王文超

摘? 要：以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)為導(dǎo)向，采用“情境—問(wèn)題—探究—猜想—證明—定理—應(yīng)用”的教學(xué)流程，利用問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)教學(xué)，借助數(shù)學(xué)軟件動(dòng)態(tài)演示輔助教學(xué)，以跨學(xué)科理念創(chuàng)新“折紙實(shí)驗(yàn)”，融入我國(guó)航天成就，對(duì)“直線(xiàn)與平面垂直的判定”做了教學(xué)設(shè)計(jì)，以將邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處.

關(guān)鍵詞：邏輯推理素養(yǎng)；直線(xiàn)與平面垂直；教學(xué)設(shè)計(jì)

邏輯推理能力是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的能力.［1］與邏輯推理能力不同，邏輯推理素養(yǎng)是表現(xiàn)在人身上的東西，不僅表明這個(gè)人具有邏輯推理能力，還表明這個(gè)人具有較好的思維品質(zhì).培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)的關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維模式，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題.邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)需要時(shí)間，是“涵養(yǎng)”的過(guò)程，這就要求教師利用好每堂課，滲透邏輯推理的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生積累邏輯推理的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).本文從培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的視角對(duì)“直線(xiàn)與平面垂直的判定”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以期為一線(xiàn)教學(xué)提供參考.

1? 教材分析

本節(jié)課選自人教A版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》第八章第6節(jié)《空間直線(xiàn)、平面的垂直》，在銜接線(xiàn)面平行的判定、線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定和線(xiàn)面垂直的定義等內(nèi)容的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，為后續(xù)學(xué)習(xí)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理做了鋪墊.本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了類(lèi)比推理、歸納推理和演繹推理，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要載體.

2? 學(xué)情分析

此階段的學(xué)生已經(jīng)掌握了線(xiàn)面平行的判定定理、線(xiàn)面垂直的定義，經(jīng)歷了線(xiàn)面平行的判定定理的探究過(guò)程，積累了探究線(xiàn)面平行判定定理的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能夠識(shí)別類(lèi)比推理、歸納推理和演繹推理.但由于學(xué)生直觀(guān)想象和邏輯推理素養(yǎng)較弱，因此運(yùn)用合情推理提出線(xiàn)面垂直的判定的猜想及用數(shù)學(xué)方法證明線(xiàn)面垂直的判定的猜想存在一定困難.

3? 教學(xué)目標(biāo)

在火箭“頂天立地不用扶”的現(xiàn)實(shí)情境中抽象出線(xiàn)面垂直的幾何模型，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題.通過(guò)動(dòng)態(tài)演示和折紙實(shí)驗(yàn)等環(huán)節(jié)運(yùn)用合情推理提出猜想，選擇合適的論證方法證明猜想，進(jìn)一步生成線(xiàn)面垂直的判定定理，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)，能簡(jiǎn)單地應(yīng)用定理.

在線(xiàn)面垂直的判定定理的探究過(guò)程中，積累“先猜后證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，知道歸納推理、類(lèi)比推理是或然推理，演繹推理是必然推理，理解歸納推理、類(lèi)比推理和演繹推理的基本形式，能夠通過(guò)舉反例說(shuō)明數(shù)學(xué)命題不成立，培養(yǎng)邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

神舟十七號(hào)載人飛船中的數(shù)學(xué)、物理學(xué)中平面鏡成像的特點(diǎn)等融入課堂教學(xué)，激發(fā)愛(ài)國(guó)熱情，學(xué)生能合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和思維進(jìn)行跨學(xué)科的表達(dá)交流.

4? 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解并會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)線(xiàn)面垂直的判定定理，能簡(jiǎn)單地應(yīng)用定理.

教學(xué)難點(diǎn)：提出并證明線(xiàn)面垂直的判定的猜想.

5? 教學(xué)過(guò)程總體分析

本節(jié)課教學(xué)過(guò)程的總體分析如圖1所示.圖左側(cè)部分是本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的主要環(huán)節(jié)，中間部分是教學(xué)內(nèi)容，右側(cè)部分是通過(guò)左側(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)作用在線(xiàn)面垂直判定教學(xué)內(nèi)容上，最終達(dá)到的邏輯推理素養(yǎng)在線(xiàn)面垂直判定這一知識(shí)上的素養(yǎng)目標(biāo)，闡明了本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)、“直線(xiàn)與平面垂直的判定”的教學(xué)內(nèi)容和邏輯推理素養(yǎng)目標(biāo)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

圖1

6? 教學(xué)過(guò)程

6.1? 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

神舟十七號(hào)載人飛船發(fā)射前夕，發(fā)射塔架和扶桿逐漸打開(kāi)，神州十七號(hào)載人飛船與長(zhǎng)征二號(hào)F遙十七運(yùn)載火箭組合體仍然可以筆直地豎立在活動(dòng)發(fā)射平臺(tái)上.

