蔡曜，楊盛慶，2，吳敬玉，2

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室，上海 201109）

0 引言

衛(wèi)星編隊因為可以在空間中組合成更大尺度的虛擬航天器，完成以往單顆衛(wèi)星難以完成的任務(wù)，近年來成為航天領(lǐng)域的研究熱點［1］。但基于動量原理的傳統(tǒng)衛(wèi)星編隊需要消耗燃料實現(xiàn)相對位置保持，存在壽命受限、羽流污染等問題。針對這一問題，有研究［2］提出電磁編隊飛行（Electromagnetic formation flight，EMFF）是一種可行的解決方案。電磁編隊利用安裝在衛(wèi)星上的超導(dǎo)線圈，在星間產(chǎn)生電磁力實現(xiàn)編隊的相對位姿控制。電磁編隊僅消耗電能，具有更好的控制性能和更長的工作壽命，能夠形成更豐富的編隊構(gòu)型，在空間任務(wù)中具有廣闊的應(yīng)用前景。

電磁編隊動力學(xué)建模的基礎(chǔ)是電磁力模型的選擇。精確電磁力模型［3］基于畢奧-薩伐爾定律，需要對線圈的每個電流微元進(jìn)行積分，沒有解析解，只能采用數(shù)值方法求解。雖然模型精確，但計算復(fù)雜度較大，在構(gòu)型設(shè)計與控制時直接使用存在計算量較大的問題。為了簡化精確模型，Schweighart［4］假設(shè)線圈半徑遠(yuǎn)小于線圈距離，對精確模型分別進(jìn)行泰勒一階和三階展開，得到了電磁力遠(yuǎn)場模型和中場模型，并簡要分析了線圈距離與半徑之比對模型誤差的影響。但該方法沒有對模型誤差與軌道攝動量級進(jìn)行比較，忽略了模型誤差對編隊構(gòu)型保持的影響。而且無論是哪個電磁力模型，電磁力、電磁力矩、磁矩和相對位置都是高度耦合且強(qiáng)非線性的，這造成了電磁力求解的困難，也是電磁編隊研究的主要難點所在。為了在后續(xù)的構(gòu)型設(shè)計與控制中取得較為精確的結(jié)果，需要合理地設(shè)計與應(yīng)用電磁力模型。

電磁編隊的一個應(yīng)用方向是基于定常電磁力的靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計。在靜態(tài)構(gòu)型下，編隊的穩(wěn)定條件是電磁力滿足相對平衡態(tài)方程，各星在Hill 系下處于相對靜止?fàn)顟B(tài)，編隊整體類似單剛體航天器，穩(wěn)定且高精度的控制使得編隊能夠完成長焦X射線成像［5］、共位衍射成像［6］、紅外干涉成像［7］等空間任務(wù)。對于紅外干涉成像任務(wù)，有研究為中國的覓音計劃提出利用四星編隊在日地L2 點組成四面體構(gòu)型的大口徑紅外干涉望遠(yuǎn)鏡的方案［8］?？紤]到在深空中的編隊存在距離較遠(yuǎn)、難以維護(hù)的問題，如果能將此類任務(wù)布置在近地軌道上，將有利于航天器的長期維護(hù)。但傳統(tǒng)編隊在近地軌道上受地球中心引力影響，難以維持靜態(tài)構(gòu)型的長期穩(wěn)定。電磁編隊是一種實現(xiàn)靜態(tài)構(gòu)型的方案。

