陶勇勝 徐小芳

圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題，由于其側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，是高考數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的考點(diǎn)，其中一類(lèi)以直線(xiàn)的斜率之和或者之積為背景的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題更是近幾年高考中考查的熱點(diǎn).運(yùn)用平移齊次化方法求解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題，具有簡(jiǎn)化計(jì)算、提高解題效率的作用，但此法需要平移圓錐曲線(xiàn)或者平移整個(gè)坐標(biāo)系，因此，先要重新繪制

圖形，且在計(jì)算過(guò)程中需要左、右或者上、下平移，計(jì)算結(jié)束后再平移回原來(lái)位置，實(shí)際書(shū)寫(xiě)也有很多不便.正因?yàn)樯鲜霾槐?，所以?duì)平移齊次化方法進(jìn)行改進(jìn)顯得很有意義且很有必要.如果不平移圓錐曲線(xiàn)或者不平移整個(gè)坐標(biāo)系而直接采用齊次化方法，是否可以解決這類(lèi)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題？本文中先用不平移齊次化方法對(duì)幾個(gè)常見(jiàn)的模型進(jìn)行推導(dǎo)，然后總結(jié)該方法的一般步驟和適用范圍，并運(yùn)用該方法探究2022年和2023年圓錐曲線(xiàn)高考題，以期優(yōu)化解決此類(lèi)問(wèn)題的思維策略.

1探究不平移齊次化方法

引例已知A（x0，y0）是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一個(gè)定點(diǎn)，B（x1，y1），C（x2，y2）是橢圓上異于A的兩點(diǎn)，可得以下性質(zhì)：

性質(zhì)1：若kAB+kAC=λ，則當(dāng)λ≠0時(shí)，直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)x0－2y0λ，－y0－2x0b2λa2；當(dāng)λ=0時(shí)，則直線(xiàn)BC的斜率為定值x0b2y0a2.

性質(zhì)2：若kAB·kAC=λ（λ≠0），則當(dāng)λ≠b2a2時(shí)，直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)λa2+b2λa2－b2x0，－λa2+b2λa2－b2y0；當(dāng)λ=b2a2時(shí)，直線(xiàn)BC的斜率為定值－y0x0.

下面用不平移齊次化方法進(jìn)行證明.

證明：將橢圓E：x2a2+y2b2=1等價(jià)變形為（x－x0）2a2+（y－y0）2b2+2x0a2x+y0b2y－1=0.設(shè)直線(xiàn)BC的方程為m（x－x0）+n（y－y0）=1，將橢圓E和直線(xiàn)BC的方程聯(lián)立，得到a2（1+2y0n）（y－y0）2+2（b2x0n+a2y0m）（x－x0）（y－y0）+b2（1+2x0m）5（x－x0）2=0.

將上式兩邊同時(shí)除以（x－x0）2，得到a2（1+2y0n）5y－y0x－x02+2（b2x0n+a2y0m）y－y0x－x0+b25（1+2x0m）=0，從而kAB+kAC=y1－y0x1－x0+y2－y0x2－x0=－2（b2x0n+a2y0m）a2（1+2y0n），kAB·kAC=y1－y0x1－x0·y2－y0x2－x0=b2（1+2x0m）a2（1+2y0n）.

若kAB+kAC=λ（λ≠0），則－2（b2x0n+a2y0m）a2（1+2y0n）=λ，化簡(jiǎn)得到－2y0λm－2b2x0λa2+2y0n=1，直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)x0－2y0λ，－y0－2x0b2λa2.

當(dāng)λ=0時(shí)，有k1+k2=－2（b2x0n+a2y0m）a2（1+2y0n）=0，即b2x0n+a2y0m=0，此時(shí)，直線(xiàn)BC的斜率kBC=－mn=x0b2y0a2.

點(diǎn)評(píng)：（1）不平移齊次化方法是一種根據(jù)定點(diǎn)的坐標(biāo)，先分析斜率之和或之積的最終表示形式，再等價(jià)變形橢圓方程及構(gòu)造直線(xiàn)方程，將二者聯(lián)立之后，由韋達(dá)定理得到斜率之和或之積的形式.與平移齊次化方法相比，減少了左右、上下平移，解答過(guò)程簡(jiǎn)捷，書(shū)寫(xiě)方便且易理解.

