劉愛(ài)麗 任蝶 鄒艷艷 舒級(jí)

摘要：證明帶有一般加性噪聲的分?jǐn)?shù)階復(fù)Ginzburg-Landau方程解的存在性與唯一性.首先通過(guò)一族正則函數(shù)逼近原方程，然后再建立逼近解的一致估計(jì)，最后再通過(guò)極限過(guò)程證明方程的存在性和唯一性.

關(guān)鍵詞：Ginzburg-Landau方程; 一般加性噪聲; 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子; 適定性

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.29? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? 文章編號(hào)：1001-8395（2024）05-0682-07

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2024.05.014

本文考慮了如下定義在Rn上的分?jǐn)?shù)階隨機(jī)復(fù)Ginzburg-Landau方程解的適定性.給定α∈（0，1），對(duì)于t>0，

du（t）+（1+iγ）（-Δ）αu（t）dt+f（t，x，u（t））dt=（h（t，x，u（t））+g（t，x））dt+σ（t，w，u（t））dW，（1）

初始條件

u（0，x）=u0（x）， x∈Rn，（2）

其中，（-Δ）α是分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子，f（t，x，u（t））=（1+iβ）|u（t）|2u（t）是非線性函數(shù)，i是虛部，β，γ>0，h為未知的復(fù)值Lipschitz函數(shù)，g∈L2loc（R;L2（Rn）），σ是一個(gè)局部Lipschitz非線性擴(kuò)散系數(shù)，W是一個(gè)定義在完備濾子空間（Ω，F(xiàn)，{Ft}t∈R，P）上的一個(gè)雙邊U-值柱形維納過(guò)程，其中{Ft}t∈R是遞增的右連續(xù)族，由包含了所有的零測(cè)度集的F -σ代數(shù)組成.

本文將研究隨機(jī)復(fù)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程在一般加性噪聲的擾動(dòng)下解的適定性，主要思想來(lái)源于文獻(xiàn)[1].分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子在物理學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[2-4].復(fù)Ginzburg-Landau方程被視為耗散情形下一種特殊的非線性Schrdinger方程，是數(shù)學(xué)物理中最重要的方程之一，具有非常豐富的物理背景和內(nèi)涵，例如Benard對(duì)流問(wèn)題[5]，Taylor-Couette流動(dòng)[6]，平面Poiseuille流[7]，超導(dǎo)中的渦流問(wèn)題[8]等.分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程是當(dāng)下熱門(mén)課題之一，許多數(shù)學(xué)家對(duì)它的物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)理論都表現(xiàn)出極大的興趣和關(guān)注，目前已經(jīng)有很多研究成果[9-15].本文所研究的分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程解的適定性在之前已經(jīng)有了很多研究[16-20].

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)回顧了分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的定義并介紹了所研究Ginzburg-Landau方程解的定義.

設(shè)S為Schwartz空間，它是由所有定義在Rn上的快速衰減函數(shù)所構(gòu)成的空間.對(duì)于0<α<1和u∈S，定義分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子（-Δ）α為

（-Δ）αu（x）dx=-12C（n，α）×∫Rnu（x+y）+u（x-y）-2u（x）|y|n+2αdy， x∈Rn，（3）

其中C（n，α）是一個(gè)正數(shù)：

C（n，α）=α4αΓ（n+2α2）πn2Γ（1-α），（4）

其中，Γ是通常的Gamma函數(shù).由文獻(xiàn)[21]可知，對(duì)于所有的u∈S，

（-Δ）αu=F-1（|ξ|2α（Fu））， ξ∈Rn，?（5）

其中，F(xiàn)為傅里葉變換，F(xiàn)-1為傅里葉逆變換.

對(duì)于0<α<1，定義分?jǐn)?shù)階Sobolev空間Hα（Rn）為

Hα（Rn）={u∈L2（Rn）：∫Rn∫Rn|u（x）-u（y）|2|x-y|n+2αdxdy<∞}，

賦予其范數(shù)：

‖u‖Hα（Rn）=（∫Rn|u（x）|2dx+∫Rn∫Rn|u（x）-u（y）|2|x-y|n+2αdxdy）12.

