賈前，李青，劉磊

（1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072；2.陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072；3.清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084）

0 引言

星載原子鐘是衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的核心部件，其性能決定了導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)間基準(zhǔn)的精度［1-2］。目前，地面光學(xué)原子鐘的穩(wěn)定度即將突破10-19量級(jí)［3-4］，JPL 的星載汞離子鐘已通過(guò)在軌驗(yàn)證，比目前應(yīng)用的星載原子鐘精度提高了1 個(gè)量級(jí)以上，有望應(yīng)用于新一代衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)［5］。然而，空間中變化的引力場(chǎng)以及衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致星載原子鐘計(jì)量的原時(shí)產(chǎn)生偏差［6］，不同衛(wèi)星的原時(shí)偏差導(dǎo)致了星間鐘差，影響對(duì)原子鐘性能極限的利用［7］。新一代導(dǎo)航衛(wèi)星均計(jì)劃或已經(jīng)通過(guò)確定星間鐘差來(lái)建立與維持星座自主時(shí)間基準(zhǔn)［8］，以實(shí)現(xiàn)導(dǎo)航系統(tǒng)的自主運(yùn)行，但衛(wèi)星原時(shí)及星間皮秒鐘差機(jī)理尚不清晰。為滿(mǎn)足新一代導(dǎo)航系統(tǒng)對(duì)高精度自主時(shí)間基準(zhǔn)的需求，亟需開(kāi)展衛(wèi)星原時(shí)偏差以及星間皮秒鐘差模型研究。

在衛(wèi)星原時(shí)偏差方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于衛(wèi)星鐘的物理模型以及相對(duì)論效應(yīng)研究了多種模型。基于衛(wèi)星鐘的物理模型主要利用原子鐘的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)求解，進(jìn)而得到鐘差數(shù)據(jù)，精度在ns 量級(jí)［9］。常用的模型有多項(xiàng)式模型［10］、灰色模型［11］、譜分析模型［12］、時(shí)間序列模型［13］以及組合模型［14］等。文獻(xiàn)［15］提出了二次多項(xiàng)式擬合預(yù)報(bào)模型，基于衛(wèi)星鐘的物理特性擬合得到衛(wèi)星鐘差，文獻(xiàn)［9］在二次多項(xiàng)式模型基礎(chǔ)上增加了顯著周期項(xiàng)，并結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了超快速鐘差預(yù)報(bào)算法實(shí)現(xiàn)流程。然而上述模型需要衛(wèi)星的精密鐘差數(shù)據(jù)與原子鐘的隨機(jī)先驗(yàn)信息，且精度無(wú)法滿(mǎn)足新一代導(dǎo)航系統(tǒng)分米級(jí)導(dǎo)航定位需求［9］?；谙鄬?duì)論效應(yīng)的模型通過(guò)研究衛(wèi)星原時(shí)速率與引力場(chǎng)及衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的關(guān)系得到衛(wèi)星原時(shí)偏差。文獻(xiàn)［6］與文獻(xiàn)［16］在開(kāi)普勒軌道假設(shè)下研究了GPS 和北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BDS）衛(wèi)星原子鐘的相對(duì)論效應(yīng)，并指出周期性累積鐘差需要根據(jù)衛(wèi)星星歷實(shí)時(shí)進(jìn)行計(jì)算和改正，但未考慮攝動(dòng)對(duì)星載原子鐘的影響。文獻(xiàn)［17］以地球同步軌道衛(wèi)星為研究對(duì)象分析了軌道攝動(dòng)引起的鐘差，文獻(xiàn)［18］估計(jì)了地球J2 項(xiàng)攝動(dòng)引起Galileo 衛(wèi)星的原時(shí)偏差幅值，文獻(xiàn)［19］建立了衛(wèi)星原時(shí)與坐標(biāo)時(shí)轉(zhuǎn)換模型，并指出J2 項(xiàng)攝動(dòng)引起的原時(shí)偏差對(duì)于中軌道衛(wèi)星達(dá)到了納秒量級(jí)。根據(jù)文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［16-19］的研究可知，基于廣義相對(duì)論的鐘差模型可實(shí)現(xiàn)的精度更高，但仍需要在開(kāi)普勒軌道假設(shè)的基礎(chǔ)上引入J2 項(xiàng)修正以達(dá)到皮秒級(jí)精度。星間鐘差主要基于星間鏈路獲得的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，目前雙向測(cè)量工作體制的星間鏈路已經(jīng)用于高精度的鐘差測(cè)量［20］。文獻(xiàn)［21］提出了一種利用星間偽距擬合多項(xiàng)式和鐘差擬合多項(xiàng)式聯(lián)合求解星間鐘差算法，精度在5ns 以?xún)?nèi)。文獻(xiàn)［22］針對(duì)北斗2 導(dǎo)航系統(tǒng)的星間鏈路建立了同步時(shí)分雙工（STDD）體制下星間鐘差測(cè)量模型，精度優(yōu)于1ns；文獻(xiàn)［23］研究了STDD體制下星間鐘差的測(cè)量誤差模型，并與GPS 采用的輪詢(xún)時(shí)分雙工體制（PTDD）進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了其性能。文獻(xiàn)［21-23］所采用的方法主要以激光或者微波為信號(hào)載體，通過(guò)計(jì)算兩終端發(fā)射接收信號(hào)的時(shí)間差來(lái)確定鐘差，精度取決于不同路徑中延時(shí)修正模型，且未從原時(shí)模型角度研究星間皮秒鐘差機(jī)理。文獻(xiàn)［19］在開(kāi)普勒軌道的假設(shè)下利用衛(wèi)星原時(shí)模型建立了星間鐘差模型，能夠有效計(jì)算星間鐘差，但該模型并未考慮攝動(dòng)加速度，誤差會(huì)隨時(shí)間增加而增大。

