鄭慶全

摘? 要：在以核心素養(yǎng)為抓手不斷推進(jìn)基礎(chǔ)教育課程改革背景下，課堂教學(xué)特別是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就成了核心素養(yǎng)落地的主陣地.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)在設(shè)計方面主要涉及教師的專業(yè)認(rèn)知，同時直接指導(dǎo)著教師的教學(xué)實施.基于這種認(rèn)識，構(gòu)建了基于S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元的課堂教學(xué)理論框架，并以《函數(shù)的單調(diào)性》為例，呈現(xiàn)了S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元的核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)的設(shè)計與實施方面，期待基于該理論框架的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計與實施，能夠更有利于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，推進(jìn)當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的高質(zhì)量發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)；S-PC-A；素養(yǎng)發(fā)展微元

1? 問題提出

當(dāng)前，全面貫徹黨的教育方針，堅定不移完成立德樹人的教育根本任務(wù)，深入推進(jìn)基礎(chǔ)教育課程改革發(fā)展，仍是高質(zhì)量發(fā)展新時代堅持的方向和原則.雖然當(dāng)前基礎(chǔ)教育課程教學(xué)改革的核心和關(guān)鍵的核心素養(yǎng)已經(jīng)在政策和理論層面達(dá)成共識，但在實踐層面還需要長期探索，首要環(huán)節(jié)就是課堂教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)課堂教學(xué).課堂教學(xué)設(shè)計重點(diǎn)應(yīng)聚焦通過知識運(yùn)用達(dá)到培育核心素養(yǎng)的目的［1］，這主要是通過學(xué)科來實現(xiàn)的，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的重要學(xué)科，應(yīng)該發(fā)揮學(xué)科育人的重要作用.學(xué)科育人的重要載體是核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)的培育需要特殊理論框架的教學(xué)設(shè)計來保障.核心素養(yǎng)導(dǎo)向教學(xué)應(yīng)有核心素養(yǎng)式的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)實施，前者凸顯知識運(yùn)用的情境、問題和活動預(yù)案，需要預(yù)先設(shè)計，目的是為實施做準(zhǔn)備；后者立足于教學(xué)智慧的教學(xué)活動和動態(tài)的藝術(shù)把握，需要在教學(xué)中關(guān)注進(jìn)展情況，以便及時作出教學(xué)決策.因此，基于核心素養(yǎng)的培育，構(gòu)建理論框架并在具體課堂教學(xué)中不斷改進(jìn)運(yùn)用就成為當(dāng)前基礎(chǔ)教育課程發(fā)展和改革領(lǐng)域的重要課題，本文以《函數(shù)的單調(diào)性（第1課時）》（以下簡稱《函數(shù)的單調(diào)性》）為例，在這方面做些探索，從而為核心素養(yǎng)的培育提供路徑.

2? 發(fā)展核心素養(yǎng)微元的理論框架建構(gòu)

綜合核心素養(yǎng)培育的當(dāng)前研究成果，其反映在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計中，集中表現(xiàn)為情境、問題和活動，以及更加關(guān)注知識與素養(yǎng)的關(guān)系，特別是“情境、問題與意義是知識與素養(yǎng)貫通的三要素”［2］.意義是通過實踐得到的，學(xué)生的實踐按真實與否一般分為模擬的、實驗的和現(xiàn)場的.無論哪種實踐，都是需要通過活動與學(xué)生進(jìn)行交互的.通過“知識”與“情境”的融合，“知識”與“問題”的對接，“知識”與“意義”的關(guān)聯(lián)，達(dá)成自主、主動的學(xué)習(xí).情境、問題和活動之間的基本關(guān)系是活動要將問題與情境融合在一起，并且在行動中呈現(xiàn).因此，這里將“情境（Situation）—問題鏈（Problem Chain）—活動（Activity）”稱為素養(yǎng)發(fā)展微元，簡稱S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元.S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元是基于學(xué)生動機(jī)激發(fā)和興趣培養(yǎng)的綜合情境設(shè)計，凸顯促進(jìn)全面深入思考的問題鏈設(shè)計，注重知識與方法遷移的實踐性教學(xué)活動設(shè)計.其整體思路是建構(gòu)課題知識點(diǎn)的時空序，并匹配合適的呈現(xiàn)形式，然后將“時空序+合適形式”放入學(xué)生情境中，產(chǎn)生各類問題鏈，以教為主導(dǎo)，設(shè)計學(xué)生居于主體地位的教學(xué)活動.素養(yǎng)發(fā)展微元是構(gòu)成教學(xué)設(shè)計的基本框架體系的重要組成部分，它融合了核心素養(yǎng)的正確價值觀、關(guān)鍵品格和必備能力，其中情境有利于學(xué)生體驗進(jìn)階進(jìn)步成就感，問題有反映作為數(shù)學(xué)內(nèi)在力量的數(shù)學(xué)家的理性精神，活動中有推理性任務(wù).這種“情境-問題鏈-活動”三位一體的微型體系構(gòu)成的素養(yǎng)發(fā)展微元，既有利于打造鑄魂育人的有靈魂的課堂，又充分體現(xiàn)立德樹人、以人為本的教育理念.學(xué)生長遠(yuǎn)的發(fā)展需要豐富多彩的活動，全面的發(fā)展需要各種各樣的情境，深入的發(fā)展需要不同類型的問題，這樣就將“長遠(yuǎn)與活動，全面與情境，深入與問題”相對應(yīng)，凸顯了以學(xué)生發(fā)展為中心的時代理念.整個素養(yǎng)發(fā)展微元的活動中，顯性的過程是知識的生成，隱性的過程是素養(yǎng)的達(dá)成，知識和素養(yǎng)通過活動以二者的情境、問題與意義三要素相融通.其中，情境強(qiáng)調(diào)遷移，問題促進(jìn)思考，活動側(cè)重融合和實踐.

