蔣世雷 張宇瓊

［摘? 要］ 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中部分教師過(guò)分關(guān)注知識(shí)“是什么”和“怎么做”，較少關(guān)注“為什么”。教師只有深入研讀課標(biāo)和教材，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈，基于數(shù)學(xué)理解進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，才能取得理想的教學(xué)效果。

［關(guān)鍵詞］ 最大公因數(shù)；數(shù)學(xué)理解；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、學(xué)生的疑問(wèn)：老師，為什么可以這樣求最大公因數(shù)

近日，筆者觀摩了一名青年教師執(zhí)教“最大公因數(shù)”的公開(kāi)課（內(nèi)容見(jiàn)圖1）。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)這名教師沒(méi)有深研教材編寫者的意圖，而是機(jī)械地教學(xué)：先用12和30的公因數(shù)2去除12和30；然后用公因數(shù)3去除，一直除到商2和5只有公因數(shù)1（即商是互質(zhì)數(shù)）為止；最后把所有的除數(shù)2和3連乘起來(lái)，就得到12和30的最大公因數(shù)是2×3＝6。教師通過(guò)大量的練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生遵照這個(gè)方法去做，讓絕大部分學(xué)生掌握求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法。

課后筆者正準(zhǔn)備與這名教師交流，不料有個(gè)學(xué)生拿著數(shù)學(xué)教材走了過(guò)來(lái)，向他請(qǐng)教：“老師，今天的課我知道了怎么用短除法來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，但我有個(gè)疑問(wèn)：為什么可以這樣求最大公因數(shù)呢？”

見(jiàn)此情形，筆者不禁莞爾一笑：這個(gè)孩子真不簡(jiǎn)單！因?yàn)樗罃?shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要“知其然”，還要”知其所以然”。

二、我們的追問(wèn)：為什么要重視理解

雖然課改已實(shí)施多年，但在教學(xué)實(shí)踐中，特別是在計(jì)算、幾何等領(lǐng)域的教學(xué)中，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師受傳統(tǒng)教育的影響過(guò)度強(qiáng)調(diào)對(duì)定義、定理、法則、公式的灌輸與記憶，不太注重對(duì)這些概念、知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用過(guò)程的揭示與解釋，造成部分學(xué)生只會(huì)根據(jù)“法則”來(lái)進(jìn)行計(jì)算，只會(huì)根據(jù)“模型”來(lái)解決問(wèn)題，但不理解為什么可以這樣做。這樣的現(xiàn)象常常發(fā)生在一節(jié)課的新授環(huán)節(jié)，教師過(guò)分關(guān)注知識(shí)“是什么”和“怎么做”，較少關(guān)注“為什么”，更不用說(shuō)基于學(xué)生實(shí)際去關(guān)注“還可以怎么做”和“為什么還可以這樣做”。即使部分教師關(guān)注“為什么”，常常也是淺嘗輒止，留給學(xué)生動(dòng)腦思考、理解、消化的時(shí)間很少，而是騰出更多時(shí)間來(lái)做大量的練習(xí)，其中不乏機(jī)械式、模仿式的練習(xí)。這從表面上來(lái)看，教師好像完成了一節(jié)課既定的教學(xué)任務(wù)，學(xué)生“掌握”得也不錯(cuò)，顯得非常“高效”。但實(shí)質(zhì)上，學(xué)生理解不透徹，只會(huì)“按部就班”“依樣畫葫蘆”，一遇到稍微有點(diǎn)變化的問(wèn)題就手足無(wú)措，不知從何下手，顯然這是一種“偽高效”。

英國(guó)學(xué)者斯根普認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通常有兩種理解方式：工具性理解和關(guān)系性理解。工具性理解是指一種語(yǔ)義性理解，比如符號(hào)A所指代的事物是什么，或指一種程序性理解；一個(gè)規(guī)則R所指定的每一個(gè)步驟是什么、如何操作。簡(jiǎn)言之，工具性理解就是按照語(yǔ)詞的本意和計(jì)算程序進(jìn)行操作，即只知是什么或怎么做，不知為什么。關(guān)系性理解則需要學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)知識(shí)意義和替代物的結(jié)構(gòu)，獲得概念和規(guī)律（定律、定理、公式、法則等），以及規(guī)則本身所具有的邏輯依據(jù)等。簡(jiǎn)言之，學(xué)習(xí)者不僅要知道是什么和怎么做，而且要知道為什么可以這樣做和還可以怎樣做。

因此，在教學(xué)中教師不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要讓學(xué)生“知其所以然”，即注重強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的真正理解。基于此，教師有必要在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解進(jìn)行深入研究，以真正達(dá)到教學(xué)的有效和高效。

