王浩 王江北 羅浩東 王立文

摘要：

針對大型結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化計算成本高和固體各向同性材料懲罰模型（SIMP）在優(yōu)化后結(jié)構(gòu)邊界處求解精度低的問題，提出了一種基于SIMP法的自適應(yīng)設(shè)計域（ADD）拓?fù)鋬?yōu)化方法。將改進(jìn)四叉樹法應(yīng)用在拓?fù)鋬?yōu)化的過程中，通過自動劃分不同等級的網(wǎng)格單元來減少網(wǎng)格數(shù)量、減輕計算負(fù)擔(dān)并提高邊界處求解精度；采用比例邊界有限元法（SBFEM）實時計算劃分后結(jié)構(gòu)的有限元信息，解決了不同等級網(wǎng)格間懸掛節(jié)點的問題。所提方法可在初始網(wǎng)格相對較少的情況下得到更加精確的結(jié)果，大幅度地降低了計算成本。數(shù)值算例結(jié)果表明，所提方法在最終結(jié)構(gòu)邊界處精度相同的情況下，計算時間最快可縮短為原來的1/100，可以為后續(xù)降低大型結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的計算成本提供參考。

關(guān)鍵詞：拓?fù)鋬?yōu)化；改進(jìn)四叉樹法；比例邊界有限元法；網(wǎng)格自適應(yīng)

中圖分類號：TH122

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.05.016

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

An Adaptive Design Domain Topology Optimization Method Based on

Improved Quadtree and SBFEM

WANG Hao1，2? WANG Jiangbei3? LUO Haodong3? WANG Liwen4

1.College of Safety Science and Engineering，Civil Aviation University of China，Tianjin，300300

2.Engineering Techniques Training Center，Civil Aviation University of China，Tianjin，300300

3.College of Aeronautical Engineering，Civil Aviation University of China，Tianjin，300300

4.Institute of Science and Technology lnnovation，Civil Aviation University of China，Tianjin，300300

Abstract： Aiming at the problems of high computational cost of large-scale structure topology optimization and low solving accuracy of solid isotropic material with penalization（SIMP） at the optimized structure boundary， an adaptive design domain（ADD） topology optimization method was proposed based on SIMP. The improved quadtree method was applied in the processes of topology optimization to reduce the computational burden and improve the solution accuracy at the boundaries through different levels of grid cell. The SBFEM was used to calculate the finite element information of the partitioned structures in real-time， solving the problem of hanging nodes between different level cells. The proposed method might obtain more accurate results with fewer initial grids and significantly reduce the computational cost. Numerical example results demonstrate that， with the same final structural boundary accuracy， the proposed method may reduce the computation time to 1/100 of the original at most， offering a reference for reducing the computational cost of large-scale structural topology optimization in subsequent processes.

Key words： topology optimization; improved quadtree method; scaled boundary finite element method（SBFEM）; grid adaptation

收稿日期：20230914

基金項目：國家自然科學(xué)基金民航聯(lián)合研究基金重點項目（U2133202）；四川省重大科技專項（2021ZDZX0001）；中國民航大學(xué)研究生科研創(chuàng)新項目（2022YJS058）

0? 引言

拓?fù)鋬?yōu)化方法是一種給定約束和目標(biāo)函數(shù)，在規(guī)定設(shè)計域內(nèi)對結(jié)構(gòu)材料進(jìn)行尋優(yōu)的算法，可以對結(jié)構(gòu)零件進(jìn)行輕量化設(shè)計。目前，該方法已被廣泛地應(yīng)用于航空航天、汽車工程、機(jī)械工程、海洋工程［1-6］等領(lǐng)域。早期由于計算條件的限制，主要應(yīng)用于小型結(jié)構(gòu)件，隨著有限元的發(fā)展，越來越多的大型結(jié)構(gòu)［7］也會采用拓?fù)鋬?yōu)化方法來達(dá)到減重的目的。

在航空航天領(lǐng)域中，飛機(jī)機(jī)身、發(fā)動機(jī)吊架、機(jī)翼前緣翼肋等大尺寸且具有高精度要求的零件，動輒需要幾十萬個網(wǎng)格單元，直接求解帶來的計算負(fù)擔(dān)讓人望而卻步，因此尋找一種適用于具有大量網(wǎng)格或大型結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法具有重要研究意義。

拓?fù)鋬?yōu)化過程需要反復(fù)迭代，每次迭代過程都需要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行性能分析，有限元計算占比較大，其中網(wǎng)格數(shù)量直接影響最終的計算時間。PRAMOD等［8］提出了利用自適應(yīng)相場方法模擬脆性斷裂，將所需網(wǎng)格數(shù)量減少為原來的1/10； BAIGES等［9］采用自適應(yīng)有限元網(wǎng)格和降階模型使計算效率提高11倍；INNERBERGER等［10］通過對三角形網(wǎng)格的細(xì)化，更加快速地求解了非線性偏微分方程的迭代線性化方法引起的問題。許多研究人員通過網(wǎng)格自適應(yīng)的方法來對有限元網(wǎng)格數(shù)量進(jìn)行控制，從而減輕計算負(fù)擔(dān)。

基于改進(jìn)四叉樹和比例邊界有限元法的自適應(yīng)設(shè)計域拓?fù)鋬?yōu)化方法——王? 浩? 王江北? 羅浩東等

中國機(jī)械工程 第35卷 第5期 2024年5月

網(wǎng)格自適應(yīng)算法中，四叉樹算法的靈活性強(qiáng)、計算效率高、精度高，最早被應(yīng)用于計算機(jī)圖像學(xué)領(lǐng)域，是一種圖像壓縮算法，后被遷移到工程計算中，主要應(yīng)用在求解尖端裂紋、應(yīng)力強(qiáng)度因子［11-14］等方面。孫立國等［15］將水平集函數(shù)與圖像四叉樹法相結(jié)合對網(wǎng)格進(jìn)行自適應(yīng)劃分，求解了復(fù)合型應(yīng)力強(qiáng)度因子； GRAVENKAMP等［16］將四叉樹與比例邊界有限元法（scaled boundary finite element method， SBFEM）相結(jié)合對復(fù)雜幾何形狀的靜態(tài)、諧波、模態(tài)和瞬態(tài)分析等的數(shù)值算例進(jìn)行了分析。CORNEJO等［17］利用自適應(yīng)網(wǎng)格與有限元法和離散元法耦合的方法，實現(xiàn)了在變量場曲率較大處細(xì)化網(wǎng)格，并對裂紋的擴(kuò)展進(jìn)行了分析。WIJESINGHE等［18］將數(shù)字圖像網(wǎng)格與SBFEM相結(jié)合，用于巖土邊坡穩(wěn)定性分析的數(shù)值技術(shù)研究。

