收稿日期：2022-01-15""" 修回日期：2022-11-12

基金項目：國家自然科學基金資助項目（No.10872164）；西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點實驗室基金資助項目（No.2017ZZKT-2）

通信作者：寧利中，教授。E-mail： ninglz@xaut.edu.cn

引用格式：

寧利中 ，寧碧波，郝建武，等. 長矩形腔體中混合流體的雙局部行波［J］.應用力學學報，2024，41（3）：691-697.

NING Lizhong，NING Bibo，HAO Jianwu，et al.Double localized traveling waves of binary fluid mixture in a long rectangular cavity［J］.Chinese journal of applied mechanics，2024，41（3）：691-697.

文章編號：1000-4939（2024）03-0691-07

摘" 要：基于數(shù)值模擬，研究了分離比ψ=－0.4和長高比Γ=40的腔體內的雙局部行波對流的動力學特性。結果發(fā)現(xiàn)，對流圈在端壁產生，向中心傳播，到達一定位置對流圈消失；在矩形腔體中兩端壁附近行波對流區(qū)域與中間部位無對流的傳導區(qū)域同時共存，形成雙局部行波對流；雙局部行波對流中的行波由腔體兩端向中部傳播；腔體二分之一高度處的溫度與垂直流速分布是諧波結構，波形比較光滑，濃度分布是臺型結構；隨著時間的發(fā)展，垂直流速最大值穩(wěn)定在某個數(shù)值周期變化，下壁面努塞爾數(shù)基本穩(wěn)定在某個數(shù)值，垂直流速最大值和下壁面努塞爾數(shù)及其達到穩(wěn)定的時間隨著相對瑞利數(shù)r的增加而增加；雙局部行波對流穩(wěn)定的存在于相對瑞利數(shù)r∈{1.52，1.57］的區(qū)間，雙局部行波的對流區(qū)長度隨著相對瑞利數(shù)

r的增加呈良好的增加關系，并給出了雙局部行波的對流區(qū)長度隨著相對瑞利數(shù)r變化的擬合關系式。

關鍵詞：雙局部行波；對流；對流區(qū)長度；垂直流速最大值；努塞爾數(shù)

中圖分類號：O357" 文獻標志碼：A

DOI：10.11776/j.issn.1000-4939.2024.03.023

Double localized traveling waves of binary fluid mixture

in a long rectangular cavity

NING Lizhong1，NING Bibo2，HAO Jianwu1， TIAN Weili3，ZHANG Ke1

（1.Faculty of Water Resources and Hydro-electric Engineering，Xian University of Technology，710048 Xian，China；

2.College of Civil Engineering and Architecture，Jiaxing University，314001 Jiaxing，China；

3.Department of Architecture，Shanghai University，200444 Shanghai，China）

Abstract：Based on numerical simulation，the dynamic characteristics of double localized traveling wave （DLTW）convection in a cavity with separation ratio ψ=－0.4and an aspect ratio Γ=40 are studied.The results show that convective roll is generated at the two end wall，propagates to the center and disappears at a certain location.The traveling wave convection region near the two ends of the rectangular cavity coexists with the conduction region without convection in the middle，forming a DLTW convection.Traveling waves propagate from both ends of the cavity to the middle of the DLTW convection.Temperature and vertical velocity distributions in the midheight of the cavity are harmonic structures with smooth waveforms.Concentration distribution is a platform structure.With the development of time，the maximum vertical velocity stabilizes at a certain value and changes periodically.The Nusselt number of the lower wall is basically stable at a certain value.The maximum vertical velocity and Nusselt number on the lower wall and the time for them to reach stability increase with the increase of reduced Rayleigh number.DLTW convection is stable in the range of reduced Rayleigh number r∈{1.52，1.57］.The length of convective zone of DLTW increases with the increase of reduced Rayleigh number.The fitting formula for the length of convective zone of DLTW varying with the reduced Rayleigh number is given.

Key words：double localized traveling wave（DLTW）；convection；length of convective zone；maximum vertical velocity；Nusselt number

當從底部加熱充填于兩平板之間的純流體層時，由于熱擴散在流體層形成一個密度，上部較冷的流體比下部較熱的流體密度變得更大。這種情況是不穩(wěn)定的，當流體層的溫度差超過某個臨界值時，對流就會發(fā)生。這種現(xiàn)象被稱為Rayleigh-Benard對流。在一個長矩形腔體中對流將形成定常對流滾動。流體層的溫度差ΔT可以由無因次參數(shù)瑞利數(shù)Ra來表示，即瑞利數(shù)Ra=αgd3κvΔT（相對瑞利數(shù)為r=Ra/Rac，Rac=1708）。其中，T、ΔT、α、κ、ν、d、g分別表示溫度、溫度差、熱產生的體積膨脹系數(shù)、熱擴散系數(shù)、運動黏性系數(shù)、流體層厚度、重力加速度。