對于電磁編隊靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計方法，早期Miller等［7］和Kong等［9］設(shè)計了五星編隊構(gòu)型，其中四星共線，一顆星位于線外。Hussein等［10］針對三星共面編隊，設(shè)計了對齊、平行和環(huán)形3種磁矩配置模式。上述設(shè)計假設(shè)編隊位于深空，忽略了地球引力因素。而在近地軌道附近，構(gòu)型設(shè)計因為引力的存在而變得更加復(fù)雜。黃渙［11］和徐良［12］先后采用Kane 方法和Hamilton 方法構(gòu)建電磁編隊姿軌動力學(xué)模型，為雙星編隊設(shè)計了徑、切、法3 種構(gòu)型，并進(jìn)一步為三星編隊設(shè)計了共線和共面構(gòu)型。Qi等［13］在他們的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了雙星編隊的不變流形。Wang等［14］針對N星編隊，設(shè)計了法向共線構(gòu)型。總結(jié)這些研究發(fā)現(xiàn)，靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計的關(guān)鍵在于找到一組滿足相對平衡態(tài)方程的磁矩與位置參數(shù)，使得各星在Hill 坐標(biāo)系下加速度與角加速度均為0。同時隨著衛(wèi)星數(shù)量的增加，電磁編隊的耦合參數(shù)與平衡態(tài)方程數(shù)目迅速增加，導(dǎo)致構(gòu)型設(shè)計難度也隨之加大。為了簡化問題，先前的研究通常利用同構(gòu)對稱性或空間降維等方式設(shè)計共線或共面編隊，缺少了空間三維靜態(tài)構(gòu)型的設(shè)計。四星編隊是最小的空間立體結(jié)構(gòu)，當(dāng)空間任務(wù)需要各個衛(wèi)星分布在三維空間中形成立體構(gòu)型時，從四星編隊著手研究是個合理的選擇。為了不失構(gòu)型設(shè)計的一般性，研究多星異構(gòu)編隊。由于衛(wèi)星質(zhì)量不同，構(gòu)型缺少對稱性，這會進(jìn)一步加大構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計的難度。

電磁編隊靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計完成后，由于構(gòu)型不穩(wěn)定，需要設(shè)計編隊控制算法。電磁編隊控制可以分解為兩部分。第1 部分是根據(jù)狀態(tài)誤差求解控制力，可以采用常規(guī)的LQR 控制器［11］、滑?？刂破鳎?5］和魯棒控制器［16］等；第2 部分是根據(jù)控制力求解控制磁矩，可以采用的方法包括自由磁矩法［6］、最優(yōu)磁矩分配法［17］、同倫延拓法［18］等。對于遠(yuǎn)場模型誤差導(dǎo)致的控制力干擾問題，Ahsun等［19］和連克非等［20］均通過設(shè)定自適應(yīng)系數(shù)，實現(xiàn)對控制力的實時補(bǔ)償。但這樣的方法是被動的、基于狀態(tài)誤差的反饋補(bǔ)償，沒有根據(jù)精確電磁力模型從控制源頭主動修正磁矩來消除誤差。對于近地軌道空間攝動問題，主要攝動包括地球非球形攝動與衛(wèi)星面質(zhì)比異構(gòu)造成的大氣阻力攝動等。上述的控制研究沒有利用電磁力實時高精度控制的特點，沒有基于已知的相對攝動模型進(jìn)行前饋補(bǔ)償。同時，控制研究還應(yīng)考慮衛(wèi)星線圈異構(gòu)造成的最大磁矩不同，避免控制磁矩飽和問題。

本文主要研究異構(gòu)四星電磁編隊的空間立體靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計與控制問題，建立了近地圓軌道附近的電磁編隊動力學(xué)模型，分析了靜態(tài)構(gòu)型下影響編隊相對運(yùn)動的主要干擾項。針對空間靜態(tài)構(gòu)型的設(shè)計問題，推導(dǎo)了編隊靜態(tài)構(gòu)型的必要條件，基于必要條件設(shè)計了一種參數(shù)降維的四面體構(gòu)型，提出了利用精確電磁力模型對靜態(tài)構(gòu)型進(jìn)行修正的方法。針對電磁編隊的相對控制問題，考慮了J2 攝動與大氣阻力影響，設(shè)計了攝動前饋結(jié)合滑模反饋的控制算法。數(shù)值仿真證明了四星空間靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計算法、非線性修正和滑模控制器的有效性。

