李中陽 紀(jì)暉

摘要：本文以函數(shù)的最值問題為例，探討高三數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)設(shè)計方案，希望能夠為高中數(shù)學(xué)教師提供參考及幫助.

關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué)微專題；復(fù)習(xí)設(shè)計；函數(shù)最值

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0062-03

“微專題”，即將某一特定知識點(diǎn)作為專題開展的教學(xué)[1].與傳統(tǒng)“串講式”的教學(xué)相比，微專題切入點(diǎn)小，針對性更強(qiáng)，同時內(nèi)容緊湊，能夠?qū)崿F(xiàn)多角度的教學(xué).在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師也可以借助微專題的優(yōu)勢，選取有效專題進(jìn)行復(fù)習(xí).轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)將知識重復(fù)講解的復(fù)習(xí)教學(xué)模式，借此降低學(xué)生理解難度，引導(dǎo)其對知識進(jìn)行更加深入的理解，實現(xiàn)其知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和知識體系的完善.如此，才能讓教學(xué)質(zhì)量得到有效提升.

1 教學(xué)內(nèi)容分析

函數(shù)是歷年高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，其中“函數(shù)的最值問題”因涉及知識點(diǎn)較多，能夠與方程、不等式的廣泛知識建立聯(lián)系，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一.另外，“函數(shù)的最值”是高中函數(shù)的一類常見題型，解答方法多樣，不同方法均具備各自的優(yōu)劣和注意點(diǎn)，適宜方法的選用能夠?qū)崿F(xiàn)解題的速度和正確率的共同提高，但需要更加基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)函數(shù)知識做鋪墊.學(xué)生對于函數(shù)最值的定義等有了較為深入的理解，且掌握了一定的函數(shù)最值求解方式，改變慣于使用特定的某種求解方式，能讓其從未曾考慮的求解角度出發(fā)，提升函數(shù)最值知識的認(rèn)知[2].

2 教學(xué)流程

2.1 一題多解，全面回顧知識

教師出示例1：請求函數(shù)y=2x2x-3x≥4的最值.引導(dǎo)學(xué)生借助獨(dú)立思考、與周邊同學(xué)交流討論等方式嘗試求解.

學(xué)生1：因為y=2x2x-3=2x-3+9x-3+6≥2×2x-3×9x-3+6=24.當(dāng)x-3=9x-3，即為x=6或x=0時，函數(shù)存在最小值24.但不存在最大值.

教師：這樣的方法將多層函數(shù)化為了基本不等式問題進(jìn)行求解，叫作配湊法.但是，不等式中的等號能夠成立嗎？

學(xué)生1：不能成立.x=0應(yīng)該被舍棄.

學(xué)生2：我想到了另一種得出不等式的方式.設(shè)x-3=a，那么x即為3+a.因為x≥4，所以a≥1.那么函數(shù)可以化為y=2a+32a=2a+9a+6，且大于22a×9a+6=24.

教師：很好.這樣巧妙地將含有x的整式運(yùn)用新的未知數(shù)a替代的方法，叫作換元法.雖然實質(zhì)上為第一種配湊法的變形，但更加直觀明了，解題時也需注意不等式中的等號能否成立.此外，a的取值范圍也是需要考慮的地方.

學(xué)生3：我有另一種不一樣的方法.可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程2x2-yx+3y=0，因為x≥4，所以x-3≠0，方程能夠成立.從一元二次方程的判別式即可以知道：△=y2-24y≥0，所以y≥24或y≤0.從x≥4可以知道y一定大于0，因此y≥24成立.所以函數(shù)有最小值24，但沒有最大值.

教師：這樣的方法貌似可行，但是只要△大于0，x就一定大于4嗎？能夠用哪種方法證實呢？

學(xué)生4：從二次函數(shù)的實數(shù)根分布可以得到△=y2-24y≥0--y2×2≥4f（4）=32-4y+3y≥0，因此24≤y≤32.

教師：大家可以代入一個隨機(jī)數(shù)進(jìn)行檢驗.當(dāng)y=40時，x2-20x+60=0，解得x=10+210或x=10-210.因為x≥4，所以x的值為10+210.也就是說x≥4時，y=40>32.所以這樣的證明仍然存在紕漏.為什么呢？

學(xué)生5：這些求解方式都假定x≥4時，二次函數(shù)有兩個實數(shù)根.當(dāng)二次函數(shù)有一個實數(shù)根時又會怎樣呢？只有一個實數(shù)根意味著f（4）≤0，也就是y≥32.綜合可得函數(shù)有一個最小值24，但沒有最大值.

教師：經(jīng)過大家的努力，這樣的解法終于趨向完善.這種方法從二次函數(shù)的判別式入手，叫作二次函數(shù)實根分布法.

學(xué)生6：二次函數(shù)的根的求法給了我一種思路.題目中的函數(shù)可以化為21x-3×1x2=2-31x-162+112，因此x=6時，函數(shù)有最小值24.同時因x≥4，所以0<1x≤14.當(dāng)-31x-162=112時，y為正無窮；但-31x-162<112.所以函數(shù)不具備最大值.

教師：這樣的方法叫配方法，也十分適用.還有其他方法嗎？

學(xué)生7：我認(rèn)為可以從導(dǎo)數(shù)知識入手求解.將函數(shù)求導(dǎo)，y′=4xx-3-2x2x-32=2x2-12xx-32=2xx-6x-32=0.即為x=0或x=6時，y′為0，可以得到如表所示（表1），觀察表格可知，當(dāng)x=6時，函數(shù)存在最小值24.