本文從廣義相對(duì)論出發(fā)，提出一種考慮J2 項(xiàng)攝動(dòng)的衛(wèi)星原時(shí)和星間鐘差模型，根據(jù)衛(wèi)星的位置速度信息計(jì)算得到衛(wèi)星原時(shí)偏差以及星間鐘差，并通過(guò)仿真對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，為星載原子鐘的校正和星間鐘差確定提供了一種可行的建模方法。

1 坐標(biāo)系與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程

1.1 坐標(biāo)系描述

為建立衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)與時(shí)間的聯(lián)系，首先借助廣義相對(duì)論建立衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)的描述離不開(kāi)相應(yīng)的坐標(biāo)系，本文選擇地心參考坐標(biāo)系（Geocentric coordinate reference system，GCRS）建立地球引力場(chǎng)中衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)模型。GCRS的原點(diǎn)在地球質(zhì)量中心，并且由四維坐標(biāo)X≡(ct，x，y，z)T所定義，其中c為真空中的光速，值為2.997 924 58×108m/s，t為坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)時(shí)，x，y，z為衛(wèi)星的空間位置坐標(biāo)。在GCRS中，兩個(gè)確定事件的間隔微分ds可以表示為：

式中：gμυ為GCRS 的度規(guī)張量；xμ，υ(μ，υ=0，1，2，3)為GCRS中的時(shí)空坐標(biāo)分量，μ，υ=0時(shí)，x0=ct，μ，υ=1，2，3分別對(duì)應(yīng)衛(wèi)星的三軸坐標(biāo)分量x，y，z。

度規(guī)張量可以由一組諧波勢(shì)表示，諧波勢(shì)包含標(biāo)量勢(shì)w與矢量勢(shì)wE，保留至c-4項(xiàng)，選取度規(guī)張量為［24］：

式中：α，β和λ為索引標(biāo)號(hào)，從1取至3；γ=diag(-1，-1，-1) ;為wE的第λ個(gè)分量。

矢量勢(shì)wE的表達(dá)式為：

式中：G為引力常數(shù)，值為6.673 5×10-11N·m2/kg2；ME為地球的質(zhì)量，為5.974 2×1024kg；r=‖r‖2為衛(wèi)星地心距；r=[x，y，z]T為衛(wèi)星在GCRS 中的位置矢量；SE=[0，0，9.8 × 108]Tm2s為地球單位質(zhì)量的角動(dòng)量；“(·)×”符號(hào)表示矢量叉乘運(yùn)算的反對(duì)稱(chēng)矩陣：

