural network. In order to verify the validity and feasibility of the combined model， the prediction results of the combined model are compared with those of the GM（1，1） model， the ARIMA model and the RBF neural network model. Experimental results show that the forecast accuracy of the combined model is higher than that of other single models， and that its average forecast accuracy can be increased by 46.4% ～ 86.2% in different periods.

Key Words：BDS satellite clock error; Grey model; RBF neural network; Combination model; Clock error forecast

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BeiDou Navigation Satellite System，BDS）作為世界上的第三個(gè)已完全發(fā)展成熟的導(dǎo)航系統(tǒng)，對(duì)于提升國家實(shí)力具有重要意義。然而，如果北斗衛(wèi)星時(shí)間誤差達(dá)到1 ns，將會(huì)導(dǎo)致約0.3 m的距離測(cè)量錯(cuò)誤。為了有效地減少這種影響并進(jìn)一步優(yōu)化定位準(zhǔn)確性，對(duì)BDS衛(wèi)星時(shí)鐘偏移預(yù)測(cè)的研究變得至關(guān)重要。這不僅能迅速、精準(zhǔn)地增強(qiáng)定位性能，還能為我國帶來顯著的社會(huì)效益與經(jīng)濟(jì)效益，從而推動(dòng)國家的整體發(fā)展[1]。

北斗精密鐘差的獲取具有較為嚴(yán)重的滯后性，難以實(shí)時(shí)獲取，這在一定程度上限制了BDS的基礎(chǔ)服務(wù)，因此選擇合適的方法和模型對(duì)鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)具有重大意義和廣闊的應(yīng)用價(jià)值。目前，許多國內(nèi)外研究人員開發(fā)了不同的預(yù)報(bào)模型，主要包含灰色模型、自回歸滑動(dòng)平均模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、二次多項(xiàng)式模型等[2]。呂棟等[3]提出基于思維進(jìn)化算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型，結(jié)果表明，采用MEA算法獲取較好的初始化權(quán)值和閾值等參數(shù)，提高了衛(wèi)星鐘差建模的精度，其預(yù)報(bào)精度明顯高于其他3種傳統(tǒng)模型。王建敏等人[4]將GM（1，1）模型和AR（p）模型有機(jī)組合，極大地提升模型的精度和適應(yīng)性，其組合模型預(yù)報(bào)精度可達(dá)1 ns之內(nèi)。于燁等人[5]通過利用GM（1，1）和MECM模型有效組合，很大的程度上對(duì)殘差進(jìn)行了修正，相對(duì)于其所用的單一模型預(yù)報(bào)精度提升接近兩倍。

由于上述鐘差預(yù)報(bào)方法大多用于GPS衛(wèi)星，而BDS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)研究相對(duì)不夠廣泛，因此本文利用灰色模型與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的特點(diǎn)，提出了一種基于誤差修正的GM－RBF組合模型的鐘差預(yù)報(bào)方法，并與其他3種單一預(yù)報(bào)模型進(jìn)行對(duì)比，證明了組合模型的可行性和優(yōu)越性。

1? 模型基本原理

1.1? GM（1，1）模型建立

灰色模型在處理信息不全面、數(shù)據(jù)量較小且混亂的時(shí)間序列上表現(xiàn)出獨(dú)特性，并且容易進(jìn)行驗(yàn)證。此外，它也無須顧及分布規(guī)律或趨勢(shì)因素，所以非常適合用于鐘差數(shù)據(jù)序列的建模[6]。設(shè)預(yù)處理后的鐘差序列，對(duì)鐘差序列做一次累加，得到生成新的鐘差序列數(shù)列為其中：

式（1）中：k為參與預(yù)報(bào)的衛(wèi)星鐘差序列數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。由數(shù)據(jù)可以構(gòu)成GM（1，1）白化形式的微分方程為

式（2）中：a稱為發(fā)展系數(shù)；u稱為灰作用量。其離散化的矩陣方程可以表示為

其中，，

矩陣方程（5）的最小二乘解為

其中，， 分別為Ｄ、a、u的估計(jì)值，將（4）式代入（2）式得

對(duì)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)（2）式求解為

原始鐘差預(yù)測(cè)模型方程為得

原始序列的一般形式為

式（8）中：t為預(yù)報(bào)個(gè)數(shù)。根據(jù)式（1）可預(yù)報(bào)未來任意時(shí)刻的鐘差序列。

1.2? RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

徑向基函數(shù)（Radical Basis Function，RBF）網(wǎng)絡(luò)用RBF作為隱單元的“基”構(gòu)成隱含層空間，再將輸入矢量直接映射到隱空間，不需要用權(quán)連接。當(dāng)RBF的中心點(diǎn)確定以后，這種映射關(guān)系也隨之確定[7-8]。

