開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2312-5042-1547

作者簡介：荊川（1998—），男，碩士在讀，研究方向?yàn)橛蜌馓镩_發(fā)。

摘要：?非常規(guī)致密/頁巖儲層開發(fā)問題中，支撐劑運(yùn)移規(guī)律具有重要影響。明確支撐劑在裂縫中的運(yùn)移規(guī)律對壓裂作業(yè)十分關(guān)鍵。CFD-DEM模擬技術(shù)針對流體-顆粒系統(tǒng)具備高解析度，為支撐劑的運(yùn)移、分布研究提供了有效方法。此模擬方法在支撐劑運(yùn)移研究中的最新進(jìn)展（句子不完整？），深度分析CFD-DEM模擬方法在支撐劑運(yùn)移規(guī)律研究中的獨(dú)特優(yōu)勢，分析CFD-DEM模型的原理和特點(diǎn)，總結(jié)了支撐劑在不同環(huán)境條件下的運(yùn)移特征和分布規(guī)律，更全面、準(zhǔn)確地揭示支撐劑運(yùn)移的復(fù)雜機(jī)制，推動非常規(guī)油氣開采走向更加科學(xué)、高效、可持續(xù)的方向發(fā)展。

關(guān)鍵詞：支撐劑 非常規(guī)油氣 計(jì)算流體 離散元 數(shù)值模擬

中圖分類號：TQ021.1

目前全球非常規(guī)油氣資源逐漸成為開采主體。非常規(guī)油氣藏具有非均質(zhì)性強(qiáng)、孔隙度低、滲透率低的共同特點(diǎn)，這決定了非常規(guī)油氣要實(shí)現(xiàn)高效開發(fā)，必須進(jìn)行增產(chǎn)改造[1，2]。油氣井壓裂技術(shù)被廣泛應(yīng)用于非常規(guī)油氣田開發(fā)中，支撐劑作為壓裂工藝中的重要組成部分，扮演著填充裂縫、支撐石油儲層的重要角色，是關(guān)系非常規(guī)油氣高效開采的關(guān)鍵因素[3，4]。因此，支撐劑運(yùn)移與分布規(guī)律的研究對于壓裂技術(shù)的優(yōu)化及油氣田的開發(fā)具有重要的意義。

CFD-DEM（Computational Fluid Dynamics-Discrete Element Method）技術(shù)基于歐拉-拉格朗日數(shù)值方法，將連續(xù)介質(zhì)動力學(xué)和離散單元法相結(jié)合，該方法保留了粒子的離散性，在粒子尺度具備更高的分辨率，能夠捕捉顆粒在流體中遷移、碰撞、堆積和堵塞等行為特征，亦能模擬出實(shí)驗(yàn)無法呈現(xiàn)的極限條件[5–7]。該方法在非常規(guī)油氣開采領(lǐng)域中支撐劑運(yùn)移規(guī)律研究及應(yīng)用問題具有先進(jìn)性，為了解與優(yōu)化壓裂過程中支撐劑輸運(yùn)提供極大便利[8，9]。

在本文中，首先簡要介紹CFD-DEM方法的基本原理和特點(diǎn)，然后重點(diǎn)介紹CFD-DEM模型在支撐劑運(yùn)移研究方面的應(yīng)用，最后探討該方法局限性，并對未來的研究方向進(jìn)行展望。目的是為油氣田開發(fā)領(lǐng)域的學(xué)者和工程師提供一份全面的綜述，揭示CFD-DEM模擬方法在支撐劑運(yùn)移研究中的潛力，以促進(jìn)支撐劑運(yùn)移模擬技術(shù)的研究和發(fā)展。