由文獻(xiàn)[21]可知

（‖u‖L2（Rn））+‖（-Δ）α2u‖2L2（Rn））12

是‖u‖Hα（Rn）的一個(gè)等價(jià)范數(shù).Hα（Rn）空間中的內(nèi)積被定義為

（u，v）Hα（Rn）=∫Rnu（x）v（x）dx+∫Rn∫Rn（u（x）-u（y））（v（x）-v（y））|x-y|n+2αdxdy，u，v∈Hα（Rn）.

為了方便，記H=L2（Rn），V=Hα（Rn），H*和V*分別是H和V的對(duì)偶空間.L2（Rn）的范數(shù)與內(nèi)積記為‖·‖，（·，·）.給定一個(gè)可分的Hilbert空間U，用L2（U，H）表示U到H的Hilbert-Schmidt算子所構(gòu)成的空間，記L2（U，H）的范數(shù)為‖·‖L2（U，H）.本文對(duì)于任意的u，v∈C，（u，v）=∫Rnudx.

劉愛(ài)麗，等：一般加性噪聲擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階隨機(jī)復(fù)Ginzburg-Landau方程解的適定性

對(duì)于非線性擴(kuò)散系數(shù)σ，假設(shè)對(duì)于每一個(gè)固定的u∈H，σ（·，·，u）：R×Ω→L2（U，H）是循序可測(cè)的.

對(duì)于漂移項(xiàng)h，假設(shè)h：R×Rn×C→C是連續(xù)的，使得對(duì)于所有的t>0，u1，u2∈C且x∈Rn，

h（t，x，0）=0，|h（t，x，u1）-h（t，x，u2）|≤ψ（t，x）|u1-u2|，（6）

其中ψ∈L∞loc（[WTHZ]R[WT]，L∞（[WTHZ]R[WT]n））.

事實(shí)上，容易得到存在常數(shù)c>0使得對(duì)于所有的z1，z2∈C，

||z1|2z1-|z2|2z2|≤c（|z1|2+|z2|2）|z1-z2|.（7）

通過(guò)（7）式可知

‖|u|2u-|v|2v‖2≤2c2（‖u‖4+‖v‖4）‖u-v‖2， u，v∈H.（8）

現(xiàn)定義一個(gè)全局Lipschitz函數(shù)去逼近局部Lipschitz非線性項(xiàng)f，對(duì)于每一個(gè)n∈N，ξn：C→C：

ξn（s）=s，|s|≤n，ns|s|，|s|>n.

容易證得ξn：C→C是全局Lipschitz連續(xù)的.事實(shí)上，可以得到

|ξn（s1）-ξn（s2）|≤|s1-s2|，s1，s2∈C（9）

且

|ξn（s）|≤n， |ξn（s）|≤|s|， ∈C.（10）

令

fn（t，x，s）=f（t，x，ξn（s））=（1+iβ）|ξn（s）|2ξn（s），

于是給定n∈N，通過(guò)（7），（9）和（10）式可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于s，s1，s2∈H，

‖（1+iβ）|ξn（s1）|2ξn（s1）-（1+iβ）|ξn（s2）|2ξn（s2）‖2≤4b2n4‖s1-s2‖2，（11）

其中b>0為一個(gè)常數(shù).

定義 1.1

令u0∈L2（Ω，H）是F0-可測(cè)的.若一個(gè)連續(xù)的H-值Ft-適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程u滿足，

u∈L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））∩L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））， T>0，（12）

使得對(duì)于所有的t≥0，ξ∈V∩L4（Rn），下面的式子在P-幾乎處處的條件下成立，

（u（t），ξ）+∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2，（-Δ）α2ξ）ds+∫t0（f（s，x，u（s）），ξ）dxds=（u0，ξ）+∫t0（h（s，·，u（s）），ξ）ds+∫t0（g（s），ξ）ds+∫t0（σ（s，u（s）），ξ）dW，（13）

其中隨機(jī)項(xiàng)中的ξ由Riesz表示定理看成是H*=H中的元，則稱u是方程（1）和（2）的一個(gè)解.

注 1.2

若u是（1）和（2）式在定義1.1意義下的一個(gè)解，則

（-Δ）αu∈L2（Ω，L2（0，T;V*）），f∈L43（Ω，L43（0，T;L43（Rn）））.