三、教師的對(duì)策：基于數(shù)學(xué)理解的教學(xué)設(shè)計(jì)

在實(shí)際的調(diào)研過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)：大部分教師雖然認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)理解的重要性，但面對(duì)“如何深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)”“如何進(jìn)行有深度的體現(xiàn)‘?dāng)?shù)學(xué)味的教學(xué)設(shè)計(jì)”“如何構(gòu)建基于數(shù)學(xué)理解的有效課堂”等問(wèn)題，仍存在許多困惑。下面筆者以“最大公因數(shù)”一課的教學(xué)為例，談?wù)剛€(gè)人的一點(diǎn)看法。

求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)一般用短除法。西南大學(xué)版教材通過(guò)列舉出12和30的所有因數(shù)，找到12和30的公因數(shù)和最大公因數(shù)，通過(guò)例子指出可以像這樣用短除法求最大公因數(shù)（如圖1）：先用12和30的公因數(shù)2去除，再用公因數(shù)3去除，一直除到商2和5只有公因數(shù)1為止（即商是互質(zhì)數(shù)為止），然后把公因數(shù)2和3乘起來(lái)就是它們的最大公因數(shù)。為什么可以這樣求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)呢？筆者認(rèn)為，關(guān)鍵問(wèn)題在于要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律后，學(xué)生就會(huì)理解求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，關(guān)鍵就是找到這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，然后把公有的質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)，就能求出它們的最大公因數(shù)。同時(shí)，數(shù)學(xué)講求簡(jiǎn)捷，在比較中改進(jìn)，從而得到更簡(jiǎn)便的用短除法求最大公因數(shù)的方法。

為此，筆者在教學(xué)中對(duì)本環(huán)節(jié)教學(xué)進(jìn)行了改進(jìn)。

1.用列舉法找到兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，理解什么是公因數(shù)和最大公因數(shù)

教學(xué)片段1：

出示例題，學(xué)生齊讀例題：一張長(zhǎng)30cm、寬12cm的長(zhǎng)方形紙，剪成大小相等的正方形且沒(méi)有剩余，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)最大是多少厘米？

師：想一想這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系？

生1：這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)既是長(zhǎng)的因數(shù)，又是寬的因數(shù)。

師：大家同意嗎？

生（齊聲答）：同意。

師：那么求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)最大是多少厘米，實(shí)際上就是求什么？

生1：實(shí)際上是求既是長(zhǎng)的因數(shù)又是寬的因數(shù)中最大的一個(gè)。

師：你們準(zhǔn)備怎么找到既是長(zhǎng)的因數(shù)又是寬的因數(shù)中最大的一個(gè)？

生2：可以把長(zhǎng)的所有因數(shù)和寬的所有因數(shù)列舉出來(lái)，再圈出它們公有的因數(shù)，從而找到它們公有的因數(shù)中最大的一個(gè)。

師：請(qǐng)同學(xué)們就用生2說(shuō)的方法找一找。

學(xué)生自己列舉出12和30的因數(shù)，再找出它們公有的因數(shù)和最大的一個(gè)公有的因數(shù)后進(jìn)行匯報(bào)。

師：誰(shuí)找到了？上臺(tái)來(lái)給大家說(shuō)說(shuō)。

生3（上臺(tái)邊板書邊匯報(bào)）：我發(fā)現(xiàn)12的因數(shù)有1，2，3，4，6，12；30的因數(shù)有1，2，3，5，6，10，15，30。所以12和30公有的因數(shù)有1，2，3，6。最大的一個(gè)是6，所以這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)最大是6厘米。

師：大家同意嗎？

生（齊聲答）：同意。

師（出示課件，如圖2）：通過(guò)剛才的活動(dòng)，同學(xué)們用列舉法先分別列舉出12和30各自的因數(shù)，找到了它們公有的因數(shù)有1，2，3，6。最大的一個(gè)是6，所以這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)最大是6厘米。

師（出示課件）：1，2，3，6是12和30公有的因數(shù)，叫作12和30的公因數(shù)。其中6 是最大的一個(gè)公因數(shù)，叫作它們的最大公因數(shù)。來(lái)，我們一齊讀一讀。

2. 用分解質(zhì)因數(shù)法找到規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積

教學(xué)片段2：

師：剛才，我們用列舉法找到了兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。那么這兩個(gè)數(shù)和它們的最大公因數(shù)究竟有什么關(guān)系呢？下面我們一起來(lái)做進(jìn)一步的研究。

請(qǐng)同學(xué)們將12、30和它們的最大公因數(shù)6分別分解質(zhì)因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：我先把12、30和它們的最大公因數(shù)6分別分解質(zhì)因數(shù)，發(fā)現(xiàn)12和30都有質(zhì)因數(shù)2和3，而把它們乘起來(lái)，就可以得到這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)6。