1 電磁編隊動力學(xué)建模

1.1 相對運(yùn)動的動力學(xué)建模

四星電磁編隊系統(tǒng)如圖1 所示，由4 顆異構(gòu)電磁衛(wèi)星構(gòu)成，依次編號為1、2、3、4。每顆電磁衛(wèi)星上都裝有3 個互相垂直的圓形超導(dǎo)線圈，通電后能夠產(chǎn)生任意調(diào)節(jié)的磁矩，進(jìn)而產(chǎn)生星間電磁力和力矩，實現(xiàn)控制編隊的相對運(yùn)動。設(shè)編隊系統(tǒng)質(zhì)心為OCM，ρi為衛(wèi)星i質(zhì)心相對OCM的位置矢量。

圖1 四星電磁編隊Fig.1 Four-satellite electromagnetic formation

對于近地軌道下的四星電磁編隊，星間電磁力為編隊系統(tǒng)內(nèi)力，不會對系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動產(chǎn)生影響。因此，可以將編隊質(zhì)心作為參考點，建立Hill坐標(biāo)系O-xyz，原點O位于編隊質(zhì)心OCM，x軸指向地心反方向，z軸沿軌道面法向，y軸滿足右手法則。下文所有提到的各星相對位置、相對速度和相對加速度均是Hill坐標(biāo)系下關(guān)于編隊質(zhì)心的物理量。

假設(shè)星間距離遠(yuǎn)小于軌道半徑，則衛(wèi)星i的相對運(yùn)動模型可以簡化為線性C-W方程：

式中：n為編隊質(zhì)心軌道角速度，ρi=[xi，yi，zi]T為相對位置矢量，fi=[fix，fiy，fiz]T為相對控制加速度，為相對攝動加速度。

1.2 遠(yuǎn)場電磁力模型

電磁編隊研究中常假定線圈半徑遠(yuǎn)小于線圈距離，從而將精確電磁力模型近似為遠(yuǎn)場電磁力模型［4］。為便于區(qū)分，符號上標(biāo)EMF 表示基于遠(yuǎn)場模型，上標(biāo)EME表示基于精確模型，上標(biāo)EM表示兩模型均可。遠(yuǎn)場模型將線圈簡化為磁矩進(jìn)行計算，磁矩大小的計算公式為：

式中：μ為磁矩大小，方向與電流回路滿足右手螺旋定則；Nc為線圈匝數(shù)；I為線圈電流大小；a為線圈半徑。磁矩方向與電流方向滿足右手法則。

衛(wèi)星i作用于衛(wèi)星j上的電磁力和電磁力矩分別為：

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；μi，μj分別為衛(wèi)星i和衛(wèi)星j的磁矩；ρij為衛(wèi)星j相對衛(wèi)星i的位置；ρij表示衛(wèi)星i、j距離大小。

根據(jù)遠(yuǎn)場模型，星間電磁力與距離的4 次方成反比，使得電磁力只適合維持近距離編隊。但在近距離情況下，遠(yuǎn)場模型忽略線圈半徑的前提條件不再成立，在靜態(tài)構(gòu)型編隊中使用遠(yuǎn)場模型會造成常值偏差。下文將建立精確電磁力模型，將電磁力誤差修正至零均值，作為編隊高精度控制的基準(zhǔn)。

1.3 精確電磁力模型

根據(jù)參考文獻(xiàn)［3］，精確電磁力模型需要對兩星上各個線圈的電流微元積分得到，如圖2 所示。考慮到靜態(tài)構(gòu)型編隊中各星相對姿態(tài)保持不變，為簡化精確電磁力求解，假設(shè)衛(wèi)星姿態(tài)由反作用輪保持穩(wěn)定，衛(wèi)星的三軸線圈始終與Hill坐標(biāo)系三軸平行，忽略線圈厚度。

圖2 精確電磁力計算Fig.2 Exact electromagnetic force calculation

圖中：ai，aj分別表示衛(wèi)星i，j的電磁線圈半徑；記ix，jx分別表示衛(wèi)星i，j垂直x軸的線圈，s為線圈ix的電流微元相對于線圈jx的電流微元的位置矢量，分別表示線圈ix，jx的電流,分別表示線圈ix，jx的電流微元指向。