在斷裂力學(xué)中裂紋源位置是已知的，四叉樹算法可以準(zhǔn)確地在裂紋尖端處進(jìn)行網(wǎng)格自適應(yīng)劃分。拓?fù)鋬?yōu)化過程中生成的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有未知性，傳統(tǒng)四叉樹算法無法準(zhǔn)確得到所需細(xì)化網(wǎng)格的位置，因此在拓?fù)鋬?yōu)化過程中傳統(tǒng)的四叉樹細(xì)化策略失效。

改進(jìn)四叉樹算法將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)中的密度值作為細(xì)化策略的判定條件，從而應(yīng)用到拓?fù)鋬?yōu)化中。細(xì)化結(jié)構(gòu)邊界處的網(wǎng)格，可以大幅度提高拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)邊界處的精度。經(jīng)改進(jìn)四叉樹算法細(xì)化后的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)具有不同等級的網(wǎng)格單元，首先通過SBFEM更新整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣，然后進(jìn)行迭代優(yōu)化。

本文將改進(jìn)四叉樹算法和SBFEM相結(jié)合自適應(yīng)地更新設(shè)計域內(nèi)網(wǎng)格，提出了一種基于固體各向同性材料懲罰模型（solid isotropic material with penalization， SIMP）方法的自適應(yīng)設(shè)計域（adaptive design domain，ADD）拓?fù)鋬?yōu)化算法（以下簡稱“ADD-SIMP方法”）。本文詳細(xì)介紹了ADD-SIMP方法，給出了SBFEM的推導(dǎo)過程，并通過兩個數(shù)值案例對所提方法進(jìn)行了驗證。ADD-SIMP方法可以通過更少的初始網(wǎng)格數(shù)量獲得邊界處相同精度的求解結(jié)果，大幅度降低了計算成本，可為大型結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化提供參考。

1? ADD-SIMP模型

ADD-SIMP方法的整體框架如圖1所示，具體流程如下：

（1）給定結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、材料參數(shù)、優(yōu)化目標(biāo)和約束等條件。

（2）根據(jù)需求設(shè)置初始網(wǎng)格劃分以及最小網(wǎng)格單元等級等參數(shù)。

（3）有限元計算得到每個單元的位移場、剛度矩陣等有限元參數(shù)，計算結(jié)構(gòu)柔度和靈敏度，并對單元靈敏度進(jìn)行更新。

（4）通過優(yōu)化準(zhǔn)則（optimality criteria，OC）進(jìn)行初步優(yōu)化，當(dāng)結(jié)構(gòu)初步穩(wěn)定時執(zhí)行步驟（5）。

（5）通過改進(jìn)四叉樹算法對結(jié)構(gòu)邊界網(wǎng)格進(jìn)行自動加密，以達(dá)到精確結(jié)構(gòu)邊界位置的目的；迭代步驟（2）～步驟（5），直到結(jié)構(gòu)最小網(wǎng)格單元等級滿足步驟（1）中規(guī)定的最小網(wǎng)格單元等級時不再對網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化。

（6）對該結(jié)構(gòu)繼續(xù)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，直至最終結(jié)構(gòu)滿足收斂條件后輸出該結(jié)構(gòu)。

1.1? SIMP方法

固體各向同性材料懲罰模型（SIMP）［19］方法因其簡單易懂、靈活性強(qiáng)、可擴(kuò)展性好等優(yōu)點成為目前主流的拓?fù)鋬?yōu)化方法之一。但SIMP法生成的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)往往會存在大量的偽密度單元，如圖2所示，在結(jié)構(gòu)邊界處偽密度單元數(shù)量約為實體單元數(shù)量的3倍，這會致結(jié)構(gòu)邊界處的求解精度受到限制，反映了較低的精度水平。精度要求高的大型結(jié)構(gòu)就需要更多數(shù)量的網(wǎng)格來提高精度。

本文基于將結(jié)構(gòu)的體積作為約束、最小柔度作為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行了網(wǎng)格自適應(yīng)的研究，其中優(yōu)化問題的表達(dá)式如下：

其中優(yōu)化問題的表達(dá)式為

find X=（x1，x2，…，xN）T∈D

min C=∑Ni=1xp0iuTikiui

s.t. V=φV0=∑Ni=1xiVi

0

式中，X為結(jié)構(gòu)設(shè)計域內(nèi)單元的相對密度；xi、ui、ki、Vi分別為第i個單元的相對密度、位移矢量、剛度矩陣、體積；N為設(shè)計域內(nèi)單元的總數(shù)；D為結(jié)構(gòu)總設(shè)計域；C為結(jié)構(gòu)柔度；p0為懲罰因子，工程上一般取p0= 3；V為結(jié)構(gòu)總體積；V0為結(jié)構(gòu)初始體積；φ為目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)；xmin為單元相對密度值的下限，為了計算穩(wěn)定，防止出現(xiàn)奇異性，一般設(shè)置xmin=0.001。

1.2? 改進(jìn)四叉樹算法

四叉樹是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，主要應(yīng)用于計算機(jī)圖像學(xué)領(lǐng)域，本文引入一種改進(jìn)四叉樹算法對拓?fù)鋬?yōu)化過程中的網(wǎng)格進(jìn)行自適應(yīng)劃分。通過采用新的細(xì)化策略、網(wǎng)格單元和節(jié)點存儲方式，實現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化過程中的網(wǎng)格自適應(yīng)控制，以提高計算效率并提高邊界處的精度，其中網(wǎng)格單元儲存于單元樹（cellMap）中，用于儲存結(jié)構(gòu)網(wǎng)格單元的材料、位置等信息，具體參數(shù)含義詳見表1；節(jié)點存儲于節(jié)點樹（nodeMap）中，用于存儲節(jié)點位置和編號信息，具體參數(shù)含義詳見表2。兩個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)共同完成結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過程的網(wǎng)格實時更新。