當充填于兩平板之間的純流體是二成分混合物時，對流變得更為復雜。除過密度梯度外，Soret效應形成濃度梯度。由于熱擴散，這個濃度梯度可以增加或者減小不穩(wěn)定的密度梯度。它可以由分離比ψ來表征，即

ψ=－βαSTC0（1－C0）

式中：C 、β、ST分別表示濃度、濃度引起的體積膨脹系數(shù)、Soret系數(shù)；下標0表示對應物理量的參考值。

當分離比ψ為負值時，Soret效應引起較重的成分集中到較熱的下壁面附近。這種情況下，無運動的傳導狀態(tài)更穩(wěn)定，對流發(fā)生的臨界瑞利數(shù)比純流體情況下的臨界瑞利數(shù)更高。當分離比ψ足夠負時，純流體時的定常對流滾動被行波對流滾動代替。也就是說，形成對流的第一個分叉是Hopf分叉。

混合流體Rayleigh-Benard對流已經被廣泛研究［1-2］。文獻［3-4］最早在矩形腔體的實驗中發(fā)現(xiàn)了腔體的部分區(qū)域被行波對流控制，部分區(qū)域被無對流的傳導狀態(tài)控制的局部行波對流現(xiàn)象。接著，文獻［4-6］在環(huán)形腔體的實驗中也觀察到了局部行波對流現(xiàn)象，排除了腔體端壁對局部行波對流形成的影響。文獻［7-8］通過擾動方程組探討了局部行波對流的形成機理與動力學特性。文獻［9-13］通過基本方程組研究了局部行波結構與形成。文獻［14-19］通過基本方程組研究了局部行波、行波及具有缺陷的行波與局部行波特性。文獻［20-22］通過振幅方程探討了局部行波對流的成長、穩(wěn)定性與動力學特性，研究了矩形腔體與環(huán)形腔體中的局部行波對流特性。文獻［23-26］通過數(shù)值模擬研究了Poiseuille-Rayleigh-Benard流動中局部行波的特性與分區(qū)。所有這些都是針對單局部行波對流進行的。在文獻［3-4］的基礎上，文獻［27］在分離比ψ=-0.47的長矩形腔體的實驗中，發(fā)現(xiàn)了行波對流位于腔體兩端壁附近，腔體中間為傳導狀態(tài)的雙局部行波狀態(tài)。文獻［28］研究發(fā)現(xiàn)，該狀態(tài)

具有不同的行波對流結構。文獻［29］利用擾動方程組探討了分離比ψ=-0.47的長矩形腔體中雙局部行波狀態(tài)的存在。文獻［30］研究了雙局部行波的周期性。關于雙局部行波狀態(tài)特性研究的還較少，有必要在分離比ψ=-0.05～-0.60的更廣泛的流體參數(shù)變化范圍內，探討雙局部行波的相對瑞利數(shù)r的依賴性。

雙局部行波與局部行波具有不同的特性和存在范圍，本研究基于流體力學基本方程組數(shù)值模擬，研究了分離比ψ=－0.4和長高比Γ=40的腔體內的雙局部行波對流的動力學特性。

1" 控制方程組

對于底部加熱的矩形腔體。當溫度差ΔT超過某個臨界值時，腔體中對流發(fā)生。對于這樣的混合流體對流系統(tǒng)，選擇基本量腔體高度d、熱擴散系數(shù)κ和密度ρ0進行量綱歸一化處理，基于布辛涅斯克近似，考慮Soret效應的流體力學方程組為

SymbolQC@·δU=0（1）

δUt=－δU·SymbolQC@δU+PrSymbolQC@2δU－SymbolQC@p+

Ra·PrδT1+ψ+δζez（2）

δTt=－δU·SymbolQC@δT+SymbolQC@2δT（3）

δζt=－δU·SymbolQC@δζ+LeSymbolQC@2δζ－ψSymbolQC@2δT（4）

式中：分離比ψ、瑞利數(shù)Ra、普朗特數(shù)Pr=ν/κ和路易斯數(shù)Le=D/κ是無因次參數(shù)；δU=u－u0，δT=（T－T0）/ΔT;δC=βαC－C0ΔT;δζ=δC－ψδT；

