曹欣楠 鄭惠 徐孟竹

摘? 要：課程改革逐步深化，要求強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思維及能力，信息技術(shù)與課堂教學(xué)有效結(jié)合的重要性逐漸凸顯.其中，GeoGebra作為一款動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件廣泛應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以在圓錐曲線等相關(guān)問題中，輔助學(xué)生將模糊抽象的知識(shí)內(nèi)容通過直觀觀察，發(fā)現(xiàn)其數(shù)量與圖形間關(guān)系.

關(guān)鍵詞：GeoGebra；圓錐曲線；數(shù)學(xué)教學(xué)

隨著新課程、新高考、新教材的不斷推進(jìn)，信息技術(shù)的變革已經(jīng)更加深入地融合進(jìn)高中的數(shù)學(xué)課堂，傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中單一乏味的灌輸式教學(xué)模式正在信息化改革中逐漸生動(dòng)，并為學(xué)生主動(dòng)參與提供有效方法及途徑.學(xué)生在參與探究的過程中，簡(jiǎn)化復(fù)雜問題，具化抽象知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果.GeoGebra作為新教材推薦使用的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，與我們所熟知的幾何畫板相比，在保持?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)生動(dòng)形象優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，其各類功能的操作更加直觀、便捷，數(shù)據(jù)與圖形間的變化關(guān)系也更為突出.可以有效調(diào)動(dòng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，并解決數(shù)學(xué)相關(guān)學(xué)習(xí)中問題的積極性，挖掘?qū)W生創(chuàng)新思維意識(shí)，營造良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍.［1］

通過對(duì)近年高考試題的統(tǒng)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)，圓錐曲線作為高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，平均分值約占高考試卷

總分

的14.6%.圓錐曲線的命題類型穩(wěn)定在“兩小一大”，且在高中階段圓錐曲線內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生建構(gòu)一定的知識(shí)體系，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng).基于此，筆者將以圓錐曲線的相關(guān)內(nèi)容作為研究對(duì)象，以實(shí)際教學(xué)內(nèi)容為案例淺談如何在GeoGebra軟件的幫助下高效率完成數(shù)學(xué)教學(xué).

1? 圓錐曲線的生成

傳統(tǒng)教學(xué)中教師往往喜歡將橢圓、雙曲線以及拋物線的生成與實(shí)物相結(jié)合，從生活中常見的實(shí)物或景觀出發(fā)，如常見的橢圓有盤子、西瓜、航天器運(yùn)行軌道等；雙曲線有發(fā)電廠通風(fēng)、冷卻塔、廣州“小蠻腰”等；拋物線有石拱橋、籃球的拋物運(yùn)行軌跡等.不同類型的圓錐曲線的生成過程意在引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)生活化，為學(xué)生創(chuàng)造熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)形象.但學(xué)生對(duì)圓錐曲線的由來還有些陌生，在此問題基礎(chǔ)上，教師通過GeoGebra軟件為學(xué)生進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察變化過程，探索圓錐曲線的生成.借助有關(guān)變量的數(shù)據(jù)變化所引發(fā)的截面圖形的變化（如圖1），可以極大程度促進(jìn)學(xué)生對(duì)圓錐曲線由來的有效理解.［2］

點(diǎn)評(píng)：在教師的以上操作下，通過切割平面以及角度的變化，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，用不同角度的平面來切割圓錐，所產(chǎn)生的曲線形態(tài)不同，因此將其衍生出來的橢圓、雙曲線以及拋物線命名為“圓錐曲線”.此時(shí)，通過GeoGebra軟件以最直觀的方式幫助學(xué)生建立圓錐曲線的相關(guān)認(rèn)識(shí)，也為逐一突破三種曲線相關(guān)問題做好鋪墊.

同時(shí)，在“橢圓、雙曲線以及拋物線的定義”這一

節(jié)

內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，其實(shí)際作圖過程也是在探索各曲線上動(dòng)點(diǎn)所滿足相應(yīng)條件的過程，加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義的理解.

在以往橢圓的實(shí)際教學(xué)過程中，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生通過細(xì)繩實(shí)驗(yàn)，在定義條件下完成橢圓軌跡的建構(gòu)，操作時(shí)間較長，會(huì)對(duì)教學(xué)進(jìn)度產(chǎn)生一定影響，新課改當(dāng)下，教師可以通過GeoGebra軟件中智能繪圖工具代替定長細(xì)繩，在定義條件下模擬實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的操作步驟，生成動(dòng)點(diǎn)軌跡，如圖2所示.