（2）通過(guò)上述推導(dǎo)，以橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）為例，可歸納不平移齊次化方法步驟如下：

①根據(jù)定點(diǎn)的坐標(biāo)A（x0，y0），將橢圓方程等價(jià)變形為（x－x0）+x02a2+（y－y0）+y02b2=1；

②構(gòu)造直線(xiàn)方程m（x－x0）+n（y－y0）=1；

③建立關(guān)于橢圓和直線(xiàn)方程的方程組，由韋達(dá)定理得到斜率之和的表示形式y(tǒng)1－y0x1－x0+y2－y0x2－x0或之積的表示形式y(tǒng)1－y0x1－x0·y2－y0x2－x0.

（3）不平移齊次化適用于已知定點(diǎn)的坐標(biāo)及斜率之和或之積為定值，但不僅限于此（如例3）.

（4）性質(zhì)2的證明可以仿照性質(zhì)1的證明過(guò)程.

2不平移齊次化方法在圓錐曲線(xiàn)中的應(yīng)用

2.1利用不平移齊次化方法求定點(diǎn)

例1（20235全國(guó)數(shù)學(xué)理科乙卷第20題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的離心率為53，曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)A（－2，0）.

（1）求曲線(xiàn)C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（－2，3）的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

解：（1）x24+y29=1；

（2）將橢圓C的方程變形為

4y2+9（x+2）2－36（x+2）=0.如圖1所示，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為m（x+2）+ny=1，直線(xiàn)AM，AN的斜率分別為k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），因?yàn)橹本€(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－2，3），所以n=13，則PQ的方程為m（x+2）+13y=1.根據(jù)4y2+9（x+2）2－36（x+2）=0，m（x+2）+13y=1，整理可得4y2－12（x+2）y+（9－36m）（x+2）2=0，等式兩邊同時(shí)除以（x+2）2，從而4yx+22－12yx+2+（9－36m）=0，所以k1+k2=y1x1+2+y2x2+2=3.

由于直線(xiàn)AP的方程為y=k1（x+2），令x=0，則y1=2k1.同理，y2=2k2.所以線(xiàn)段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1+y22=k1+k2=3.

故線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，3）.

點(diǎn)評(píng)：該題第（2）問(wèn)是引例中性質(zhì)1的模型，即“已知kAM+kAN為定值，則直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)”，只是改變了其中的設(shè)問(wèn)方式.本題的關(guān)鍵點(diǎn)是先將線(xiàn)段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)AM和AN的斜率之和，并利用不平移齊次化方法得到kAM+kAN為定值，整個(gè)解題過(guò)程較為簡(jiǎn)潔.實(shí)際上，2022年全國(guó)數(shù)學(xué)理科乙卷第20題與此題背景相似，也可以用不平移齊次化方法求解，讀者可以嘗試一下.

2.2利用不平移齊次化方法求定直線(xiàn)

例2（20235全國(guó)Ⅱ卷高考試題第21題）已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（－25，0），離心率為5.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)（－4，0）的直線(xiàn)與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第二象限，直線(xiàn)MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線(xiàn)上.

解：（1）x24－y216=1；（2）將雙曲線(xiàn)C的方程等價(jià)變形為y2－4（x－2）2－16（x－2）=0.如圖2所示，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為m（x－2）+ny=1，M（x1，y1），N（x2，y2）.因?yàn)橹本€(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－4，0），則m=－16，所以直線(xiàn)MN的方程為－16（x－2）+ny=1.聯(lián)立雙曲線(xiàn)C和直線(xiàn)MN的方程，由y2－4（x－2）2－16（x－2）=0，－16（x－2）+ny=1，整理得到3y2－48n（x－2）y－4（x－2）2=0，等式兩邊同除以（x－2）2，得3yx－22－48nyx－2－4=0，則kA1MkA2N=y1x1－2·y2x2－2=－43.由雙曲線(xiàn)的第三定義kA1M·kA2M=b2a2=4，所以kA1M=－3kA2N.又因?yàn)橹本€(xiàn)A1M的方程為y=kA1M（x+2），直線(xiàn)A2N的方程為y=kA2N（x－2），聯(lián)立直線(xiàn)A1M和A2N的方程，得到kA1M·（x+2）=kA2N·（x－2），解得x=－1，即xP=-1，

故點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=－1上.

