蒲可莉 廖群英

摘要：量子糾錯(cuò)碼可以有效地克服量子消相干，是實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的關(guān)鍵技術(shù).量子糾錯(cuò)碼可以利用滿足特定關(guān)系的經(jīng)典糾錯(cuò)碼來進(jìn)行構(gòu)造.BCH碼作為一類距離可設(shè)計(jì)的特殊循環(huán)碼，具有很好的代數(shù)結(jié)構(gòu)，所以可以用來構(gòu)造量子BCH碼.首先給出有限域Fq（q為素?cái)?shù)方冪）上模n分圓陪集是單元集的等價(jià)刻畫和性質(zhì).然后利用CSS構(gòu)造和Steane構(gòu)造得到兩類有限域Fq上的新的量子BCH碼，最后將分圓陪集的相關(guān)結(jié)果推廣到有限域Fq2上，并利用Hermitian構(gòu)造得到一類量子BCH碼.

關(guān)鍵詞：分圓陪集; CSS構(gòu)造; Steane構(gòu)造; Hermitian構(gòu)造; 量子BCH碼

中圖分類號(hào)：O236.2? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? 文章編號(hào)：1001-8395（2024）05-0689-07

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2024.05.015

1994年，Shor[1]提出了計(jì)算效率高的量子算法，用于大數(shù)分解和計(jì)算離散對(duì)數(shù)，基于這些算法，量子計(jì)算機(jī)的所有者可以破解公鑰密碼系統(tǒng).1997年，Grover[2]提出了一種量子算法用于搜索非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)庫(kù)，它比經(jīng)典的搜索算法速度更快.這些成果使得量子算法的性能受到了廣泛關(guān)注.然而，量子系統(tǒng)和環(huán)境之間并不是完全孤立的，量子計(jì)算機(jī)的量子態(tài)與外部環(huán)境發(fā)生相互作用，破壞量子態(tài)間的相干性，從而導(dǎo)致量子消相干現(xiàn)象.環(huán)境中的噪聲將純糾纏態(tài)變成混合態(tài)，導(dǎo)致傳輸?shù)牧孔有畔⒊鲥e(cuò).所以若要量子計(jì)算機(jī)或長(zhǎng)距離量子通信成為現(xiàn)實(shí)，則必須克服消相干現(xiàn)象帶來的影響.量子糾錯(cuò)碼正是解決量子消相干的主要方式之一.1995—1996年，Shor等[3-4]得到了7個(gè)和9個(gè)量子位的量子糾錯(cuò)碼，證明了可以通過對(duì)信息增加冗余來對(duì)量子系統(tǒng)進(jìn)行編碼，這是量子糾錯(cuò)碼的最早例子.同經(jīng)典糾錯(cuò)碼理論一樣，構(gòu)造具有良好參數(shù)的量子糾錯(cuò)碼十分重要.在Shor[3]，Steane[5-6]和Calderbank等[7]的工作之后，量子糾錯(cuò)碼理論在近20年來得到了迅速的發(fā)展.眾所周知，利用CSS構(gòu)造，Steane構(gòu)造以及Hermitian構(gòu)造可以將量子碼與有限域上的經(jīng)典線性碼建立很好的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而可以利用某些滿足特定性質(zhì)的經(jīng)典線性碼來構(gòu)造量子糾錯(cuò)碼.在經(jīng)典編碼理論中，循環(huán)碼具有良好的代數(shù)結(jié)構(gòu)和循環(huán)特性，便于編碼和譯碼，所以應(yīng)用廣泛.因此，很多人開始研究如何利用循環(huán)碼來構(gòu)造參數(shù)優(yōu)良的量子碼.例如：Calderbank等[7]利用有限域上的經(jīng)典加性碼構(gòu)造了一批二元量子BCH碼，隨后將該結(jié)構(gòu)推廣到了有限域上的任何非二元量子BCH碼[8];文獻(xiàn)[9-15]利用有限域上參數(shù)不同的經(jīng)典BCH碼，得到了一系列參數(shù)優(yōu)的量子BCH碼.此外，一些學(xué)者基于有限域上的負(fù)循環(huán)碼和常循環(huán)碼，分別在文獻(xiàn)[16-19]中構(gòu)造了具有不同碼長(zhǎng)的量子負(fù)循環(huán)碼和量子常循環(huán)碼.