簡言之，核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)，就是培育核心素養(yǎng)的教學(xué).具體就是在科學(xué)氛圍和學(xué)科精神浸潤滲透的情境下，通過問題鏈促進(jìn)思維，在育人活動和學(xué)科活動中通過知識運(yùn)用發(fā)展核心素養(yǎng)的教學(xué)，其核心要素是情境、問題（鏈）和活動.S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元是聯(lián)系知識與素養(yǎng)、理論與實踐、設(shè)計與實施的中介，立足于核心素養(yǎng)培育的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)通過S-PC-A的素養(yǎng)發(fā)展微元來實現(xiàn)，這主要是由于核心素養(yǎng)的發(fā)展處于情境、問題（鏈）和活動的中心.核心素養(yǎng)特別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)屬于個體內(nèi)在的思維品質(zhì)和能力，只有當(dāng)個體處理具體情境中的具體問題時，才能將個體內(nèi)在的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化為外在的行為表現(xiàn)，被他人所察覺和感知.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生在具有情境的數(shù)學(xué)活動中切實感悟、綜合理解、反復(fù)強(qiáng)化逐漸形成的，主要來源是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累.［3］

從問題視角來看，問題解決的內(nèi)涵因核心素養(yǎng)的提出而被拓展至經(jīng)驗領(lǐng)域.問題不再局限于那些不隨情境變化的、早已為人所知的主題，它們根植于生活情境，意味著現(xiàn)實與理想的差距是經(jīng)驗走向理性的橋梁.［4］而從情境視角來看，情境必然蘊(yùn)含著眾多問題，它也可以與活動相關(guān)聯(lián)，而且情境是促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展的重要外部因素.就活動來講，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)需要一系列相互關(guān)聯(lián)的，具有綜合性、實踐性特征的教學(xué)活動作為中介才能實現(xiàn)，學(xué)生只有參與活動，才能有機(jī)整合和內(nèi)化所學(xué)內(nèi)容，實現(xiàn)遷移和創(chuàng)新，促進(jìn)知識向能力轉(zhuǎn)化，促進(jìn)正確的價值觀、關(guān)鍵能力和必備品格的融合，即運(yùn)用所學(xué)知識和技能分析問題和解決問題，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).活動追求綜合性和實踐性以及跨學(xué)科性；活動突出知識與方法的遷移；活動需要設(shè)計，這是因為活動把知識創(chuàng)生者創(chuàng)生知識的過程以濃縮、簡潔的方式展現(xiàn)出來，恢復(fù)知識創(chuàng)生時的情境性、問題性與意義性，讓學(xué)生典型地、簡約地經(jīng)歷人類認(rèn)識過程.這一活動設(shè)計可以讓學(xué)生將外在的公共知識內(nèi)化為學(xué)生素養(yǎng).活動是基于情境和問題鏈，經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的完整過程，建構(gòu)出作為結(jié)果的以問題為中心的知識系統(tǒng)的過程，這個建構(gòu)性學(xué)習(xí)過程共享著知識和素養(yǎng)的情境、問題與意義三要素，其中意義主要就是學(xué)習(xí)者通過這種活動體驗到的.對于S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元，既可以整節(jié)課使用，又可以將某一微元在課堂教學(xué)的某一環(huán)節(jié)使用.