問(wèn)題1? 船箭組合體“頂天立地不用扶”的前提條件之一是保證船箭組合體與發(fā)射平臺(tái)所在平面垂直.如何檢驗(yàn)船箭組合體與發(fā)射平臺(tái)的垂直關(guān)系呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，得到線(xiàn)面垂直的幾何模型.

問(wèn)題2? 如何判定直線(xiàn)與平面垂直？

【設(shè)計(jì)意圖】邏輯推理源于問(wèn)題，問(wèn)題源于情境.以神舟十七號(hào)載人飛船成功發(fā)射創(chuàng)設(shè)情境，提出核心問(wèn)題，為學(xué)生創(chuàng)造邏輯推理起點(diǎn).

預(yù)設(shè)回答：利用剛學(xué)過(guò)的線(xiàn)面垂直的定義判定.

預(yù)設(shè)追問(wèn)1? 用直線(xiàn)與平面垂直的定義判定是否可行？

教師需指出用定義法判定線(xiàn)面垂直理論上可行，但實(shí)際中不可行.

預(yù)設(shè)追問(wèn)2? 能否把驗(yàn)證平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)換成驗(yàn)證平面內(nèi)的幾條直線(xiàn)？類(lèi)比線(xiàn)面平行的判定能否給你啟發(fā)？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比線(xiàn)面平行的判定，將驗(yàn)證平面內(nèi)“無(wú)限”條直線(xiàn)轉(zhuǎn)化成驗(yàn)證平面內(nèi)“有限”條直線(xiàn)，將線(xiàn)面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題，學(xué)生體會(huì)類(lèi)比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，理解類(lèi)比推理基本形式，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思考水平.［2］

6.2? 動(dòng)態(tài)演示，直觀(guān)感知

探究1? 在GeoGebra環(huán)境下使用師生熟悉的四棱柱探究線(xiàn)面垂直判定定理，以問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)探究活動(dòng).

教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比線(xiàn)面平行的判定提出問(wèn)題3.

問(wèn)題3? 當(dāng)直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)一條直線(xiàn)時(shí)，能判定該直線(xiàn)與平面垂直嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)舉反例給予否定答案，并針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，如圖2.

2024年第3期教學(xué)研究

教學(xué)研究2024年第3期

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生體會(huì)類(lèi)比推理是或然推理，推理結(jié)果不一定正確.

教師引導(dǎo)學(xué)生探究直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)兩條直線(xiàn)的情況，并提出問(wèn)題4和5.

問(wèn)題4? 當(dāng)直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)兩條平行直線(xiàn)時(shí)，能判定該直線(xiàn)與平面垂直嗎？

問(wèn)題5? 當(dāng)直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)時(shí)，能判定該直線(xiàn)與平面垂直嗎？

圖2

圖3

對(duì)問(wèn)題4，學(xué)生同樣地通過(guò)舉反例給出否定答案，教師針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，如圖3；對(duì)問(wèn)題5，學(xué)生舉不出反例，基本認(rèn)為：當(dāng)直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)時(shí)，能判定該直線(xiàn)與平面垂直，但是對(duì)結(jié)論將信將疑，因此需要設(shè)置動(dòng)手操作環(huán)節(jié)進(jìn)行確認(rèn)自己的結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】將抽象問(wèn)題具象化，借助四棱柱并利用多媒體進(jìn)行探究，降低學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷和空間想象的壓力；引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)舉反例排除不合理假設(shè)，鍛煉學(xué)生批判性思維，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

6.3? 操作確認(rèn)，引發(fā)猜想

探究2? 引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，將教材中折紙實(shí)驗(yàn)中的桌面改為平面鏡，如圖4所示，并向?qū)W生明確實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，介紹實(shí)驗(yàn)用具及實(shí)驗(yàn)步驟.

實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)：確認(rèn)通過(guò)直觀(guān)感知得到的結(jié)論.