1?理論概述

CFD-DEM模擬方法耦合了計(jì)算流體動力學(xué)（Computational Fluid Dynamics，CFD）與離散單元法（Discrete Element Method，DEM）兩種數(shù)值模擬方法。 其中CFD的基礎(chǔ)理論方程是Navier-Stokes方程，通過邊界條件和初始條件構(gòu)建模型；而離散單元法（DEM）的基礎(chǔ)理論方程為牛頓第二定律，通過將模擬對象視為離散顆粒，求解顆粒之間的力學(xué)響應(yīng)，進(jìn)而模擬顆粒的運(yùn)動軌跡、速度、受力等。

在耦合過程中，通過耦合算法實(shí)現(xiàn)顆粒與流體之間的數(shù)據(jù)交互，流體場的速度和壓力通過界面條件傳遞給顆粒場，而顆粒場的受力情況則反過來影響流體場變化，兩種模擬方法之間通過數(shù)據(jù)交換進(jìn)行實(shí)時(shí)模擬流體-顆粒系統(tǒng)。

1.1 計(jì)算流體動力學(xué)

流體部分由連續(xù)性方程和動量方程組成，連續(xù)性方程是描述流體和顆粒相體積分?jǐn)?shù)守恒的基本方程，用于描述流體質(zhì)量守恒；動量方程用于描述流體和顆粒相的運(yùn)動方程，在慣性、摩擦、壓力等作用力下計(jì)算速度場、壓力場等參數(shù)。

流體控制方程為考慮顆粒作用后的修正的Navier-Stokes方程，為向量形式的質(zhì)量守恒、動量守恒方程：

式（1）、式（2）中，為孔隙率，為流體密度，為流體速度，p為壓力，為流體黏性應(yīng)力張量，為重力加速度，為顆粒與流體間相互作用力。

1.2 離散單元法

離散單元法理論是一種用于求解顆粒之間相互作用及其運(yùn)動狀態(tài)的數(shù)值方法。核心思想是通過離散化的方法將模擬對象離散為一系列細(xì)小顆粒，這些顆粒間通過相互作用力相互影響，同時(shí)每個(gè)顆粒也會受到外界施加的力的影響，顆粒之間的相互作用力可以根據(jù)顆粒之間的接觸情況、物質(zhì)的性質(zhì)和微觀力學(xué)定律等來模擬。

離散單元法是一種基于拉格朗日的描述方法，處于計(jì)算域中的所有粒子都是通過顯式求解進(jìn)行信息跟蹤。顆粒體系控制方程由根據(jù)牛頓第二定律的平動方程及力矩作用下轉(zhuǎn)動方程組成。其中顆粒i的平動和轉(zhuǎn)動方程分別為：

式（3）、式（4）中，為顆粒質(zhì)量，為顆粒i的速度，為流體作用在粒子上的力，為顆粒接觸力，為顆粒非接觸力，為轉(zhuǎn)動慣量，為顆粒i的角速度，和分別為切向力和滾動摩擦產(chǎn)生的力矩。

在離散元模擬中，顆粒接觸模型直接定義了顆粒碰撞所產(chǎn)生的力學(xué)行為。根據(jù)顆粒接觸過程中顆粒是否會發(fā)生形變，將顆粒分為軟球與硬球兩大類。硬球顆粒無法發(fā)生形變，接觸過程為瞬態(tài)，即“一觸即發(fā)”，硬球模型規(guī)定顆粒接觸僅限于兩個(gè)離散顆粒之間，無法求解兩個(gè)顆粒以上的碰撞行為[10]。軟球模型可以求解多個(gè)離散顆粒之間的接觸，且接觸過程中可以發(fā)生形變，其中軟球模型通過求解顆粒之間的重疊量來計(jì)算接觸力大小，相應(yīng)導(dǎo)致軟球計(jì)算規(guī)模較大，但解析精度更高。

顆粒接觸力分為法向接觸力和切向接觸力：

式（5）、式（6）、式（7）中，是法向剛度系數(shù)，是顆粒間重疊量，是法向阻尼系數(shù)，是顆粒間法相相對速度，是切向剛度系數(shù)，是接觸形成初始時(shí)刻，是累加量計(jì)算時(shí)刻，是顆粒間切向相對速度，是切向阻尼系數(shù)。