線圈ix作用于線圈jx上的電磁力和力矩為：

式中：kI為與衛(wèi)星i，j的線圈匝數(shù)Ni，Nj和電流Iix、Ijy相關(guān)的系數(shù)；aj表示線圈jx中心指向其上電流微元的位置矢量；μix表示線圈ix產(chǎn)生的磁矩大?。沪蘪x表示線圈jx產(chǎn)生的磁矩大小。

為近似求得精確電磁力數(shù)值解，將式（5）寫為：

式中：θix、θjx分別為線圈ix、jx上微元的角度，取值范圍為[0，2π]。

衛(wèi)星i作用于衛(wèi)星j上的電磁力和力矩為各線圈電磁力和力矩的線性疊加：

為檢驗精確電磁模型數(shù)值計算方法的準(zhǔn)確性，設(shè)定兩星磁矩大小相同。在不同的磁矩配置模式下，如果隨著線圈距離的增大，遠(yuǎn)場模型與精確模型之間的求解誤差逐漸趨于0，則說明了精確電磁模型數(shù)值算法的準(zhǔn)確性。這里選取了4種磁矩配置情形，如圖3所示。

圖3 四種磁矩配置情形Fig.3 Four cases of magnetic dipole configurations

根據(jù)不同離散點數(shù)下的精確模型求解結(jié)果，設(shè)定線圈距離3 m，線圈半徑1 m，精確模型離散點數(shù)N=60 時的電磁力為真實電磁力，定義遠(yuǎn)場模型或精確模型的相對誤差為：計算得到的電磁力與真實電磁力之差的模長與真實電磁力模長的比值。繪制精確電磁力模型相對誤差與離散點數(shù)N的收斂關(guān)系，如圖4（a）所示。隨著離散點數(shù)增多，精確電磁力模型相對誤差逐漸減小，計算精度逐漸提高。另外可以發(fā)現(xiàn)，情形（iii）、（iv）收斂速度較慢，原因主要在于各組微元距離變化較大，需要更多的離散點才能獲得較為準(zhǔn)確的計算結(jié)果。

圖4 精確模型與遠(yuǎn)場模型誤差分析Fig.4 Error analysis of exact model and far-field model

在情形（iii）時，進(jìn)一步分析星間距離與線圈半徑的比值ρ/a和精確電磁力模型收斂速度的關(guān)系，如圖4（b）所示。在相同計算精度的情況下，ρ/a越大，精確電磁力模型相對誤差收斂速度越快。

星間距離與線圈半徑的比值ρ/a與遠(yuǎn)場電磁力模型相對誤差如圖4（c）所示。遠(yuǎn)場電磁力模型相對誤差隨著ρ/a增大而減??；當(dāng)ρ/a＞7時，遠(yuǎn)場電磁力模型相對誤差約小于10%。

對于線圈半徑不同造成的誤差，在遠(yuǎn)場誤差最大的情形（i）下，繪制遠(yuǎn)場模型相對誤差與aj/ai、線圈距離半徑比的關(guān)系如圖4（d）所示，其中=(ai+aj)2 為線圈平均半徑。在平均半徑aˉ與相對距離ρ不變的情況下，線圈半徑相差越大，遠(yuǎn)場電磁力模型誤差越大。說明衛(wèi)星線圈半徑不同會造成更大的遠(yuǎn)場模型誤差，這使得異構(gòu)編隊中對遠(yuǎn)場模型誤差的分析顯得尤為重要。

1.4 相對攝動分析

星間電磁力無法補(bǔ)償編隊整體受到的絕對攝動力，但能夠?qū)崟r補(bǔ)償各星的相對攝動力，提高編隊的相對位置控制精度。為分析主要的相對攝動因素，采用后續(xù)3.1 小節(jié)提到的滑?？刂破鲗﹄p星編隊進(jìn)行控制，分別保持雙星的徑、切、法向靜態(tài)構(gòu)型［11］，分析相對攝動加速度量級。