因此，一個(gè)連續(xù)H-值的Ft-適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程u是（1）和（2）式在定義1.1的意義下的一個(gè)解當(dāng)且僅當(dāng)u滿足（12）式，且對(duì)所有的t≥0，下面的等式在

（V∩L4（Rn））*中成立且在P-幾乎處處的條件下成立，

u（t）+∫t0（1+iγ）（-Δ）αu（s）ds+∫t0f（s，·，u（s））ds=u0+∫t0h（s，·，u（s））ds+∫t0g（s）ds+∫t0σ（s，u（s））dW.（14）

因此（13）和（14）式是等價(jià)的.

2 一般加性噪聲情形的適定性

本節(jié)證明帶有一般加性噪聲的方程（1）和（2）的解的存在性與唯一性.更具體地說(shuō)，設(shè)σ：R×Ω→L2（U，H）是一個(gè)循序可測(cè)的過(guò)程使得

σ∈L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H）））， T>0.（15）

于是考慮如下帶有一般加性噪聲的Ginzburg-Landau方程：

du（t）+（1+iγ）（-Δ）αu（t）dt+f（t，x，u（t））dt=h（t，x，u（t））dt+g（t，x）dt+σ（t，ω）dW，x∈Rn， t>0，（16）

初始條件

u（0，x）=u0（x）， x∈Rn，（17）

其中，f（t，x，u（t））=（1+iβ）|u（t）|2u（t）.

接下來(lái)，將去證明方程（16）和（17）在條件（15）下解的存在性與唯一性.

定理 2.1

假設(shè)（6），（11）和（15）式成立且u0∈L2（Ω，H）是F0-可測(cè)的，則問(wèn)題（16）和（17）在定義1.1的意義下有唯一解u滿足：

‖u‖2L2（Ω，C（[0，T]，H））+‖u‖2L2（Ω，L2（0，T;V））+‖u‖4L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））≤L（T）（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σ‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H）））），（18）

其中L（T）是只與T有關(guān)的正數(shù).

證明 此定理的證明分為以下四步完成.

1） 正則函數(shù)的逼近.在這一步中，通過(guò)一族正則函數(shù)來(lái)逼近（15）式中的σ，為了達(dá)到目的，選擇一個(gè)正整數(shù)h0使得h0>n8.于是對(duì)每個(gè)0<α<1，H2h0（Rn）L4（Rn）且H2h0（Rn）Hα（Rn）.令V0=H2h0，于是有V0V且V0L4（Rn）.給定k∈N，設(shè)σk=（I-1kΔ）-h0σ，則σk∈L2（0，T;L2（U，V0））.

通過(guò)文獻(xiàn)[22]中定理2.3可知，對(duì)于任意k∈N，存在唯一連續(xù)的H-值Ft-適應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程uk，且uk∈L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））∩L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn））），使得對(duì)于任意t≥0且ξ∈V∩L4（Rn），在P-幾乎處處的意義下有

（uk（t），ξ）+∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2uk（s），（-Δ）α2ξ）ds+∫t0（f（s，·，uk（s）），ξ）ds=（u0，ξ）+∫t0（h（s，·，uk（s）），ξ）ds+∫t0（g（s），ξ）ds+∫t0ξσk（s）dW（s）.（19）

由文獻(xiàn)[22]可知，存在一個(gè)與k無(wú)關(guān)的正數(shù)c1=c1（t）使得對(duì)于任意的k∈N，

‖uk‖2L2（Ω，C（[0，T]，H））+‖uk‖2L2（Ω，L2（0，T;V））+‖uk‖4L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））≤c1（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σk‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H））））.