3? S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元要點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計與教學(xué)實施

上述發(fā)展核心素養(yǎng)微元的理論框架需要課堂教學(xué)設(shè)計的理論和教學(xué)實施的檢驗.核心素養(yǎng)導(dǎo)向教學(xué)所具有的核心素養(yǎng)式教學(xué)設(shè)計和教學(xué)實施各有特點(diǎn).前者開放式設(shè)計給核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)想象和構(gòu)想提供了眾多的機(jī)會和可能性，后者彈性實施的特點(diǎn)給教學(xué)實踐預(yù)留了廣闊的發(fā)揮空間.以下就用《函數(shù)的單調(diào)性》課堂教學(xué)案例加以說明.

3.1? 《函數(shù)的單調(diào)性》中的核心素養(yǎng)與S-PC-A的素養(yǎng)發(fā)展微元

情境促進(jìn)遷移，遷移是“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”的“三會”發(fā)展的重要表現(xiàn).在“三會”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的《函數(shù)的單調(diào)性》中，數(shù)學(xué)眼光指函數(shù)模型、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，數(shù)學(xué)思維有數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)語言包括圖形直觀語言、數(shù)學(xué)自然語言、形式化符號語言、數(shù)學(xué)建模.在《函數(shù)的單調(diào)性》中，用函數(shù)的眼光觀察氣溫變化圖，經(jīng)歷經(jīng)驗材料數(shù)學(xué)化過程，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)以初步明確函數(shù)單調(diào)性內(nèi)涵.這些發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)行動和教學(xué)行為具有各種表現(xiàn)，如直觀想象通過微觀無限和宏觀無窮表現(xiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算通過函數(shù)單調(diào)性證明中做差比較大小表現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)在上升下降對圖形的抽象、增大或減小利用算術(shù)思維對上升下降的數(shù)量大小的感性直觀抽象、符號化利用代數(shù)思維對感性直觀的理性抽象三種語言的抽象中.數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為通過考察已學(xué)函數(shù)的單調(diào)性狀況，經(jīng)歷數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化過程，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)以明確函數(shù)單調(diào)性外延，進(jìn)一步形成符號語言表達(dá)定義.通過運(yùn)用形式化符號語言定義，經(jīng)歷數(shù)學(xué)理論的運(yùn)用過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).人教A版教材則在語言視角下運(yùn)用函數(shù)的圖象法、表格法和解析法三種表示方法研究函數(shù)的單調(diào)性，分別對應(yīng)圖形直觀、數(shù)學(xué)自然和數(shù)學(xué)形式化符號三種語言，而數(shù)學(xué)自然語言（數(shù)角度）是介于圖形直觀語言（形角度）和形式符號語言（關(guān)系角度）的中間環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)的基本點(diǎn)有正確價值觀、關(guān)鍵能力和必備品格，其中情感、態(tài)度、價值觀和興趣等發(fā)揮著重要作用，這些都可用S-PC-A的素養(yǎng)發(fā)展微元來表現(xiàn)，集中表現(xiàn)為情境（生活、數(shù)學(xué)和科學(xué)）創(chuàng)設(shè)、數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)和數(shù)學(xué)活動設(shè)計.

3.2? S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元的教學(xué)設(shè)計要點(diǎn)與呈現(xiàn)

