李智 肖克鋒 賈政鵬 楚澤元

摘要：在傳統(tǒng)邊坡穩(wěn)定性分析中，通常將土體視為均質(zhì)的，然而忽略土體空間變異性可能會(huì)導(dǎo)致過(guò)高的估計(jì)邊坡的穩(wěn)定性。為考慮土體空間變異性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，隨機(jī)有限元法作為研究邊坡可靠度的一個(gè)非常有效的方法，基于已有學(xué)者對(duì)邊坡隨機(jī)有限元的研究，針對(duì)隨機(jī)有限元法的基本思想和應(yīng)用方法進(jìn)行綜述，并指出了各類方法的優(yōu)缺點(diǎn)、適用范圍和發(fā)展前景。

關(guān)鍵詞：邊坡穩(wěn)定性； 土體空間變異性； 安全系數(shù)； 失效概率； 可靠度

中圖分類號(hào)：U416.1+4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

邊坡的破壞往往會(huì)對(duì)人類生命財(cái)產(chǎn)安全造成巨大威脅，在實(shí)際邊坡工程中為簡(jiǎn)化計(jì)算通常將土體視為均質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，然而自然界土體受物質(zhì)組成、應(yīng)力環(huán)境、沉積條件、風(fēng)化程度等因素的影響，會(huì)呈現(xiàn)出明顯的空間變異性，現(xiàn)有研究表明忽略土體的空間變異性往往會(huì)過(guò)高估計(jì)邊坡的安全性［1］。

當(dāng)前常用分析邊坡穩(wěn)定性的方法有極限平衡法、極限分析法和數(shù)值計(jì)算法，極限平衡法和極限分析法由于存在諸多假設(shè)難以求解土體空間變異性這類復(fù)雜問(wèn)題。當(dāng)前隨機(jī)有限元法作為研究土體空間變異性對(duì)邊坡穩(wěn)定性影響的一個(gè)非常有效的方法，本研究對(duì)用隨機(jī)有限元法求解邊坡可靠度的基本思想和應(yīng)用方法進(jìn)行了梳理和總結(jié)，指出了各類方法的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍和發(fā)展前景。

1邊坡隨機(jī)有限元分析方法概述

邊坡的隨機(jī)有限元分析過(guò)程主要分為三部分，隨機(jī)場(chǎng)的生成、邊坡穩(wěn)定性的有限元分析和可靠度的求解。先根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查的土體分布參數(shù)生成邊坡隨機(jī)場(chǎng)模型，每個(gè)隨機(jī)場(chǎng)模型通過(guò)有限元法進(jìn)行穩(wěn)定性分析，然后可以采用隨機(jī)模擬或代理模型兩種方法求得邊坡的失效概率或可靠度。主要針對(duì)隨機(jī)場(chǎng)生成和可靠度求解的方法進(jìn)行分類介紹和總結(jié)。

2分析方法

2.1隨機(jī)場(chǎng)的生成

Vanmarcke［2］最早提出根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的土體變異系數(shù)和相關(guān)長(zhǎng)度來(lái)構(gòu)建隨機(jī)場(chǎng)模型，后續(xù)學(xué)者也都在此基礎(chǔ)上進(jìn)行不斷地優(yōu)化和改進(jìn)。常用生成隨機(jī)場(chǎng)的方法有協(xié)方矩陣差分解法，局部平均法和KL展開(kāi)法。

2.1.1協(xié)方矩陣差分解法

協(xié)方差矩陣分解［3］法是在現(xiàn)有離散模型的基礎(chǔ)上，將隨機(jī)場(chǎng)的生成等效為一系列獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的生成，最終獲得土體參數(shù)在空間上的分布函數(shù)。針對(duì)二維隨機(jī)場(chǎng)的生成，考慮土體參數(shù)服從正態(tài)分布，土體參數(shù)的分布函數(shù)為式（1）。