在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，必須了解的參數(shù)有三項(xiàng)：基函數(shù)的中心、方差及其隱含層至輸出層的權(quán)值，如圖1所示。

RBF解算具體實(shí)現(xiàn)過程如下：

（1）解算RBF基函數(shù)中心，在進(jìn)行預(yù)測(cè)中RBF核函數(shù)選擇高斯函數(shù)：

式（9）中：為歐式距離范數(shù)；為激活函數(shù)中心；為方差；為輸入向量。

（2）計(jì)算隱藏層基函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。為避免RBF過尖或過平，以下是計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式：

式（10）中：是選定的中心最大距離；為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

（3）采用最小二乘法計(jì)算隱含層與輸出層之間的權(quán)值，公式如下：

式（11）中：為隱含層與輸出層之間的權(quán)值。

（4）解算RBF網(wǎng)絡(luò)輸出：

式（12）中：輸入樣本所對(duì)應(yīng)的鐘差數(shù)據(jù)。

2? 組合預(yù)報(bào)模型

傳統(tǒng)的GM和RBF組合方式是簡(jiǎn)單的串并聯(lián)結(jié)合。由于衛(wèi)星鐘差的真值是通過預(yù)測(cè)值加上殘差得出的，因此，把衛(wèi)星鐘差看作由兩個(gè)主要因素構(gòu)成：一個(gè)是趨勢(shì)項(xiàng)，另一個(gè)則是隨機(jī)項(xiàng)。本文以誤差補(bǔ)償作為組合的原理，改進(jìn)傳統(tǒng)的組合模型方式，綜合GM所需建模數(shù)據(jù)少和RBF可有效挖掘復(fù)雜系統(tǒng)退化信息的優(yōu)點(diǎn)，從而創(chuàng)建了一個(gè)新的衛(wèi)星鐘差預(yù)測(cè)模型。

取n組數(shù)據(jù)進(jìn)行組合模型建模，具體步驟如下所述。

（1）對(duì)衛(wèi)星鐘差觀測(cè)數(shù)據(jù)做前期預(yù)處理。去除異常鐘差值，并使用線性插值法補(bǔ)全去除的異常值。

（2）利用GM（1，1）提取預(yù)處理后的前m組（m

（3）取，求模型殘差建模，即衛(wèi)星鐘差的隨機(jī)項(xiàng)部分。

（4）以為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本集，進(jìn)行外推，求出衛(wèi)星鐘差的隨機(jī)項(xiàng)部分的預(yù)報(bào)數(shù)值。

（5）將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)項(xiàng)序列預(yù)報(bào)值與其對(duì)應(yīng)的GM（1，1）模型趨勢(shì)項(xiàng)序列預(yù)報(bào)值相加可得組合預(yù)報(bào)值。

3? 算例分析

3.1? 數(shù)據(jù)來源

為了驗(yàn)證組合模型預(yù)報(bào)性能優(yōu)于其他單一模型，通過IGS服務(wù)器分別下載了兩個(gè)時(shí)間段2019-12-22至2019-12-23與2020-01-18至2020-01-19采樣間隔為15 min的共4 d的北斗精密衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)。其中兩個(gè)時(shí)間段的鐘差數(shù)據(jù)均取前1 d作為建模數(shù)據(jù)，后1 d作為驗(yàn)證數(shù)據(jù)。由于BDS-3搭載兩種不同星載原子鐘，因此分別在兩個(gè)不同時(shí)間段各取一個(gè)氫鐘與銣鐘的衛(wèi)星。選取前一時(shí)間段的C25、C33與后一時(shí)間段的C26、C37衛(wèi)星數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)和分析并將衛(wèi)星預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)闡述。

3.2 方案設(shè)計(jì)

對(duì)C25、C26、C33、C37鐘差序列分別選用灰色模型（Gray Model，GM） 、自回歸滑動(dòng)平均（Auto-Regressive Moving Average Model，ARIMA）模型、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和GM－RBF組合模型，分別對(duì)6 h、12 h、18 h和24 h的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)。