地球引力場(chǎng)中，標(biāo)量勢(shì)w由地球引起的引力勢(shì)UE和其他天體引起的潮汐勢(shì)組成，表達(dá)式為：

考慮地球引力勢(shì)至J4項(xiàng)，UE的表達(dá)式為：

式中：RE為地球平均赤道半徑，取值為6 378 km；J2，J3和J4為地球的二至四階帶諧系數(shù)，值分別為1.082 6×10-3，-2.532 7×10-6和-1.619 6×10-6；為簡(jiǎn)化描述，定義UJ為地球的二至四階帶諧項(xiàng)引起的引力勢(shì)變化的總和。

式中：Mb為天體b 的質(zhì)量，太陽(yáng)質(zhì)量MS為1.980 4×1030kg，月球質(zhì)量MM為7.336 9×1022kg；rbE為天體b與地球之間的距離；nbE=rbErbE為rbE的單位向量；符號(hào)S和M分別代表太陽(yáng)和月球。

1.2 衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程

考慮衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，可以在牛頓體系下衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程中添加相應(yīng)的相對(duì)論修正項(xiàng)，也可以利用度規(guī)張量直接在廣義相對(duì)論體系下建立衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，本文選擇第2種方式。

根據(jù)式（1）以及選擇的度規(guī)張量，可以得到兩事件的時(shí)空間隔微分為：

衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程以坐標(biāo)時(shí)t為變量，因此引入拉格朗日乘子L=dsdt，根據(jù)式（8）可得拉格朗日乘子的平方表達(dá)式為：

式中：v=為衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)速度大??；vx=dxdt，vy=dydt，vz=dzdt分別為衛(wèi)星各軸向的速度大小。

對(duì)式（9）進(jìn)行開(kāi)方并保留至c-4項(xiàng)，可得拉格朗日乘子L的表達(dá)式為：

拉格朗日乘子L應(yīng)滿(mǎn)足Euler-Lagrange方程：

將式（10）代入式（11），并引入非引力項(xiàng)以及日地相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起的加速度項(xiàng)［24］，推導(dǎo)可得廣義相對(duì)論體系下衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：n=r r為衛(wèi)星位置r的單位向量；rSE為太陽(yáng)相對(duì)地球的位置向量，且為非引力項(xiàng)產(chǎn)生的衛(wèi)星加速度。

2 考慮J2項(xiàng)修正的衛(wèi)星原時(shí)以及星間鐘差模型

2.1 衛(wèi)星原時(shí)模型

衛(wèi)星在軌運(yùn)行時(shí)，星載原子鐘記錄的時(shí)間稱(chēng)為原時(shí)τ，原時(shí)速率會(huì)受到衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)與引力場(chǎng)的影響發(fā)生改變，而坐標(biāo)時(shí)僅與選定的坐標(biāo)系相關(guān)［16］，因此可通過(guò)建立坐標(biāo)時(shí)與原時(shí)的關(guān)系得到衛(wèi)星的原時(shí)模型。在衛(wèi)星附近的無(wú)窮小區(qū)域內(nèi)，度規(guī)張量為常值，且原子鐘相對(duì)衛(wèi)星靜止，即dx=dy=dz=0，因此可得：

聯(lián)立式（8）與（13）可得衛(wèi)星原時(shí)模型為：

式中：δ(r，v)為由于衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)與引力勢(shì)的存在而產(chǎn)生的原時(shí)速率偏差。假設(shè)坐標(biāo)時(shí)為導(dǎo)航系統(tǒng)的參考時(shí)間，此時(shí)原時(shí)偏差即為對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星鐘差，如圖1所示。

圖1 引力場(chǎng)中原時(shí)偏差示意圖Fig.1 Schematic of proper time deviation in the gravitational field

僅考慮地球引力勢(shì)中的牛頓主項(xiàng)，忽略其他天體引起的潮汐勢(shì)，即標(biāo)量勢(shì)w簡(jiǎn)化為：

在地球引力場(chǎng)內(nèi)，衛(wèi)星所在位置處的引力勢(shì)主要為地球產(chǎn)生的影響，并且J2 項(xiàng)的量級(jí)遠(yuǎn)大于高階項(xiàng)，因此在引力勢(shì)中引入地球非球形J2 項(xiàng)攝動(dòng)，得到考慮J2項(xiàng)修正的衛(wèi)星原時(shí)模型為：