H（τx，τy，l，N）=μ+σL（τx，τy，θ，N）ξ（N）（1）

μ和σ分別為土體參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；ξ（N）為一組獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量向量；L為自相關(guān)矩陣ρX進(jìn)行Cholesky分解得到的下三角矩陣；自相關(guān)矩陣ρX表達(dá)式為式（2）～式（3）。

ρX=1ρ（τx1，2，τy1，2）…ρ（τx1，n，τy1，n）ρ（τx2，1，τy2，1）1…ρ（τx2，n，τy2，n）ρ（τxn，1，τyn，1）ρ（τxn，2，τyn，2）…1（2）

L·LT=ρX（3）

式中：ρ為自相關(guān)函數(shù)，其中一種計(jì)算式為式（4）。

ρ（τ）=exp-2τxlh2+2τylv2（4）

τx和τy分別代表為兩個(gè)單元之間的相對(duì)水平和豎直坐標(biāo)，lh和lv分別為水平和豎直方向自相關(guān)長(zhǎng)度。

協(xié)方差矩陣分解法由于計(jì)算簡(jiǎn)單且是全精度計(jì)算，被廣泛應(yīng)用與土體空間變異性模擬中，但需要離散的隨機(jī)變量較多，在模擬較大尺度隨機(jī)場(chǎng)時(shí)計(jì)算效率不高。

2.1.2局部平均法

局部平均法［4］是用各離散單元參數(shù)的局部平均值來(lái)表征單元的特征，假設(shè)在一個(gè)連續(xù)的二維隨機(jī)場(chǎng)內(nèi)，則某一單元內(nèi)局部平均的表達(dá)式為式（5）。

Hi=1A∫xi+Lxi/2xi-Lxi/2∫yi+Lyi/2yi-Lyi/2H（x，y）dxdy（5）

其中（xi，yi）為矩形單元的中心坐標(biāo)；A為單元的面積；Lxi和Lyi分別為矩形單元中平行x和y軸的邊。

局部平均法所需要的隨機(jī)變量較少，計(jì)算較為簡(jiǎn)便，但不適用于非矩形單元單元離散的隨機(jī)場(chǎng)。

2.1.2KL展開(kāi)法

KL展開(kāi)法［5］是一種基于隨機(jī)過(guò)程協(xié)方差函數(shù)譜分解的序列展開(kāi)方法，其二維K-L展開(kāi)表達(dá)式為式（6）。

H（x，y，N）=μ+σ∑SymboleB@i=1λiff（x，y）ξ（N）（6）

式中： λ和f為自相關(guān)函數(shù)對(duì)應(yīng)的特征值和特征函數(shù)，一般通過(guò)求解第二類Fredholm積分方程獲得，其表達(dá)式見(jiàn)式（7）。

∫Ωρ［（x1，y1），（x2，y2）］fi（x2，y2）dx2dy2=λifi（x1，y1）（7）

該方法具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率，并且能用較少的隨機(jī)變量代表一個(gè)隨機(jī)場(chǎng)，然而由于求解第二類Fredholm積分方程的困難使得計(jì)算相對(duì)較為復(fù)雜。

2.2邊坡穩(wěn)定性的有限元分析

邊坡可靠度這類非確定分析需要事先建立在邊坡穩(wěn)定性分析這類確定性分析基礎(chǔ)之上，當(dāng)前有限元法是分析邊坡穩(wěn)定性分析一個(gè)非常有效的工具，先選取單元類型，建立有限元模型，結(jié)合強(qiáng)度折減法，對(duì)土體強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行折減，引入屈服準(zhǔn)則，構(gòu)建非線性剛度方程K（u）u=f，代入邊界條件，將邊坡穩(wěn)定性有限元分析轉(zhuǎn)換為求解一個(gè)大型非線性剛度方程的問(wèn)題，采用迭代法進(jìn)行求解，設(shè)置收斂判據(jù)，直至搜索求得邊坡處于極限狀態(tài)下的折減系數(shù)，即為邊坡安全系數(shù)。