1.2.1? 網(wǎng)格單元與節(jié)點存儲

圖3所示為單元細(xì)化后新增子單元與新增節(jié)點情況，其中新增網(wǎng)格單元順序如圖3a所示，新增節(jié)點順序如圖3b所示，角節(jié)點的序號不變，將新增節(jié)點作為新節(jié)點插入節(jié)點樹中。

每個網(wǎng)格單元有唯一的標(biāo)識符與之對應(yīng)，單元標(biāo)識符的計算公式依靠單元結(jié)構(gòu)中的單元等級lc和單元索引ic共同決定。lc=0表示該網(wǎng)格為初始網(wǎng)格，lc=h表示初始網(wǎng)格劃分h次后的h級網(wǎng)格，網(wǎng)格等級每增加1級，網(wǎng)格單元尺寸則會變?yōu)樵瓉淼?/2，邊界處的精度也隨之提高。

每次劃分每個單元時最多可以劃分為4lc個單元，為防止重復(fù)單元標(biāo)識符出現(xiàn)，假設(shè)每級單元完全細(xì)化，并在此基礎(chǔ)上計算新網(wǎng)格單元編號，因此對于一個n行m列的結(jié)構(gòu)中當(dāng)前網(wǎng)格單元等級為h、單元索引為（x，y）的單元，其唯一標(biāo)識符kc的計算表達(dá)式如下：

kc=2h（y-1）m+x+∑hlc=14（lc－1）mn （2）

細(xì)化后出現(xiàn)的單元索引可由下式計算得到：

ic，pa=（p，q）

ic，ch（1，1）=（2p－1，2q－1）

ic，ch（1，2）=（2p－1，2q）

ic，ch（2，1）=（2p，2q－1）

ic，ch（2，2）=（2p，2q）（3）

其中，p、q為父級單元的索引ic，pa。得到子網(wǎng)格的索引ic，ch后通過式（2）計算出子網(wǎng)格的編號。

需要說明的是，節(jié)點唯一標(biāo)識符kn由 x、y方向上的標(biāo)識符kn，x和kn，y構(gòu)成，其計算由給定結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)、最小細(xì)化等級共同決定。最小細(xì)化等級為初始網(wǎng)格大小和設(shè)定的最小單元尺寸共同決定，單個網(wǎng)格邊界上最多可以劃分2lc，max+1個節(jié)點（其中l(wèi)c，max為當(dāng)前最高單元等級），單元真實最小尺寸smin為單元尺寸sc除以2lc，max，根據(jù)單元位置坐標(biāo)Pn（Pn，x，Pn，y）可計算得到節(jié)點的kn，x和kn，y，則節(jié)點唯一標(biāo)識符kn通過下式確定：

sc2lc，max=smin? lc，max∈Z

kn，x=floor（Pn，xsmin）

kn，y=floor（Pn，ysmin）

kn=kn，x_kn，y（4）

其中，floor（·）表示向下取整函數(shù)。

由于節(jié)點標(biāo)識符不具有連續(xù)性，因此節(jié)點標(biāo)識符的作用僅為確定設(shè)計域中的某個唯一節(jié)點，為后續(xù)計算的順利進(jìn)行需要引入連續(xù)的節(jié)點編號nn作進(jìn)一步處理，具體流程如下：

（1）計算新增節(jié)點的唯一標(biāo)識符kn。根據(jù)新增節(jié)點的位置信息，利用式（4）可以計算出該節(jié)點的kn。

（2）依據(jù)步驟（1）中計算出的kn，在節(jié)點樹中搜索出對應(yīng)的節(jié)點。

（3）若節(jié)點樹中不存在相應(yīng)kn的節(jié)點（即返回值為空），則新增節(jié)點，賦予其節(jié)點編號（即當(dāng)前節(jié)點樹中最大節(jié)點編號值加1），并加入節(jié)點樹；若已存在，則保持原節(jié)點所有信息不變。

有限元計算需要將網(wǎng)格單元中的節(jié)點按逆時針排序，因此網(wǎng)格單元通過左下角節(jié)點的位置進(jìn)行定位，如圖4中網(wǎng)格單元3的節(jié)點順序為｛1，2，5，3，6，4｝。

圖4中，節(jié)點5、6（僅列舉出了圖中標(biāo)出節(jié)點）為T型節(jié)點，SBFEM與FEM計算得到的位移場的誤差最大為8%，最小為0.9%。同時為防止某個網(wǎng)格單元具有過多的T型節(jié)點而導(dǎo)致計算數(shù)值不穩(wěn)定，因此新增網(wǎng)格單元等級控制策略，其具體步驟如下：

（1）讀取當(dāng)前單元的ic，并計算得到相鄰所有單元索引的集合。

（2）根據(jù)式（2）計算出相鄰單元的kc值。

（3）讀取單元樹中對應(yīng)kc值下的單元信息，若返回空數(shù)組則表示單元不存在，通過計算得出父級單元的ic，pa并通過式（2）計算出kc，pa值，讀取單元樹對應(yīng)的網(wǎng)格單元信息，若仍返回空數(shù)組則表示單元等級差超過1，并對父級單元的上級單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。父級單元的索引ic，pa可表示為

ic，pa=k??? ic∈2k??? k=1，2，…

k+1ic∈2k+1k=1，2，…（5）

1.2.2? 細(xì)化策略

當(dāng)拓?fù)鋬?yōu)化中兩次輸出結(jié)構(gòu)的單元最大改變量小于設(shè)定閾值時對結(jié)構(gòu)進(jìn)行細(xì)分，該閾值為細(xì)化閾值，為網(wǎng)格是否需要細(xì)化的判定條件。細(xì)化閾值的選取影響了網(wǎng)格細(xì)化時主承力結(jié)構(gòu)是否出現(xiàn)。為保證拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，將細(xì)化策略分為網(wǎng)格細(xì)化和網(wǎng)格檢查兩步。

