程子珊 陳斌 鄭群 林日旭 吳則祥

基金項(xiàng)目：溫州市基礎(chǔ)性軟科學(xué)研究項(xiàng)目（R2020013）

*通信作者：陳斌（1999-），男，碩士研究生。研究方向?yàn)橥聊竟こ碳捌鋺?yīng)用。

DOI：10.19981/j.CN23-1581/G3.2024.15.008

摘? 要：深基坑開(kāi)挖往往會(huì)影響臨近邊坡的穩(wěn)定性并引發(fā)滑坡失穩(wěn)類的工程事故。該文提出一種徑向基函數(shù)（RBF）與優(yōu)化拉丁超立方體抽樣（LHS）相結(jié)合的代理模型，來(lái)預(yù)測(cè)不同基坑開(kāi)挖方案影響下臨近邊坡的穩(wěn)定性。首先，將抽樣集合X的參數(shù)帶入FLAC3D進(jìn)行基坑開(kāi)挖數(shù)值模擬，再利用二分法確定邊坡安全系數(shù)得到映射目標(biāo)值Y，并形成樣本數(shù)據(jù)集。然后，通過(guò)樣本數(shù)據(jù)集的訓(xùn)練測(cè)試，最終得到結(jié)構(gòu)為3-20-1的代理模型，將基坑邊坡之間的距離、開(kāi)挖寬度、開(kāi)挖深度3個(gè)參數(shù)作為輸入層，經(jīng)過(guò)基函數(shù)所構(gòu)成隱藏層，輸出邊坡安全系數(shù)作為邊坡是否失穩(wěn)的依據(jù)。通過(guò)工程算例的對(duì)比，表明此代理模型能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)基坑不同開(kāi)挖條件下邊坡的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：徑向基函數(shù)；優(yōu)化拉丁抽樣；代理模型；邊坡穩(wěn)定；基坑開(kāi)挖

中圖分類號(hào)：TV551.4+2? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2024）15-0034-06

Abstract： Deep foundation pit excavation often affects the stability of the adjacent slope and causes engineering accidents such as landslide instability. In this paper， a surrogate model combining radial basis function （RBF） with optimized Latin hypercube sampling（LHS） is proposed to predict the stability of adjacent slopes under the influence of different foundation pit excavation schemes. First of all， the parameters of the sampling set X are brought into FLAC3D for numerical simulation of foundation pit excavation， and then the slope safety factor is determined by dichotomy to get the mapping target value Y， and the sample data set is formed. Then， through the training and testing of the sample data set， the proxy model with a structure of 3-20-1 is finally obtained. The three parameters of the distance between the foundation pit slopes， the excavation width and the excavation depth are taken as the input layer， and the hidden layer is formed by the basis function. The output slope safety factor is used as the basis for slope instability. The comparison of engineering examples shows that the proxy model can accurately predict the stability of slope under different excavation conditions.

Keywords： radial basis function; optimized Latin hypercube sampling（LHS）; proxy model; slope stability; foundation pit excavation

邊坡穩(wěn)定性問(wèn)題一直備受關(guān)注，其失穩(wěn)產(chǎn)生的滑坡將嚴(yán)重?fù)p害生命和財(cái)產(chǎn)的安全。隨著城市建設(shè)的深入，在山體較多的地區(qū)進(jìn)行的深基坑開(kāi)挖項(xiàng)目增多，一定程度上增加了邊坡滑坡的概率?；娱_(kāi)挖與邊坡穩(wěn)定性問(wèn)題常常被共同分析，Li等[1]對(duì)深圳地鐵5號(hào)線上水井站施工過(guò)程中支護(hù)開(kāi)挖圍護(hù)結(jié)構(gòu)、圍巖和邊坡的穩(wěn)定性和安全問(wèn)題進(jìn)行了研究。Wang等[2]探討坡腳開(kāi)挖對(duì)土質(zhì)邊坡的破壞機(jī)理，特別是研究開(kāi)挖卸土路徑和卸土速率對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。