接下來將以拋物線的形成過程為例，詳細(xì)闡述借助GeoGebra軟件生成拋物線的實(shí)際操作過程：

步驟1：通過點(diǎn)與直線工具直接生成定點(diǎn)F以及直線l，注意此時(shí)點(diǎn)不在線上，當(dāng)系統(tǒng)生成標(biāo)簽與定義描述條件不同時(shí)也可通過右鍵中的設(shè)置進(jìn)行修改.

步驟2：通過點(diǎn)工具選取直線l上任一動(dòng)點(diǎn)M，借助線段連接MF，并通過中垂線工具生成垂線h.

步驟3：過動(dòng)點(diǎn)M借助垂線工具生成過點(diǎn)M的垂線交直線h于點(diǎn)P.

步驟4：右鍵顯示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖3），并在對(duì)動(dòng)點(diǎn)P的移動(dòng)過程中，觀察生成動(dòng)點(diǎn)P的軌跡即為拋物線.

點(diǎn)評(píng)：相較于橢圓，拋物線在實(shí)際教學(xué)中教師板演生圖的過程操作起來更為復(fù)雜，成功率不高，且點(diǎn)與直線方向不易更改，而借助GeoGebra生成的拋物線圖形，既可以通過拖動(dòng)點(diǎn)改變與直線的距離觀察拋物線開口大小的變化，也可以通過對(duì)直線方向的改變，快速生成四種開口方向的拋物線曲線，為接下來探究拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程作準(zhǔn)備，對(duì)延伸教學(xué)起著重要的作用.

2? 直線與圓錐曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

在實(shí)際教學(xué)過程中以橢圓為先導(dǎo)研究該類問題時(shí)，學(xué)生能夠自主意識(shí)到借助聯(lián)立思想，通過對(duì)方程中實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)的判斷解決相關(guān)問題，并判斷此時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系.但直線與其他圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，需提醒學(xué)生，并不代表一定相切，也可能存在相交的位置關(guān)系.比如拋物線y2=2x與y=1這類平行于對(duì)稱軸的直線，此時(shí)我們稱直線與拋物線相交.常見的雙曲線中與漸近線具有平行位置關(guān)系的直線，同樣僅有一個(gè)公共點(diǎn)且相交.接下來以下題為例進(jìn)行實(shí)際教學(xué)的講評(píng).

例題1? 已知直線l：y=kx-1與雙曲線C：x2-y2=4，討論k的不同取值下，直線l與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系.

探究1? 從“數(shù)”的角度研究，在教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在見到此類問題的首選方式往往是聯(lián)立方程，由y=kx-1，

x2-y2=4，

得（1-k2）x2+2kx-5=0.

當(dāng)1-k2=0，即k=±1時(shí)，直線l：y=±x-1與漸近線y=±x平行，公共點(diǎn)有且僅有1個(gè).

當(dāng)1-k2≠0時(shí)，若Δ=0，解得k=±52.

此時(shí)直線l與雙曲線相切，公共點(diǎn)僅有一個(gè)；

若Δ>0，解得-52

此時(shí)直線l與雙曲線相交，公共點(diǎn)有兩個(gè).

若Δ<0，解得k<-52或k>52時(shí).

此時(shí)直線l與雙曲線相離，不具有公共點(diǎn).

但學(xué)生在運(yùn)算過程中極易忽略對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論，實(shí)際教學(xué)過程中可在學(xué)生產(chǎn)生遺漏后進(jìn)行引導(dǎo)補(bǔ)充，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)細(xì)節(jié)的觀察與探究能力的培養(yǎng).

探究2? 從“形”的角度研究，教師在多媒體設(shè)備及GeoGebra軟件輔助下作圖4.

通過參數(shù)的連續(xù)變換，直觀觀察圖形間關(guān)系的變化，能夠幫助學(xué)生突破對(duì)直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的理解，提高教學(xué)效率.并可以通過對(duì)定點(diǎn)的移動(dòng)，將問題進(jìn)行變式：將直線l分別變?yōu)閥=kx-12、y=k（x-2），并在課堂中予以時(shí)間進(jìn)行訓(xùn)練，幫助學(xué)生突破此類問題的多種情況，真正理解直線與圓錐曲線問題的內(nèi)涵與外延.同時(shí)也將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂完美結(jié)合，有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與探索精神，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3? 圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問題