1.3 CFD-DEM耦合模型

顆粒的受力分析是CFD-DEM模擬時(shí)的關(guān)鍵問題，顆粒在流體系統(tǒng)中受力可分為三類：接觸力、非接觸力、流體作用力。接觸力主要來自于顆粒與顆粒、顆粒與壁面之間的碰撞，非接觸力包含液橋力、靜電力、范德華力等，流體作用力包含拖曳力、虛擬質(zhì)量力、黏性力、壓力梯度力等，其中拖曳力是流體作用在顆粒上最主要的力。

支撐劑在壓裂液中互相作用力主要為曳力，受曳力由壓差阻力和摩擦阻力組成，也是流體-顆粒系統(tǒng)發(fā)生動量交換的主要原因。耦合模型中流體-顆粒曳力作用模型可表示為：

根據(jù)支撐劑濃度不同，研究中常采用不同的計(jì)算方式，當(dāng)支撐劑為稠密狀態(tài)下，采用Ergun曳力模型，稀疏狀態(tài)下則采用Wen&Yu曳力模型。

耦合過程可由圖1簡要概括。

2 ?CFD-DEM在支撐劑運(yùn)移中的應(yīng)用

相較實(shí)驗(yàn)分析，通過數(shù)值模擬研究支撐劑運(yùn)移過程起步較晚，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值模擬在近些年開始興起。離散單元法作為一種粒子模擬方法，被廣泛用于研究于粒子顆粒的局部特征，學(xué)者們通過DEM模擬深入了解單個(gè)顆粒在孔隙中的作用，包括其所受的流體力學(xué)、沉積過程作用以及相互之間的影響[11]。這種局部特征的聚焦使研究人員能夠更好地理解支撐劑在的行為縫隙中的運(yùn)移機(jī)制，從而可以優(yōu)化油氣開采過程中的支撐劑設(shè)計(jì)和注入策略。

目前，大部分學(xué)者將支撐劑-壓裂液運(yùn)移問題簡化為平板間流體-顆粒運(yùn)移，在很大程度上提高模擬效率[12–14]。部分學(xué)者則關(guān)注于更真實(shí)呈現(xiàn)出支撐劑裂縫中輸運(yùn)現(xiàn)象[15]。針對裂縫中支撐劑輸運(yùn)問題，研究重點(diǎn)被劃分為支撐劑選擇[16]、裂縫形態(tài)[16，17]、裂縫粗糙度[18]等問題。另一部分學(xué)者致力于通過該模擬技術(shù)揭示支撐劑進(jìn)入地層后的各類過程[19，20]。

采用垂直平面模型模擬支撐劑輸運(yùn)時(shí)，假設(shè)縫隙的幾何形狀較為簡單，進(jìn)而進(jìn)行參數(shù)研究和數(shù)值模擬[15]，該模型優(yōu)勢在于其可控性和可重復(fù)性，使研究人員能夠更容易地理解支撐件的基本行為和運(yùn)移規(guī)律，此類模型更容易進(jìn)行理論建模和數(shù)值模擬。根據(jù)支撐劑在平板中的運(yùn)移特征，可將流動區(qū)域劃分三塊：底部沉降區(qū)、中部流動區(qū)、頂部無砂區(qū)[15，21]。

而地層中實(shí)際情況要復(fù)雜的多，部分學(xué)者選擇將研究重點(diǎn)集中在復(fù)雜裂縫中支撐劑的運(yùn)移上，這些復(fù)雜裂縫通常具有不規(guī)則的幾何形態(tài)，模擬過程中建立模型更加困難，但也更貼近實(shí)際油氣儲層真實(shí)情況。KOU R等人[11，16-17]在其發(fā)表論文中，詳細(xì)討論不同裂縫形態(tài)下支撐劑運(yùn)移結(jié)果。AKHSHIK S等人[14]模擬支撐劑在水力裂縫與天然裂縫交叉處運(yùn)移及分布特征，并提出表征支撐劑在水力裂縫與天然裂縫交叉處堵塞程度新指標(biāo)—堵塞系數(shù)。LU C等人[22]模擬交叉裂縫中不同裂縫進(jìn)角、壓裂液黏度以及支撐劑注入速率對運(yùn)移分布的影響，當(dāng)壓裂液黏度低，排量小，支撐劑在入口更易形成“高而窄”的沙丘。