目前，極限平衡法和有限元法是基坑邊坡穩(wěn)定性分析中常見(jiàn)且成熟的方法。Wang[3]采用極限分析法研究了雙傾角復(fù)合土坡的三維穩(wěn)定性。陳滋雄[4]以重慶市長(zhǎng)壽區(qū)新市鎮(zhèn)某小區(qū)地下車庫(kù)基坑開(kāi)挖工程為背景，采用理論研究、數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，對(duì)基坑開(kāi)挖對(duì)鄰近建筑物的影響進(jìn)行了研究。黃春娥等[5]將條分法與有限元法相結(jié)合來(lái)進(jìn)行邊坡基坑穩(wěn)定性驗(yàn)算。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，出現(xiàn)一系列非確定性分析方法來(lái)預(yù)測(cè)基坑邊坡穩(wěn)定性方面的問(wèn)題，例如多元線性回歸[6-7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8-10]、支持向量機(jī)[11-13]、Kriging模型[14]等一系列依賴于人工智能的方法。Kang等[15]提出一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析方法，即通過(guò)多層感知器（MLP）與徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)（RBFNS）生成響應(yīng)面，最終估計(jì)邊坡失效概率。

本文首先結(jié)合有限差分軟件FLAC建立邊坡穩(wěn)定性模型，分析基坑開(kāi)挖的深度、尺寸和臨近距離等不同方案其對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。并基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNN），引入進(jìn)化運(yùn)算（EVOP）優(yōu)化拉丁抽樣過(guò)程，開(kāi)發(fā)預(yù)測(cè)邊坡安全系數(shù)的代理模型。在代理模型中輸入基坑開(kāi)挖幾何尺寸參數(shù)，即可得到臨近邊坡的安全系數(shù)值。最后選取工程案例與本文代理模型進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證代理模型的準(zhǔn)確性。

1? 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNN）

徑向基函數(shù)是以設(shè)計(jì)空間上一組數(shù)量為n的離散樣本點(diǎn)為中心，內(nèi)插基函數(shù)最終建立一個(gè)未被噪聲破壞的近似函數(shù)。徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNN）是一種通過(guò)線性的基函數(shù)來(lái)映射n維設(shè)計(jì)空間中非線性的復(fù)雜的行為。在這過(guò)程中，可以利用徑向基函數(shù)尋找到一個(gè)固定表達(dá)式

式中：？棕為代理模型的權(quán)重；？追為包含基函數(shù)？鬃的n維向量，通過(guò)預(yù)測(cè)位置x與基函數(shù)中心c（i）的歐氏距離進(jìn)行計(jì)算。RBFNN結(jié)構(gòu)由輸入層、隱藏層、輸出層組成，其進(jìn)行結(jié)果預(yù)測(cè)的流程圖，如圖1所示。在輸入一組參數(shù)后，通過(guò)隱藏層后，形成一組由徑向基函數(shù)？鬃（r）構(gòu)成的矩陣，按權(quán)重值疊加輸出，最終形成邊坡安全系數(shù)預(yù)測(cè)值。

通過(guò)輸入樣本集并進(jìn)行模型訓(xùn)練，形成一個(gè)存在n個(gè)樣本點(diǎn)的設(shè)計(jì)空間。最終生成格拉姆（Gram）矩陣[16]，為樣本點(diǎn)之間k維空間下兩兩樣本點(diǎn)進(jìn)行一次歐氏距離的計(jì)算，并形成一個(gè)矩陣，此矩陣為n階對(duì)稱矩陣且主對(duì)角線上的參數(shù)為零

式中：ri，j表示2個(gè)樣本間的歐式距離；x■■和x■■分別對(duì)應(yīng)k維度下2個(gè)不同的樣本。

本文選擇薄板樣條基函數(shù)作為此套代理模型的基函數(shù)進(jìn)行建模

。（3）

權(quán)重？棕的輸出是徑向基函數(shù)形成過(guò)程中最重要的一步，不同的樣本集形成的代理模型所輸出的權(quán)重是完全不同的，可以說(shuō)權(quán)重的精確度決定了最終代理模型的可靠度。通過(guò)下式可以得到一個(gè)權(quán)重集合？棕1×n

？棕＝？鬃-１y 。 （4）

由此將輸入?yún)?shù)值x通過(guò)代理模型訓(xùn)練出的隱藏單元？鬃、權(quán)重？棕，最后可以得到一個(gè)預(yù)測(cè)值。

圖1? 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)流程圖

2代理模型的建立

代理模型的建立主要包括參數(shù)篩選與歸一化、代理模型的選擇、樣本點(diǎn)抽樣、模型訓(xùn)練與測(cè)試幾個(gè)方面的內(nèi)容。整個(gè)代理模型建立的框架如圖2所示。