u（u，0，w）、p、t、D、ez分別表示速度矢量、壓強、時間、濃度擴散系數(shù)、z方向的單位矢量。

速度和濃度流的邊界條件為

當x=0，Γ時

δu=δw=δζx=0（5）

當z=0，1時

δu=δw=δζz=0（6）

式中：δu、δw分別表示水平流速、垂向流速；Γ為長高比。

溫度的邊界條件為

當x=0，Γ時

δTx=0（7）

當z=0時

δT=0.5 （8）

當z=1時

δT=－0.5（9）

在數(shù)值模擬中，根據(jù)有限容積法離散了流體力學方程組，SIMPLE算法用于求解速度-壓力耦合方程。對流項采用二階迎風格式，時間項采用一階隱格式。模擬網(wǎng)格尺寸為d/20或d/30。時間步長為Δt=0.001。在每個時間步，如果節(jié)點余量絕對值的最大值小于10-9，并且同一時間步內前后兩次迭代計算的相對誤差小于10-4，認為收斂。當ψ=－0.4，Pr=13.8，Le=0.01，r=1.95時，在d/20和d/30的下計算得到的控制參數(shù)結果一致［31］，最終采用的網(wǎng)格為d/20，計算的初值為流動的微小振幅的包絡線具有高斯分布，長高比Γ=40。本研究使用的軟件為1980年的SIMPLE原版軟件修改而成。

2" 雙局部行波對流

2.1" 雙局部行波對流的形成

局部行波對流是指在腔體中行波對流區(qū)域與無對流的傳導區(qū)域同時共存的現(xiàn)象。雙局部行波對流是指在矩形腔體中兩端壁附近行波對流區(qū)域與中間部位無對流的傳導區(qū)域同時共存的現(xiàn)象，是在合適的腔體長高比和流體參數(shù)情況下才能出現(xiàn)的一種行波對流現(xiàn)象。對于腔體長高比Γ=40、混合流體分離比ψ=－0.4的情況，在相對瑞利數(shù)r=1.540時經過數(shù)值模擬獲得了雙局部行波對流結構，如圖1所示。圖中每個矩形框代表腔體的斷面，水平方向為腔體長度，豎直方向為腔體高度。相鄰腔體的時間間隔為Δt=0.3。黃色封閉流線圈和藍色封閉流線圈代表轉動方向相反的對流滾動。逆時針旋轉和順時針旋轉的對流滾動交替發(fā)生，所以，黃色封閉流線圈和藍色封閉流線圈間隔出現(xiàn)。流線圈同時在腔體兩端壁附近產生，腔體的每端存在5個對流圈，中間部位是無對流的傳導區(qū)域，對流圈所占腔體的長度基本保持為常數(shù)。在觀察的時段內，雙局部行波對流是穩(wěn)定的。箭頭方向為行波傳播方向，對流圈在端壁產生，向中心傳播，到達一定位置對流圈消失。在矩形腔體中兩端壁附近行波對流區(qū)域與中間部位無對流的傳導區(qū)域同時共存，形成雙局部行波對流。

2.2" 雙局部行波對流的時空特性

2.2.1 由兩側行波對流區(qū)和中部傳導區(qū)構成

圖2是r=1.540情況下模擬時間t=100時雙局部行波對流的空間結構。溫度、濃度及壓力的等值線的變化局限在兩端壁附近的對流區(qū)，在中間無對流傳導區(qū)，等值線是一些水平線。雙局部行波對流由兩端壁附近行波對流區(qū)域與中間部位無對流的傳導區(qū)域構成。

2.2.2" 對流行波由腔體兩端向中部傳播

圖3給出了r=1.540情況下t=10～60時段雙局部行波的時空結構。

可以看出，經過初始的過渡演化段t=30后，腔體被傳導控制了中間區(qū)域，行波對流繼續(xù)占領兩端壁附近區(qū)域，形成穩(wěn)定的雙局部行波對流。黑白條紋代表轉動方向相反的對流滾動。對流圈在端壁附近產生，向中心傳播，到達一定位置對流圈消失。緊接著，新的對流圈又在端壁附近產生，向中心傳播，到達一定位置對流圈又消失。雙局部行波對流中的行波由腔體兩端向中部傳播。文獻［27］在腔體長高比Γ=46、混合流體分離比ψ=－0.47的矩形腔體實驗中觀察到兩端壁附近的行波保持一致的傳播方向，這一點與模擬結果不同。文獻［29-30］對腔體長高比Γ=46、混合流體分離比ψ=－0.47的矩形腔體，利用擾動方程組的數(shù)值模擬，獲得了和本研究類似的結果。

2.2.3" 對流參數(shù)穩(wěn)定

圖4是r=1.540時垂直流速最大值和下壁面努塞爾數(shù)的時間依賴性?？梢钥闯觯涍^初始階段的調整過渡，t=25后，垂直流速最大值和下壁面努塞爾數(shù)Nu-1［9］都穩(wěn)定下來，文獻［9］給出了下壁面努塞爾數(shù)Nu-1的定義及物理意義。垂直流速最大值穩(wěn)定在δwmax=8處周期變化。下壁面努塞爾數(shù)基本穩(wěn)定在Nu-1=0.2處。垂直流速最大值和下壁面努塞爾數(shù)是穩(wěn)定的。