3.3? 數(shù)據(jù)預(yù)處理

一般情況下，衛(wèi)星鐘差的頻率都數(shù)據(jù)，并且相位分布模式更接近線性分布，粗差隱藏在相位數(shù)據(jù)中難以發(fā)現(xiàn) 。因此使用中位數(shù)粗差探測(cè)法進(jìn)行粗差檢測(cè)時(shí)，需要先將相位數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為頻率數(shù)據(jù) 。公式如下：

式（13）中：為第i個(gè)歷元的頻率值；為第i個(gè)歷元的相位值；為歷元間的采樣間隔。通過式（13）把相位轉(zhuǎn)變換成頻率。

用中位數(shù)粗差探測(cè)法對(duì)原始鐘差序列進(jìn)行粗差探測(cè)，具體公式如下：

式（14）（15）中：為衛(wèi)星的頻率；為頻率的中位數(shù)；為適合數(shù)據(jù)序列的正整數(shù)；MAD為中位數(shù)絕對(duì)偏差；median為中位數(shù)運(yùn)算符。

由式（14）（15）可知，當(dāng)頻率的絕對(duì)值大于頻率序列的中位數(shù)加上頻率序列偏差絕對(duì)值的中位數(shù)的正整數(shù)倍時(shí)，則把該頻率據(jù)看作粗差，否則將看作正常序列。使用線性插值法補(bǔ)全剔除粗差后的數(shù)據(jù)，最后得到預(yù)處理后的頻率。公式中的b需要根據(jù)實(shí)際情況來進(jìn)行多次調(diào)試，直到粗差被剔除。本文多次調(diào)整b值，最終選擇b=3進(jìn)行判定。限于文章篇幅，本文以C25為例。

如圖2所示，從第一天結(jié)束至第二天開始，鐘差數(shù)據(jù)顯示出明顯的天跳變現(xiàn)象情況，原因在于IGS提供的精密鐘差和相關(guān)設(shè)備的數(shù)據(jù)處理方式是以天作為單位并按照單天為弧段進(jìn)行計(jì)算。由于容易受到大氣的干擾、多徑效應(yīng)等影響，導(dǎo)致接收機(jī)接收到的其他誤差和自身的鐘差產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。同時(shí)，因?yàn)樾l(wèi)星鐘差本身是一個(gè)相對(duì)量，所以會(huì)導(dǎo)致連續(xù)兩天內(nèi)的接收器鐘差產(chǎn)生跳變，從而引發(fā)了IGS精密鐘差產(chǎn)品中的天跳變現(xiàn)象。在經(jīng)過預(yù)處理后頻率數(shù)據(jù)未存在特別明顯的極值，頻率波動(dòng)相對(duì)穩(wěn)定，有效地剔除了粗差，表明了預(yù)處理效果相對(duì)顯著。

3.4? 組合模型具體實(shí)現(xiàn)

將衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)兩個(gè)時(shí)間段的前一天作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，選擇前48個(gè)歷元的數(shù)據(jù)為鐘差序列趨勢(shì)項(xiàng)部分建立灰色預(yù)報(bào)模型，并預(yù)報(bào)后面12 h鐘差數(shù)據(jù)，并用真實(shí)鐘差值減去預(yù)報(bào)值的隨機(jī)項(xiàng)，把隨機(jī)項(xiàng)作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本集。采用滑動(dòng)窗口方法對(duì)鐘差數(shù)據(jù)集進(jìn)行劃分，每次向右滑動(dòng)一步，每次滑動(dòng)選取5個(gè)歷元鐘差數(shù)據(jù)，輸出的鐘差數(shù)據(jù)為第6個(gè)歷元數(shù)據(jù)，剩余的96個(gè)歷元數(shù)據(jù)利用滑動(dòng)窗口方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。因此，輸入層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為5個(gè)，輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù)1個(gè)，隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)通過newrb函數(shù)輸入神經(jīng)元的最大數(shù)目進(jìn)行訓(xùn)練即可確定。

3.5 預(yù)報(bào)結(jié)果與分析

使用上述方案進(jìn)行建模， 通過IGS發(fā)布的事后精密衛(wèi)星鐘差與組合模型和單一模型預(yù)報(bào)的鐘差值進(jìn)行對(duì)照，用均方根誤差（RMS）來作為標(biāo)準(zhǔn)分析預(yù)報(bào)精度。其RMS計(jì)算公式如下：