網(wǎng)格細(xì)化的目標(biāo)單元主要是生成的拓?fù)鋬?yōu)化中所有偽密度單元和已經(jīng)穩(wěn)定的邊界單元，其余單元不參與網(wǎng)格的細(xì)化。通過網(wǎng)格細(xì)化可以獲得不同等級的網(wǎng)格單元，從而大幅度減少網(wǎng)格數(shù)量，提高網(wǎng)格的利用率和計算效率。網(wǎng)格細(xì)化后的效果如圖5所示。

網(wǎng)格檢查的目的是對細(xì)化后的整體網(wǎng)格單元進(jìn)行檢查，對網(wǎng)格細(xì)化后不滿足要求的網(wǎng)格單元進(jìn)行細(xì)化。網(wǎng)格檢查的目標(biāo)為當(dāng)前最大單元等級的上兩級單元。網(wǎng)格檢查步驟可以有效緩解鋸齒邊界的出現(xiàn)，鋸齒邊界如圖6所示。

鋸齒邊界主要是由網(wǎng)格細(xì)化后主承力結(jié)構(gòu)在后續(xù)變化中移動至粗網(wǎng)格邊界處所產(chǎn)生的。鋸齒邊界出現(xiàn)的原因在于有限元方法由傳統(tǒng)有限元法替換為SBFEM后，靈敏度的改變引起優(yōu)化準(zhǔn)則出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。

細(xì)化策略中網(wǎng)格細(xì)化的具體步驟包括：

（1）從單元樹中讀取所有網(wǎng)格單元信息，提取的目標(biāo)單元為所有未細(xì)化的網(wǎng)格單元。

（2）對未細(xì)化單元中所有偽密度單元進(jìn)行細(xì)化。將懲罰因子p0設(shè)置為3，當(dāng)單元相對密度x=0.1時，被懲罰后參與計算的實際相對密度值約為0.001；當(dāng)x=0.8時，被懲罰后的相對密度值約為0.5，因此過程中參與細(xì)化的網(wǎng)格單元的單元相對密度值位于0.1～0.8。

（3）對于單元相對密度值大于0.8的網(wǎng)格單元，讀取與該單元相鄰的4個單元的密度值進(jìn)行判斷，若相鄰單元中存在單元相對密度值小于0.8的網(wǎng)格單元，表明該單元處在結(jié)構(gòu)邊界處，則對單元進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化。

網(wǎng)格檢查的具體步驟包括：

（1）讀取所有處于當(dāng)前網(wǎng)格最高等級上一級單元的網(wǎng)格，圖7中灰色單元為當(dāng)前最高等級單元，紅色單元為上一級網(wǎng)格單元。

（2）獲取中心單元所在九宮格中所有的網(wǎng)格單元，計算9個單元的平均相對密度值。

（3）若平均相對密度值小于1且大于0.1，表明該單元為鋸齒邊界處單元，則對該單元進(jìn)行細(xì)化。

圖8為經(jīng)過網(wǎng)格檢查后，結(jié)構(gòu)經(jīng)第二次網(wǎng)格細(xì)化之后的效果圖，可以看出鋸齒邊界得到明顯改善。

1.3? 靈敏度分析與網(wǎng)格無關(guān)濾波器

對于細(xì)化后的網(wǎng)格，靈敏度更新策略與傳統(tǒng)方式不同。在傳統(tǒng)有限元中以每個網(wǎng)格單元為單位，其剛度矩陣為常數(shù)，因此每個單元對整體結(jié)構(gòu)的靈敏度可以直接求解。隨著網(wǎng)格被細(xì)化后懸掛節(jié)點的出現(xiàn)，傳統(tǒng)的有限元算法失效，因此需要引入SBFEM來計算剛度矩陣等有限元信息。

SBFEM中每個網(wǎng)格由若干個線單元構(gòu)成，細(xì)化后會產(chǎn)生不同等級單元相互接觸的情況，如圖9所示，其中3號單元包含6個線單元，而4號單元只包含4個線單元，計算得到3號單元的靈敏度要高于4號單元的靈敏度，因此由多個單元組成的網(wǎng)格的靈敏度要高于其他四邊形網(wǎng)格的靈敏度。

如圖10所示，單元柔度C與單元長度無關(guān)，與線單元的數(shù)量nl有關(guān)。

單元靈敏度受到網(wǎng)格中單元個數(shù)的顯著影響，為降低由于線單元數(shù)量不同所帶來的影響，進(jìn)行了歸一化處理。具體操作是，將所有包含線單元的網(wǎng)格統(tǒng)一歸一化為四邊形單元。這樣的處理旨在降低不同數(shù)量的線單元對單元靈敏度的影響。為此，引入了一個新的修正公式來更加準(zhǔn)確地評估單元靈敏度，以減少評估結(jié)果因網(wǎng)格中線單元的數(shù)量差異而產(chǎn)生的偏差，修正公式如下：

d=p0xp0－1C［1－（1－4nl）2］=8p0xp0－1Cnl－2n2l（6）

（a）C=5.7847? （b）C=5.7847，nl=4? （c）C=6.0104，nl=5

（d）C=6.4386，nl=6? （e）C=7.8104，nl=7

results of different type of cells

其中，為修正后的單元柔度，修正后的值如表3所示。

為防止出現(xiàn)棋盤網(wǎng)格現(xiàn)象，需要對過濾半徑rmin內(nèi)所有網(wǎng)格單元進(jìn)行靈敏度過濾處理。為節(jié)省計算資源，從中心單元j開始，搜索以單元j為中心、過濾半徑rmin內(nèi)所有未劃分的網(wǎng)格單元，讀取rmin內(nèi)所有網(wǎng)格單元的靈敏度，并根據(jù)下式對中心網(wǎng)格單元的靈敏度進(jìn)行更新：

dc^j=1xj∑Mm=1H^m∑Mm=1H^mxmcmxm（7）

H^m=max（0，rmin－dist（j，m））

{M∈N|dist（j，m）≤rmin}

式中，c^j為修正后中心單元j的柔度；xj為當(dāng)前中心單元j的相對密度；M為過濾半徑rmin內(nèi)的單元個數(shù)；xm為過濾半徑內(nèi)第m個單元（以下簡稱m單元）的相對密度；cmxm為m單元的靈敏度；H^m為m單元對中心單元的影響系數(shù)；dist（j，m）表示m單元與中心單元j的距離，距離越大，m單元對中心單元的影響系數(shù)越小。