《函數(shù)的單調(diào)性》作為高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容具有典型的代表性.基于S-PC-A核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計圍繞函數(shù)的單調(diào)性，在“觀察氣溫變化圖—研究三個函數(shù)圖象—運(yùn)用數(shù)學(xué)自然語言描述—探究符號語言嚴(yán)格描述—應(yīng)用情境加深理解—體系化建構(gòu)強(qiáng)化”這一教學(xué)思路下，設(shè)計了5個教學(xué)環(huán)節(jié)：問題聚焦，框定概念；回顧梳理，初究概念；深度追問，再探概念；深刻理解，應(yīng)用概念；小結(jié)提升，升華概念.在這些教學(xué)環(huán)節(jié)下設(shè)計了基于氣溫變化的函數(shù)單調(diào)性觀察思考、基于學(xué)生互動交流的已學(xué)有關(guān)函數(shù)單調(diào)性知識梳理、數(shù)學(xué)材料邏輯化的函數(shù)單調(diào)性知識關(guān)聯(lián)建構(gòu)、數(shù)學(xué)材料邏輯化的函數(shù)單調(diào)性的形式符號化建構(gòu)、應(yīng)用情境的函數(shù)單調(diào)性概念深入理解和函數(shù)單元整體視角的總結(jié)反思6個素養(yǎng)發(fā)展微元.在S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元框架內(nèi)，教學(xué)設(shè)計的體現(xiàn)有特征凸顯情境、同化舊知情境、精確定量情境、反思確認(rèn)情境、鞏固運(yùn)用情境、融合系統(tǒng)情境，共6個情境；有特征凸顯問題鏈、同化舊知問題鏈、精確定量問題鏈、反思確認(rèn)問題鏈、鞏固運(yùn)用問題鏈、融合系統(tǒng)問題鏈，共6個問題鏈；有特征凸顯的活動、同化舊知的活動、精確定量的活動、反思確認(rèn)的活動、鞏固運(yùn)用的活動、融合反思的活動，共6類活動.這樣的教學(xué)設(shè)計圍繞函數(shù)這個大概念，抓住函數(shù)的性質(zhì)這個關(guān)鍵概念，在《函數(shù)的單調(diào)性》這一重要概念兼性質(zhì)的具體課時中，以S-PC-A形式呈現(xiàn)教學(xué)設(shè)計，建構(gòu)S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元教學(xué)設(shè)計模式，一般呈現(xiàn)的基本要素有對情境進(jìn)行描述，列出問題鏈，對活動的性質(zhì)、過程或步驟以及結(jié)果進(jìn)行描述.

下面就以“探究符號語言嚴(yán)格描述”教學(xué)環(huán)節(jié)下，“數(shù)學(xué)材料邏輯化的函數(shù)單調(diào)性的形式符號化建構(gòu)”的素養(yǎng)發(fā)展微元為例來說明基于S-PC-A核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)設(shè)計呈現(xiàn).

從教學(xué)環(huán)節(jié)來講，深度追問，再探概念.我們再深入考察一下，“y隨x的增大而增大，或者y隨x的增大而減小”這種表述的語言是數(shù)學(xué)自然語言，還有沒有必要建構(gòu)更精確的量化描述？一般的思路是從具體函數(shù)怎么表示自變量增大到怎么表示因變量隨自變量增大而增大；從有限到無限直至所有，即從兩點(diǎn)任意性到推廣至一般函數(shù)再到類比因變量隨自變量增大而減小表述，最后得到一般函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格化的形式化符號語言表述.

為更清晰和精確，數(shù)學(xué)建模出符號形式化描述.學(xué)科活動之?dāng)?shù)學(xué)材料邏輯化的方向是形式化的精確嚴(yán)格化，通過進(jìn)一步深入追問函數(shù)單調(diào)性描述的精確化，歸結(jié)并反思刻畫方法.開始表述是圖形直觀語言，接著是數(shù)學(xué)自然語言.目前對于函數(shù)單調(diào)性有兩種語言表述，即圖形直觀語言和數(shù)學(xué)自然語言.此外，還可以怎么表述？觀察圖象，x增大還可以怎么表述？能否用形式化符號語言表述？

要素1：情境——凸顯數(shù)學(xué)理性的特征

情境涉及學(xué)習(xí)環(huán)境，屬于隱性的精神或文化層面.呈現(xiàn)三位數(shù)學(xué)家的名言：一是美國應(yīng)用數(shù)學(xué)家M·克萊因曾指出，數(shù)學(xué)是一種理性精神，正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻和最完美的內(nèi)涵；二是日本數(shù)學(xué)家米山國藏概括的幾種數(shù)學(xué)精神是嚴(yán)密化精神；三是我國數(shù)學(xué)家張奠宙先生講，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“真”的維度是理解理性數(shù)學(xué)文明的文化價值，體會數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性.函數(shù)單調(diào)性概念建構(gòu)過程是一個建構(gòu)概念意義和不斷精確化表征數(shù)學(xué)理解的過程.

