羅毅 李勇

1背景

“概率與統(tǒng)計(jì)”是高中數(shù)學(xué)四大主要課程之一.而高考中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題形式多變，考查的側(cè)重點(diǎn)和綜合難度都有一定的變化，部分一線教師難以把握高考復(fù)習(xí)方向[1]，因此對(duì)全國(guó)卷（全國(guó)甲卷、乙卷，新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷）中“概率與統(tǒng)計(jì)”的相關(guān)試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，為教學(xué)實(shí)踐提供有效的建議，提醒教師重視“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容[2].為教師開(kāi)展有效的教學(xué)活動(dòng)提供方向，充分發(fā)揮新高考在數(shù)學(xué)學(xué)科教育中的導(dǎo)向作用，以達(dá)到更好的教學(xué)效果.

2研究方法

本文對(duì)2021年和2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷（理科）中的“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析（8套共計(jì)34個(gè)題目）.考慮到不同題型所考查的內(nèi)容和重點(diǎn)存在差異，因此將“概率與統(tǒng)計(jì)”試題分為選填題和解答題兩大類(lèi)，采用定性和定量相結(jié)合的研究方法，先對(duì)試題的命題特點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，再?gòu)牟煌?lèi)型試卷入手，研究試題的綜合難度，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表分析試題特點(diǎn)及試題綜合難度.

2.1命題特點(diǎn)分析

（1）情境領(lǐng)域：數(shù)學(xué)問(wèn)題通常是以問(wèn)題情境有機(jī)地展現(xiàn)出來(lái).本文將依據(jù)新課標(biāo)中情境的劃分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境三個(gè)維度）.

（2）知識(shí)點(diǎn)：鑒于高考具有連續(xù)性、穩(wěn)定性等特點(diǎn)，本文參考2019年高考考試大綱，對(duì)“概率與統(tǒng)計(jì)”考點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)和編碼.

（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可以使他們?cè)诮窈蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有更多獨(dú)到見(jiàn)解，從而有利于他們的身心發(fā)展.本文將參照新課標(biāo)結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的劃分維度（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析）對(duì)2021年和2022年高考數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

2.2綜合難度分析

綜合難度分析可以把握試題的難易程度，并科學(xué)調(diào)控試題難度，從而提高命題質(zhì)量.國(guó)內(nèi)學(xué)者鮑建生［3］則根據(jù)我國(guó)數(shù)學(xué)課程的具體情況提出了五個(gè)難度影響因素的難度模型.本文將采用武小鵬等［4］基于AHP理論構(gòu)建的研究數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型，該模型含7個(gè)要素（背景因素、是否含參、運(yùn)算水平、推理能力、知識(shí)含量、思維方向、認(rèn)知水平），各要素又依據(jù)自身特點(diǎn)劃分為不同水平，具體如表1所示.

記第i個(gè)因素（共j個(gè)水平）的水平為aij，各因素的難度系數(shù)為：di=1N∑jnijdij（i=1，2，……，7;j=1，2，3，4），nij表示第i個(gè)因素中第j個(gè)水平的題目個(gè)數(shù)，N代表題目的總個(gè)數(shù).因此，整套試題的綜合難度系數(shù)為D=∑7i=1diki（i=1，2，……，7），其中ki為各因素在整個(gè)試題中所占的權(quán)重系數(shù)，本文參考武小鵬［1］提出的難度模型所得出的權(quán)重系數(shù)（ki=0.40，1.20，0.83，2.50，0.40，0.83，0.83）.

3數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析

3.1試題特點(diǎn)分析

（1）情境領(lǐng)域分析

通過(guò)統(tǒng)計(jì)（見(jiàn)表2）發(fā)現(xiàn)，試題對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的設(shè)置最多，如2021年全國(guó)乙卷第6題：“將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰等4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，……，則不同的分配方案共有多少種？”試題情境貼近現(xiàn)實(shí)生活，與國(guó)家時(shí)事緊密相聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感和社會(huì)責(zé)任感，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，將理論和實(shí)踐相結(jié)合.

（2）知識(shí)點(diǎn)分析

2021年和2022年選填題在知識(shí)點(diǎn)上重點(diǎn)考查了“古典概型”“概率”以及“用樣本估計(jì)總體”部分，其知識(shí)點(diǎn)含量的設(shè)計(jì)往往趨向單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查，總體來(lái)說(shuō)考查難度不大.而解答題對(duì)于“隨機(jī)抽樣”和“概率”知識(shí)點(diǎn)的考查最多，很少涉及“變量的相關(guān)性”和“隨機(jī)數(shù)與幾何概型”的考查；每道解答題所考查的知識(shí)點(diǎn)均在兩個(gè)及兩個(gè)以上，體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)的融合性，突顯出解答題設(shè)置的綜合性.（知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表3.）

（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分析

選填題著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，注重?cái)?shù)據(jù)分析能力，其命題符合考綱要求，具有實(shí)用性.解答題側(cè)重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模的考查，重視學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng).以2022年新高考Ⅱ卷第19題為例，學(xué)生要從疾病與年齡間的關(guān)系情境中抽象出概率的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)邏輯推理計(jì)算出患病平均年齡，并在此基礎(chǔ)上建立模型計(jì)算某年齡段的患病率.（數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表4.）

3.2試題綜合難度分析

按照表1中不同因素的界定，對(duì)8套試卷中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題進(jìn)行分類(lèi)賦值.具體如下：

例1（2022年全國(guó)甲卷第2題）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí)，為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如圖1：

則（）.