定值定點(diǎn)問題是高考中圓錐曲線中的常規(guī)熱點(diǎn)問題，在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)代數(shù)條件與幾何關(guān)系的理解下，提高其數(shù)形結(jié)合意識(shí)，也是對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的考查，同時(shí)側(cè)重訓(xùn)練學(xué)生綜合調(diào)動(dòng)各模塊知識(shí)的能力，綜合性較強(qiáng)，加之此類問題的計(jì)算量通常較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力難以攻破.通過對(duì)近幾年的高考試題的統(tǒng)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)，定值定點(diǎn)問題的常用方法可以總結(jié)為：①直接求解；②先猜后證.［3］“直接求解”也就是我們通常所說的參數(shù)法，

分為以下步驟：

①根據(jù)題設(shè)引入?yún)?shù)；②由已知整理出含參關(guān)系式；③化簡(jiǎn)，并進(jìn)行求解.“先猜后證”即從特殊到一般：①從問題的特殊情況出發(fā)，如斜率不存在或橫截距式中斜率為零等，得到目標(biāo)關(guān)系所要探求的定值或定點(diǎn)；②探究一般情況；③定結(jié)論，綜合以上兩種情況確定結(jié)論.

在這類問題學(xué)習(xí)的初始階段，為了幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，教師需要根據(jù)已知題設(shè)條件，建立目標(biāo)圖形，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)結(jié)合的思維，不妨以下面兩道題為例來進(jìn)行講解.

例題2? 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過A（0，-2），B32，-1兩點(diǎn).

（1）求

橢圓

E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P（1，-2）的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH，證明：直線HN過定點(diǎn).

該問題選自2022年全國乙卷，第（2）小問即考查解析幾何章節(jié)中圓錐曲線中動(dòng)直線過“定點(diǎn)”的問題.

步驟1：根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果在命令輸入?yún)^(qū)直接輸入橢圓方程y24+x23=1及點(diǎn)P（1，-2）.

點(diǎn)評(píng)：傳統(tǒng)幾何畫板中橢圓等曲線的繪制較為復(fù)雜，且當(dāng)方程變化后往往需要重新繪制，增加教師備課工作量，而GeoGebra軟件在處理解析幾何等問題中的快捷、高效性主要體現(xiàn)在方程與圖形的直接聯(lián)系，僅需根據(jù)輸入所需曲線方程即可自動(dòng)生成相應(yīng)圖形.若方程發(fā)生變化，也可以通過直接更換數(shù)值或設(shè)置滑動(dòng)條，通過拖動(dòng)滑動(dòng)條觀察參數(shù)在變化過程中曲線的變化情況及其他相關(guān)點(diǎn)的變化情況.

步驟2：直線工具繪制過點(diǎn)P的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，利用平行線工具做出過點(diǎn)M且平行于x軸的直線，找到點(diǎn)T.

步驟3：借助功能區(qū)的相等向量關(guān)系構(gòu)造相等關(guān)系，確定點(diǎn)H

的

位置從而確定直線HN.

圖5? 定點(diǎn)問題實(shí)例示意圖

探究1? 右鍵顯示直線HN蹤跡，通過拖動(dòng)改變圖形關(guān)系中控制點(diǎn)M的位置，即改變過點(diǎn)P的直線的斜率，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)直線HN變化過程中恒過定點(diǎn)，進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn)其定點(diǎn)恰為A（0，-2），并通過計(jì)算，可以驗(yàn)證該結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：解析幾何，顧名思義借助解析式進(jìn)行圖形研究，在GeoGebra軟件的幫助下所直接呈現(xiàn)的直線與曲線的同步變化關(guān)系可以更加方便我們探知問題的本源，從多角度，更深層次理解問題，甚至直接觀察到預(yù)想結(jié)果，確定問題研究的目標(biāo)及方向.一方面幫助學(xué)生在積極的課堂環(huán)境及探索氛圍下提升數(shù)學(xué)感知能力，培養(yǎng)數(shù)與形的結(jié)合意識(shí)；另一方面，圖形的建立也是在幫助學(xué)生化繁為簡(jiǎn)，將較為抽象的問題具體化，從而達(dá)到理清思路，優(yōu)化條件的目的.在對(duì)圖形的變化進(jìn)行觀察并掌握變化規(guī)律后，教師在教學(xué)過程中還要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)角度對(duì)觀察到的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，得出準(zhǔn)確結(jié)論.