式（16）中：為事后精密衛(wèi)星鐘差；n為歷元個(gè)數(shù)；為預(yù)報(bào)的衛(wèi)星鐘差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

從表1的鐘差預(yù)報(bào)統(tǒng)計(jì)量得出以下結(jié)論。

（1） GM（1，1）模型、ARIMA模型、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和GM-RBF組合模型都可以適用于北斗精密衛(wèi)星鐘差短期預(yù)測(cè)。在兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，組合模型預(yù)測(cè)精度均高于單一模型。

（2）對(duì)未來一天不同時(shí)段的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)，GM-RBF組合模型的預(yù)報(bào)精度最高，相較于GM（1，1）模型平均預(yù)報(bào)精度分別提升了78.7%、82.1%、80.0%、71.9%；相較于ARIMA模型平均預(yù)報(bào)精度分別提升了86.2%、84.8%、80.3%、73.3%；相較于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型平均預(yù)報(bào)精度分別提升了47.4%、51.2%、53.0%、46.4%。

（3）在單一預(yù)測(cè)模型當(dāng)中，GM（1，1）模型與ARIMA模型的預(yù)測(cè)精度相對(duì)較差，其平均預(yù)報(bào)精度均在1.8 ns以上，而且數(shù)據(jù)存在顯著波動(dòng)的特征。在RBF模型與組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果中，RMS伴隨著預(yù)測(cè)歷元個(gè)數(shù)的增加而增加，并且組合模型的預(yù)報(bào)誤差在0.9 ns以下，模型顯示出良好的穩(wěn)定性和更高的預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度，這比任何單獨(dú)模型都要優(yōu)秀。隨著預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)的增加，組合模型受RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型影響較大，誤差增量逐漸增加。組合模型相比單一模型平均預(yù)報(bào)精度提高了46.4%～86.2%。

（4）對(duì)未來6、12、18、24 h的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)，其中GM（1，1）模型在BDS-3星載氫鐘的平均預(yù)報(bào)精度為0.92 ns、0.97 ns、1.01 ns、1.09 ns；ARIMA模型在BDS-3星載氫鐘的平均預(yù)報(bào)精度為1.13 ns、1.10 ns、1.11 ns、1.15 ns；RBF模型在BDS-3星載氫鐘的平均預(yù)報(bào)精度為0.18 ns、0.24 ns、0.34 ns、0.51 ns；組合模型在BDS-3星載氫鐘的平均預(yù)報(bào)精度為0.14 ns、0.17 ns、0.20 ns、0.29 ns。GM（1，1）模型在BDS-3星載銣鐘的平均預(yù)報(bào)精度為1.22 ns、1.55 ns、2.04 ns、2.67 ns；ARIMA模型在BDS-3星載銣鐘的平均預(yù)報(bào)精度為1.14 ns、1.38 ns、1.73 ns、2.22 ns；RBF模型在BDS-3星載銣鐘的平均預(yù)報(bào)精度為0.52 ns、0.77 ns、1.05 ns、1.43 ns；組合模型在BDS-3星載銣鐘的平均預(yù)報(bào)精度為0.15 ns、0.21 ns、0.38 ns、0.73 ns。因此，在相同的模型中，BDS-3星載氫鐘的短期預(yù)測(cè)性能優(yōu)于銣鐘，這與氫鐘本身卓越的短期預(yù)測(cè)性能緊密相連。

4 結(jié)語

針對(duì)衛(wèi)星鐘差具有趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)變化的特征，提出了一種基于GM－RBF組合預(yù)報(bào)模型。該組合模型是通過對(duì)兩種單一模型的綜合利用，首先用GM（1，1）提取預(yù)處理后的衛(wèi)星鐘差趨勢(shì)項(xiàng)部分并進(jìn)行建模預(yù)報(bào)，并得到相應(yīng)的隨機(jī)項(xiàng)部分用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模預(yù)報(bào)，最后將兩種模型的預(yù)報(bào)值相加得到組合模型預(yù)報(bào)值。通過對(duì)4種模型預(yù)報(bào)精度進(jìn)行分析可知，GM-RBF模型簡(jiǎn)單， 在預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)增加時(shí)，誤差曲線穩(wěn)定性較好，預(yù)報(bào)結(jié)果比其他單一模型精度更好，證明了組合模型在BDS-3衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)中的有效性及穩(wěn)定性是較佳的，可用于BDS-3衛(wèi)星鐘差的高精度預(yù)報(bào)。

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