根據(jù)算子（I-1kΔ）-h0的壓縮性，對(duì)所有k∈N，

‖uk‖2L2（Ω，C（[0，T]，H））+‖uk‖2L2（Ω，L2（0，T;V））+‖uk‖4L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））≤c1（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σ‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H））））.（20）

由（20）式可得，對(duì)任意k∈N，

‖f（·，·，uk）‖43L43（Ω，L43（0，T;L43（Rn）））=∫T0∫Rn|（1+iβ）|uk（t）|2uk（t）|43dxdt≤c2∫T0∫Rn|uk（t）|4dxdt=c2‖uk‖4L4（0，T;L4（Rn））≤c3（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σ‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H））））.（21）

2） 逼近解的一致估計(jì).由文獻(xiàn)[22]中定理3.3的證明可知，對(duì)于任意的k∈N，（19）式的解uk可以通過(guò)下面在V*中的方程的解uk，n取極限得到

uk，n（t）+∫t0（1+iγ）（-Δ）αuk，n（s）ds+∫t0fn（s，·，uk，n（s））ds=∫t0h（s，·，uk，n（s））ds+u0+∫t0g（s）ds+∫t0σk（s）dW.（22）

故

uk1，n（t）-uk1，n（t）+∫t0（1+iγ）（-Δ）α（uk1，n（s）-uk2，n（s））ds+∫t0fn（s，·，uk1，n（s））-fn（s，·，uk2，n（s））ds=∫t0h（s，·，uk1，n（s））-h（s，·，uk2，n（s））ds+∫t0σk1（s）-σk2（s）dW.

對(duì)上式運(yùn)用伊藤公式并取實(shí)部可得

‖uk1，n（t）-uk1，n（t）‖2+2∫t0‖（-Δ）α2（uk1，n（s）-uk2，n（s））‖2ds=-2Re∫t0（fn（s，·，uk1，n（s））-fn（s，·，uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds+2Re∫t0（h（s，·，uk1，n（s））-h（s，·，uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds+∫t0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds+2Re∫t0（uk1，n（s）-uk2，n（s），σk1（s）-σk2（s））dW.（23）

先處理（23）式右邊的第一項(xiàng).由（11）式可知

-2Re∫t0（fn（s，·，uk1，n（s））-fn（s，·，uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds=-2Re∫t0（（1+iβ）|ξn（uk1，n（s））|2ξn（uk1，n（s））-（1+iβ）|ξn（uk2，n（s））|2ξn（uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds≤2∫t0‖（1+iβ）|ξn（uk1，n（s））|2ξn（uk1，n（s））-（1+iβ）|ξn（uk2，n（s））|2ξn（uk2，n（s））‖×‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖ds≤4bn2∫t0‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖2ds.（24）

再處理（23）式右邊的第二項(xiàng).由（6）式可知

2Re∫t0（h（s，·，uk1，n（s））-h（s，·，uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds≤2∫t0∫Rnψ（t，x）|uk1，n（s）-uk2，n（s）|2dxds≤2‖ψ‖L∞（0，T;L∞（Rn））×∫t0‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖2ds.? （25）

將（24）和（25）式代入（23）式中可得

‖uk1，n（t）-uk1，n（t）‖2+2∫t0‖（-Δ）α2×（uk1，n（s）-uk2，n（s））‖2ds≤c4∫t0‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖2+∫t0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds+2Re∫t0（uk1，n（s）-uk2，n（s），σk1（s）-σk2（s））dW.

再由Burkholder-Davis-Gundy不等式，對(duì)于T>0，存在與k1，k2，n無(wú)關(guān)的正數(shù)c5=c5（T）使得

E（sup0≤t≤T‖uk1，n（t）-uk2，n（t）‖2）+E（∫T0‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖2Vds≤c5E（∫T0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds）.（26）

由文獻(xiàn)[22]可知，存在Ω的一個(gè)子集Ω1，且P（Ω1）=1，使得對(duì)于每一個(gè)固定的k∈N和ω∈Ω1，當(dāng)n→∞時(shí)，

在L∞（0，T;H）中，

uk，n（ω）w*uk（ω），（27）

在L2（0，T;V）中，

uk，n（ω）wuk（ω），（28）

在L4（0，T;L4（Rn）中，

ξ（uk，n）（ω）wuk（ω），（29）

在L43（0，T;L43（Rn）），

fn（·，·，uk，n（ω））ωf（·，·，uk（ω））.（30）

由（28）式可知

‖uk1（ω）-uk2（ω）‖2L2（0，T;V）≤lim infn→∞‖uk1，n（ω）-uk2，n（ω）‖2L2（0，T;V）.

因此

E（‖uk1-uk2‖2L2（0，T;V））≤E（lim infn→∞‖uk1，n-uk2，n‖2L2（0，T;V））.

