胡正波

“一題多解”是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)中比較常用的一種基本手段，更是高考復(fù)習(xí)中非常有效的一種教學(xué)方式.借助“一題多解”，可以有效引領(lǐng)復(fù)習(xí)，夯實(shí)“四基”，進(jìn)而全面克服學(xué)生解題中的思維定勢(shì)，有效發(fā)散數(shù)學(xué)的靈動(dòng)思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性，這對(duì)復(fù)習(xí)備考是非常有益的.而借助“一題多解”，能更加充分體現(xiàn)學(xué)生對(duì)整體知識(shí)的理解掌握情況，以及更加靈活的應(yīng)用能力，也能更加有效地提升學(xué)生的“四能”，達(dá)到高效復(fù)習(xí)的最佳效益.

1 梳理整合知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系

借助“一題多解”策略進(jìn)行高考復(fù)習(xí)與教學(xué)分析，往往可以將不同知識(shí)體系中的知識(shí)點(diǎn)加以合理整合，構(gòu)建不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，使知識(shí)點(diǎn)之間“點(diǎn)連成線、織成面、構(gòu)成體”，從而構(gòu)建一個(gè)更加和諧、完整的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，對(duì)于知識(shí)的全面理解與掌握，以及知識(shí)的靈活應(yīng)用更加有效，從而提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

例1?〔光大教育2023屆高三綜合能力測(cè)試（三）數(shù)學(xué)試卷·19〕△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=?3?a．

（1）若bcos C=?3?，csin B=3，求A；

（2）若b=4，求△ABC面積的最大值．

解析：（1）利用正弦定理?b?sin B?=?c?sin C?，可得csin B=bsin C=3，又bcos C=?3?，所以tanC=?3?.

結(jié)合C∈（0，π），可得C=?π?3?.

由c=?3?a，結(jié)合正弦定理有sin C=?3?sin A，從而可得sin A=?1?2?.

又c=?3?a>a，可得C>A，所以A=?π?6?.

（2）解法1（二次函數(shù)法）：設(shè)a=x>0，則c=?3?a=?3?x.結(jié)合三角形的幾何性質(zhì)，可得

2（?3?－1）

利用余弦定理，有cos C=?a2+b2－c2?2ab?=?8－x2?4x?.

結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，有

sin C=?1－cos 2C?=??－x4+32x2－64??4x?.

所以，可以得到△ABC面積S=?1?2?absin C=?1?2??－x4+32x2－64?=?1?2??－（x2－16）2+192?，則當(dāng)x2=16，即x=4時(shí)，△ABC面積的最大，且最大值為?1?2??192?=4?3?．

解法2（坐標(biāo)法）：以AC所在直線為x軸，AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A（－2，0），C（2，0）.

設(shè)B（x，y），由c=?3?a，可得c2=3a2，則（x+2）2+y2=3[（x－2）2+y2]，整理并化簡(jiǎn)，可得

（x－4）2+y2=12（y≠0）.

所以|y|≤2?3?.因此△ABC面積S=?1?2?b|y|≤?1?2?×4×2?3?=4?3?，即△ABC面積的最大值為4?3?．

感悟反思：在同一數(shù)學(xué)問題中滲透多個(gè)知識(shí)點(diǎn)是高考命題的基本指導(dǎo)思想，而解題時(shí)利用不同的知識(shí)點(diǎn)來求解，也是必然所在．解法1中通過二次函數(shù)知識(shí)來處理，解法2中通過解析幾何中的坐標(biāo)知識(shí)來處理，利用各自不同的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)加以切入與應(yīng)用，優(yōu)化解題過程，合理梳理并整合數(shù)學(xué)知識(shí)，提高課堂效益．

2 發(fā)散數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

借助“一題多解”策略進(jìn)行高考復(fù)習(xí)與教學(xué)分析，可開闊學(xué)生的眼界，形成知識(shí)的融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，特別對(duì)于數(shù)學(xué)思維的變通性、靈活性、多樣性與創(chuàng)新性等可以起到非常好的拓寬與應(yīng)用效果，真正培育學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用．

例2?〔福建省泉州市2023屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）數(shù)學(xué)試卷·8〕已知向量[WTHX]a，b，c中，|a|=1，且滿足b·c=0，a·b=1，a·c=－1，則|b+c|的最小值為（??）.

A．1

B．?2

C．2

D．4

解法1：幾何意義法.

設(shè)向量a=OA?，[WTHX]b=OB?，c=OC?，OD?=－OA?.

依題意并結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，有AB⊥OA，DC⊥DO，OB⊥OC，如圖1所示.

而|b+c|=|b－c|=|OB?－OC?|=|CB?|，數(shù)形直觀可知，|CB?|為夾在兩平行直線AB與CD間的線段長(zhǎng).