衛(wèi)星的狀態(tài)也可以通過(guò)軌道六要素來(lái)表示，將式（17）中對(duì)應(yīng)的變量轉(zhuǎn)換為軌道六要素，即可得到基于軌道六要素的衛(wèi)星原時(shí)模型。

衛(wèi)星地心距r的表達(dá)式為：

式中：a為衛(wèi)星所在軌道的半長(zhǎng)軸；e為軌道偏心率；E為偏近點(diǎn)角。

衛(wèi)星的z軸位置分量可表示為：

式中：i為軌道傾角；f為真近點(diǎn)角；ω為近地點(diǎn)幅角。

衛(wèi)星的地心距與速度大小滿(mǎn)足：

聯(lián)立式（18）和（20）可得：

在軌道偏心率較小的情況下，根據(jù)軌道攝動(dòng)理論，考慮J2項(xiàng)攝動(dòng)，相關(guān)軌道參數(shù)可以表示為：

式中：a0，i0，e0，ω0和E0分別為不受攝動(dòng)影響的衛(wèi)星軌道對(duì)應(yīng)的半長(zhǎng)軸，軌道傾角，偏心率，近地點(diǎn)幅角以及偏近點(diǎn)角。

將式（18），（19），（21）以及式（22）聯(lián)立，忽略高階小量，代入式（17）可得到基于軌道六要素的衛(wèi)星原時(shí)模型為：

根據(jù)式（23）可以看到，衛(wèi)星運(yùn)行過(guò)程中原時(shí)與坐標(biāo)時(shí)產(chǎn)生的差異由四部分組成，前兩項(xiàng)表示僅考慮牛頓主項(xiàng)加速度時(shí)衛(wèi)星在軌運(yùn)動(dòng)引起的相對(duì)論效應(yīng)，后兩項(xiàng)為J2項(xiàng)攝動(dòng)引起的相對(duì)論效應(yīng)。

2.2 星間鐘差模型

根據(jù)式（17）可以看到，當(dāng)衛(wèi)星的狀態(tài)不同時(shí)，衛(wèi)星原時(shí)相對(duì)參考時(shí)間的差異不同。而導(dǎo)航系統(tǒng)通常由多顆衛(wèi)星組成，這些衛(wèi)星分布在不同軌道面或者同一軌道面的不同位置處，因此導(dǎo)航衛(wèi)星的狀態(tài)間存在差異，在軌運(yùn)行時(shí)不同的衛(wèi)星原時(shí)會(huì)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的星間鐘差，如圖2所示。

圖2 星間鐘差示意圖Fig.2 Schematic of inter-satellite clock difference

考慮導(dǎo)航系統(tǒng)中兩顆衛(wèi)星A和B，假設(shè)在坐標(biāo)時(shí)t0時(shí)刻，兩顆衛(wèi)星的星載原子鐘讀數(shù)即原時(shí)分別為τA0和τB0，初始鐘差為Δτ0=τB0-τA0，則在t1時(shí)刻兩顆衛(wèi)星的原時(shí)可以表示為：

進(jìn)一步對(duì)兩顆衛(wèi)星的原時(shí)作差，可以得到衛(wèi)星A和B的星間鐘差為：

式（25）即為考慮J2 項(xiàng)修正的星間鐘差模型，該模型分為四部分：（1）衛(wèi)星初始鐘差；（2）衛(wèi)星地心距差異引起的星間鐘差；（3）衛(wèi)星速度差異引起的星間鐘差；（4）J2項(xiàng)攝動(dòng)引起的星間鐘差。

3 仿真分析

3.1 衛(wèi)星軌道誤差仿真

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BDS）是我國(guó)自主建立的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，可在全球范圍內(nèi)全天候、全天時(shí)為各類(lèi)用戶(hù)提供高精度、高可靠定位、導(dǎo)航、授時(shí)服務(wù)。本節(jié)以BDS 中北斗三號(hào)MEO-01 衛(wèi)星為研究對(duì)象，對(duì)建立的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行仿真分析，非引力項(xiàng)加速度考慮為太陽(yáng)光壓引起的加速度，計(jì)算方式參考文獻(xiàn)［19］。仿真中衛(wèi)星的初始軌道要素如表1所示，仿真時(shí)長(zhǎng)為兩個(gè)軌道周期，仿真步長(zhǎng)為1 s，仿真時(shí)為坐標(biāo)時(shí)。