探究2? 拖動(dòng)控制點(diǎn)M的過程中也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)過點(diǎn)P的直線斜率不存在時(shí)，即直線MN垂直于x軸時(shí)，直線HN仍過點(diǎn)A，進(jìn)一步驗(yàn)證了恒過定點(diǎn)A（0，-2）這一結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：特殊情況作為研究問題的重要研究思路，往往可以揭露問題的本質(zhì)，通過對(duì)斜率是否存在的討論探究，從特殊到一般或從一般到特殊也是解決解析幾何定值定點(diǎn)問題的重要數(shù)學(xué)方法，通過圖形的變化，以最直觀的方式引導(dǎo)學(xué)生解題方向，完善教學(xué)內(nèi)容，改善教學(xué)方式.

接下來，在同類定值問題的教學(xué)過程中，教師也可以通過運(yùn)用GeoGebra這一動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，在與學(xué)生共同審題探究的過程中，將條件逐一構(gòu)建完成，幫助學(xué)生確定目標(biāo)結(jié)果，以下題為例.

例題3? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a、b>0）的離心率為12，并過點(diǎn)P（0，3）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P的直線與x軸交于點(diǎn)N，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，直線PB′交x軸于點(diǎn)M，求證：｜OM｜·｜ON｜為定值.

該問題（2）考查圓錐曲線問題中動(dòng)直線條件下的“定值”問題.

步驟1：學(xué)生經(jīng)過計(jì)算后，輸入（1）中得到的橢圓C的方程：x24+y23=1，運(yùn)用點(diǎn)工具確定點(diǎn)P，并通過直線工具選定點(diǎn)P及x軸上任一點(diǎn)N；

步驟2：通過交點(diǎn)工具選定直線與橢圓，自動(dòng)生成交點(diǎn)B，軸對(duì)稱工具選定對(duì)象B及對(duì)稱軸x軸，此時(shí)系統(tǒng)自動(dòng)生成對(duì)稱點(diǎn)B′且在橢圓上；

步驟3：直線工具選定點(diǎn)P及點(diǎn)B′，點(diǎn)工具確定與x軸交點(diǎn)M，線段工具連接OM與ON，完成題干的準(zhǔn)備工作；

步驟4：令a=｜OM｜，b=｜ON｜，c=ab，通過移動(dòng)點(diǎn)N，觀察過點(diǎn)P的直線的斜率在變化過程中，a、b、c數(shù)值的變化，如圖6，可以發(fā)現(xiàn)c=｜OM｜｜ON｜=4恒成立.

點(diǎn)評(píng)：總的來說，定值定點(diǎn)問題作為圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，通過信息化軟件與多媒體設(shè)備的結(jié)合，借助圖象準(zhǔn)確地對(duì)問題條件中所涉及的點(diǎn)、線（包括曲線）進(jìn)行描述，可以在提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生信息化意識(shí)，幫助學(xué)生節(jié)省將新內(nèi)容、新知識(shí)內(nèi)化為自身數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)所消耗的大量時(shí)間.而GeoGebra軟件的最大優(yōu)勢(shì)就在于它工具中所涵蓋功能的多元化、全面化，無論是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所涉及的代數(shù)問題、幾何問題還是統(tǒng)計(jì)問題均可使用，這又在極大程度上減輕了部分對(duì)畫圖軟件不熟悉的教師在備課過程中的負(fù)擔(dān).

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的成功與否不是讓教師灌輸式地將知識(shí)原封不等的傳授出去，而是要幫助學(xué)生嘗試建構(gòu)并完善自己的知識(shí)體系，最終實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).通過以上三種類型的具體教學(xué)案例可以發(fā)現(xiàn)，解決圓錐曲線這一章節(jié)的內(nèi)容本質(zhì)是對(duì)學(xué)生邏輯推理能力的考查，學(xué)生要具備通過推理完成幾何語言的解讀，將數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系相結(jié)合，在準(zhǔn)確表述的前提下，明確問題所采用的運(yùn)算方法，完善解題過程，優(yōu)化對(duì)解析幾何問題算法構(gòu)建的理解.在2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出，在平面解析幾何的教學(xué)中，“應(yīng)充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，通過計(jì)算機(jī)軟件向?qū)W生演示方程中參數(shù)的變化對(duì)方程所表示的曲線的影響，使學(xué)生進(jìn)一步理解曲線與方程的關(guān)系”.而GeoGebra軟件作為高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知工具，能夠?qū)?shù)學(xué)的抽象知識(shí)變得具體化、形象化，提高教學(xué)效率，同時(shí)對(duì)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也有著一定的提升作用，為教師改善高中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)模式提供多元化思路.

參考文獻(xiàn)

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