教師：這樣的方法叫作導(dǎo)數(shù)法，能夠借助求導(dǎo)得到函數(shù)各定義域內(nèi)的極值和端點(diǎn)值，進(jìn)行橫向比較，其中最小的值即為整體函數(shù)的最小值，最大的值為整體函數(shù)的最大值.

2.2 巧用變式，發(fā)展學(xué)生思維

教師：如果將之前例題中的“x≥4”變?yōu)椤皒≥8”，這樣的題目應(yīng)該怎樣求解呢？我建議大家首先嘗試一下?lián)Q元法和配方法.

學(xué)生8：我嘗試用換元法解答：設(shè)x-3=b，因為x≥8，所以b≥5.y=2b+32b=2b+9b+6≥22b×9b+6=24，因此得出函數(shù)最小值為24.

教師：很好，將換元法的知識代入題目中.但有沒有需要思考的地方呢？

學(xué)生9：應(yīng)當(dāng)思考不等式中的等號能否成立.如果等號成立，b2=9，這時b=±3，但從題目中條件可以知道b≥5，等號無法成立.這樣的解答錯了.

教師：那應(yīng)當(dāng)怎樣解決呢？大家可以從函數(shù)的單調(diào)性入手.y=x+9x的單調(diào)性是怎樣的呢？將其求導(dǎo)，y′=1+-9x2=x2-9x2，當(dāng)其為0時，x=±3且x≠0，可以將函數(shù)的單調(diào)性以如下表所以（表2）：

教師：依據(jù)表格，也能夠畫出函數(shù)y=x+9x的圖象（圖1）.

教師：可以看到，函數(shù)y=x+9x在區(qū)間5，+∞為增函數(shù)，因此當(dāng)x=5時原函數(shù)的最小值為，為1285，但沒有最大值.

學(xué)生10：我使用配方法求解.y=2x2x-3=2-31x-162+112.因為x∈8，+∞，所以0<1x≤18.函數(shù)對稱軸與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為16，0，并不在x的取值區(qū)間內(nèi).因此函數(shù)的最小值不為這時的24.函數(shù)圖象開口向下，因此在x取值區(qū)間內(nèi)，fx=-31x-162+12為增函數(shù).當(dāng)1x=18，即x=8時，函數(shù)有最小值1285，但沒有最大值.

2.3 繼續(xù)深入，鍛煉學(xué)生能力

教師：如果將題中x的取值區(qū)間變?yōu)閤≥tt>3的話，前面介紹的兩種方式還能夠適用嗎？請大家再次嘗試獨(dú)立挑戰(zhàn).

學(xué)生12：運(yùn)用換元法時，設(shè)x-3=c，y=2c+32b=2c+9c+6≥22b×9c+6=24.但x≥t，因此c≥t-3，當(dāng)t>6時不等式無法取等號.只能借助函數(shù)單調(diào)性判斷出函數(shù)最小值為2t2t-3.當(dāng)3

學(xué)生13：我運(yùn)用配方法解答.將函數(shù)配方為2-31x-162+112，當(dāng)t>6時，x≥t，因此160，1x，所以函數(shù)最小值為ft=2t2t-3.當(dāng)3

3 結(jié)束語

在問題鏈設(shè)計時，筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)注意如下幾點(diǎn)：

（1）圍繞教學(xué)大綱.教材是高中數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)，也是問題鏈設(shè)計的基本素材[3-4].教師應(yīng)當(dāng)抓住問題鏈層層遞進(jìn)、逐級深入的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)大綱中知識點(diǎn)的橫、縱向聯(lián)系，借此有意引導(dǎo)學(xué)生思維，使其在多角度思考中探究知識的本質(zhì).

（2）尊重學(xué)生主體.促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動性的發(fā)揮是問題鏈設(shè)計的關(guān)鍵.教師應(yīng)當(dāng)把握班級學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)，借助引導(dǎo)性、啟發(fā)性原則以及學(xué)生思維發(fā)展區(qū)中的問題，推動其自主發(fā)現(xiàn)構(gòu)建，在題目變化中推翻原有知識結(jié)構(gòu)，完善新的知識體系，鍛煉思維能力，從而保障教學(xué)過程的啟發(fā)性、科學(xué)性.

（3）注重情感、態(tài)度、價值觀.學(xué)生情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng)是新課改下各學(xué)科教學(xué)的必然要求.設(shè)計問題鏈時，教師應(yīng)當(dāng)“見微知著”，利用不斷深入的問題揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，促使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)之美，進(jìn)而實現(xiàn)融會貫通.

參考文獻(xiàn)：

[1]曹昕，洪家鳳.利用均值不等式求函數(shù)最值的六種方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（01）：80-81.

[2] 何海花.數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)導(dǎo)向下初中數(shù)學(xué)函數(shù)最值和存在性問題的教學(xué)研究[J].理科愛好者，2022（06）：126-130.

[3] 汪佳婕.例談拉格朗日乘數(shù)法在解多元函數(shù)最值中的應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2022（07）：69-70.

[4] 王惠文.探析導(dǎo)數(shù)中含有參數(shù)的不等式的證明策略：廣東省2021屆高三八省聯(lián)考模擬卷第22題第（2）問[J].數(shù)理天地（高中版），2022（03）：72-73.

［責(zé)任編輯：李璟］