表1 北斗三號(hào)-MEO-01衛(wèi)星初始軌道要素Table 1 Initial orbital elements of BeiDou-3 MEO-01 satellite

考慮式（12）右端的全部加速度項(xiàng)時(shí)，攝動(dòng)加速度引起的衛(wèi)星位置誤差以及速度誤差分別如圖3和圖4 所示，兩者均隨時(shí)間的增加而增大。對(duì)于MEO-01 衛(wèi)星而言，在兩個(gè)軌道周期時(shí)，位置誤差已經(jīng)達(dá)到了25.48 km，速度誤差達(dá)到了3.78 m/s，根據(jù)衛(wèi)星原時(shí)模型可知，這些誤差均會(huì)導(dǎo)致原時(shí)與坐標(biāo)時(shí)之間產(chǎn)生偏差。

圖4 攝動(dòng)加速度引起的速度總誤差Fig.4 Total velocity error induced by perturbation acceleration

僅考慮J2 項(xiàng)攝動(dòng)加速度時(shí)，MEO-01 衛(wèi)星的位置誤差以及速度誤差如圖5 和圖6 所示。根據(jù)仿真結(jié)果可知，J2 項(xiàng)攝動(dòng)加速度引起的位置誤差與速度誤差與模型考慮的全部攝動(dòng)加速度引起的誤差變化趨勢(shì)相同。兩個(gè)軌道周期時(shí)，J2 項(xiàng)攝動(dòng)加速度引起的位置誤差為21.11 km，速度誤差為3.22 m/s。與圖3和圖4仿真結(jié)果對(duì)比可知，在考慮的攝動(dòng)加速度中，J2 項(xiàng)攝動(dòng)加速度對(duì)MEO-01 衛(wèi)星的影響最大，并且對(duì)于地球引力場(chǎng)中的衛(wèi)星，J2 項(xiàng)的影響會(huì)隨著軌道高度的減小而增大，因此，對(duì)于高精度時(shí)間基準(zhǔn)的建立，J2項(xiàng)攝動(dòng)加速度引起的原時(shí)偏差不可忽略。

圖5 僅考慮J2項(xiàng)攝動(dòng)加速度時(shí)位置誤差Fig.5 Position error only considering J2 perturbation acceleration

圖6 僅考慮J2項(xiàng)攝動(dòng)加速度時(shí)速度誤差Fig.6 Velocity error only considering J2 perturbation acceleration

3.2 衛(wèi)星鐘差仿真

本節(jié)根據(jù)建立的衛(wèi)星原時(shí)模型對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行仿真分析。仿真中利用衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程（12）得到衛(wèi)星狀態(tài)，將狀態(tài)信息代入式（14）計(jì)算得到的原時(shí)偏差并將其作為實(shí)際鐘差，與考慮J2 項(xiàng)修正的衛(wèi)星原時(shí)模型（17）得到的鐘差進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而分析模型精度，仿真參數(shù)與3.1節(jié)相同。

實(shí)際鐘差、考慮J2 項(xiàng)修正的模型（17）以及簡(jiǎn)化模型（16）的計(jì)算結(jié)果如圖7 所示。根據(jù)仿真結(jié)果可知，衛(wèi)星原時(shí)與坐標(biāo)時(shí)的偏差即衛(wèi)星鐘差隨著時(shí)間的增加而增大，在偏心率接近0時(shí)，衛(wèi)星鐘差與坐標(biāo)時(shí)之間近似為線(xiàn)性關(guān)系，與文獻(xiàn)［19］結(jié)論一致，在兩個(gè)軌道周期時(shí)，MEO-01 衛(wèi)星的鐘差已經(jīng)達(dá)到了2.21×10-5s。

