胡大妹 游輝斐

摘要：數學解題與研究一直是數學教學與學習過程中的一個重要研究課題，也是提升能力與開拓思維的基本場所.基于一道解三角形問題實例，合理分析與研究，從不同層面加以巧妙探究，合理變式拓展，實現(xiàn)問題的“一題多變”，達到問題的“一題多得”，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：三角形；面積；一題多變；變式；拓展

借助一些典型的數學例（習）題，特別是高考真題、模擬題、自主招生題等，充分挖掘問題的已知條件與所求結論，剖析問題的內涵與本質，在解題的基礎上合理進行“一題多變”，巧妙發(fā)散數學思維.通過典型問題的“一題多變”，基于一個基本點，往往可以實現(xiàn)“一題多得”，從而實現(xiàn)解題研究，從不同思維視角來挖掘問題的內涵以及知識的聯(lián)系，全面提升綜合能力.

1問題呈現(xiàn)

問題在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若1tanA+1tanB+1tanC=2，且a2+b2+c2=2，則△ABC的面積S為＿＿＿＿.

分析：該試題以三角形為場景，結合三角形的三內角正切值的倒數之和、三角形三邊的平方和這兩個定值條件，進而確定相應三角形的面積.關鍵就是通過三角函數關系式與三角形面積之間的聯(lián)系來過渡與轉化，進而為問題的解決開拓空間.

解析：易得1tanA+1tanB=cosAsinA+cosBsinB=cosAsinB+cosBsinAsinAsinB=sin（A+B）sinAsinB=sinCsinAsinB=cbsinA=c2bcsinA=c22S.

同理可得1tanB+1tanC=a22S，1tanC+1tanA=b22S.

于是，可得

2tanA+2tanB+2tanC=a2+b2+c22S.[JY]①

將1tanA+1tanB+1tanC=2，且a2+b2+c2=2代入①式，可得4=22S，解得S=14.

點評：該題的兩個條件對應的等式分別是涉及角與邊的輪換對稱式，形式非常優(yōu)美，解答過程也非常完美.

基于此，借助三角函數的基本知識以及三角恒等變換公式等，通過三角形這一平面幾何場景，可以進一步深入探究與拓展，合理進行“一題多變”，提升問題的深度與難度，加以合理變式與應用，有效達到“一題多得”的目的，對于數學解題研究與數學學習具有一定的教學啟示.

2一題多變

2.1條件拓展

基于原問題的應用場景，通過三角形的三內角所滿足的三角函數關系式加以合理變形與變式應用，借助“三內角正切值的倒數之和”加以深入研究，綜合三角函數及三角恒等變換公式等的應用，從而得以巧妙變式拓展.

變式1在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若1tan2A+1tan2B+1tan2C=2，且a2+b2+c2=2，則△ABC的面積S為＿＿＿＿.

解析：由于1tanA+1tanB+1tanC2=1tan2A+1tan2B+1tan2C+2tanAtanB+2tanBtanC+2tanCtanA

=2+2（tanA+tanB+tanC）tanAtanBtanC，

利用斜三角形中恒有的三正切關系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可得1tanA+1tanB+1tanC2=4.

又1tanA+1tanB+1tanC＞0，所以

1tanA+1tanB+1tanC=2.余略.

變式2在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若1sin2A+1sin2B+1sin2C=5，且a2+b2+c2=2，則△ABC的面積S為＿＿＿＿.

解析：由于1sin2A=sin2A+cos2Asin2A=1+1tan2A，因此同理可得

1sin2B=1+1tan2B，

1sin2C=1+1tan2C.

以上三式相加，得5=1sin2A+1sin2B+1sin2C=3+1tan2A+1tan2B+1tan2C，則1tan2A+1tan2B+1tan2C=2.

以下解析部分同變式1，可得S=14.

巧妙通過題設條件的拓展，由簡單的“三角形的三內角正切值的倒數之和”進一步變形，借助“三角形的三內角正切值平方的倒數之和”或“三角形的三內角正弦值平方的倒數之和”等視角加以拓展與應用，變式轉化，創(chuàng)新應用.

2.2轉換拓展

基于原問題的應用場景，合理通過題設條件與所求結論之間的轉換，由原來求解三角形面積問題轉化為求解三角形的三邊的平方和問題，改變問題場景與解題方向，從而得以巧妙變式拓展.

變式3在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若1tanA+1tanB+1tanC=2，且△ABC的面積S=14，則a2+b2+c2=＿＿＿＿.（答案：2.）

在變式3的基礎上，綜合變式1、變式2的變形條件，深入創(chuàng)新與應用，可以得到以下相應的變式問題.

變式4在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若1tan2A+1tan2B+1tan2C=2，且△ABC的面積S=14，則a2+b2+c2=＿＿＿＿.（

答案：2.）

變式5在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若1sin2A+1sin2B+1sin2C=5，且△ABC的面積S=14，則a2+b2+c2=＿＿＿＿.

（答案：2.）

以上變式4、變式5的解析過程，可以參考原問題的變式1、變式2的解析過程，并結合原問題的解析加以分析，這里不多加以展開與敘述.

巧妙通過題設條件與所求結論之間的轉換，在原問題與條件拓展的基礎上加以合理轉換與應用，使得數學思維得以更大層面的發(fā)散與拓展，給問題的研究與拓展提供更多的場景與應用.

2.3應用拓展

基于原問題的應用場景，從另一個方面加以題設條件與所求結論之間的轉換，由三角形問題來確定相應的三角函數問題，拉開問題條件設置的難度，提升解題研究的維度，從而得以巧妙應用拓展.

變式6在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若a2+b2+c2=2，且△ABC的面積S=14，則1tanA+1tanB+1tanC=＿＿＿＿.（答案：2.）

從單純的三角形問題背景設置，合理創(chuàng)設條件，進而過渡到求解與三角形的三個內角有關的三角函數的代數式的求值問題，實現(xiàn)不同數學知識之間的交匯與融合，合理創(chuàng)新應用，提升數學能力.

3教學啟示

基于相應的典型實例，巧妙合理進行“一題多變”，在一個簡單基本問題的基礎上，合理創(chuàng)設并設置一些相應的創(chuàng)新應用問題，給數學解題與研究開拓一個更加開闊的空間與研究場所.

其實，以上的6個變式問題，每一個都是很好的典型問題，既是改編的延續(xù)，也是創(chuàng)新的成果，對于全面考查學習者的“四基”以及數學基本能力等方面，都可以作為考題來創(chuàng)設與應用.

基于以上問題的分析與剖析，合理進行“一題多變”，可以實現(xiàn)問題的“一題多得”，在考查數學知識、聚合數學思維等方面都是很有效果的.基于此，數學思維與數學能力等方面都可得以巧妙拓展.

基于問題的“一題多變”，合理變式與拓展，在變式過程中尋找“通性通法”，在探究中全面升華能力，數學解題研究之路一定會越鋪越遠，創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力也會得以一定程度的培養(yǎng)與提升.