設(shè)置兩星質(zhì)量分別為80 kg 和100 kg，線圈半徑為0.4 m 和0.5 m，迎風(fēng)面質(zhì)比分別為0.004 和0.005，光照面質(zhì)比分別為0.009 和0.010，3 種編隊下兩星距離均為10 m，軌道高度500 km。將徑、切、法向靜態(tài)構(gòu)型中衛(wèi)星1所受各項相對攝動與遠(yuǎn)場模型誤差干擾對比，其結(jié)果如圖5所示。

圖5 電磁編隊相對攝動與遠(yuǎn)場模型誤差干擾比對示意圖Fig.5 Comparison of electromagnetic formation relative perturbation and far-field model error

各項相對攝動量級總結(jié)如表1所示。

表1 靜態(tài)構(gòu)型編隊相對攝動量級總結(jié)Table 1 Summary of relative disturbance in static formation

由表1 可知，影響編隊相對運(yùn)動的主要干擾項包括遠(yuǎn)場模型誤差、非球形引力、大氣阻力。下面簡要分析這3項干擾。

1）遠(yuǎn)場模型誤差

遠(yuǎn)場模型誤差與磁矩大小相關(guān)。當(dāng)編隊為切向構(gòu)型時，無需電磁力補(bǔ)償?shù)厍蛞χ饕棧a(chǎn)生的干擾加速度較小。當(dāng)編隊為徑向或法向構(gòu)型時，需要較大的電磁力補(bǔ)償?shù)厍蛞铀俣绕睿殡S產(chǎn)生較大的干擾加速度。

2）非球形引力

非球形相對攝動主要與衛(wèi)星相對位置相關(guān)，在星間距離10 m的情況下，非球形引力可產(chǎn)生10-8m/s2量級的相對加速度。Hill 系下J2 項的相對攝動模型［15］如下：

3）大氣阻力

大氣密度根據(jù)改進(jìn)HP 模型［21］選取為軌道密度，平均值7.262 1×10-13kg/m3，大氣阻力相對攝動主要與衛(wèi)星迎風(fēng)面質(zhì)比異構(gòu)相關(guān)，0.001 的迎風(fēng)面質(zhì)比差異將產(chǎn)生10-8m/s2量級的相對加速度，與非球形攝動量級相當(dāng)。假設(shè)各星阻力系數(shù)相同，則大氣阻力的相對攝動力模型為：

2 異構(gòu)電磁編隊靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計

2.1 靜態(tài)構(gòu)型必要條件

本文期望設(shè)計一種四星編隊的靜態(tài)構(gòu)型，使得在Hill坐標(biāo)系下，各星保持相對靜止，相對速度與加速度均為0，此時編隊呈現(xiàn)類似于單剛體航天器的靜態(tài)構(gòu)型。

基于上述靜態(tài)構(gòu)型定義，有：

式中：CD為阻力系數(shù)，取2.2；Kai為衛(wèi)星i的面質(zhì)比；Kac為編隊整體面質(zhì)比；ρa(bǔ)為大氣密度；v為編隊質(zhì)心相對大氣的速度大小為編隊質(zhì)心相對大氣的速度方向。

4）其它攝動

太陽光壓相對攝動主要與衛(wèi)星受光面質(zhì)比相關(guān)，0.001的受光面質(zhì)比差異將產(chǎn)生10-9m/s2量級的相對加速度，相對大氣阻力較小。固體潮、地磁場和第三體引力產(chǎn)生的相對攝動均較小。這些攝動在后續(xù)的前饋控制中不予考慮。

靜態(tài)構(gòu)型同時還要求各星相對姿態(tài)保持穩(wěn)定，所以靜態(tài)構(gòu)型要求電磁力矩趨于0。因此靜態(tài)構(gòu)型需同時滿足力平衡和力矩平衡方程：

在異構(gòu)四星靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計問題中，四星的相對位置有9 個自由度，磁矩有12 個自由度，共需滿足24 個力平衡方程和力矩平衡方程，使得構(gòu)型設(shè)計較為困難。為了降低系統(tǒng)待求參數(shù)的維數(shù)，可以分析電磁編隊靜態(tài)構(gòu)型的必要條件，給出參數(shù)降維的構(gòu)型設(shè)計方法。