裂縫內(nèi)壁粗糙度作為一個(gè)重要參數(shù)，對支撐劑在裂縫中的運(yùn)移行為存在顯著影響[23–29]。裂縫壁面粗糙度由多種因素引起，包括巖石顆粒的不均勻排列、溶解和沉積等，從而導(dǎo)致壁面的不平整和不規(guī)則。對于支撐劑輸運(yùn)，裂縫壁面的粗糙度會增加支撐顆粒在壁面的阻尼和摩擦力，從而影響支撐劑的流動和分布[28，30]。目前考慮壁面粗糙度下支撐劑輸運(yùn)模擬研究較少。針對裂縫粗糙度建模方法，尹邦堂等人提出結(jié)合分形插值理論建模方法，經(jīng)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，裂縫粗糙度對支撐劑輸運(yùn)過程影響較大，隨著粗糙度增大支撐劑更傾向于堆積在入口處，短時(shí)間內(nèi)在入口處堵塞，同時(shí)攜砂液在壁面凸面處發(fā)生轉(zhuǎn)向、抬升流動，一定程度上擴(kuò)大支撐劑覆蓋范圍[29]。較于光滑裂縫，粗糙裂縫更易形成樹狀沙丘，有利于形成高導(dǎo)流能力及可持續(xù)導(dǎo)流能力通道[18，28]。ZHANG B等人[25]在研究中發(fā)現(xiàn)，粗糙裂縫分形維數(shù)越高傾角越小，支撐劑輸運(yùn)能力越強(qiáng)（如圖2）。

射孔作為一種常用技術(shù)，用于提高支撐劑注入油氣儲層輸運(yùn)效率，以增加產(chǎn)能，射孔過程中，支撐劑的均勻分布和輸送效率至關(guān)重要，部分學(xué)者致力于通過CFD-DEM方法模擬出支撐劑在射孔處運(yùn)移行為[20]。學(xué)者們通過該方法模擬支撐劑隨壓裂液通過射孔進(jìn)入裂縫過程，通過CFD-DEM方法評估不同懸浮流動條件下支撐劑在射孔水平井中的運(yùn)移效率，并表明該模擬技術(shù)能夠計(jì)算出任何給定井筒、射孔幾何以及泵送條件下支撐劑及流體的分布[20，31-32]。

超臨界CO2（超臨界高壓）作為油氣開采技術(shù)中的一種創(chuàng)新的流體介質(zhì)，其物理和化學(xué)特性使其成為一種理想的支撐劑輸運(yùn)介質(zhì)。ZHENG Y等人[33-34]通過CFD-DEM方法，比較了超臨界CO2流體與常規(guī)壓裂液間的差異。并建立交叉裂縫模型，模擬超臨界CO2輸運(yùn)支撐劑通過交叉處時(shí)運(yùn)移過程，分析不同粒徑、流體黏度、流體速度以及裂縫形態(tài)時(shí)支撐劑運(yùn)移特性[35]。