2.2.4" 對流場隨著時間變化

圖5給出了腔體二分之一高度處溫度、濃度和垂直流速隨時間變化。

溫度、濃度及垂直流速的變化局限在兩端壁附近的對流區(qū)，在中間無對流傳導區(qū)，它們的數(shù)值是一些水平線。溫度與垂直流速分布是諧波結構，波形比較光滑。濃度分布是臺型結構。在濃度場和傳導的交界處，出現(xiàn)濃度分布最大值。垂直流速控制的區(qū)域最小，其次是溫度場控制的區(qū)域，濃度場控制的區(qū)域最大。

2.3" 相對瑞利數(shù)r對雙局部行波的影響

2.3.1" 相對瑞利數(shù)r對對流參數(shù)穩(wěn)定時間的影響

圖6是分離比ψ=－0.4時對雙局部行波的下壁面努塞爾數(shù)Nu-1和垂直流速最大值δwmax達到穩(wěn)定的時間與相對瑞利數(shù)r的關系。

由圖6（a）

可以看出，數(shù)據(jù)有點離散，但垂直流速最大值δwmax達到穩(wěn)定的時間隨著相對瑞利數(shù)r的增加呈增加的趨勢。

由圖6（b）可以看出，

下壁面努塞爾數(shù)Nu-1的穩(wěn)定時間隨著相對瑞利數(shù)r的增加而增加。下壁面努塞爾數(shù)Nu-1達到穩(wěn)定的時間和相對瑞利數(shù)r的關系可以由下列擬合關系來表示，即

t=-8000r2+25097r-19641

其中推斷系數(shù)為R2=0.7405。

2.3.2" 相對瑞利數(shù)r對對流參數(shù)特性的影響

圖7是ψ=－0.4時雙局部行波的下壁面努塞爾數(shù)和垂直流速最大值δwmax與相對瑞利數(shù)r的關系。垂直流速最大值δwmax和下壁面努塞爾數(shù)Nu-1隨著相對瑞利數(shù)r的增加而增加。下壁面努塞爾數(shù)N

u-1和相對瑞利數(shù)r的擬合曲線表達式和推斷系數(shù)分別為

Nu-1=14.3r2－42.97r+32.33，R2=0.979

垂直流速最大值δwmax和相對瑞利數(shù)r的擬合曲線表達式和推斷系數(shù)分別為

δwmax=－644.9r2+2018r－1571，R2=0.978

2.3.3" 相對瑞利數(shù)r對對流區(qū)長度的影響

圖8是ψ=－0.4時雙局部行波的對流區(qū)長度和相對瑞利數(shù)r的關系。圖中的對流區(qū)長度為矩形腔體兩側對流區(qū)長度之和。雙局部行波對流穩(wěn)定地存在于相對瑞利數(shù)r∈{1.52，1.57］的區(qū)間，雙局部行波對流存在的相對瑞利數(shù)的穩(wěn)定變化帶Δr=0.05。超過了雙局部行波對流的存在區(qū)間的上限，雙局部行波對流將演化成對稱的對傳波。由于雙局部行波對流位于對流分叉的鞍節(jié)點附近，當瑞利數(shù)小于鞍節(jié)點時，雙局部行波對流消失，對流振幅減小到零，系統(tǒng)到達傳導狀態(tài)。雙局部行波的對流區(qū)長度隨著相對瑞利數(shù)r的增加呈良好的增加關系。這與文獻［28］在腔體長高比Γ=46、混合流體分離比ψ=－0.47的矩形腔體實驗中觀察到的結果類似。雙局部行波的對流區(qū)長度隨著相對瑞利數(shù)r變化的擬合關系式和推斷系數(shù)分別為

L=86.29r-120.9

其中R2=0.964。

L and r at ψ=－0.4

3" 結" 論

本研究基于數(shù)值模擬，研究了分離比ψ=－0.4和長高比Γ=40的腔體內的雙局部行波對流的動力學特性?？梢缘贸鲆韵陆Y論。

1）對流圈在端壁產生，向中心傳播，到達一定位置對流圈消失。在矩形腔體中兩端壁附近行波對流區(qū)域與中間部位無對流的傳導區(qū)域同時共存，形成雙局部行波對流。垂直流速最大值δwmax與下壁面努塞爾數(shù)Nu-1隨著相對瑞利數(shù)r的增加而增加。

2）雙局部行波對流穩(wěn)定地存在于相對瑞利數(shù)r∈{1.52，1.57］的區(qū)間。雙局部行波對流存在的相對瑞利數(shù)的穩(wěn)定變化帶Δr=0.05。雙局部行波的對流區(qū)長度L隨著相對瑞利數(shù)r變化的擬合關系式和推斷系數(shù)分別為

L=86.29r-120.9，R2=0.964

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（編輯" 李坤璐）