實(shí)驗(yàn)用具：三角形紙板、平面鏡、黑筆.

實(shí)驗(yàn)步驟：

（1）做三角形紙板底邊BC的高AD，并沿高AD翻折三角形紙板.

（2）將翻折后的三角形紙板（底邊BD，BC與鏡面接觸）豎直放置在平面鏡上.

（3）觀(guān)察三角形紙板的高AD與平面鏡中像的高AD是否在同一直線(xiàn)上，若在同一直線(xiàn)上，則三角形紙板的高AD垂直于鏡面，反之，不垂直于鏡面.

圖4

教師引導(dǎo)學(xué)生利用平面鏡成像的特點(diǎn)，有邏輯地表達(dá)觀(guān)察到的現(xiàn)象與三角形紙板的高AD垂直于鏡面的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而確認(rèn)通過(guò)直觀(guān)感知得到的結(jié)論是正確的.接著，教師結(jié)合生活中具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納推理，提出線(xiàn)面垂直判定定理的猜想：當(dāng)直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)時(shí)，則該直線(xiàn)與此平面垂直.

【設(shè)計(jì)意圖】本實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新使用平面鏡，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作獲得感性認(rèn)識(shí)，合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和思維進(jìn)行跨學(xué)科的表達(dá)與交流，理解歸納推理的基本形式，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

6.4? 合作探究，證明猜想

教師明確已知條件和要證的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生利用反證法證明猜想.學(xué)生合作探究，上臺(tái)展示證明過(guò)程.

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)重在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用反證法證明命題的一般過(guò)程，感受數(shù)學(xué)演繹證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，進(jìn)一步理解演繹推理的基本形式，培養(yǎng)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)論證過(guò)程，發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng).

為了深入對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，教師可以引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略歷史上不同數(shù)學(xué)家的經(jīng)典證明方法，如美國(guó)數(shù)學(xué)家塔潘和法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德的證明方法等.該部分內(nèi)容亦可制作成視頻在課后分享給學(xué)生.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生從HPM的視角體會(huì)“一題多證”與“多題一證”的無(wú)限魅力，感受數(shù)學(xué)家演繹證明過(guò)程中的嚴(yán)密邏輯和理性精神.

6.5? 印證猜想，生成定理

在證明猜想成立后，教師組織學(xué)生討論交流，引導(dǎo)學(xué)生自主地生成定理.

問(wèn)題6? 如圖5，你能借助圖形語(yǔ)言嘗試用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)線(xiàn)面垂直判定定理嗎？

學(xué)生：文字語(yǔ)言為如果直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直.符號(hào)語(yǔ)言為當(dāng)滿(mǎn)足mα，nα，l⊥m，l⊥n，m∩n=A時(shí)，可以推出l⊥α.

圖5

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生學(xué)會(huì)用三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)定理，將圖形語(yǔ)言與文字、符號(hào)語(yǔ)言綜合運(yùn)用，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

6.6? 應(yīng)用新知，解決問(wèn)題

問(wèn)題1? 如圖6，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點(diǎn).求證：AC⊥平面VKB.

問(wèn)題2? 如圖7，在（1）的條件下，若E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，有人說(shuō)“∵VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，這樣的說(shuō)法正確嗎？

問(wèn)題3? 如圖7，在（2）的條件下，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

問(wèn)題4? 結(jié)合問(wèn)題1-問(wèn)題3，嘗試總結(jié)判定直線(xiàn)與平面垂直的方法.

圖6

圖7

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題1考查學(xué)生線(xiàn)面垂直判定定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；問(wèn)題2是第一題的變式，通過(guò)改變條件，考查學(xué)生對(duì)利用線(xiàn)面垂直判定定理判定線(xiàn)面垂直時(shí)須滿(mǎn)足條件的掌握；問(wèn)題3為學(xué)生提供判定線(xiàn)面垂直的“間接法”；問(wèn)題4引導(dǎo)學(xué)生利用如圖8所示的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖歸納判定線(xiàn)面垂直的方法，有效培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.該環(huán)節(jié)采用變式訓(xùn)練，從各個(gè)角度加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和邏輯推理素養(yǎng).

圖8

在變式訓(xùn)練后，再次回到課堂伊始的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容解決問(wèn)題1，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)、高于現(xiàn)實(shí)、用于現(xiàn)實(shí).