搜索網(wǎng)格單元時可分為如下兩種情況。

（1）高等級網(wǎng)格單元為中心時的情況如圖11a所示，當(dāng)將一個高等級（更細(xì)分）的網(wǎng)格單元作為中心進(jìn)行搜索時，過濾半徑內(nèi)可能會發(fā)現(xiàn)一些等級低于中心單元（尺寸較大）等級的網(wǎng)格單元。若搜索時與中心單元等級相同的鄰近單元1不存在，則會返回空結(jié)構(gòu)數(shù)組，此時需要通過式（5）來計算獲取網(wǎng)格單元1的父級單元索引，并調(diào)用父級網(wǎng)格單元的靈敏度來參與計算，以確保考慮到高等級中心網(wǎng)格單元周圍較大尺寸單元的影響。

（2）低等級網(wǎng)格單元為中心時的情況如圖11b所示，當(dāng)將一個低等級（即尺寸較大）的網(wǎng)格單元作為中心時，過濾半徑內(nèi)可能存在一些高等級的網(wǎng)格單元。與第一種情況不同，這時由于鄰近單元（以灰色表示）實際存在，搜索不會返回空結(jié)構(gòu)數(shù)組。在這種場景下，需要增加額外的判斷條件來檢查rmin半徑內(nèi)的網(wǎng)格單元是否已經(jīng)被細(xì)分。如果這些網(wǎng)格單元已經(jīng)被細(xì)分，則需要通過式（3）計算獲取子網(wǎng)格的單元索引，并調(diào)用子網(wǎng)格單元的靈敏度來參與計算，以確保在以較大尺寸單元為中心時能夠適當(dāng)考慮到周圍被細(xì)分的較小網(wǎng)格單元的影響。

1.4? 網(wǎng)格自適應(yīng)流程

ADD-SIMP方法中的網(wǎng)格自適應(yīng)主要是通過改進(jìn)四叉樹算法來對邊界處的網(wǎng)格進(jìn)行自動細(xì)化，并進(jìn)行拓?fù)渥兞康母?。具體流程如下：

（1）檢查細(xì)化條件。判斷是否滿足網(wǎng)格細(xì)化的閾值條件。

（2）網(wǎng)格細(xì)化。若滿足細(xì)化條件則將偽密度單元劃分為四個小網(wǎng)格單元，并傳遞拓?fù)湫畔ⅰ?/p>

（3）網(wǎng)格檢查。對細(xì)化后的網(wǎng)格進(jìn)行檢查，處理非正常網(wǎng)格。

（4）更新設(shè)計變量。將新生成的小網(wǎng)格與未細(xì)化的大網(wǎng)格組合，并參與后續(xù)拓?fù)鋬?yōu)化。

（5）檢查最小網(wǎng)格要求。判斷是否滿足最小網(wǎng)格要求，若不滿足則返回步驟（1）。

（6）優(yōu)化輸出結(jié)構(gòu)。若滿足最小網(wǎng)格要求則完成優(yōu)化并輸出結(jié)構(gòu)。

2? SBFEM方法

2.1? 理論推導(dǎo)

由于網(wǎng)格局部劃分，新增的懸掛節(jié)點使傳統(tǒng)的全解析有限元計算方法失效。SBFEM是一種半解析算法［20］。傳統(tǒng)有限元方法通過使用所有角節(jié)點進(jìn)行網(wǎng)格單元的拼裝，而SBFEM則通過將四邊形單元離散為四個線單元，并將具有懸掛節(jié)點的線單元分割成兩個線單元的組合，從而避免了懸掛節(jié)點處無法計算的問題，因此相較于傳統(tǒng)的有限元方法，SBFEM更適用于改進(jìn)四叉樹算法對網(wǎng)格進(jìn)行劃分后的有限元計算。

對于以柔度為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化流程的有限元分析，主要需要求解單元上的位移場和單元剛度矩陣，因此面臨的主要問題是求解偽密度單元上的應(yīng)變場和具有懸掛節(jié)點的單元剛度矩陣的問題。

笛卡兒坐標(biāo)系中（x，y）與自然坐標(biāo)系（ξ，η）的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖12所示，其中位于邊界上的節(jié)點B（xB，yB）所對應(yīng)的自然坐標(biāo)系下的計算表達(dá)式如下：

xB=ξx（η）=ξN（η）x

yB=ξy（η）=ξN（η）y（8）

其中，N（η）表示2節(jié)點線單元形函數(shù)，η為邊界插值坐標(biāo)；ξ為放縮系數(shù)，當(dāng)ξ=1時表示節(jié)點B位于邊界上，ξ=0表示節(jié)點B位于縮放中心O處。

SBFEM中位移方程u在自然坐標(biāo)系下的表達(dá)式如下：

u（ξ，η）=ξN（η）u（9）

應(yīng)變位移關(guān)系如下：

ε（ξ，η）=Lu（ξ，η）（10）

其中，L為微分算子矩陣，ε為應(yīng)變方程。則線單元上應(yīng)力的表達(dá)式如下：

σ（ξ，η）=Dε（ξ，η）（11）

其中，D為剛度系數(shù)矩陣。

根據(jù)虛功原理可以得到控制方程，其中E0、E1、E2為與線單元幾何有關(guān)的常系數(shù)矩陣。設(shè)式中自由度為n，通過引入變量式，將控制方程變?yōu)樽杂啥葹?n的一階常微分方程，具體表達(dá)式如下：

E0ξ2u″（ξ）+（E0+ET1－E1）ξu′（ξ）－E2u（ξ）=0

X（ξ）=u（ξ）q（ξ）

ξX′（ξ）=－ZX（ξ）

Z=E－10ET1－E－10－E2+E1E－10ET1－E1E－10（12）

式中，u（ξ）為節(jié)點位移矢量；q（ξ）為節(jié)點力矢量；u′（ξ）、u″（ξ）分別為u對變量ξ的一階偏導(dǎo)和二階偏導(dǎo);X′（ξ）為X（ξ）的一階偏導(dǎo);Z為哈密頓矩陣。