CSS構(gòu)造、Steane構(gòu)造以及Hermitian構(gòu)造是3種常見的量子碼構(gòu)造方法，其關(guān)鍵是構(gòu)造相應(yīng)參數(shù)的經(jīng)典線性碼使其滿足對(duì)偶包含或自正交條件.而BCH碼的正交性可通過其定義集來刻畫.因此，利用BCH碼來構(gòu)造參數(shù)優(yōu)良的量子BCH碼，依賴于分圓陪集的選擇.所以，本文以有限域上的分圓陪集為工具，證明了一些特殊碼長(zhǎng)的經(jīng)典BCH碼是對(duì)偶包含碼.最后，利用CSS構(gòu)造，Steane構(gòu)造以及Hermitian構(gòu)造得到了一系列的量子BCH碼.

為敘述方便，我們先對(duì)本文出現(xiàn)的一些符號(hào)作如下說明：

1） q表示素?cái)?shù)方冪，F(xiàn)q表示q個(gè)元素的有限域，F(xiàn)q[x]表示Fq上的多項(xiàng)式環(huán);

2） 對(duì)任意a，b∈Z，（a，b）表示a與b的最大公因子;

3） 對(duì)任意實(shí)數(shù)y，「y表示不小于y的最小整數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)n為正整數(shù)，參數(shù)為[n，k，d]的線性碼C是Fnq的k維子空間，其中，n為碼長(zhǎng)，k為維數(shù)，d為最小漢明距離.本文總假設(shè)（n，q）=1，稱使得qm≡1（mod n）成立的最小正整數(shù)m為q模n的乘法階，記為m=ordn（q）.

定義 1.1 對(duì)任意的i∈Z+，有限域Fq上包含i的模n的分圓陪集定義為

Ci={i，iq，…，iqli-1（mod n）}，

其中，li是使得iqli≡i（mod n）成立的最小正整數(shù)，Ci中的最小元素稱為Ci的陪集代表元.

性質(zhì) 1.2 Fq中的分圓陪集滿足以下性質(zhì)：

1） |Ci||ordn（q）;

2） 對(duì)任意分圓陪集Ci和Cj，有Ci≠Cj當(dāng)且僅當(dāng)i≠jqz（mod n），其中z∈Z+.

定義 1.3 參數(shù)為[n，k，d]的q元線性碼C叫作循環(huán)碼，是指若c=（c0，c1，…cn-1）∈C，則有c′=（cn-1，c0，…cn-2）∈C.若將c=（c0，c1，…cn-1）表示成多項(xiàng)式c（x）=∑n-1i=0cixi，則碼長(zhǎng)為n的q元循環(huán)碼可以看成是商環(huán)Fq[x]/（xn-1）的理想.熟知Fq[x]/（xn-1）的理想都是主理想，故循環(huán)碼C也可表示成C=〈g（x）〉，其中g(shù)（x）是xn-1在Fq[x]中的首一多項(xiàng)式因式.稱g（x）為循環(huán)碼C的生成多項(xiàng)式，而h（x）=xn-1g（x）稱為C的校驗(yàn)多項(xiàng)式，并且k=deg（h（x））.

設(shè)α是Fqm的本原元，令β=αqm-1n，則C的定義集定義為D={0≤i≤n-1|g（βi）=0}.

蒲可莉，等：幾類量子BCH碼的構(gòu)造

定義 1.4 設(shè)α是Fqm的本原元，β=αqm-1n.對(duì)任意正整數(shù)b和δ（2≤δ≤n-1），以多項(xiàng)式

g（q，n，δ，b）（x）=lcm（Mb（x），Mb+1（x），…，Mb+δ-2（x））

為生成多項(xiàng)式的循環(huán)碼叫作碼長(zhǎng)為n，設(shè)計(jì)距離為δ的BCH碼，記為C（q，n，δ，b），其中，Mi（x）為βi（b≤i≤b+δ-2）

433≥5[[732，710，d≥5]]≈0.97

655≥7[[1 098，1 064，d≥7]]≈0.97

現(xiàn)在，利用Steane構(gòu)造方法構(gòu)造Fq上碼長(zhǎng)n=rqm-1q-1的量子BCH碼，即如下的定理.

定理 3.3

設(shè)n=rqm-1q-1，ordn（q）=m是奇素?cái)?shù).若2≤t≤q-1，1≤c≤t-1，

則存在Fq上參數(shù)為[[n，n-m（c+t），dq]]的量子BCH碼，其中dq≥min{t+1，「（q+1）（c+1）q}.