情境的落腳點(diǎn)或者聚焦點(diǎn)是核心問題，這一情境的核心問題是證明某函數(shù)的單調(diào)性.呈現(xiàn)下列問題：依據(jù)上述定義（圖形語言和自然語言描述），試判斷二次函數(shù)f（x）=x2在（0，+∞）上是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減？并證明.能否用圖形直觀語言和數(shù)學(xué)自然語言兩種語言表述來證明函數(shù)的單調(diào)性？圖形看不出或者較難畫出函數(shù)圖象，怎么判斷呢？需要尋求更為嚴(yán)謹(jǐn)和準(zhǔn)確的形式化符號語言來表述.引發(fā)認(rèn)知沖突，從而反映出對于函數(shù)單調(diào)性精確刻畫的必要性.依據(jù)定義來解決問題是一種常用方法，這一次為什么不行了呢？原因是定義（指自然語言描述）是不精確的，它只是一種描述性語言，無法依據(jù)它進(jìn)行相關(guān)計算和推理.要依據(jù)定義進(jìn)行推理，必須要用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來刻畫定義.那又如何用準(zhǔn)確數(shù)學(xué)語言來刻畫呢？需要如下幾步來引導(dǎo)：自變量增大數(shù)學(xué)符號化、因變量隨自變量的任意精準(zhǔn)、減函數(shù)情形類比、完整數(shù)形兩種表征.這正是下一步要涉及的，即問題鏈.

要素2：問題鏈——核心問題：怎樣進(jìn)一步精確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)孛枋龊瘮?shù)的單調(diào)性

問題鏈：如何用數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢？在（0，+∞）上取兩個點(diǎn)x1，x2，這兩個點(diǎn)有什么樣的大小關(guān)系？對應(yīng)函數(shù)值是什么樣的大小關(guān)系？如果存在兩個點(diǎn)滿足這個大小關(guān)系，能不能說明在（0，+∞）上函數(shù)就是單調(diào)遞增的呢？那應(yīng)該怎么補(bǔ)充這個表述，才能說明函數(shù)單調(diào)遞增？你能用數(shù)學(xué)語言試著寫出一般函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的定義嗎？仿照函數(shù)單調(diào)遞增的定義，你能試著寫出函數(shù)單調(diào)遞減的定義嗎？

更為具體的問題鏈，呈現(xiàn)“符號化—形式化—精確化—完整化”的發(fā)展過程.比如，呈現(xiàn)5個問題：（1）怎樣表述x增大？怎樣表述y增大？（2）怎樣表述y隨x增大而增大？（3）對于y=2x+1（如圖1），能不能說由于x=1時y=3，x=2時y=5，就說隨著x的增大，函數(shù)值y也增大？能不能說，由于x=1，2，3，4，…時，相應(yīng)地y=3，5，7，9，…就說隨著x的增大，函數(shù)值y也增大？答案是否定的.例如﹐函數(shù)y=（x-1）2-1（x∈R）（如圖2），當(dāng)x=1，2，3，4，5，…時，相應(yīng)地y=-1，0，3，8，15，…就不能說隨著x的增大，函數(shù)值y增大.這是因為x=-1時，y=3，就自變量的值而言，-1＜1，而相應(yīng)的函數(shù)值卻有3＞-1，即y不是隨著x的增大而增大的.（4）怎樣完整給出f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增的定義？通過討論，結(jié)合圖象給出f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增的定義.（5）如何定義減函數(shù)？類似地得出.

要素3：活動——函數(shù)單調(diào)性的形式化、符號化表達(dá)

活動環(huán)節(jié)從嚴(yán)格精確描述到思考兩個關(guān)鍵問題到符號形式化的描述再到類比推廣至單調(diào)遞減最后小結(jié)強(qiáng)化.

能否更嚴(yán)格精確地描述？以上升性為例，先看兩個量的變化表述，再看兩個量的取法及其變化的范圍；類似地得到下降性質(zhì)，將上升和下降稱為單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，合稱為單調(diào)性；啟發(fā)引導(dǎo)，符號表征概念.可以分為以下三步：追求定量化、追求精確化、完整概括表述函數(shù)單調(diào)性.

第一步，追求定量化.在形式化語言過程中，主要有兩個關(guān)鍵問題.第一個關(guān)鍵問題：“在某一區(qū)間內(nèi)，y隨x增大而增大”如何精確表示？要想精確，就要進(jìn)行數(shù)量化，其中最重要的就是將“增大”數(shù)量化.如何將“增大”數(shù)量化呢？取兩個數(shù)值，要求后一個數(shù)值比前一個數(shù)值大即可；“減小”同理，取兩個數(shù)值，要求后一個數(shù)值比前一個數(shù)值小即可.第二個關(guān)鍵問題：如何保證在整個區(qū)間內(nèi)y隨x增大而增大的趨勢一直不變？取有限的x不行，取無限的x也不行，只有取任意的x才行.