星間電磁力可以線性疊加：

星間電磁力是編隊系統(tǒng)內(nèi)力，編隊整體滿足動量與角動量守恒：

考慮編隊整體相對質(zhì)心角動量守恒，將式（17）代入式（20）中的角動量守恒方程，得到：

結(jié)合式（15）、式（16）和式（21），得到滿足星間內(nèi)力特性的編隊靜態(tài)構(gòu)型必要條件：

式中：Ixy、Iyz、Ixz為編隊整體的慣量積，其在靜態(tài)構(gòu)型時須為零。

式（22）為電磁編隊靜態(tài)構(gòu)型的一個必要條件，編隊的慣量主軸與Hill坐標(biāo)系的三軸平行?；诖吮匾獥l件，可以設(shè)計一類四面體構(gòu)型，并用數(shù)值方法從中找出同時滿足力平衡和力矩平衡的構(gòu)型。

2.2 四面體構(gòu)型設(shè)計

根據(jù)靜態(tài)構(gòu)型必要條件，設(shè)計如圖6 所示的一類四面體構(gòu)型：

圖6 四面體構(gòu)型設(shè)計Fig.6 Tetrahedral configuration design

圖中：衛(wèi)星1、2、3、4 分別放置于四面體的A、B、C、D點，O為四面體質(zhì)心，O1為ΔABC質(zhì)心，O2為BC質(zhì)心。以O(shè)為原點建立Hill 坐標(biāo)系。AD平行xOy平面，BC平行z軸。AO2長為d1，BC長為d2，DO1長為d3，AO2與yOz平面夾角為α∈(-π/2，π/2)，∠DO1O2=β∈(0，π)。

根據(jù)上述描述計算得到編隊整體相對質(zhì)心的慣量積分別為：

能夠使得式（23）的慣量積均為0。

上述四面體構(gòu)型共有包括d=[d1，d2，d3]和α4個自由度，基于這些參數(shù)得到各星相對位置為：

通過上述四面體構(gòu)型設(shè)計，將設(shè)計自由度從21維降至16維，同時也限制了構(gòu)型形狀為四面體。所以，電磁編隊靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計問題可以轉(zhuǎn)換為一組含有16個自由變量和24個方程的求解問題：

式中：16個自由變量為d1，d2，d3，α，μ1x，μ1y，μ1z，μ2x，μ2y，μ2z，μ3x，μ3y，μ3z，μ4x，μ4y，μ4z。

上述求解問題由于強(qiáng)耦合性和強(qiáng)非線性，無法求得解析解，只能采用數(shù)值方法求解，例如使用L-M算法求得近似的構(gòu)型數(shù)值解。

另外，結(jié)合式（3）、（15）和（30），得到電磁靜態(tài)構(gòu)型編隊星間距離與磁矩大小的比例關(guān)系：

上式表明編隊靜態(tài)構(gòu)型在保持形狀不變的情況下，通過縮放構(gòu)型尺度，并按照式（31）所示比例改變各星磁矩，所得到的新構(gòu)型仍為靜態(tài)構(gòu)型。因此，每個靜態(tài)構(gòu)型都可以縮放構(gòu)型尺度得到一組形狀一致的靜態(tài)構(gòu)型解。

2.3 構(gòu)型非線性修正

根據(jù)1.4 小節(jié)的分析，遠(yuǎn)場模型簡化時忽略的非線性項是影響電磁編隊靜態(tài)構(gòu)型保持的最主要因素。在靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計過程中，需考慮對基于遠(yuǎn)場模型得到的靜態(tài)構(gòu)型進(jìn)行非線性修正。將其作為初值代入基于精確電磁力模型的構(gòu)型設(shè)計算法中，重新求解得到修正后的靜態(tài)構(gòu)型。其流程如圖7所示。

圖7 靜態(tài)構(gòu)型解的非線性修正流程Fig.7 Nonlinear correction process for static configuration solution