證明 設(shè)α是Fqm的本原元，令β=αqm-1n，則β是n次本原單位根.由2≤t≤q-1及引理2.2可知，Ci∩Cj=，其中1≤i≠j≤t.

設(shè)q元BCH碼

C1=[n，k1，d1]=〈∏ti=1∏s∈Ci（x-βs）〉（9）

和

C2=[n，k2，d2]=〈∏cj=1∏s∈Cj（x-βs）〉，?（10）

則分別由C1和C2的生成多項(xiàng)式以及BCH界可得

d1≥t+1，（11）

d2≥c+1.（12）

由于m是奇素?cái)?shù)，由性質(zhì)1.2可得|Ci|=1或者m，其中1≤i≤t.

令d=（qm-1q-1，q-1r），與定理3.2的證明類似，同樣可得d≤m.又2≤t≤q-1且1≤c≤t-1，所以

1≤c

故由引理2.1可得|Ci|=m.進(jìn)而，由（9）和（10）式以及Ci∩Cj=可得

k1=n-mt， k2=n-mc.（13）

另由（9）式可知C1的定義集為D1=∪ti=1Ci.由于2≤t≤q-1，故由引理2.3可得D1∩D-11=，從而C1⊥C1.由于（n-mc）-（n-mt）>2，故C2是C1的擴(kuò)展碼，因此

C1⊥C1C2.（14）

最后，由Steane構(gòu)造法以及（11）～（14）式可得，存在參數(shù)為[[n，n-m（c+t），dq]]的q元量子BCH碼，其中dq≥min{t+1，「（q+1）（c+1）q}.

例 2 設(shè)q=13，m=3，根據(jù)定理3.3可以得到不同參數(shù)的量子BCH碼.結(jié)果如下：

rctd[[n，k，d]]kn

112≥3[[57，48，d≥3]]≈0.84

223≥4[[114，99，d≥4]]≈0.87

334≥5[[171，150，d≥5]]≈0.88

656≥7[[342，309，d≥7]]≈0.90

推論 3.4 設(shè)n=r（q3-1q-1），且ordn（q）=3.若r≠2，則存在參數(shù)為[[n，n-5，3]]的q元量子BCH碼.

證明 由n=r（q3-1q-1）以及q3≡1（mod n）可得，Cq2+q={q+1，q2+1，q2+q}，Cq2+q+1={q2+q+1}，因此Cq2+q∩Cq2+q+1=.

設(shè)β是Fq3的n次本原單位根.現(xiàn)考慮q元BCH碼

C1=[n，k1，d1]=〈∏s∈Cq2+q∪Cq2+q+1（x-βs）〉?（15）

及

C2=[n，k2，d2]=〈∏s∈Cq2+q+1（x-βs）〉.

由于

Cq2+q∪Cq2+q+1={q+1，q2+1，

q2+q，q2+q+1}，

且Cq2+q+1={q2+q+1}，

故由（15）和（16）式分別可得C1=[n，n-4，d1]，C2=[n，n-1，d2]，其中d1≥3，d2≥2.

因?yàn)椋╪-1）-（n-4）>2，所以C2是C1的擴(kuò)展碼.進(jìn)而，由（15）式可知C1的定義集為

D1=Cq2+q∪Cq2+q+1={q+1，q2+1，q2+q，q2+q+1}.

又D-11={-i（mod n）|i∈D1}，所以

D-11={rq2+（r-1）q+r-1，

（r-1）q2+rq+r-1，（r-1）q2+（r-1）q+r，（r-1）q2+（r-1）q+r-1}.

由于r≠2，故D1∩D-11=，從而C1⊥C1.

綜上，由Steane構(gòu)造可得參數(shù)為[[n，n-5，d]]的q元量子BCH碼，其中d≥3.

若d>3，則n-5+2d-2>n，這與量子碼的Singleton界相矛盾.故存在參數(shù)為[[n，n-5，3]]的q元量子BCH碼.

最后，令Q=q2，利用Hermitian方法來構(gòu)造碼長(zhǎng)n=rQm′-1Q-1的Q元量子BCH碼，即如下定理.

定理 3.5 設(shè)n=rQm′-1Q-1，ordn（Q）=m′>3是奇素?cái)?shù).若1≤t≤Q-1，則存在參數(shù)為[[n，n-2m′t，dQ]]的Q元量子BCH碼，其中dQ≥t+1.

