文/廣東省吳和貴名教師工作室 廣州市番禺區(qū)石北中學(xué) 姜寶松

深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)要面向?qū)W生的認(rèn)知， 其重要特征是聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、活動(dòng)與體驗(yàn)、本質(zhì)與變式、遷移與應(yīng)用。 抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)，凸顯問題研究過程，促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階， 從而引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。 本文以《平面與平面垂直》公開課為例， 闡述深度學(xué)習(xí)理念的應(yīng)用。

一、從現(xiàn)實(shí)進(jìn)入數(shù)學(xué)

師： 我們知道兩個(gè)平面的位置關(guān)系：平行和相交（課件給出圖形）。兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)都已經(jīng)學(xué)習(xí)。 今天讓我們一起來探究?jī)蓚€(gè)平面相交的情形。 現(xiàn)實(shí)生活中，堤壩側(cè)面和水平面， 打開的筆記本電腦等，都呈現(xiàn)出兩個(gè)平面相交的情況， 并且都給我們有角度的感覺。數(shù)學(xué)家把兩個(gè)平面相交所成角的情形，抽象出來，定義為二面角。

點(diǎn)評(píng)：由兩個(gè)平面的位置關(guān)系，開門見山引出平面與平面的相交情形。 通過現(xiàn)實(shí)生活中三個(gè)情形，引入二面角的概念。 在深度學(xué)習(xí)理念下，復(fù)演知識(shí)的發(fā)生歷程，學(xué)生通過數(shù)學(xué)觀察和抽象， 體會(huì)從現(xiàn)實(shí)抽象到數(shù)學(xué)知識(shí)的歷程， 在定義的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)空間想象能力。

二、由舊識(shí)類比新知

師：既然二面角是一個(gè)角，如何度量它的大?。?之前我們學(xué)過哪些角？

生：平面上的角，異面直線所成角，直線與平面所成角。

師： 平面的角可以直接度量大小。 異面直線所成角，如何定義？

生：通過平移，變成相交的直線。

生：變成相交的直線，所成的銳角或直角。

師：非常好！直線與平面所成角呢？

生：找到射影，直線與射影所成角即為線面角。

師：不錯(cuò)。異面直線所成角和直線與平面所成角的定義中， 我們發(fā)現(xiàn)，空間的角是通過“平面化”，轉(zhuǎn)化為平面角來定義的。 那么二面角如何“平面化”……

點(diǎn)評(píng)：通過問題串設(shè)置，梳理已經(jīng)學(xué)習(xí)的角。溫故知新，類比所學(xué)的角，建立起二面角的平面角概念，從而使各種角的概念結(jié)構(gòu)化， 構(gòu)建了關(guān)于空間角的知識(shí)體系。 空間角的定義其本質(zhì)是進(jìn)行“平面化”，學(xué)生在此過程中體會(huì)到解決空間問題的降維思想。 給出二面角的平面角定義后，教師與學(xué)生一起探究、辨析定義的合理性， 學(xué)生在構(gòu)建新概念的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生批判性思維。回到現(xiàn)實(shí)環(huán)節(jié)， 在打開的證書中尋找二面角的平面角，學(xué)生“即學(xué)即用”，建立起實(shí)際生活與數(shù)學(xué)的橋梁， 學(xué)生再次體會(huì)到定義的合理性。

三、用問題深化理解

例1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角D1-AB-D 的大?。?/p>

分析引導(dǎo)，棱是？ 觀察圖形中，二面角的平面角是？接著練習(xí)，展示學(xué)生解答情況，請(qǐng)學(xué)生講解。

師： 總結(jié)作出二面角的平面角的方法， 在棱上一點(diǎn)作出兩條與棱垂直的直線； 如果已知一個(gè)面的垂線，作一條，連一條；作棱的垂面。

點(diǎn)評(píng)：二面角的平面角，其本質(zhì)是棱的一個(gè)垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角， 是空間的角降維到平面上。 其作圖和證明過程是完成線面垂直關(guān)系的論證， 體現(xiàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。 求解二面角的平面角是一個(gè)難點(diǎn)， 利用幾何法解決時(shí)， 常用“猜想—證明—求解”的思路，這也是我們探究和解決數(shù)學(xué)問題的常用路徑。