6.7? 總結(jié)歸納，凝練素養(yǎng)

教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)等不同層面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，以知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的形式明確知識(shí)間的邏輯關(guān)系，關(guān)注學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的提升.

6.8? 布置作業(yè)，再探新知

基礎(chǔ)題：如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都垂直，那么該直線(xiàn)與此平面是否一定垂直？

提升題：除了利用定義法、直接法和間接法判定線(xiàn)面垂直外，還有哪些方法可以判定線(xiàn)面垂直？

思考題：發(fā)射塔架和發(fā)射平臺(tái)也垂直，火箭和塔架具有怎樣的位置關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】針對(duì)學(xué)生個(gè)體的差異，采用分層作業(yè)，進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu).思考題將課堂伊始提出的問(wèn)題進(jìn)行變式，提出“新”問(wèn)題，引發(fā)“新”思考，為后續(xù)學(xué)習(xí)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)埋下了伏筆.

7? 思考

7.1? 重視合情推理，鼓勵(lì)學(xué)生提出猜想

合情推理指從特殊到一般的推理，包括類(lèi)比推理和歸納推理.提出猜想是發(fā)現(xiàn)知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，而猜想的提出依賴(lài)于合情推理，因此合情推理對(duì)于發(fā)現(xiàn)知識(shí)非常重要.比起演繹推理，合情推理更能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的重要載體.但是一線(xiàn)教學(xué)中往往更關(guān)注對(duì)學(xué)生演繹推理能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生合情推理能力較弱，創(chuàng)新能力不足.因此，教師要重視合情推理，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的視角看待數(shù)學(xué)知識(shí)，做知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者和創(chuàng)造者［3］，敢于通過(guò)類(lèi)比、歸納等數(shù)學(xué)方法提出猜想.本節(jié)課中，教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比線(xiàn)面平行的判定，通過(guò)直觀(guān)感知和操作確認(rèn)等環(huán)節(jié)鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出猜想，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.

7.2? 訓(xùn)練演繹推理，引導(dǎo)學(xué)生論證猜想

演繹推理是從一般到特殊的推理，主要用來(lái)驗(yàn)證猜想.高中階段的數(shù)學(xué)證明題一般都是利用演繹推理完成的，教師應(yīng)以數(shù)學(xué)證明題為主抓手，訓(xùn)練學(xué)生演繹推理.在設(shè)計(jì)證明題時(shí)，教師應(yīng)采用變式訓(xùn)練，充分鍛煉學(xué)生思維，提高學(xué)生思考能力.需要注意的是，通過(guò)證明題培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)，應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)證明思路的把握，做到就題論道，而非就題論題，不應(yīng)只關(guān)注學(xué)生解題的數(shù)量.教學(xué)中，在學(xué)生通過(guò)合情推理提出數(shù)學(xué)猜想后，教師也應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)演繹推理論證猜想，這個(gè)過(guò)程中學(xué)生選擇合適的論證方法對(duì)猜想予以證明，并嘗試用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證過(guò)程，無(wú)不彰顯著數(shù)學(xué)理性思維.本節(jié)課中，學(xué)生在提出線(xiàn)面垂直的猜想后，鼓勵(lì)學(xué)生利用反證法等多種方法論證猜想，培養(yǎng)學(xué)生形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神.

7.3? 梳理知識(shí)脈絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建體系

數(shù)學(xué)知識(shí)具有完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，相關(guān)概念、定理之間存在緊密聯(lián)系，比如概念間存在強(qiáng)抽象與弱抽象的關(guān)系，定理間存在上位、下位和并列關(guān)系等.而現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，存在著重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)傳授，輕知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的問(wèn)題［4］，往往忽視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體和數(shù)學(xué)知識(shí)間關(guān)系的把握，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)不利，也會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在提取和綜合應(yīng)用知識(shí)時(shí)存在困難，因此應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在邏輯，樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀(guān).本節(jié)課中，學(xué)生通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖梳理判定線(xiàn)面垂直的方法，明確新知與舊知間的邏輯關(guān)系，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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［2］ 顧鋒，寧連華.于無(wú)疑處教有疑——高中數(shù)學(xué)課堂“教思考”質(zhì)量提升策略探索［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（7）：35-38.

［3］ 李亞瓊，寧連華.數(shù)學(xué)知識(shí)觀(guān)視角下學(xué)習(xí)進(jìn)階的再審視［J］.課程·教材·教法，2023，43（7）：111-117.

［4］ 涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論（第二版）［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2023.