第二步，追求精確化.為更清晰和更精確，數(shù)學(xué)建模出符號形式化的描述.首先看“y隨x的增大而增大”這句話中“x增大”怎么數(shù)量化精確表述？比如在二次函數(shù)f（x）=x2，x＞0這個部分定義域內(nèi)，取x=1，增大的話，可取x=2.要描述在這部分定義域內(nèi)x的增大，就要在第一次取遍所有的值，第二次再取比第一次大的值就可以了.看怎么表述“取遍所有的值”，就會聯(lián)想到剛學(xué)的集合中的邏輯用語“任取”，比方說第一次任取的為x1，第二次取的為x2，增大的話，就為x1＜x2，總結(jié)為“x增大”即表示為“x1＜x2”；同理，y增大表述為“y1＜y2”.那么“y隨x的增大而增大”表述為“若任取x1，x2，且x1＜x2，總有y1＜y2”.

第三步，完整概括表述函數(shù)單調(diào)性.結(jié)合圖形，綜合表述：函數(shù)y=f（x）圖象的上升可以表述為“在函數(shù)y=f（x）的定義域子區(qū)間I上，任意取x1，x2，且x1＜x2，總有y1＜y2”，我們稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增，其中的區(qū)間為增區(qū)間.類似地，得到函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減和單調(diào)遞減區(qū)間的定義.進(jìn)一步，把單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.

小結(jié)強(qiáng)化，強(qiáng)調(diào)單調(diào)性的形式化定義中，x1＜x2，推出f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2））須對這個區(qū)間上任意x1，x2都成立.用符號化的數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性主要有如下四步：先將兩個“增大”符號化，再將“隨”符號化，然后將隱含語言“任意”符號化，最后將隱含語言“區(qū)間”符號化.

3.3? S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元的教學(xué)實施操作要點(diǎn)

要注意整體把握教學(xué)設(shè)計.函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)設(shè)計首先將熟悉的情境變?yōu)閿?shù)學(xué)化的情境，如深入研究一天內(nèi)氣溫變化圖，主要表現(xiàn)為從函數(shù)概念的視角描述變化規(guī)律（實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系），從函數(shù)表示的視角描述變化規(guī)律（形、數(shù)、關(guān)系），從函數(shù)性質(zhì)視角描述如何變化運(yùn)動關(guān)系在運(yùn)動變化中整體與局部的“變中不變”；其后函數(shù)單調(diào)性概念建構(gòu)過程是一個建構(gòu)概念意義和不斷精確化表征數(shù)學(xué)理解過程；接著應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義等知識解決問題的過程也是一個將陳述性知識進(jìn)行程序化形成程序化知識，進(jìn)而將學(xué)科價值觀念、關(guān)鍵能力和必備品格融合為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程；最后小結(jié)提煉過程是將價值觀念、關(guān)鍵能力和必備品格融合為學(xué)生核心素養(yǎng)的過程.

S-PC-A素養(yǎng)發(fā)展微元的教學(xué)實施要點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)：一是注意營造所要設(shè)計的情境；二是將問題鏈中的各問題及其關(guān)系理清楚；三是在活動目的明確的情況下，確定各步驟；另外，在教學(xué)實施中注意及時捕捉反映關(guān)鍵點(diǎn)，對接情境和問題，在活動中促進(jìn)學(xué)生的聚焦式、比較式、因果式以及歸因式反思.

4? 結(jié)束語

基于S-PC-A核心素養(yǎng)導(dǎo)向數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有以下顯著特點(diǎn)，即認(rèn)知和興趣合一的具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，凸顯核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)活動，學(xué)生不斷深度參與的教學(xué)活動過程以及學(xué)生進(jìn)階進(jìn)步的成就感.

在教學(xué)實施中，可從以下幾個方面促進(jìn)學(xué)生深度反思：一是定義域區(qū)間與單調(diào)區(qū)間的異同；二是表征中的“一直”“總有”“所有”的含義；三是深刻體會函數(shù)單調(diào)性反映了事物變化中的兩種變化趨勢；四是深刻認(rèn)識到定量精確刻畫的意義.特別應(yīng)反思在函數(shù)單調(diào)性概念應(yīng)用中一般的動態(tài)變化，即不等式，靜態(tài)變化，即相等關(guān)系.

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