通過求解哈密頓矩陣的特征值λ和特征向量矩陣Φ，再結(jié)合邊界條件中的特殊點，可以求解得到積分常數(shù)c，其表達(dá)式如下：

X（ξ）=Φuλuc

Φqλqc（13）

結(jié)合式（12）和式（13），可得等效節(jié)點力矢量方程為

q（ξ）=ΦqΦ－1uu（ξ）=Keu（ξ）（14）

其中，Φu、Φq和λu、λq分別為與u和q相關(guān)的特征向量矩陣和特征值；Ke為單元剛度矩陣。根據(jù)式（14），當(dāng)ξ =1時可以得到邊界處力與位移的關(guān)系，則宏觀結(jié)構(gòu)上力與位移的關(guān)系表達(dá)式為

F=KU（15）

其中，F(xiàn)為結(jié)構(gòu)外載荷矢量；U為結(jié)構(gòu)位移矢量；K為總體剛度矩陣。結(jié)合式（14）和式（15），可得總體剛度矩陣的計算公式為

K=ΦqΦ－1u（16）

則SIMP插值后的單元剛度矩陣可表示為

Ke=ρp0eΦqΦ－1u

式中，ρe為單元密度。

2.2? 有限元信息更新

在SIMP方法中，所有網(wǎng)格都要通過有限元計算獲得應(yīng)力場等其他有限元信息，其中關(guān)鍵是得到每個網(wǎng)格單元的剛度矩陣。經(jīng)過改進(jìn)四叉樹算法細(xì)化后的結(jié)構(gòu)會增加大量具有懸掛節(jié)點的網(wǎng)格單元，因此，每次經(jīng)過網(wǎng)格細(xì)化后的整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣需要得到實時更新。

SBFEM算法所需要的數(shù)據(jù)包括：①全部節(jié)點的坐標(biāo)信息；②全部節(jié)點的唯一編號信息；③全部網(wǎng)格單元上的節(jié)點信息；④網(wǎng)格節(jié)點按逆時針排序信息。以上所有信息均由改進(jìn)四叉樹算法進(jìn)行存儲，以便后續(xù)調(diào)用。具體的操作如下：

（1）從單元樹中讀取所有未細(xì)化單元中的單元密度信息以及包含全部按逆序排序的節(jié)點編號信息。

（2）從節(jié)點樹中讀取所有節(jié)點位置信息與節(jié)點編號信息。

（3）通過式（15）計算獲得單元剛度矩陣并將其保存。

（4）結(jié)合步驟（1）中獲得的單元密度信息，依據(jù)式（16）計算獲得經(jīng)過懲罰后的單元剛度矩陣。

（5）先對結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣進(jìn)行組裝，后計算所有節(jié)點上的位移。

3? 數(shù)值案例和分析

本節(jié)通過兩個案例對ADD-SIMP與SIMP方法在計算時間、迭代次數(shù)、所用網(wǎng)格數(shù)、結(jié)構(gòu)邊界的清晰度幾個方面進(jìn)行了對比研究，并對其中主要參數(shù)的影響規(guī)律進(jìn)行了分析，其中包含初始網(wǎng)格數(shù)量、細(xì)化閾值、過濾半徑。所有計算均在同一臺計算機(jī)上進(jìn)行，計算機(jī)參數(shù)如表4所示。

3.1? 懸臂梁案例分析

如圖13所示，案例一為一個左端固支的懸臂梁，在右端最下角節(jié)點處施加外載荷為1 N的外力，懸臂梁的尺寸為120 mm×40 mm，彈性模量為1 MPa，泊松比為0.3。

SIMP方法的優(yōu)化結(jié)果如圖14所示，當(dāng)該方法獲得1 mm左右結(jié)構(gòu)精度時，網(wǎng)格劃分至少應(yīng)為480×160，網(wǎng)格數(shù)量為76 800個，單個網(wǎng)格尺寸為0.25 mm，此時受偽密度單元影響，結(jié)構(gòu)邊界處的精度約為0.75 mm，優(yōu)化后的結(jié)果如圖14a所示，計算時間為60 642 s（約17 h）。

ADD-SIMP方法的結(jié)果由不同等級網(wǎng)格單元組成，所有網(wǎng)格線均顯示，初始網(wǎng)格設(shè)置為120×40、初始網(wǎng)格尺寸為1 mm、最小網(wǎng)格單元等級為2、細(xì)化閾值設(shè)置為0.08的最終優(yōu)化結(jié)果如圖15所示。最終所用網(wǎng)格總數(shù)為26 205，計算時間為711 s（約12 min），最小網(wǎng)格的尺寸為0.25 mm。

在保持原始結(jié)構(gòu)比例不變的前提下，SIMP方法需要將設(shè)計區(qū)域劃分為270×90共24 300個網(wǎng)格，此時與ADD-SIMP方法所用網(wǎng)格數(shù)量相近。在270×90的結(jié)構(gòu)中，每個網(wǎng)格的尺寸約為0.44 mm。SIMP方法最終的優(yōu)化結(jié)果如圖14b所示，整個計算過程耗時為6644 s，是采用ADD-SIMP方法所需時間的9倍。SIMP方法的最小網(wǎng)格尺寸為采用ADD-SIMP方法時的兩倍左右，因此ADD-SIMP方法具有更優(yōu)的邊界精度。

結(jié)合圖14和圖15可以看出，利用ADD-SIMP方法得到的最終結(jié)構(gòu)與SIMP方法得到的120×40主結(jié)構(gòu)相似（圖14c），隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，ADD-SIMP方法兼顧了270×90與480×160網(wǎng)格中的主要分支結(jié)構(gòu)，減少了細(xì)小分支數(shù)量，具有更好的效果。