支撐劑類型的選擇在油氣開采中至關(guān)重要，它直接影響著儲層的滲透率和產(chǎn)能。支撐劑目前應(yīng)用類型包括陶粒、核桃殼等，每種支撐劑都具有特定的物理和化學(xué)特性，在不同的儲層條件下可能表現(xiàn)出不同的性能。AKHSHIK S等人[14]將模擬研究重點(diǎn)放在支撐劑建模，通過建模非球形顆粒，模擬不同球度支撐劑運(yùn)移過程。ZENG J等人[36]通過多球模型模擬球形與圓柱形支撐劑在不同寬度裂縫通道中輸運(yùn)過程，發(fā)現(xiàn)與球形支撐劑相比，同體積下柱形支撐劑平均沉降速度更小。Zeng等人通過CFD-DEM模擬，評估球狀、桿狀、X形支撐劑的輸運(yùn)性能（如圖3），發(fā)現(xiàn)在同樣5%入口支撐劑濃度下，X形與桿狀支撐劑輸運(yùn)性能比常規(guī)球形支撐劑提高19%和15%，在20%入口濃度條件下，分別提高16%和10%[37]。

在CFD-DEM模型中，不得不考慮的問題是求解更真實(shí)地層工況時(shí)，需要龐大計(jì)算資源。DEM計(jì)算過程中，每個(gè)顆粒的信息在與流體相互作用時(shí)，產(chǎn)生較大運(yùn)算量，并隨著顆粒的增加運(yùn)算量隨之增大。減少龐大計(jì)算需求成為科研工作者們研究大規(guī)模工況時(shí)的研究重點(diǎn)[9]。WANG J等人[32]通過與機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合，突破計(jì)算成本限制。ZENG J等人[13]為解決運(yùn)算量過大無法處理大規(guī)模工況模擬的問題，在進(jìn)行水力系統(tǒng)中支撐劑輸運(yùn)模擬中，采用代表粒子模型（representative?particle?model）減少大量粒子計(jì)算產(chǎn)生的計(jì)算量，大大減少了模擬時(shí)間成本。

3 ?結(jié)語

CFD-DEM模擬方法在支撐劑運(yùn)移研究中的應(yīng)用已經(jīng)取得了諸多進(jìn)展。這種綜合性的模擬方法為研究支撐劑運(yùn)移提供了強(qiáng)有力的工具，但現(xiàn)有模型中仍具有缺陷和局限性。以下是關(guān)于CFD-DEM在支撐劑運(yùn)移研究中的應(yīng)用進(jìn)展的總結(jié)。

（1）CFD-DEM通常需要大量的計(jì)算資源，尤其是在模擬高復(fù)雜度的結(jié)構(gòu)和大尺度工況時(shí)。未來研究可以尋找更高效的方法，以降低計(jì)算成本并提高模擬的速度。

（2）CFD-DEM模擬通常處理顆粒-流體兩相流，但實(shí)際情況中可能涉及更復(fù)雜的多相流，如多種流體和固體顆粒的混合，未來的研究可以考慮混合介質(zhì)下支撐劑運(yùn)移規(guī)律。

（3）模擬研究的最終目的是落實(shí)到實(shí)際油氣開采作業(yè)中，以提高生產(chǎn)效率并減少環(huán)境影響。下一步研究需要關(guān)注如何將模擬結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際操作中的決策和策略，以實(shí)現(xiàn)最佳的支撐劑運(yùn)移和恢復(fù)策略。

總體來說，目前的許多研究使我們更深入地理解了支撐劑運(yùn)輸轉(zhuǎn)移過程，為優(yōu)化油氣開采策略提供了充分的支持。然而，仍然存在需要解決的挑戰(zhàn)，包括改進(jìn)模型、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、應(yīng)用新技術(shù)和材料，以及將研究成果落實(shí)到實(shí)際操作中。這些努力將有助于進(jìn)一步提高油氣開采的效率和持續(xù)性，應(yīng)對不斷增長的能源需求。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉曰武，高大鵬，李奇，等.頁巖氣開采中的若干力學(xué)前沿問題[J].力學(xué)進(jìn)展，2019，49（00）：1-236.

[2] WU Z， CUI C， JIA P， et al. Advances and challenges in hydraulic fracturing of tight reservoirs： A critical review[J]. Energy Geoscience， 2022， 3（4）： 427-435.

[3] YU W， ZHANG T， DU S， et al. Numerical study of the effect of uneven proppant distribution between multiple fractures on shale gas well performance[J]. Fuel， 2015， 142： 189-198.