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)BC⊥AB時(shí)，|CB?|取到最小值2，則|[WTHX]b+c|的最小值為2.故選擇：C．

解法2：坐標(biāo)法.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)向量a=（1，0），b=（x1，y1），c=（x2，y2），如圖2所示，

因?yàn)閍·b=1，a·c=－1，b·c=0，

所以x1=1，x2=－1，x1x2+y1y2=0，即y1y2=1.

又b+c=（x1+x2，y1+y2），所以可得

b+c|=?（x1+x2）2+（y1+y2）2?=?y21+y22+12+（-1）2?≥?2y1y2+2?=2，當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2=1或y1=y2=－1時(shí)，等號(hào)成立，則|b+c|的最小值為2.故選擇：C．

感悟反思：波利亞曾說過，掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題．抓住問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，從不同數(shù)學(xué)思維視角來切入與展開，是“一題多解”策略與應(yīng)用的關(guān)鍵．解法1從幾何思維切入，回歸平面向量“形”的幾何特征，從數(shù)形結(jié)合視角進(jìn)行直觀想象，解決起來更加直觀簡(jiǎn)捷；解法2從代數(shù)思維切入，根據(jù)平面向量的“數(shù)”的結(jié)構(gòu)屬性，通過平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建，合理引入平面向量的坐標(biāo)，利用平面向量中的相關(guān)要素，轉(zhuǎn)化為涉及坐標(biāo)的函數(shù)、方程或不等式等，進(jìn)而從代數(shù)視角來數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理．

3 提升變形能力，培育邏輯推理

借助“一題多解”策略進(jìn)行高考復(fù)習(xí)與教學(xué)分析，關(guān)注對(duì)問題的深入挖掘、深度學(xué)習(xí)與研究，對(duì)數(shù)學(xué)變形能力和推理有著較高的要求，結(jié)合不同的變形方向與縱深思維，展開不同的邏輯推理與解題應(yīng)用，這對(duì)于邏輯推理素養(yǎng)的形成是非常有效的，也對(duì)推理能力的提升有很大的幫助.

例3?（2023屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試卷·8）在數(shù)列{an}中，a1=1，其前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意正整數(shù)n，有Sn+1=－3an+1+an+3，且滿足Sn+an>（－1）na，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（??）.

A．?－1，?3?2

B．?－1，?5?2

C．?－2，?5?2

D．（－2，3）

解法1：整體構(gòu)建法.

令bn=Sn+an，則bn+1=Sn+1+an+1.由

Sn+1=－3an+1+an+3，可得Sn+1=－2an+1－（Sn+1－Sn）+an+3，即2（Sn+1+an+1）=（Sn+an）+3，所以2bn+1=bn+3，即2（bn+1－3）=bn－3.

所以數(shù)列{bn－3}是以b1－3=S1+a1－3=－1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

則bn－3=－?1?2n－1?，即bn=3－?1?2n－1?.

依題意知bn>（－1）na，則知對(duì)任意正整數(shù)k，都有－b2k－1

所以－b1

解法2：分層構(gòu)建法（這里從略，可掃碼閱讀）

感悟反思：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式來分析，利用對(duì)應(yīng)數(shù)列的構(gòu)建來求解相應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)公式是解決問題的關(guān)鍵，也是最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)．解法1利用整體構(gòu)建相關(guān)的數(shù)列來變形，解法2利用分層構(gòu)建相關(guān)的數(shù)列來變形，進(jìn)而利用對(duì)應(yīng)數(shù)列的轉(zhuǎn)化來分析與解決問題．在處理數(shù)列相關(guān)問題中，要挖掘問題本質(zhì)，根據(jù)題設(shè)條件或所求結(jié)論加以合理變形與轉(zhuǎn)化，通過概念、性質(zhì)、公式等的應(yīng)用，優(yōu)化解題，提升效益．

其實(shí)，借助“一題多解”合理引領(lǐng)并指導(dǎo)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)以及針對(duì)性的復(fù)習(xí)備考，對(duì)教師自身的能力與水平提出了更高的要求，需要教師進(jìn)行集體備課，整合團(tuán)隊(duì)的力量，更加有效地研究教材、考綱、考題等，進(jìn)而有針對(duì)性地制定更加行之有效的教學(xué)目標(biāo)，合理精選精編教學(xué)中的素材與典例，多學(xué)習(xí)、多思考、多研究、多探尋，平時(shí)要勤于實(shí)踐和反思，在深度理解與深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上開展教學(xué)與復(fù)習(xí)；同時(shí)要注意教師之間、備課組等的協(xié)同合作．

課題信息：2020年河南省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“高效‘6+1模式在高中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用研究”，課題編號(hào)為2020YB1433.