從圖16a中可以看出，SIMP方法優(yōu)化結(jié)果中網(wǎng)格尺寸相同，結(jié)構(gòu)中已穩(wěn)定區(qū)域（實體單元和空白區(qū)域）充斥著大量的網(wǎng)格單元，但是對邊界處的精度并沒有貢獻(xiàn)，因此網(wǎng)格利用率低；相比之下，在圖16b所示的ADD-SIMP方法結(jié)果中，整體結(jié)構(gòu)由三級尺寸不同的網(wǎng)格構(gòu)成，已穩(wěn)定區(qū)域的網(wǎng)格尺寸大且稀疏，結(jié)構(gòu)邊界處網(wǎng)格尺寸小且密集。在ADD-SIMP方法中，結(jié)構(gòu)邊界處的最小網(wǎng)格尺寸與SIMP方法中相同，因此兩者在邊界處的精度幾乎沒有差別。然而，ADD-SIMP方法在構(gòu)建整體結(jié)構(gòu)時所需的網(wǎng)格總數(shù)顯著少于SIMP方法所需的網(wǎng)格總數(shù)，表明ADD-SIMP方法在提高計算效率的同時保持了邊界精度，優(yōu)化了網(wǎng)格的利用率。

從表5中可以看出，ADD-SIMP方法在達(dá)到相同精度水平時，最終所用的網(wǎng)格數(shù)量為26 205個，相較于SIMP方法在480×160結(jié)構(gòu)所需的網(wǎng)格數(shù)量，ADD-SIMP方法僅用了其1/3的網(wǎng)格數(shù)量。兩種方法在針對結(jié)構(gòu)最終目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果上相似，但是在邊界處精度相同的條件下，ADD-SIMP方法的計算效率顯著提高，可達(dá)到SIMP方法計算效率的85倍。此外，當(dāng)與具有相似網(wǎng)格數(shù)量的SIMP方法相比時，ADD-SIMP方法的計算效率也有顯著提高，可達(dá)到原來的9倍。值得注意的是，在這種比較條件下，ADD-SIMP方法邊界處的精度提高至原來的兩倍。這些結(jié)果表明了ADD-SIMP方法在提高計算效率方面具有優(yōu)勢。

3.2? 簡支梁

如圖17所示，案例二為一個兩端固支的簡支梁，在中點處施加外載荷為1N的外力，懸臂梁的尺寸為240 mm×40 mm，彈性模量為1 MPa，泊松比為0.3。

對于ADD-SIMP方法，初始網(wǎng)格劃分為120×20共2400個初始網(wǎng)格，最小網(wǎng)格單元等級設(shè)置為2，即最小網(wǎng)格的尺寸為0.5 mm，細(xì)化閾值設(shè)置為0.06；為保證相同精度，傳統(tǒng)SIMP的網(wǎng)格劃分應(yīng)設(shè)置為480×80共38 400個網(wǎng)格。兩種方法的拓?fù)鋬?yōu)化懲罰因子和過濾半徑均選取為3。ADD-SIMP方法經(jīng)過30次迭代后的優(yōu)化最終效果如圖18a所示。

ADD-SIMP方法計算所用時間為217.6 s（約0.06 h），SIMP方法經(jīng)過201次迭代，所用時間為24 019.2 s（約6.67 h），ADD-SIMP方法的計算效率為原來的110倍，對于同樣迭代次數(shù)的SIMP方法，計算所用時間仍需要3584.9 s；在目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化上，ADD-SIMP方法的目標(biāo)函數(shù)值小于SIMP方法的目標(biāo)函數(shù)值；ADD-SIMP方法最終所用網(wǎng)格數(shù)量為15 231個，僅用原方法的1/2網(wǎng)格數(shù)量即可得到結(jié)構(gòu)與精度相似的最終結(jié)構(gòu)。

此外從圖18b中可以看出，SIMP方法得到的結(jié)果中細(xì)枝結(jié)構(gòu)仍較多，ADD-SIMP方法得到的結(jié)構(gòu)在一定程度上抑制了細(xì)小分支的出現(xiàn)。

3.3? 參數(shù)分析

3.3.1? 初始網(wǎng)格數(shù)量

對于ADD-SIMP方法，將初始網(wǎng)格劃分為30×10、60×20、120×40三組進(jìn)行分析對比，如表6和表7所示。為保證最小網(wǎng)格單元尺寸相同，均設(shè)置為0.25 mm，因此上述三組的最小網(wǎng)格單元等級設(shè)置分別為4、3、2。

從表6中可以看出，三種初始網(wǎng)格劃分情況下所得到的最終網(wǎng)格數(shù)量均在26 000個左右，相對于原來的76 800個網(wǎng)格，所需網(wǎng)格數(shù)量僅為原來的1/3。

從表7中可以看出，初始網(wǎng)格數(shù)量為60×20的結(jié)構(gòu)計算時間最短，為556.0 s（約9 min），時間僅為SIMP方法的1/109，計算效率提高了100倍以上；三組的目標(biāo)函數(shù)值相近，SIMP方法最終目標(biāo)函數(shù)值為182，因此使用ADD-SIMP方法可能導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)值略微偏高；但是三種不同初始網(wǎng)格劃分的情況下，最終的目標(biāo)函數(shù)值相差不大，可知初始網(wǎng)格數(shù)量對結(jié)構(gòu)輕量化程度的影響較小；然而，初始網(wǎng)格數(shù)量對循環(huán)次數(shù)的影響顯著，計算時間會隨著初始網(wǎng)格數(shù)量的增加先減少后增加。

表8～表10分別展示了不同初始網(wǎng)格數(shù)量下結(jié)構(gòu)的優(yōu)化過程，可以看出，隨著初始網(wǎng)格數(shù)量由少變多，結(jié)構(gòu)在第一次進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化時所處狀態(tài)不同。初始網(wǎng)格過少時，一次細(xì)化的結(jié)構(gòu)并未出現(xiàn)主承力結(jié)構(gòu)，而是處于亂序狀態(tài)，直到后續(xù)網(wǎng)格數(shù)量增加才出現(xiàn)穩(wěn)定的主承力結(jié)構(gòu)，并趨向于穩(wěn)定。當(dāng)初始網(wǎng)格數(shù)量變多，結(jié)構(gòu)首次細(xì)化時就