2.1? 參數(shù)篩選與歸一化

無(wú)法選取所有變量進(jìn)行代理模型的建立，這是因?yàn)檫^(guò)多的設(shè)計(jì)變量，會(huì)導(dǎo)致建立代理模型的過(guò)程中需要花費(fèi)大量訓(xùn)練樣本點(diǎn)和時(shí)間成本。為了探究基坑開(kāi)挖過(guò)程中，基坑的幾何尺寸對(duì)臨近邊坡穩(wěn)定性的影響，本文篩選了基坑開(kāi)挖深度（h）、基坑開(kāi)挖寬度（b）、基坑與臨近邊坡的距離（L）3個(gè)變量，建立基坑開(kāi)挖對(duì)邊坡安全系數(shù)影響程度的代理模型。變量具體符號(hào)及其變化范圍見(jiàn)表1。

表1參數(shù)的篩選及其變化范圍

參數(shù)之間存在不同量綱和量級(jí)，為了減少量綱量級(jí)對(duì)代理模型建立過(guò)程的影響，本文對(duì)參數(shù)形成的設(shè)計(jì)空間進(jìn)行歸一化處理。參數(shù)數(shù)據(jù)的歸一化處理保證了代理模型訓(xùn)練過(guò)程中的速度，加速了模型的收斂，最終得到一個(gè)較為精確的結(jié)果。

將模型設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)成k個(gè)維度，那么輸入數(shù)據(jù)在訓(xùn)練之前都可以轉(zhuǎn)變?yōu)閗維設(shè)計(jì)空間上的一點(diǎn)。利用如下公式，將每個(gè)樣本點(diǎn)的參數(shù)數(shù)據(jù)歸一化到空間[0，1] k中

x=■ ， （5）

式中：x為歸一化后的參數(shù)；Xi為輸入的原始參數(shù)；Xmax和Xmin分別為參數(shù)上下限值。

2.2? 樣本數(shù)據(jù)集的形成

無(wú)論是拉丁超立方體抽樣、正交試驗(yàn)數(shù)據(jù)、現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)真實(shí)數(shù)據(jù)，其最終目的都是通過(guò)這些可靠的數(shù)據(jù)來(lái)建立一個(gè)準(zhǔn)確且精度較高的數(shù)學(xué)模型。Sheikholeslami等[17]指出有效的抽樣策略對(duì)參數(shù)敏感性和不確定性分析來(lái)說(shuō)必不可少。

為此，本文選用優(yōu)化拉丁超立方體抽樣的方法建立樣本集，并將此樣本數(shù)據(jù)集用于代理模型的訓(xùn)練和測(cè)試。為了優(yōu)化代理模型的抽樣方案，得到一個(gè)最優(yōu)的抽樣結(jié)果，本文引入進(jìn)化運(yùn)算（EVOP）[18]的概念?；诶〕⒎襟w抽樣將抽樣模塊分為隨機(jī)超立方體生成、空間填充良好性評(píng)判和抽樣優(yōu)化3個(gè)部分。抽樣具體流程如圖2所示。

邊坡安全系數(shù)代理模型即通過(guò)一組樣本點(diǎn)X映射出Y，其選取的點(diǎn)應(yīng)盡可能代表整個(gè)三維設(shè)計(jì)空間。

，（6）

。 （7）

本文以抽樣數(shù)為n=20為例，利用優(yōu)化拉丁抽樣試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法最終得到如圖3所示的參數(shù)歸一化后樣本點(diǎn)的空間分布圖。

利用FLAC3D軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，土體采用摩爾-庫(kù)倫材料參數(shù)，建立如圖4所示的基坑開(kāi)挖的有限差分FDM模型?；舆吰履Ｐ筒捎镁|(zhì)土層進(jìn)行模擬，由表2可知土體參數(shù)被確定為已知參數(shù)，本文主要研究基坑開(kāi)挖的幾何尺寸對(duì)臨近邊坡的穩(wěn)定性影響。