點(diǎn)評(píng)：該題考查圓錐曲線(xiàn)中的熱點(diǎn)——定直線(xiàn)問(wèn)題，若用設(shè)線(xiàn)聯(lián)曲和韋達(dá)定理構(gòu)建交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，運(yùn)算中會(huì)出現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)結(jié)構(gòu)是個(gè)難點(diǎn).而本題采用不平移齊次化方法和雙曲線(xiàn)第三定義巧妙得到了直線(xiàn)A1M和A2N的斜率之間的關(guān)系，聯(lián)立二者的方程，簡(jiǎn)捷地得到其交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為定值，且避免了對(duì)非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化.

2.3利用不平移齊次化方法求最值

例3（20225浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題）如圖3，已知橢圓x212+y2=1，設(shè)A，B是橢圓上異于P（0，1）的兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q0，12在線(xiàn)段AB上，直線(xiàn)PA，PB分別交直線(xiàn)y=－12x+3于C，D兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

（2）求|CD|的最小值.

解：（1）121111；

（2）將橢圓的方程x212+y2=1等價(jià)變形為12（y－1）2+x2+24（y－1）=0.設(shè)直線(xiàn)AB的方程為mx+n（y－1）=1，直線(xiàn)PA，PB的斜率分別為k1，k2.因?yàn)橹本€(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q0，12，所以n=－2，則直線(xiàn)AB的方程為mx－2（y－1）=1.聯(lián)立12（y－1）2+x2+24（y－1）=0，mx－2（y－1）=1，得到36（y－1）2－24mx（y－1）－x2=0，等式兩邊同時(shí)除以x2，得到36y－1x2－24my－1x－1=0，從而k1+k2=2m3，k1k2=－136.將直線(xiàn)AP和直線(xiàn)CD的方程聯(lián)立，由y=k1x+1，y=－12x+3，得到點(diǎn)C42k1+1，6k1+12k1+1.同理，點(diǎn)D42k2+1，6k2+12k2+1.由弦長(zhǎng)公式以及柯西不等式，可得|CD|=1+－122|xC－xD|=25×[JB（|]12k1+1－12k2+1[JB）|]=45|k2－k1||4k1k2+2（k1+k2）+1|=65（k1+k2）2+132·12+4325[JB（|]k1+k2+49[JB）|]≥655，當(dāng)且僅當(dāng)k1+k2=14，即m=38時(shí)，|CD|取得最小值655.

點(diǎn)評(píng)：該題以?xún)蓷l直線(xiàn)的斜率之積是定值為背景求距離的最值，巧妙融合不等式、函數(shù)思想和解析幾何，綜合性較強(qiáng).根據(jù)引例的性質(zhì)2，得到“兩條直線(xiàn)的斜率之積為定值”這一關(guān)鍵條件，消去線(xiàn)段|CD|中的一個(gè)變量，從而將求線(xiàn)段|CD|的多變量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)最值問(wèn)題，再利用柯西不等式或者二次函數(shù)的性質(zhì)求解，體現(xiàn)了函數(shù)和轉(zhuǎn)化思想.

從近幾年高考中的圓錐曲線(xiàn)試題來(lái)看，基于引例中的性質(zhì)命制的試題不在少數(shù)，命題不回避這一熱點(diǎn)，且常考常新.教師可對(duì)其整理歸納，與學(xué)生一起探究這類(lèi)試題的共同點(diǎn)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“遷移數(shù)學(xué)知識(shí)、類(lèi)比解題方法，從具體的教學(xué)情境中抽象出共性、方法和體系”.另一方面，從高考試題的研究出發(fā)的命題和解題教學(xué)，既能幫助教師把握命題邏輯的正確性，也能幫助教師從不同角度對(duì)高考試題進(jìn)行引申、類(lèi)比和拓展，把試題價(jià)值最大化，還可以幫助教師能從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，呈現(xiàn)知識(shí)的生成過(guò)程，使得復(fù)習(xí)備考真正做到“精準(zhǔn)高效”.