師（課件梳理，如圖3）：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)真不錯(cuò)！把12、30和它們的最大公因數(shù)6分別分解質(zhì)因數(shù)，發(fā)現(xiàn)12和30都有質(zhì)因數(shù)2和3，而把它們乘起來(lái)，就可以得到這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)6。

師：是不是所有的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)都等于這兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積呢？接下來(lái)，我們通過(guò)兩組數(shù)來(lái)驗(yàn)證。

出示活動(dòng)要求：研究?jī)蓚€(gè)數(shù)的最大公因數(shù)都等于這兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積嗎？

第1組數(shù)：12和18；第2組數(shù)：20和30。

（1）任選一組數(shù)，用列舉法找出這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

（2）將這兩個(gè)數(shù)和它們的最大公因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。

（3）我的結(jié)論是（? ? ? ?）。

學(xué)生研究后匯報(bào)。

生5：我研究的是第1組數(shù)，12的因數(shù)有1，2，3，4，6，12；18的因數(shù)有1，2，3，6，9，18。12和18的最大公因數(shù)是6。將12、18和它們的最大公因數(shù)6分解質(zhì)因數(shù)，12=2×3×2，18=2×3×3，6=2×3。我發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。

生6：我研究的是第2組數(shù)，20的因數(shù)有1，2，4，5，10，20；30的因數(shù)有1，2，3，5，6，10，15，30。20和30的最大公因數(shù)是10。將20、30和它們的最大公因數(shù)10分解質(zhì)因數(shù)，20= 2×2×5，30=2×3×5，10=2×5。我發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。

師（課件梳理，如圖4）：同學(xué)們的表現(xiàn)真不錯(cuò)！我們選取了兩組數(shù)，先用列舉法找出這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，然后將這兩個(gè)數(shù)和它們的最大公因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的確等于這兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。

3.用分解質(zhì)因數(shù)法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)

教學(xué)片段3：

師：既然兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，那么求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，除了用列舉法外，還可以怎么求？

生7：可以將這兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，找到它們公有的質(zhì)因數(shù)，把公有的質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)，就是它們的最大公因數(shù)。

師：來(lái)，我們一起用短除法做一做，先把12和30分解質(zhì)因數(shù)，找到它們公有的質(zhì)因數(shù)2和3，然后把2和3乘起來(lái)，就得到12和30的最大公因數(shù)是6（如圖5）。

4. 將分解質(zhì)因數(shù)法改進(jìn)為短除法

教學(xué)片段4：

師：剛才，我們用短除法分別將12和30分解質(zhì)因數(shù)，求出了它們的最大公因數(shù)。但是數(shù)學(xué)要講求簡(jiǎn)捷，我們可以將兩個(gè)短除式合并在一起，像下面這樣求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。（出示下面的短除式，如圖6）

先用公有質(zhì)因數(shù)2去除…… 2? ?12? 30

再用公有質(zhì)因數(shù)3去除……? ?3? 6? 15

2? ?5

12和30的最大公因數(shù)是2×3=6。

師：同學(xué)們能看懂嗎？誰(shuí)來(lái)給大家介紹介紹？

生8：把12和30并排寫在一起，先用它們公有的質(zhì)因數(shù)2去除，12除以2得6，30除以2得15；然后用它們公有的質(zhì)因數(shù)3去除，6除以3得2，15除以3得5，2和5沒(méi)有公有的質(zhì)因數(shù)，到此為止。把它們公有的因數(shù)乘起來(lái)2×3=6，就找到了12和30的最大公因數(shù)。

5. 比較3種方法，選擇自己喜歡的方法并說(shuō)明原因

改進(jìn)教學(xué)后，學(xué)生掌握了3種找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法，對(duì)3種方法之間的聯(lián)系理解得比較深刻，也對(duì)找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)時(shí)“為什么一般要用短除法”“為什么可以這樣用短除法”的理解比較透徹，同時(shí)對(duì)最大公因數(shù)的來(lái)龍去脈一清二楚。在后面的最小公倍數(shù)教學(xué)中，教師也可以利用最大公因數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和方法進(jìn)行教學(xué)，真正達(dá)到讓學(xué)生“知其然”且“知其所以然”的目的。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“教學(xué)建議”中明確要求教學(xué)要“整體把握教學(xué)內(nèi)容”“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”，即在教學(xué)中重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。教師既要了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與來(lái)源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義，了解課程內(nèi)容和教學(xué)內(nèi)容的安排意圖；又要強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)。通過(guò)合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。

因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只有深入研讀課標(biāo)和教材，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈，適度整合教學(xué)素材，基于數(shù)學(xué)理解進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，才能取得理想的教學(xué)效果。