[4] LI H， HUANG B， ZHAO X， et al. Experimental investigation on proppant transport and distribution characteristics in coal hydraulic fractures under true triaxial stresses[J]. Journal of Petroleum Science and Engineering， 2022， 218： 110993.

[5] ZHU G， LI H， WANG Z， et al. Semi-resolved CFD-DEM modeling of gas-particle two-phase flow in the micro-abrasive air jet machining[J]. Powder Technology， 2021， 381： 585-600.

[6] ZHU G， ZHAO Y， WANG Z， et al. Semi-resolved CFD-DEM simulation of fine particle migration with heat transfer in heterogeneous porous media[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer， 2022， 197： 123349.

[7] LEE L， DAHI TALEGHANI A. Simulating Fracture Sealing by Granular LCM Particles in Geothermal Drilling[J]. Energies， 2020， 13（18）： 4878.

[8] HUANG J， MATEEN K， HAO Y， et al. A Continuum Model for Simulating Proppant Transport and Fluid Flow in Hydraulic Fractures[C].55th U.S. Rock Mechanics/Geomechanics Symposium. 2021.

[9] MAO S， WU K， MORIDIS G. An Efficient Eulerian-Lagrangian Proppant Transport Model Coupled with Three-Dimensional Hydraulic Fracture Propagation[C].SPE/AAPG/SEG Unconventional Resources Technology Conference， 2023.

[10] ZHOU L， ZHAO Y. CFD-DEM simulation of fluidized bed with an immersed tube using a coarse-grain model[J]. Chemical Engineering Science， 2021， 231： 116290.

[11] KOU R， MORIDIS G， BLASINGAME T. Bridging Criteria and Distribution Correlation for Proppant Transport in Primary and Secondary Fracture[C].SPE Hydraulic Fracturing Technology Conference and Exhibition， 2019.

[12] ZHANG G， LI M， GUTIERREZ M. Simulation of the transport and placement of multi-sized proppant in hydraulic fractures using a coupled CFD-DEM approach[J]. Advanced Powder Technology， 2017， 28（7）： 1704-1718.

[13] ZENG J， LI H， ZHANG D. Numerical simulation of proppant transport in hydraulic fracture with the upscaling CFD-DEM method[J]. Journal of Natural Gas Science and Engineering， 2016， 33： 264-277.

[14] AKHSHIK S， RAJABI M. Simulation of proppant transport at intersection of hydraulic fracture and natural fracture of wellbores using CFD-DEM[J]. Particuology， 2022， 63： 112-124.

[15] ZHANG G， GUTIERREZ M， LI M. A coupled CFD-DEM approach to model particle-fluid mixture transport between two parallel plates to improve understanding of proppant micromechanics in hydraulic fractures[J]. Powder Technology， 2017， 308： 235-248.

[16] KOU R， MORIDIS G J， BLASINGAME T A. Field Scale Proppant Transport Simulation and Its Application to Optimize Stimulation Strategy[C].Unconventional Resources Technology Conference， 2018.

[17] KOU R， MORIDIS G J， BLASINGAME T A. Analysis and Modeling of Proppant Transport in Inclined Hydraulic Fractures[C].SPE Hydraulic Fracturing Technology Conference and Exhibition， 2018.

[18] GONG F， HUANG H， BABADAGLI T， et al. A Computational Model to Simulate Proppant Transport and Placement in Rough Fractures[C]. SPE Hydraulic Fracturing Technology Conference and Exhibition， 2022.

[19] ZHANG F， ZHU H， ZHOU H， et al. Discrete-Element-Method/Computational-Fluid-Dynamics Coupling Simulation of Proppant Embedment and Fracture Conductivity After Hydraulic Fracturing[J]. SPE Journal， 2017， 22（02）： 632-644.