為了檢驗非線性修正提高構(gòu)型設(shè)計精度的效果，基于精確電磁力模型定義靜態(tài)構(gòu)型數(shù)值求解精度：

2.4 構(gòu)型求解

為驗證電磁編隊靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計方法的有效性，便于下文控制仿真，設(shè)定初始四星參數(shù)如表2所示：

表2 四星參數(shù)Table 2 Parameters of four satellites

根據(jù)2.2 小節(jié)的分析，構(gòu)型尺度等比例改變時仍然能保證靜態(tài)構(gòu)型，所以約束d2=10 m，簡化求解過程。靜態(tài)構(gòu)型方程組式（30）的求解初值隨機(jī)給定，通過10 000 次計算求得97 組不同的構(gòu)型解。以總磁矩最小的構(gòu)型為例，得到修正前的靜態(tài)構(gòu)型參數(shù)如表3所示：

表3 修正前的靜態(tài)構(gòu)型參數(shù)Table 3 Static configuration parameters before correction

對構(gòu)型解進(jìn)行非線性修正，得到修正后的靜態(tài)構(gòu)型參數(shù)如表4所示：

表4 修正后的靜態(tài)構(gòu)型參數(shù)Table 4 Static configuration parameters after correction

由表3、4可知，在上述構(gòu)型下，經(jīng)過非線性修正后，電磁力誤差和降低了98%，電磁力矩誤差和降低了90%。這說明了本文的構(gòu)型設(shè)計算法給出了合理的靜態(tài)構(gòu)型，而且非線性修正有效提高了構(gòu)型精度。修正后的靜態(tài)構(gòu)型如圖8所示。

圖8 靜態(tài)構(gòu)型示例Fig.8 Example of static configuration solution

3 電磁編隊控制設(shè)計

3.1 控制器設(shè)計

為了驗證靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計算法的有效性，實現(xiàn)編隊相對位置控制，結(jié)合文獻(xiàn)［15］和［20］，設(shè)計攝動前饋結(jié)合滑?？刂扑惴?。

C-W方程式（1）可以簡寫為矩陣形式：

定義常系數(shù)αi＞0，設(shè)計滑模面：

模型前饋加速度Φi為：

采用指數(shù)趨近律，衛(wèi)星i的控制器Ui設(shè)計如下：

式中：ηi＞0；ki＞0。為了避免抖振現(xiàn)象，γi(si)=[γi(six)，γi(siy)，γi(siz)]T滿足：

式中：εi＞0且較?。籹i=[six，siy，siz]T。

考慮到需要滿足四星電磁力合力為零的約束，只利用式（36）計算衛(wèi)星2、3、4 的控制力，衛(wèi)星1 的控制力通過式（19）得到?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)整體如圖9所示。

圖9 電磁編隊相對位置控制器結(jié)構(gòu)Fig.9 Structure of electromagnetic formation relative position controller

3.2 磁矩分配優(yōu)化

四星的磁矩的自由度共有12個，需要滿足12個電磁力等式。但由于電磁力合力為零，減少了3 個等式，所以實際上磁矩分配問題是用9 個獨立方程求解12個未知數(shù)，存在無數(shù)組磁矩解。一個求解思路是將問題轉(zhuǎn)換為如下多目標(biāo)優(yōu)化問題：

式中：Δμi表示航天器i的磁矩與上一個控制周期的變化量；μimax為衛(wèi)星i能夠產(chǎn)生的最大磁矩。

第1 個目標(biāo)希望耦合產(chǎn)生的電磁力矩最小，減小動量輪負(fù)擔(dān)；第2 個目標(biāo)限制磁矩變化量不要過大，主要原因是最優(yōu)磁矩至少有互為相反數(shù)的兩個解，通過添加第2個目標(biāo)，使得磁矩不會在兩個解之間頻繁切換。

該最優(yōu)問題可采用序列二次最優(yōu)（SQP）算法求得磁矩數(shù)值解。為減少陷入局部最優(yōu)的情況，隨機(jī)多個初值計算，并且設(shè)定兩個求解初值為靜態(tài)構(gòu)型磁矩解和上一控制周期的磁矩解。