已經(jīng)具有相對清晰的主承力結(jié)構(gòu)，但是第一次細(xì)化所處的循環(huán)數(shù)也更大，進(jìn)入第一次網(wǎng)格細(xì)化的時間會被延長。此外大量的初始網(wǎng)格數(shù)會直接增加計算負(fù)擔(dān)，最終導(dǎo)致計算時間變長。

從表8中還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初始網(wǎng)格數(shù)量較少時，結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的承力結(jié)構(gòu)數(shù)量少、尺寸大，但是隨著后續(xù)網(wǎng)格數(shù)量的增加，結(jié)構(gòu)有出現(xiàn)小分支的趨勢，因此ADD-SIMP方法在一定程度上具有減少結(jié)構(gòu)細(xì)小分支的作用。

綜上可知，當(dāng)初始網(wǎng)格數(shù)量選擇合適時，不僅可以大幅度縮短計算時間，還可以達(dá)到減少結(jié)構(gòu)細(xì)小分支的效果。

3.3.2? 細(xì)化閾值

在ADD-SIMP方法中，細(xì)化閾值是作為網(wǎng)格細(xì)化策略的關(guān)鍵參數(shù)，用于決定何時對結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化。具體來說，該閾值設(shè)定了一個標(biāo)準(zhǔn)：只有當(dāng)結(jié)構(gòu)中網(wǎng)格單元的密度變化最大值不超過此閾值時，才會執(zhí)行網(wǎng)格細(xì)化操作。由此可知，細(xì)化閾值的設(shè)定直接影響到拓?fù)鋬?yōu)化過程中網(wǎng)格細(xì)化的時機(jī)。選擇合適的細(xì)化閾值是確保優(yōu)化過程既高效又精確的關(guān)鍵因素。

在60×20的初始網(wǎng)格和最小單元等級為3的前提下，選擇細(xì)化閾值為0.06、0.08、0.1三個數(shù)值進(jìn)行對比分析，如表11所示，可以看出，細(xì)化閾值設(shè)置取值越大，第一次進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化時所處的循環(huán)數(shù)越小，則計算時間越短；但是細(xì)化閾值設(shè)置過大時可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)主承力結(jié)構(gòu)并未出現(xiàn)（如表12中0.1細(xì)化閾值下第一次細(xì)化結(jié)果），需要配合多次細(xì)化才能保證結(jié)果的準(zhǔn)確性；若細(xì)化閾值取值偏小，則會延長結(jié)構(gòu)進(jìn)行細(xì)化的時間，從而降低計算效率；若細(xì)化閾值取值過小，甚至不會進(jìn)入網(wǎng)格細(xì)化操作。

3.3.3? 過濾半徑

過濾半徑為SIMP方法中的主要影響參數(shù)之一，分別設(shè)計2、2.5、3、3.5、4五組過濾半徑，分析過濾半徑對ADD-SIMP方法的影響規(guī)律。對案例一初始網(wǎng)格數(shù)量的研究中，可以發(fā)現(xiàn)初始網(wǎng)格為60×20、細(xì)化閾值為0.08、最小網(wǎng)格單元等級設(shè)置為3的一組計算時間最短。

從表13中可以看出，隨著過濾半徑的增大，當(dāng)過濾半徑為2.5～4之間時迭代次數(shù)先減少后增加，計算時間也是先增加后減少隨后又快速增加，最終網(wǎng)格數(shù)量整體呈現(xiàn)增加趨勢。

由于過濾半徑影響每次迭代中每個單元上的計算成本，則過濾半徑選擇過大會導(dǎo)致每個單元上靈敏度計算過濾的成本增加，但當(dāng)過濾半徑為3左右時，迭代次數(shù)會減少，從而導(dǎo)致最終的計算時間縮短。此外由于過濾半徑內(nèi)所有單元都會參與中心單元的靈敏度計算，因此導(dǎo)致過濾半徑內(nèi)的每個單元都會獲得部分周圍實體單元的相對密度，從而導(dǎo)致邊界處的偽密度單元數(shù)量增加，進(jìn)而影響ADD-SIMP方法細(xì)化后的網(wǎng)格數(shù)量。

從表14中可以看出，過濾半徑對最終結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生較大的影響，過濾半徑選擇較大時，靠近約束端的細(xì)小分支結(jié)構(gòu)會被整合，同時偽密度單元數(shù)量會增加；當(dāng)過濾半徑過小時，會具有更多的細(xì)小分支，但是邊界處的偽密度單元數(shù)量會減少。

4? 結(jié)論

對于大型結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法計算成本高和固體各向同性材料懲罰模型（SIMP）方法在優(yōu)化后結(jié)構(gòu)邊界模糊的問題，通過改進(jìn)四叉樹算法、比例邊界有限元法（SBFEM）和自定義細(xì)化網(wǎng)格的策略，本文提出了基于SIMP方法的自適應(yīng)設(shè)計域（ADD）拓?fù)鋬?yōu)化算法（以下簡稱“ADD-SIMP方法”），并對其中的參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了分析，在懸臂梁和簡支梁上進(jìn)行了應(yīng)用。從本文應(yīng)用的案例中可得出如下結(jié)論：

（1）改進(jìn)四叉樹算法通過定義細(xì)化策略可以實現(xiàn)在拓?fù)鋬?yōu)化過程中對結(jié)構(gòu)的邊界自動進(jìn)行劃分網(wǎng)格操作，從而提高最終結(jié)構(gòu)在邊界處的計算精度。

（2）若設(shè)置最小網(wǎng)格單元等級為2時，僅需要1/3左右的初始網(wǎng)格數(shù)量即可得到同邊界精度的優(yōu)化結(jié)果。

（3）ADD-SIMP方法得到的結(jié)構(gòu)分支較少，可制造性更高，在邊界處的平滑程度和精度與傳統(tǒng)方法相似。

（4）ADD-SIMP方法的在計算成本方面遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)方法，最終網(wǎng)格數(shù)量僅為原來的1/3，最快的計算速度效率是原始SIMP方法的100倍。

對于網(wǎng)格數(shù)量更多、結(jié)構(gòu)更龐大、計算需要數(shù)天的大型結(jié)構(gòu)，采用ADD-SIMP方法可以節(jié)省更多的計算資源、縮短設(shè)計周期。

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