2.3邊坡可靠度的求解

邊坡可靠度是指在規(guī)定條件下，保持安全或穩(wěn)定的的能力，可用功能函數(shù)Z（X1，X2，…，Xn）來(lái)判斷，Xn為影響邊坡穩(wěn)定性的眾多因素，通常Z=Fs-1，其中Fs為邊坡安全系數(shù)。當(dāng)Z≤0，認(rèn)為邊坡發(fā)生破壞，反之認(rèn)為邊坡未失效。邊坡可靠度定義為變量X的均值距離Z=0極限狀態(tài)面最短的距離，計(jì)算式為式（8）。

β=μzσz（8）

式中：μz和σz分別為為功能函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，邊坡失效概率與可靠度一一對(duì)應(yīng)，計(jì)算式為式（9）。

Pf=Φ（1-β）=1-Φ（β）（9）

2.3.1隨機(jī)模擬法

隨機(jī)模擬法是通過(guò)抽取一定數(shù)量的樣本，通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)求解可靠度或失效概率。具體求解邊坡失效概率的流程如下，抽取滿足需求組數(shù)的獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量向量，即ξ（N），每組ξ（N）可以按照上一節(jié)的方法生成一個(gè)隨機(jī)場(chǎng)，再用有限元法分析每一個(gè)隨機(jī)場(chǎng)的穩(wěn)定性，邊坡的失效概率可以定義為失效的隨機(jī)場(chǎng)數(shù)除以總隨機(jī)場(chǎng)數(shù)見(jiàn)式（10）。

Pf=NiN（10）

常用抽樣的方法有蒙特卡洛法［6］、重要性抽樣［7］和拉丁超立方抽樣法［8］，當(dāng)樣本數(shù)目足夠多時(shí)，具有較高的計(jì)算精度，魯棒性強(qiáng)，然而計(jì)算效率相對(duì)較低，重要性抽樣法和拉丁超立方抽樣是蒙特卡羅法的一種改進(jìn)，抽取較少的樣本就能得到較高的效率和精度。

工程結(jié)構(gòu)李智， 肖克鋒， 賈政鵬， 等： 邊坡隨機(jī)有限元分析方法綜述

2.3.2代理模型法

隨機(jī)模擬法由于需要抽取大量的樣本進(jìn)行計(jì)算，并且每個(gè)樣本都需要通過(guò)有限元法進(jìn)行穩(wěn)定性分析，計(jì)算效率較低。代理模型法用較少的樣本計(jì)算結(jié)果來(lái)近似預(yù)測(cè)整個(gè)樣本結(jié)果，并建立一個(gè)代理模型，避免每次都通過(guò)有限元法來(lái)求解，提高了計(jì)算效率。常用的方法有響應(yīng)面法，克里金法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。

響應(yīng)面法［9］的思想是利用一個(gè)可以明確表達(dá)的函數(shù)來(lái)近似代替實(shí)際不能明確表達(dá)的功能函數(shù)，先生成一定數(shù)量的隨機(jī)場(chǎng)，每個(gè)隨機(jī)場(chǎng)由一定的變量控制，并用有限元法求得每個(gè)隨機(jī)場(chǎng)對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值，根據(jù)變量和與之對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)，可以通過(guò)插值擬合的方式來(lái)獲得，即式（11）。

Z≈Zr=（X）=a+∑ni=1biXi+∑ni=1ciXi2（11）

因此不同變量計(jì)算下的功能函數(shù)值可通過(guò)響應(yīng)面函數(shù)直接進(jìn)行預(yù)測(cè)，不需要再用有限元法分析邊坡的穩(wěn)定性，相比隨機(jī)模擬法有著非常高的計(jì)算效率，但計(jì)算精度往往取決于所取樣本的好壞，較好的樣本點(diǎn)擬合才能得到與真實(shí)功能函數(shù)近似度高的響應(yīng)面函數(shù)。

克里金法［10］與響應(yīng)面法基本思路一致，都是根據(jù)現(xiàn)有樣本結(jié)果對(duì)未知結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，與傳統(tǒng)代理模型相比，克里金不需要給出模擬函數(shù)的形式，且可以通過(guò)主動(dòng)訓(xùn)練搜索到最佳樣本序列，以此構(gòu)造克里金模型，能快速達(dá)到預(yù)期的計(jì)算精度。