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

分析：

該試題難度水平及賦值——生活背景2；簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算3；簡(jiǎn)單推理1（包含三步：一是通過(guò)散點(diǎn)圖對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序；二是根據(jù)中位數(shù)概念找出中位數(shù)；三是根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的計(jì)算公式分別計(jì)算出平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差）；無(wú)參數(shù)1；知識(shí)點(diǎn)含量中等2；順向思維1；運(yùn)用認(rèn)知水平2.

對(duì)2021年和2022年全國(guó)高考“概率與統(tǒng)計(jì)”知識(shí)單元涉及的34道試題同上進(jìn)行分類(lèi)和賦值，得到原始編碼數(shù)據(jù)后根據(jù)綜合難度系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算，得到表5.

從整體來(lái)看，2021年和2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的綜合難度系數(shù)差距不大，其中新高考Ⅰ卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的綜合難度系數(shù)最高，達(dá)到13.22，甲卷、乙卷和新高考Ⅱ卷的綜合難度相差不大，難度系數(shù)在12左右.

為直觀了解2021年和2022年“概率與統(tǒng)計(jì)”試題在這7個(gè)維度上的側(cè)重程度，繪出雷達(dá)圖，如圖2.

圖2綜合難度系數(shù)雷達(dá)圖

可見(jiàn)，2021年和2022年甲、乙卷以及新高考Ⅰ、Ⅱ卷在推理能力、參數(shù)因素、背景因素三個(gè)維度上的考查難度差異不大，難度水平基本相當(dāng).在運(yùn)算水平、知識(shí)的認(rèn)知水平和思考方向三個(gè)方面，新高考Ⅰ卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的難度明顯高于其他三卷，而在背景因素上又明顯低于其他三卷；在知識(shí)含量方面，乙卷“概率與統(tǒng)計(jì)”試題的難度低于其他三卷；同時(shí)四種類(lèi)型的試卷都重視對(duì)運(yùn)算能力的考查，對(duì)此維度的考查力度遠(yuǎn)大于其他維度.

4啟示與建議

通過(guò)綜合統(tǒng)計(jì)和分析，發(fā)現(xiàn)這一部分的試題具有以下特征：一是問(wèn)題情境多以現(xiàn)實(shí)情境為主，具有現(xiàn)實(shí)性；二是試題涵蓋的知識(shí)點(diǎn)廣泛，內(nèi)容豐富；三是各類(lèi)型試題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的側(cè)重點(diǎn)不同，具有針對(duì)性；四是不同試卷的試題綜合難度相差不大，具有一致性.本文認(rèn)為，隨著信息時(shí)代的到來(lái)，“概率與統(tǒng)計(jì)”的概念逐漸被人們所關(guān)注，這不僅有利于轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的良好素質(zhì)，也為培養(yǎng)大量的信息技術(shù)人才打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).因此給出如下幾點(diǎn)建議.

（1）問(wèn)題情境方面

適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一個(gè)重要載體.因此在命制試題時(shí)要充分考慮學(xué)生和社會(huì)的需求以及時(shí)代背景，創(chuàng)設(shè)更加合理的問(wèn)題情境，充分體現(xiàn)試題的應(yīng)用性，使學(xué)生了解到，數(shù)學(xué)是從生活中產(chǎn)生的，也是在生活中得到運(yùn)用的.

（2）知識(shí)點(diǎn)方面

單一的知識(shí)點(diǎn)不能夠體現(xiàn)高考試題綜合性的特點(diǎn)，命題可以適當(dāng)增加知識(shí)點(diǎn)的容量或滲透其他學(xué)科知識(shí)點(diǎn)，從而增加試題的綜合性，幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)框架.

（3）解題思維方面

命題時(shí)可以適當(dāng)增加逆向思維的試題，如增加一些需用反證法、舉反例、逆用定理等求解的題目，這樣才能有效地提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)他們的逆向思維，提高他們的解題能力.

（4）綜合難度方面

為了保證試題的價(jià)值，并發(fā)揮試題的選拔功能和導(dǎo)向作用，命題人要考慮各難度因素的平衡性，研究課標(biāo)、回歸教材，秉持促進(jìn)學(xué)生均衡且全面發(fā)展的理念，并根據(jù)不同地區(qū)對(duì)高考試題的要求，科學(xué)地去均衡各難度因素，提高試題的價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]廖藝捷，朱展霖，胡典順.近五年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的統(tǒng)計(jì)與分析——以全國(guó)Ⅰ卷（理科）為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（2）：56-62.

[2]李亞瓊，徐文彬.高考課標(biāo)卷概率統(tǒng)計(jì)試題的特點(diǎn)及其教學(xué)啟示——基于2011-2020年全國(guó)課標(biāo)卷的分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（6）：13-19.

[3]鮑建生.中英兩國(guó)初中數(shù)學(xué)期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002，31（9）：48-52.

[4]武小鵬，孔企平.基于AHP理論的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型構(gòu)建與應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（2）：29-34.