證明 設(shè)α是FQm′的本原元，令β=αQm′-1n，則β是n次本原單位根.因?yàn)?≤t≤Q-1，故由推論2.5可得Ci∩Cj=，其中1≤i≠j≤t.設(shè)C=[n，k，dC]是FQ上生成多項(xiàng)式為

g（x）=∏ti=1∏s∈Ci（x-βs）（17）

的BCH碼，則C的定義集為

DC=∪ti=1Ci.（18）

顯然，由BCH界可得

dC≥t+1.（19）

當(dāng)m′為奇素?cái)?shù)時(shí)，對(duì)1≤i≤t，有|Ci|=1或m′.

令d′=（Qm′-1Q-1，Q-1r），

則

Qm′-1Q-1=（kd′r+1）m′-1+…+（kd′r+1）+1， k∈Z+，

故d′|m′，從而d′≤m′.

又因1≤t≤Q-1，所以

1≤t≤Q-1

故由推論2.4可得|Ci|=m′.因?yàn)镃i∩Cj=，

所以由（17）式可得

k=n-m′t.（20）

由于m′>3且1≤t≤Q-1，故由引理2.6可得DC∩DC-q=，從而

C⊥HC.（21）

最后，由Hermitian構(gòu)造以及（19）～（21）式，可得參數(shù)為[[n，n-2m′t，dQ]]的Q元量子BCH碼，其中dQ≥t+1.

4 結(jié)束語

文獻(xiàn)[13]構(gòu)造了一些碼長(zhǎng)為n=r（q±1）的量子BCH碼，其中ordn（q）=2.對(duì)于碼長(zhǎng)n=r（q3-1）且q≡2（mod 3）的情形，文獻(xiàn)[10]利用Hermitian構(gòu)造法得到了一系列量子BCH碼.文獻(xiàn)[19]利用有限域上碼長(zhǎng)n=r（qm-1）的常循環(huán)碼，構(gòu)造了一批量子常循環(huán)碼，其中ordn（q）=2m.本文首先給出有限域Fq上分圓陪集是單元集的充要條件以及性質(zhì).針對(duì)經(jīng)典BCH碼，利用這些分圓陪集的性質(zhì)，得到了一些特殊碼長(zhǎng)的對(duì)偶包含BCH碼，并利用CSS構(gòu)造及Steane構(gòu)造得到了兩類碼長(zhǎng)為n=rqm-1q-1的量子BCH碼，其中ordn（q）=m是奇素?cái)?shù).這些結(jié)果，進(jìn)一步豐富了量子BCH碼的種類.隨后，將相關(guān)結(jié)果推廣到有限域Fq2，并利用Hermitain構(gòu)造得到了一類碼長(zhǎng)為n=r（Qm′-1Q-1）的量子BCH碼，其中Q=q2，ordn（Q）=m′>3是奇素?cái)?shù).

致謝阿壩師范學(xué)院校級(jí)專項(xiàng)項(xiàng)目（AS-RCZX2023-03）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

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Several Classes of Quantum BCH Codes

PU Keli1，2， LIAO Qunying1

（1. School of Mathematics and Science， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan;2. Institute of Mathematics， Aba Teachers College， Wenchuan 623000， Sichuan）

Abstract：Quantum error-correcting codes can be used to overcome quantum decoherence efficiently， which is the key technology to realize quantum computing. A series of quantum codes were proposed based on classical codes. In this paper， a necessary and sufficient condition for being the number of elements in cyclotomic cosets over finite fields is given and then some characteristics for cyclotomic cosets over finite fields are presented. Later， a series of new quantum BCH codes over the finite field Fq are constructed by CSS （Calderbank-Shor-Steane） construction or Steane construction， where q is a power of the prime. Finally， a class of quantum BCH codes over Fq2 are constructed by using Hermitian construction.

Keywords：cyclotomic coset; CSS construction; Steane construction; Hermitian construction; quantum BCH code2020 MSC：11T71

（編輯 周 ?。?/p>

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（12071321）和四川省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目（23ZYZYTS0335）

*通信作者簡(jiǎn)介：廖群英（1974—），女，教授，主要從事代數(shù)編碼與密碼學(xué)的研究，E-mail：qunyingliao@sicnu.edu.cn

引用格式：蒲可莉，廖群英. 幾類量子BCH碼的構(gòu)造[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，47（5）：689-695.