吳雨霞 董曉麗 邱毅

2022年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第12題是關(guān)于原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的“奇偶性”“對(duì)稱性”的關(guān)系，以及函數(shù)圖象變換和函數(shù)周期性的問題.題目綜合性強(qiáng)，難度大.在人教版高中數(shù)學(xué)新教材中都能看到本題的影子.例如，人教A版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)第87頁(yè)“拓廣探索”第13題及第214頁(yè)“拓廣探索”第19題.人教A版高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第二冊(cè)第5章第3節(jié)的節(jié)引言說(shuō)明利用導(dǎo)數(shù)能更精確地研究函數(shù)的性質(zhì).教材中用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，而奇偶性.對(duì)稱性與周期性也是函數(shù)的重要內(nèi)容，但教材中對(duì)于如何用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的奇偶性和周期性并未提及.本文中對(duì)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的“奇偶性”“對(duì)稱性”的關(guān)系及函數(shù)的周期性的相關(guān)結(jié)論統(tǒng)一進(jìn)行證明，期望在教學(xué)過(guò)程中，教師能充分利用及深度挖掘教材中的題目，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1試題呈現(xiàn)

（2022年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第12題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f32－2x，g（2+x）均為偶函數(shù)，則（）.

A.f（0）=0

B.g－12=0

C.f（－1）=f（4）

D.g（－1）=g（2）

2教材探源

題1（人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第87頁(yè)第13題）我們知道，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）－b為奇函數(shù).

（1）求函數(shù)f（x）=x3－3x2圖象的對(duì)稱中心；

（2）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.

題2（人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第214頁(yè)第19題）容易知道，正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即原點(diǎn)是正弦曲線的對(duì)稱中心.除原點(diǎn)外，正弦曲線還有其他對(duì)稱中心嗎？如果有，那么對(duì)稱中心的坐標(biāo)是什么？另外，正弦曲線是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，那么對(duì)稱軸的方程是什么？你能用已經(jīng)學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)性質(zhì)解釋上述現(xiàn)象嗎？對(duì)余弦函數(shù)和正切函數(shù)，討論上述同樣的問題.

題1將奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的結(jié)論進(jìn)行推廣，即奇函數(shù)是函數(shù)圖象中心對(duì)稱的一種特殊函數(shù)，并要求學(xué)生類比奇函數(shù)的推廣結(jié)論寫出偶函數(shù)的推廣結(jié)論，旨在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng).題2探究正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，而正弦函數(shù)是典型的周期函數(shù)，因此正弦函數(shù)的圖象是探索函數(shù)圖象對(duì)稱性與周期性的良好載體.在學(xué)習(xí)導(dǎo)函數(shù)之后可以發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是余弦函數(shù)，從而說(shuō)明可以從導(dǎo)數(shù)的角度研究函數(shù)圖象的對(duì)稱性.

3問題剖析

對(duì)于上述高考題，由圖象變換可知，g（x）與f（x）的圖象分別關(guān)于直線x=2與直線x=32對(duì)稱，從選項(xiàng)中可以猜到需要探究g（x）與f（x）的周期性.由于g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因此需要尋找導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)對(duì)稱性之間的關(guān)系.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可能有一個(gè)猜想：奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù).在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生往往在猜想后，有的教師說(shuō)結(jié)論是正確的，但并未證明，有的教師是不知如何證明.以下我們從奇函數(shù)與偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱性質(zhì)出發(fā)，給出原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱關(guān)系的統(tǒng)一證明.

結(jié)論1：若f（x）為可導(dǎo)的偶函數(shù)，則f′（x）為奇函數(shù).

證明：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（－x），等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得f′（x）=－f′（－x）.令g（x）=f′（x），則g（x）=－g（－x），所以f′（x）為奇函數(shù).

結(jié)論2：若f（x）為可導(dǎo)的奇函數(shù)，則f′（x）為偶函數(shù).

證明：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（x）+f（－x）=0，等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得f′（x）－f′（－x）=0.令g（x）=f′（x），則g（x）=g（－x），所以f′（x）為偶函數(shù).

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，而可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).因此作出以下推廣猜想：若可導(dǎo)函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形；若可導(dǎo)函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形.以下為證明.

結(jié)論1推廣：若f（x）為圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的可導(dǎo)函數(shù)，則f′（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱.

證明：因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，所以f（x）=f（2a－x），等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得f′（x）=－f′（2a－x）.令g（x）=f′（x），則g（x）=－g（2a－x），即g（x）+g（2a－x）=0，所以f′（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱.