圖7 衛(wèi)星鐘差計(jì)算結(jié)果Fig.7 Satellite clock difference calculation results

兩種模型的誤差如圖8所示，隨著時(shí)間的增加，兩種模型的計(jì)算誤差都逐漸增大。在兩個(gè)軌道周期內(nèi)，考慮J2項(xiàng)修正的模型誤差峰值為26.97 ps，簡(jiǎn)化模型的誤均差峰值為47.95 ps，兩者比實(shí)際鐘差小6個(gè)數(shù)量級(jí)，即兩種模型都能用于計(jì)算衛(wèi)星鐘差。但由于簡(jiǎn)化模型未考慮J2 項(xiàng)攝動(dòng)對(duì)衛(wèi)星原時(shí)速率的影響，計(jì)算得到的鐘差波動(dòng)大，誤差的均方根為27.23 ps，而考慮J2 項(xiàng)修正的模型計(jì)算結(jié)果波動(dòng)較小，誤差的均方根為16.27 ps，提高了40.26%。仿真結(jié)果表明考慮J2 項(xiàng)修正的衛(wèi)星原時(shí)模型可以有效提高衛(wèi)星鐘差的計(jì)算精度。

圖8 原時(shí)模型誤差Fig.8 Proper time model error

模型（23）為衛(wèi)星鐘差的軌道要素表示形式，該形式表明J2 項(xiàng)引起的鐘差中包含常值項(xiàng)與周期項(xiàng)，軌道傾角為0°時(shí)，常值項(xiàng)達(dá)到最大值，此最大值與軌道半長(zhǎng)軸成反比；當(dāng)軌道傾角為54.73°時(shí)，常值項(xiàng)為0。周期項(xiàng)的周期為衛(wèi)星軌道周期的一半，幅值與軌道半長(zhǎng)軸及軌道傾角有關(guān)。在小偏心率情況下，真近點(diǎn)角可通過(guò)軌道平均角速度n近似為：

對(duì)周期項(xiàng)積分可得：

周期項(xiàng)幅值與軌道半長(zhǎng)軸和軌道傾角的關(guān)系如圖9所示，隨著軌道傾角的增加，J2項(xiàng)攝動(dòng)加速度引起的周期項(xiàng)鐘差逐漸增大，并隨著軌道半長(zhǎng)軸的增加而快速減小。

圖9 J2項(xiàng)攝動(dòng)加速度引起的周期項(xiàng)鐘差幅值與軌道傾角及半長(zhǎng)軸關(guān)系Fig.9 Relationship between the amplitude of periodic proper time deviation caused by J2 perturbation acceleration，orbital inclination，and semi-major axis

3.3 星間鐘差仿真

3.2 節(jié)的衛(wèi)星原時(shí)仿真結(jié)果表明，衛(wèi)星在軌運(yùn)行期間星載原子鐘會(huì)產(chǎn)生鐘差，并且鐘差與衛(wèi)星軌道相關(guān)，進(jìn)而導(dǎo)致不同衛(wèi)星間產(chǎn)生星間鐘差。本節(jié)對(duì)兩衛(wèi)星間的鐘差進(jìn)行仿真研究。文獻(xiàn)［19］的研究表明兩衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸不同時(shí)，星間鐘差分為線(xiàn)性與周期項(xiàng)兩部分，線(xiàn)性部分會(huì)隨著半長(zhǎng)軸差異的增加而迅速累積，但通常衛(wèi)星發(fā)射前都會(huì)根據(jù)目標(biāo)軌道對(duì)原子鐘進(jìn)行頻率校正［16］，因此本節(jié)只研究衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸相同的情況下星間鐘差的變化規(guī)律，且假設(shè)初始時(shí)刻星載原子鐘均經(jīng)過(guò)校準(zhǔn)，即Δτ0=0。與衛(wèi)星鐘差仿真相同，仿真中兩顆衛(wèi)星的狀態(tài)由運(yùn)動(dòng)方程（12）得到，衛(wèi)星原時(shí)通過(guò)式（14）計(jì)算，作差后得到實(shí)際星間鐘差，與式（25）計(jì)算得到的星間鐘差進(jìn)行對(duì)比，分析模型誤差。