再將抽樣得到n個(gè)樣本點(diǎn)帶入FDM模型中，計(jì)算不同參數(shù)下基坑開(kāi)挖后臨近邊坡的安全系數(shù)的大小來(lái)評(píng)判基坑開(kāi)挖對(duì)臨近邊坡的影響程度。

開(kāi)挖方式的不同，會(huì)導(dǎo)致開(kāi)挖過(guò)程中應(yīng)力卸載的路徑改變，因此本文采用從上往下分層開(kāi)挖，假定每層開(kāi)挖深度均為2 m，具體開(kāi)挖過(guò)程見(jiàn)表3?；娱_(kāi)挖的支護(hù)結(jié)構(gòu)包括地下連續(xù)墻和水平支撐2種形式，地下連續(xù)墻由1 m混凝土墻作為豎向支撐，假設(shè)其為一種彈性材料。墻體楊氏模量E=2×104 MPa，泊松比？滋=0.2。水平支撐由150 mm厚的混凝土樓板作為基坑的水平支撐，為了模擬水平支撐對(duì)基坑開(kāi)挖的支護(hù)作用，將水平支撐視作一種結(jié)構(gòu)單元，基坑每開(kāi)挖一層便在相應(yīng)位置添加一道水平支撐。

圖4? 基坑開(kāi)挖FEM模型（以L=15 m，b=40 m，h=10 m為例）

表2土層材料參數(shù)

開(kāi)挖后基坑邊坡模型如圖5所示。在強(qiáng)度折減法SSR的基本原理之上[19]，引入二分法強(qiáng)度折減來(lái)求解邊坡安全系數(shù)[20]。其原理是在強(qiáng)度折減之后，通過(guò)上下限的不斷靠近，來(lái)監(jiān)測(cè)各個(gè)網(wǎng)格在迭代過(guò)程中出現(xiàn)較大位移或者不收斂的問(wèn)題，從而得到邊坡的滑動(dòng)面或失效面，最終得到一個(gè)較為可靠的安全系數(shù)。

表3? 臨近邊坡的深基坑開(kāi)挖過(guò)程

圖5? 基坑開(kāi)挖后的FEM模型（以L=15 m，b=40 m，h=10 m為例）

至此，收集了一組輸入值x（1）， x（2），…，x（n）及其對(duì)應(yīng)的輸出值y（1），y（2），…，y（n）?；谶@些樣本數(shù)據(jù)集{（x（1）， y（1）），

（x（2）， y（2）），…， （x（n）， y（n））}來(lái)進(jìn)行f的訓(xùn)練。

2.3? 代理模型的訓(xùn)練與測(cè)試

樣本集形成之后，n個(gè)樣本點(diǎn)最終會(huì)確定一個(gè)擬合程度最佳的模型近似函數(shù)■（x）=（x，ω），此過(guò)程被稱之為代理模型的訓(xùn)練。

模型訓(xùn)練過(guò)程中，模型的精確度由一組參數(shù)ω確定。在保證模型精度的前提下，為了節(jié)約計(jì)算成本，常常選取的樣本數(shù)n應(yīng)盡可能小。最終，通過(guò)徑向基函數(shù)訓(xùn)練出來(lái)的代理模型呈現(xiàn)3-n-1的結(jié)構(gòu)，表示在輸入層輸入3個(gè)變量參數(shù)，結(jié)構(gòu)隱藏層形成n個(gè)徑向基函數(shù)，最后由n個(gè)徑向基函數(shù)的n個(gè)權(quán)重值輸出一個(gè)最終結(jié)果Fs。

通過(guò)不同樣本數(shù)的訓(xùn)練集來(lái)建立代理模型，再利用一組大小為nk的樣本集進(jìn)行模型測(cè)試，得到不同數(shù)量的樣本集訓(xùn)練下預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際Fs的誤差。

為了更直觀地得出結(jié)果，本文采用均方根誤差RMSE、相關(guān)系數(shù)r2來(lái)評(píng)判不同樣本點(diǎn)所訓(xùn)練出來(lái)的代理模型的性能。

式中：Ｆ■■為第i個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)的原始安全系數(shù)值；Ｆ■■為第i個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)的代理模型預(yù)測(cè)值。