由（26）式和Fatou引理可知

E（‖uk1-uk2‖2L2（0，T;V））≤E（lim infn→∞‖uk1，n-uk2，n‖2L2（0，T;V））≤

c6E（∫T0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds）.（31）

類(lèi)似地，通過(guò)（27）式和Fatou引理可知

E（‖uk1-uk2‖2C（[0，T]，H））≤c6E（∫T0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds）.（32）

由于在L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H）））中，當(dāng)k→∞時(shí)，σk→σ，故{uk}∞k=1是L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））中的柯西列.因此，存在u∈L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））使得在L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））中，

limk→∞ uk=u，（33）

其中的u是一個(gè)連續(xù)的H-值Ft-適應(yīng)過(guò)程.

另一方面，通過(guò)（33）式可知，存在一個(gè)子列，使得對(duì)于幾乎處處的（ω，t，x）∈Ω×[0，T]×Rn，

uk→u.（34）

由（21）式可知，存在M∈L43（0，T;L43（Rn））使得在L43（0，T;L43（Rn））中，

f（·，·，uk）ωM.（35）

通過(guò)（34）和（35）式及Mazur定理可知M=f（·，·，u），因此在

L43（0，T;L43（Rn））中，f（·，·，uk）ωf（·，·，u）.（36）

類(lèi)似地，通過(guò)（20）和（34）式可知在L4（0，T;L4（Rn））中，

uk→u.（37）

3） 逼近解的極限過(guò)程.給定φ∈L∞（Ω，Rn），ξ∈V∩L4（Rn），由（33）式，對(duì)任意t∈[0，T]，

E（（uk（t），ξ）φ）→E（（u（t），ξ）φ）.（38）

此外，通過(guò)（33）式可知，對(duì)于任意t∈[0，T]，

E（φ∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2uk（s），（-Δ）α2ξ）ds）=E（∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2uk（s），1[0，t]（s）φ（-Δ）α2ξ）ds）→

E（∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），1[0，t]（s）φ（-Δ）α2ξ）ds）=E（φ∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），（-Δ）α2ξ）ds）.（39）

類(lèi)似地，由（36）式可知，對(duì)于任意t∈[0，T]，

E（φ∫t0（f（s，·，uk（s）），ξ）ds）→E（φ∫t0（f（s，·，u（s）），ξ）ds）.（40）

又因?yàn)樵贚2（Ω，L2（0，T;L2（U，H）））中σk→σ，可得，對(duì)于任意t∈[0，T]，

E（φ∫t0ξσk（s）dW（s））→E（φ∫t0ξσ（s）dW（s））.（41）

將方程（19）兩邊同時(shí)乘以φ，再取期望，令k→∞，于是由（6），（33）和（38）～（41）式可知，對(duì)于任意t∈[0，T]，ξ∈V∩L4（Rn），

E（φ（u（t），ξ））+E（φ∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），（-Δ）α2ξ）ds）+E（φ∫t0（f（s，·，u（s）），ξ）ds）=E（φ（u0，ξ））+E（φ∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），（-Δ）α2ξ）ds）+E（φ∫t0（g（s），ξ）ds）+E（φ∫t0ξσ（s）dW（s））.（42）

由于φ∈L∞（Ω，R）是任意的，從（42）式可以推斷出，對(duì)于任意t∈[0，T]，ξ∈V∩L4（Rn），存在Ω的子集Ω2且Ω2只與t和ξ有關(guān)，P（Ω2）=0，使得對(duì)于任意的ω∈ΩΩ2，

（u（t），ξ）+∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），（-Δ）α2ξ）ds+∫t0（f（s，·，u（s）），ξ）dxds=（u0，ξ）+∫t0（h（s，·，u（s）），ξ）ds+∫t0（g（s），ξ）ds+∫t0ξσ（s）dW（s）.（43）

注意到Ω2也許依賴于t∈[0，T]，ξ∈V∩L4（Rn）.由于空間V∩L4（Rn）是可分的且（43）式中的每一項(xiàng)對(duì)時(shí)間t都是連續(xù)的，因此，能夠找到一個(gè)不依賴于t和ξ的子集Ω2且P（Ω2）=0，使得（43）式對(duì)任意的ω∈ΩΩ2，t∈[0，T]且ξ∈V∩L4（Rn）成立.