[20] AIJAZ M J， SHARMA M M. Effect of Proppant Settling in the Wellbore on Proppant Distribution in Perforation Clusters[C].SPE Hydraulic Fracturing Technology Conference and Exhibition. ， 2023.

[21] TONG S， MOHANTY K K. Proppant transport study in fractures with intersections[J]. Fuel， 2016， 181： 463-477.

[22] LU C， MA L， GUO J. Numerical Simulation Study of Proppant Transport in Cross Fractures[C]//SPE International Hydraulic Fracturing Technology Conference & Exhibition.， 2022.

[23] ZHU B， TANG H， YIN S， et al. Effect of fracture roughness on transport of suspended particles in fracture during drilling[J]. Journal of Petroleum Science and Engineering， 2021， 207： 109080.

[24] YAMASHIRO B D， TOMAC I. Fracture roughness effects on slickwater proppant slurry settling attenuation[J]. Powder Technology， 2022， 395： 516-533.

[25] ZHANG B， PATHEGAMA GAMAGE R， ZHANG C， et al. Hydrocarbon recovery： Optimized CFD-DEM modeling of proppant transport in rough rock fractures[J]. Fuel， 2022， 311： 122560.

[26] GUO T K， LUO Z L， ZHOU J， et al. Numerical simulation on proppant migration and placement within the rough and complex fractures[J]. Petroleum Science， 2022， 19（5）： 2268-2283.

[27] YAMASHIRO B D， TOMAC I. A numerical study of neutrally buoyant slickwater proppant flow and transport in rough fractures[J]. Geomechanics for Energy and the Environment， 2022， 29： 100266.

[28] ZHU G， ZHAO Y， ZHANG T， et al. Micro-scale reconstruction and CFD-DEM simulation of proppant-laden flow in hydraulic fractures[J]. Fuel， 2023， 352： 129151.

[29] 尹邦堂， 張超， 王志遠(yuǎn)等. 非常規(guī)油氣儲集層粗糙壓裂裂縫內(nèi)支撐劑運(yùn)移機(jī)理[J]. 石油勘探與開發(fā)， 2023， 50（3）： 624-632.

[30] GONG F， HUANG H， BABADAGLI T， et al. A resolved CFD-DEM coupling method to simulate proppant transport in narrow rough fractures[J]. Powder Technology， 2023， 428： 118778.

[31] WU C H， YI S， SHARMA M M. Proppant Distribution Among Multiple Perforation Clusters in a Horizontal Wellbore[C].SPE Hydraulic Fracturing Technology Conference and Exhibition， 2017.

[32] WANG J， SINGH A， LIU X， et al. Efficient Prediction of Proppant Placement along a Horizontal Fracturing Stage for Perforation Design Optimization[J]. SPE Journal， 2022， 27（02）： 1094-1108.

[33] ZHENG Y， WANG H， YANG B， et al. CFD-DEM simulation of proppant transport by supercritical CO2 in a vertical planar fracture[J]. Journal of Natural Gas Science and Engineering， 2020， 84： 103647.

[34] ZHENG Y， WANG H， LIU M， et al. An Investigation into Proppant Transport in a Tortuous Fracture During Supercritical CO2 Fracturing[C].56th U.S. Rock Mechanics/Geomechanics Symposium， 2022.

[35] ZHANG B， ZHANG C P， MA Z Y， et al. Simulation study of micro-proppant carrying capacity of supercritical CO2 （Sc-CO2） in secondary fractures of shale gas reservoirs[J]. Geoenergy Science and Engineering， 2023， 224： 211636.

[36] ZENG J， LI H， ZHANG D. Direct numerical simulation of proppant transport in hydraulic fractures with the immersed boundary method and multi-sphere modeling[J]. Applied Mathematical Modelling， 2021， 91： 590-613.

[37] ZENG J， LI H， LI S， et al. Evaluating the Transport Performance of Novel-Shaped Proppant in Slickwater Fracturing with the Multiscale Modeling Framework[J]. SPE Journal， 2022， 27（04）： 2093-2108.