四、巧探究啟發(fā)思維

師： 根據(jù)對(duì)二面角的平面角的學(xué)習(xí)，二面角的取值范圍是？ （展示打開的證書）

生：0°～180°。

師：0°是什么情形？

生：兩個(gè)半平面重合。

師：180°是什么情形？

生：一個(gè)平面。

師：二面角的取值范圍是閉區(qū)間，在此過程中，有一個(gè)特殊情況，90°。 按兩個(gè)平面互相垂直的定義，要先作出二面角的平面角，證明是直角。 能否簡(jiǎn)化？ 類比在證明兩個(gè)平面平行時(shí)，（指向天花板和地面）， 我們是利用一個(gè)平面內(nèi)有兩條交線平行另一個(gè)平面。 證明兩個(gè)平面垂直，能否一樣轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系呢？

探究活動(dòng)1： 每個(gè)同學(xué)拿出一支筆與桌面成垂直狀態(tài)， 拿書本完全貼近筆， 書本與桌面什么位置關(guān)系？旋轉(zhuǎn)（左右）書本，兩個(gè)平面是什么位置關(guān)系？

探究活動(dòng)2： 建筑工人在檢查砌墻是否與地面垂直時(shí)， 用鉛垂線靠近墻面。

點(diǎn)評(píng)： 在二面角的平面角習(xí)題中， 平面與平面垂直判定定理的探究與證明中， 研究數(shù)學(xué)空間問題的思路不斷重現(xiàn)， 學(xué)生不斷體會(huì)由猜想到證明的研究問題路徑， 充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想， 學(xué)生的思維得到進(jìn)階發(fā)展， 體現(xiàn)出了深度學(xué)習(xí)的理念。

五、精應(yīng)用掌握原理

例2：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面BDA1⊥平面ACC1A1。

例3：AB 是圓O 的直徑，PA 垂直圓O 所在的平面，C 點(diǎn)是圓周上不同于A、B 的一點(diǎn)， 求證： 平面PAC⊥平面PBC。

……

點(diǎn)評(píng)：例題由學(xué)生自主完成，通過復(fù)雜問題的解決， 提高學(xué)生空間想象和推理論證能力。 平面與平面的垂直，抓住線面垂直的關(guān)鍵，學(xué)生體會(huì)到問題解決中轉(zhuǎn)化的思想。 從知識(shí)遷移到應(yīng)用， 學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，從猜想到證明，體悟到解決數(shù)學(xué)問題的一般方法。 在現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中尋找平面與平面的垂直關(guān)系，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際應(yīng)用和存在。

六、妙總結(jié)提升感悟

師： 本節(jié)課我們的定理和問題解決，都是通過觀察、猜想、證明來完成的。 這也是我們研究數(shù)學(xué)問題的常用路徑。再觀察我們的教室，是不是很多面面垂直關(guān)系？ 有沒有一種透過現(xiàn)象看到本質(zhì)的感覺？ 這就是數(shù)學(xué)的魅力！

點(diǎn)評(píng)：通過總結(jié)，梳理本節(jié)課主要所學(xué)知識(shí)， 對(duì)知識(shí)和方法進(jìn)行反思構(gòu)建，更好地形成學(xué)科知識(shí)體系。本課所涉及的降維思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中常見的思想，教師的補(bǔ)充，讓學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)上明悟，在學(xué)科思想上升華。觀察、探究、猜想、證明這是數(shù)學(xué)學(xué)科和人類科學(xué)發(fā)展史上常用的方法， 在本節(jié)課從始至終得到連續(xù)體現(xiàn)， 讓深度教學(xué)的思想得到完美詮釋。

七、結(jié)語

課堂教學(xué)的巧妙設(shè)計(jì)， 引發(fā)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)、活動(dòng)與檢驗(yàn)中進(jìn)入到深度學(xué)習(xí)，從而對(duì)知識(shí)進(jìn)行自主建構(gòu)和思維進(jìn)階。 課堂中充分培養(yǎng)了高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力， 落實(shí)了直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng)提升， 學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯發(fā)展， 經(jīng)歷了數(shù)學(xué)到現(xiàn)實(shí)的外部拓展， 貫徹了新課標(biāo)中對(duì)學(xué)科育人目標(biāo)， 詮釋了新課標(biāo)中的學(xué)科育人價(jià)值。