仿真中一顆衛(wèi)星軌道參數(shù)與表1 相同，另一顆衛(wèi)星初始真近點(diǎn)角為180°，即兩衛(wèi)星軌道面相同，在軌道平面內(nèi)初始位置相差180°。兩衛(wèi)星間的鐘差以及模型誤差如圖10 和圖11 所示。仿真結(jié)果表明，兩個(gè)軌道周期內(nèi)，模型的計(jì)算結(jié)果與理論鐘差基本吻合，星間鐘差呈周期性變化，周期與衛(wèi)星軌道周期相同，仿真中兩顆衛(wèi)星的鐘差峰值為5.89 ns；模型誤差也近似為周期變化，最大誤差為8.86×10-2ps。

圖10 星間鐘差Fig.10 Inter-satellite clock difference

圖11 星間鐘差模型誤差Fig.11 Inter-satellite clock difference model error

為說(shuō)明J2 項(xiàng)修正的有效性，采用文獻(xiàn)［19］的模型對(duì)相同參數(shù)的衛(wèi)星進(jìn)行星間鐘差仿真，模型誤差如圖12所示。仿真結(jié)果表明，無(wú)J2項(xiàng)修正的星間鐘差模型誤差隨時(shí)間逐漸增大，在兩個(gè)軌道周期時(shí)，誤差為16.37 ps，遠(yuǎn)大于本文提出的考慮J2 項(xiàng)修正的星間鐘差模型的誤差。

除了中軌（MEO）衛(wèi)星，BDS 星座還包含高軌同步（GEO）衛(wèi)星及高軌傾斜（IGSO）衛(wèi)星。美國(guó)的GPS星座由近圓形軌道（e=0.02）的中軌衛(wèi)星組成［6］，選取對(duì)應(yīng)軌道上的一顆衛(wèi)星，另一顆衛(wèi)星與其在同一軌道平面上，初始位置相差180°，根據(jù)星間鐘差模型計(jì)算這兩顆衛(wèi)星間的鐘差，衛(wèi)星的軌道參數(shù)以及計(jì)算結(jié)果如表2 所示。根據(jù)表2 的仿真結(jié)果可以看到，四種軌道平面中星間鐘差峰值從小到大依次為BDS-GEO，BDS-MEO，BDS-IGSO 和GPS-MEO。這是因?yàn)殡S著軌道偏心率的增加，衛(wèi)星速度與位置的變化引起的原時(shí)偏差增大，進(jìn)而引起星間鐘差峰值變大。對(duì)于BDS-IGSO 和GPS-MEO 這兩個(gè)軌道平面，由于其半長(zhǎng)軸、偏心率和軌道傾角的影響，兩個(gè)軌道平面上衛(wèi)星受到的太陽(yáng)及月球的影響較大，而本文建立的星間鐘差模型（25）忽略了其余天體的影響，因此模型誤差的峰值大于其余兩個(gè)軌道平面的誤差峰值，但仍在皮秒量級(jí)。這些算例的計(jì)算結(jié)果表明考慮J2 項(xiàng)修正的星間鐘差模型誤差最大在皮秒量級(jí)，能夠準(zhǔn)確計(jì)算星間鐘差。

表2 不同軌道的星間鐘差計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculation results of inter-satellite clock difference in different orbits

4 結(jié)論

本文針對(duì)新一代導(dǎo)航衛(wèi)星對(duì)高精度時(shí)間基準(zhǔn)的需求，在廣義相對(duì)論體系下建立了衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程，考慮地球引力場(chǎng)內(nèi)衛(wèi)星受到的J2 項(xiàng)攝動(dòng)影響，提出了包含J2 項(xiàng)修正的衛(wèi)星原時(shí)模型以及星間鐘差模型，模型能夠有效地計(jì)算出衛(wèi)星在引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的原時(shí)偏差以及星間鐘差。相比基于開(kāi)普勒軌道假設(shè)得到的模型，考慮J2 項(xiàng)修正可以提高衛(wèi)星原時(shí)以及星間鐘差的計(jì)算精度。仿真結(jié)果表明，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的原時(shí)偏差與衛(wèi)星軌道要素緊密關(guān)聯(lián)，并隨著時(shí)間增加而增大，考慮J2 項(xiàng)修正計(jì)算得到的原時(shí)偏差與實(shí)際鐘差更為接近。同時(shí)本文提出的星間鐘差模型能夠在皮秒量級(jí)的精度上計(jì)算星間鐘差。本文工作可為導(dǎo)航系統(tǒng)的時(shí)間基準(zhǔn)建立與自主維持提供理論支持。