不同樣本數(shù)訓(xùn)練出來(lái)的代理模型如圖6所示，通過(guò)模型測(cè)試階段的性能指標(biāo)對(duì)比來(lái)評(píng)估哪種代理模型的預(yù)測(cè)能力更好，其中均方根RMSE誤差越低，且相關(guān)系數(shù)r2越高，則說(shuō)明模型精度越高。對(duì)比圖7不同代理模型的性能可以看出，隨著樣本點(diǎn)n的增加，RMSE總體呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，r2呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)。大約利用20個(gè)樣本點(diǎn)來(lái)訓(xùn)練代理模型時(shí)，將生成一個(gè)非常好的模型，其對(duì)應(yīng)的RMSE≤10%且r2≥0.9。

圖6? 樣本點(diǎn)增加后代理模型的性能對(duì)比圖

圖7? 不同樣本點(diǎn)代理模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的關(guān)系圖

通過(guò)隨機(jī)選擇24個(gè)未經(jīng)訓(xùn)練的測(cè)試點(diǎn)驗(yàn)算代理模型的可靠度。利用測(cè)試組繪制如圖7所示的預(yù)測(cè)值與FDM模擬值的對(duì)比關(guān)系圖。

利用FLAC3D可以計(jì)算出基坑邊坡的安全系數(shù)值，并與代理模型所得出預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比可以看出：隨著抽樣樣本點(diǎn)的不斷增長(zhǎng)，模型精度逐漸增加，代理模型得出的Fs預(yù)測(cè)值逐漸接近并收斂于FDM模擬值。

綜上，通過(guò)權(quán)重與徑向基函數(shù)成功建立了一個(gè)基坑幾何尺寸變化對(duì)邊坡安全系數(shù)影響程度的代理模型。對(duì)比不同樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)生成代理模型的性能，最終本文選擇3-20-1的RBFNN代理模型結(jié)構(gòu)。

2.4? 3-20-1代理模型結(jié)構(gòu)

為了更加直觀地呈現(xiàn)出三維空間分布圖，為此繪制如圖8所示的安全系數(shù)等值線圖（每個(gè)小圖表示3個(gè)變量中任意2個(gè)變量控制下基坑邊坡模型的安全系數(shù)等值線圖，其余變量保持在基準(zhǔn)值，見(jiàn)表1）。可以十分清晰地看出不同基坑開(kāi)挖的方案下，臨近邊坡安全系數(shù)的變化趨勢(shì)。

圖8? 代理模型得到的邊坡安全系數(shù)等值線圖

3? 工程驗(yàn)證

Zhang等[21]分析了重慶某深基坑開(kāi)挖對(duì)臨近邊坡的穩(wěn)定性的影響。表4對(duì)比了3-20-1代理模型和Zhang等輸入?yún)?shù)范圍的區(qū)別。通過(guò)徑向基函數(shù)代理模型的3-20-1結(jié)構(gòu)，輸入所需參數(shù)得到數(shù)值結(jié)果與案例安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比得到的結(jié)果見(jiàn)表5。

表4模型參數(shù)對(duì)比

表5? 兩種模型安全系數(shù)的對(duì)比

4? 結(jié)論

本文介紹了一種預(yù)測(cè)基坑開(kāi)挖方案對(duì)臨近邊坡影響程度的代理模型，通過(guò)徑向基函數(shù)與優(yōu)化拉丁抽樣相結(jié)合得到代理模型結(jié)構(gòu)。在代理模型中輸入開(kāi)挖基坑的幾何尺寸，利用隱藏層與權(quán)重系數(shù)輸出一個(gè)最終的結(jié)果。并通過(guò)有限元模擬與工程案例驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性，最終得到如下結(jié)論。

模型測(cè)試階段發(fā)現(xiàn)，隨著抽樣樣本點(diǎn)的增加，代理模型預(yù)測(cè)性能逐漸增強(qiáng)。結(jié)構(gòu)為3-20-1的代理模型，其結(jié)果產(chǎn)生了最小的誤差和最高的計(jì)算效率。

本文所建立的代理模型能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了三變量因子的基坑邊坡模型的穩(wěn)定性問(wèn)題。

通過(guò)代理模型的結(jié)果可知，基坑離邊坡距離越近、基坑開(kāi)挖尺寸越大則邊坡安全系數(shù)越低，即邊坡越不穩(wěn)定。

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