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［11］的可靠度分析法可以看作是一種特殊的響應(yīng)面法，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)擬合響應(yīng)值和隨機(jī)變量間的映射關(guān)系，通過(guò)一系列數(shù)值計(jì)算結(jié)果建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，再根據(jù)此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)求解可靠指標(biāo)或失效概率。具體分為5個(gè)步驟：①根據(jù)不同變量計(jì)算下的安全系數(shù)，構(gòu)造學(xué)習(xí)樣本與檢驗(yàn)樣本；②確定激活傳遞函數(shù)；③訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)格，形成響應(yīng)面函數(shù)；④用檢驗(yàn)樣本進(jìn)行測(cè)試直至訓(xùn)練出滿足精度的響應(yīng)面函數(shù)；⑤求解邊坡的可靠度或失效概率。傳統(tǒng)響應(yīng)面法在每一次非線性分析中都需要花費(fèi)大量時(shí)間，相比之下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法能適用于各類復(fù)雜問(wèn)題，且計(jì)算效率高，誤差較小。

3結(jié)論

土體的空間變異性在邊坡穩(wěn)定性分析中不可忽略，考慮土體空間變異性對(duì)邊坡進(jìn)行可靠度分析很有必要，隨機(jī)有限元法是邊坡可靠度分析的一個(gè)非常有效的方法，本文針對(duì)隨機(jī)有限元法的基本思想和應(yīng)用方法進(jìn)行了綜述，歸納了各類方法的優(yōu)缺點(diǎn)、適用范圍和發(fā)展前景，總結(jié)如下：

（1）協(xié)方差矩陣分解法計(jì)算簡(jiǎn)單且計(jì)算精度高，但所需要的隨機(jī)變量較多，計(jì)算效率低；局部平均法計(jì)算簡(jiǎn)單，所需隨機(jī)變量較少，但不適用非矩形單元隨機(jī)場(chǎng)的離散；KL展開(kāi)法所需隨機(jī)變量較少，計(jì)算效率高，計(jì)算相對(duì)較為復(fù)雜。

（2）蒙特卡羅法等隨機(jī)模擬的方法在樣本次數(shù)足夠多時(shí)有著非常高的計(jì)算精度，適用性廣，魯棒性強(qiáng)，由于需要足夠多的樣本導(dǎo)致計(jì)算效率較低，相比之下代理模型法有著較高的計(jì)算效率，但計(jì)算精度依賴于樣本的好壞。

（3）用任何方法生成隨機(jī)場(chǎng)都可以采用隨機(jī)模擬法進(jìn)行求解，若要使用代理模型法，不建議使用協(xié)方差矩陣分解法，協(xié)方差矩陣分解法由于隨機(jī)變量較多，構(gòu)建預(yù)測(cè)模型較為困難，同時(shí)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率不高。

（4）代理模型法有著非常高的計(jì)算效率，但計(jì)算精度會(huì)依賴于樣本的好壞。如何選取出最少，且最佳的樣本來(lái)構(gòu)建代理模型，以達(dá)到同時(shí)提高計(jì)算效率與計(jì)算精度，此方面有著非常好的研究?jī)r(jià)值。當(dāng)前許多學(xué)者嘗試將主動(dòng)學(xué)習(xí)引入可靠度分析中來(lái)，這將會(huì)是很好的一個(gè)切入點(diǎn)。

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［作者簡(jiǎn)介］李智（2000—），男，碩士，研究方向?yàn)閹r土工程邊坡地基隨機(jī)有限元分析理論方法；肖克鋒（1998—），男，碩士，研究方向?yàn)閹r土工程邊坡可靠度隨機(jī)場(chǎng)分析；賈政鵬（1999—），男，碩士，研究方向?yàn)閹r土工程邊坡地基隨機(jī)有限元分析理論方法研究；楚澤元（1997—），男，碩士，研究方向?yàn)槌鞘械叵陆化B隧道動(dòng)力響應(yīng)分析。