對于遠(yuǎn)場模型誤差問題，可以采用類似于圖7的原理對磁矩解進(jìn)行非線性修正，提高磁矩分配優(yōu)化計算精度。

4 數(shù)值仿真

四星參數(shù)參考表2。仿真動力學(xué)攝動模型考慮1.4 小節(jié)中提到的所有攝動項，包括遠(yuǎn)場模型誤差、非球形引力、大氣阻力、太陽光壓、固體潮、地磁場和第三體引力。仿真積分器采用ODE45，控制周期設(shè)置為1 s，時長設(shè)置為11 354 s（2 個軌道周期），其中0～2 000 s 用于驗證編隊重構(gòu)至靜態(tài)構(gòu)型的過程，2 000～11 354 s 用于驗證編隊在靜態(tài)構(gòu)型附近的穩(wěn)態(tài)控制過程。設(shè)置編隊初始構(gòu)型為邊長10 m的正四面體，期望構(gòu)型如圖8 所示?？刂破鲄?shù)αi=0.01，ηi=10-5，εi=10-5，ki=10-2，磁矩分配優(yōu)化目標(biāo)權(quán)重w1=1012，w2=10-3?？刂破髦惺褂玫木_電磁力模型離散點數(shù)N=10。仿真結(jié)果如圖10～15所示。

圖10 四星構(gòu)型重構(gòu)過程Fig.10 Configuration reconstruction of four satellites

圖10、圖11展示了構(gòu)型重構(gòu)過程中各星的相對位置和磁矩變化情況，電磁編隊在約600 s時接近期望構(gòu)型附近，表明了設(shè)計的滑?？刂破骶哂幸欢ǖ闹貥?gòu)能力。

圖11 四星構(gòu)型重構(gòu)過程磁矩Fig.11 Magnetic dipoles of four satellites in the configuration reconstruction

圖12、圖13 展示了各星在穩(wěn)態(tài)情況下，相對位置誤差不超過1×10-5m，相對速度誤差不超過1×10-8m·s-1，表明了編隊構(gòu)型保持的高精度。

圖12 四星穩(wěn)態(tài)相對位置誤差Fig.12 Steady-state relative position errors of four satellites

圖13 四星穩(wěn)態(tài)相對速度誤差Fig.13 Steady-state relative velocity errors of four satellites

圖14 靜態(tài)構(gòu)型非線性修正效果比較Fig.14 Comparison of nonlinear correction for static configuration

圖15 說明了在第3 節(jié)設(shè)計的控制器下，控制磁矩經(jīng)過精確電磁力模型修正后，平均減小了約94%的穩(wěn)態(tài)位置誤差。

圖15 控制磁矩修正效果比較Fig.15 Comparison of control magnetic dipole correction

5 結(jié)論

本文提出了異構(gòu)四星電磁編隊的靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計與保持控制方法。主要工作包括以下3個方面：

1）對近地軌道的電磁靜態(tài)構(gòu)型編隊所受的相對攝動力進(jìn)行了分析，指出在各星相對位置存在徑向與法向偏差時，遠(yuǎn)場電磁力模型誤差是相對干擾主要項。

2）分析得到了靜態(tài)構(gòu)型編隊質(zhì)量分布的必要條件，并基于必要條件設(shè)計了一組四面體構(gòu)型參數(shù)，顯著降低了求解空間維數(shù)。通過基于精確電磁力模型的非線性修正，提升了靜態(tài)構(gòu)型設(shè)計精度。

3）設(shè)計了攝動前饋結(jié)合滑?？刂破?，并使用精確電磁力模型修正磁矩，提高了磁矩分配的準(zhǔn)確性。

本文的空間靜態(tài)構(gòu)型研究基于四星編隊，對于多于四星的編隊，提出的編隊控制算法同樣適用，但也存在衛(wèi)星數(shù)量增多導(dǎo)致的磁矩求解難度迅速加大的問題，在未來需要進(jìn)一步考慮基于拓?fù)鋬?yōu)化的一致性控制算法。