結(jié)論2推廣：若f（x）為圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱的可導(dǎo)函數(shù)，則f′（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

證明：因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱，所以f（x）+f（2a－x）=0，等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，可得f′（x）－f′（2a－x）=0.令g（x）=f′（x），則g（x）－g（2a－x）=0，即g（x）=g（2a－x），所以f′（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

結(jié)論3：若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，c），B（b，c）對(duì)稱，則2|a－b|為f（x）的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，c）對(duì)稱，所以f（x）+f（2a－x）=2c.將x用2b－x替換，得f（2a－2b+x）+f（2b－x）=2c.因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)B（b，c）對(duì)稱，所以f（2b－x）+f（x）=2c.

所以f（2a－2b+x）=f（x）.故2|a－b|為f（x）的一個(gè)周期.

結(jié)論4：若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a，x=b對(duì)稱，則2|a－b|為f（x）的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，所以f（2a－x）=f（x）.將x用2b－x替換，得f（2a－2b+x）=f（2b－x）.又因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x=b對(duì)稱，所以f（2b－x）=f（x）.

所以f（2a－2b+x）=f（x）.故2|a－b|為f（x）的一個(gè)周期.

結(jié)論5：若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，c）及直線x=b對(duì)稱，則4|a－b|為f（x）的一個(gè)周期.

證明：因?yàn)閒（x）關(guān)于點(diǎn)A（a，c）對(duì)稱，所以有[JP5]f（2a－x）+f（x）=2c.用2b－x替換x，得f（2a－2b+x）+f（2b－x）=2c.又

因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x=b對(duì)稱，所以f（2b－x）=f（x）.

所以，可得f（2a－2b+x）+f（x）=2c.

令①式中的x為2a－2b+x，得

f（4a－4b+x）+f（2a－2b+x）=2c.

因此，可得f（4a－4b+x）=f（x），所以4|a－b|為f（x）的一個(gè)周期.

結(jié)論1的逆命題：若g（x）為定義域D上可積的奇函數(shù)，則存在一個(gè)原函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

證明：因?yàn)間（x）為定義域D上可積的奇函數(shù)，所以g（x）+g（－x）=0，等式兩邊同時(shí)對(duì)x積分，得[JP5][XC積分符號(hào).tif，JZ]g（x）dx+[XC積分符號(hào).tif，JZ]g（－x）dx=[XC積分符號(hào).tif，JZ]g（x）dx－[XC積分符號(hào).tif，JZ]g（－x）d（－x）=0.設(shè)g（x）=f′（x），則f（x）+C1=f（－x）+C2.當(dāng)C1=C2時(shí)，f（x）為偶函數(shù).

結(jié)論1推廣的逆命題：g（x）為定義域D上關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱的可積函數(shù)，則存在一個(gè)原函數(shù)f（x）其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

證明：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱，所以g（x）+g（2a－x）=0，等式兩邊同時(shí)對(duì)x積分得，[XC積分符號(hào).tif，JZ]g（x）dx+[XC積分符號(hào).tif，JZ]g（2a－x）dx=[XC積分符號(hào).tif，JZ]g（x）dx－[XC積分符號(hào).tif，JZ]g（2a－x）d（2a－x）=0.令g（x）=f′（x），則f（x）+C1=f（2a－x）+C2.當(dāng)C1=C2時(shí)，f（x）=f（2a－x），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

同理，還可對(duì)結(jié)論2的逆命題及結(jié)論2推廣的逆命題進(jìn)行證明.根據(jù)本文還可猜想：周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù)；若導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù)，則其原函數(shù)也是周期函數(shù).

4問題破解

對(duì)于上述高考題，利用函數(shù)圖象變換可知，f（x）的圖象關(guān)于直線x=32對(duì)稱，g（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.因?yàn)間（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，根據(jù)結(jié)論5可知，f（x）是周期為2的周期函數(shù).根據(jù)結(jié)論1推廣可知，g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)32，0對(duì)稱，又因?yàn)間（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，根據(jù)結(jié)論5可知，g（x）是周期為2的周期函數(shù).

5教學(xué)啟示

本題在知識(shí)點(diǎn)方面考查函數(shù)圖象的變換，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系及函數(shù)的周期性，具有一定難度.在學(xué)生能力上，則指向邏輯推理及直觀想象核心素養(yǎng)的考查.其中，邏輯推理的考查體現(xiàn)在通過(guò)具體實(shí)例去類比，猜想原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的對(duì)稱關(guān)系.直觀想象主要體現(xiàn)在根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱及軸對(duì)稱得到函數(shù)的周期.在教學(xué)過(guò)程中可將教材中“拓廣探索”部分的習(xí)題利用起來(lái)，例如，將它們變成一道思考題，讓學(xué)生先猜想結(jié)論，再嘗試證明，從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).