最后，由（33）和（37）式可知

u∈L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））∩L4（Ω，L4（0，T;L4（[WTHZ]R[WT]n）））.（44）

此外，通過(guò)（20），（33）和（37）式可知

‖u‖2L2（Ω，C（[0，T]，H））+‖u‖2L2（Ω，L2（0，T;V））+‖u‖4L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））≤c1（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σ‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H））））.（45）

4） 解的唯一性.假設(shè)u1和u2都是（16）和（17）式在定義1.1意義下的解，初值分別為u0，1和u0，2.設(shè)=u1-u2，于是有對(duì)任意的t∈[0，T]且ξ∈V∩L4（Rn），下面的式子在P-幾乎處處的意義下成立：

（（t），ξ）+∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2（s），（-Δ）α2ξ）ds+∫t0（f（s，·，u1（s））-f（s，·，u2（s）），ξ）ds=（u0，1-u0，2，ξ）+∫t0（h（s，·，u1（s））-h（s，·，u2（s）），ξ）ds.（46）

同時(shí)有

ddt=-（1+iγ）（-Δ）α-f（·，·，u1）-f（·，·，u2）+h（·，·，u1）-h（·，·，u2）.（47）

由（44），（47）式和文獻(xiàn)[23]可知，對(duì)于幾乎所有的t∈[0，T]，

ddt‖（t）‖2=-2‖（-Δ）α2（t）‖2-2Re（f（·，·，u1（t））-f（·，·，u2（t）），（t））+2Re（h（·，·，u1（t））-h（·，·，u2（t）），（t））.（48）

先處理（47）式右邊第二項(xiàng)：

-2Re（f（·，·，u1（t））-f（·，·，u2（t）），（t））=-2Re（（1+iβ）|u1（t）|2u1（t）-（1+iβ）|u2（t）|2u2（t），u1（t）-u2（t））≤21+β2c2（‖u1（t）‖4+‖u2（t）‖4）‖（t）‖2+1+β2‖（t）‖2.（49）

再處理（47）式右邊的第三項(xiàng)：

2Re（h（·，·，u1（t））-h（·，·，u2（t）），（t））≤2∫Rn|h（t，x，u1（t））-h（t，x，u2（t））||（t）|dx≤2∫Rnψ（t，x）|（t）|2dx≤2‖ψ‖L∞（0，T;L∞（Rn））‖（t）‖2.

由（47）～（49）式和Gronwall不等式可知

‖（t）‖2≤e21+β2c2（‖u1（t）‖4+‖u2（t）‖4）+c7×‖0，1-0，2‖2.

從而有

E（‖（t）‖2）≤e21+β2c2（‖u1（t）‖4+‖u2（t）‖4）+c7E（‖0，1-0，2‖2）.

唯一性得證.

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Well-posedness of Fractional Stochastic Complex Ginzburg-Landau Equation

Driven by General Additive Noise

LIU Aili1，2， REN Die1，2， ZOU Yanyan1，2， SHU Ji1，2

（1. School of Mathematical Science， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan;2. V.C. & V.R. Key Lab， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan）

Abstract：This paper deals with the well-posedness of the solutions of the fractional complex Ginzburg-Landau equation driven by general additive noise. We first approximate the drift coefficient by regular drift terms and construct a sequence of approximate solutions. Then we derive uniform estimates and prove the limit of the approximate solutions is a solution of the original equation. Finally， we show the uniqueness of solutions.

Keywords：Ginzburg-Landau equation; general additive noise; fractional Laplacian; well-posedness2020 MSC：３５Ｂ４４; ６０Ｈ１５

（編輯 周 ?。?/p>

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（12326414）和四川省科技廳項(xiàng)目（2023NSFSC0076）

*通信作者簡(jiǎn)介：舒 級(jí)（1976—），男，教授，博導(dǎo)，主要從事隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)和偏微分方程的研究，E-mail：shuji2008@hotmail.com

引用格式：劉愛(ài)麗，任蝶，鄒艷艷，等. 一般加性噪聲擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階隨機(jī)復(fù)Ginzburg-Landau方程解的適定性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，47（5）：682-688.