劉鈍

中圖分類號(hào)N09∶O1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

李國偉是中國臺(tái)灣地區(qū)著名的數(shù)學(xué)家與科普作家，1971年從臺(tái)灣大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)后赴美深造，師從荀菲德（Joseph RShoenfield）教授專攻數(shù)理邏輯，1976獲得杜克大學(xué)博士學(xué)位。20世紀(jì)80—90年代，曾先后擔(dān)任臺(tái)灣“中研院”數(shù)學(xué)研究所所長與總辦事處處長。除了自己的專業(yè)數(shù)理邏輯與組合數(shù)學(xué)之外，李國偉的研究興趣也旁及數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史以及科學(xué)傳播，著有《一條畫不清的界線——李國偉的科文游牧集》《數(shù)學(xué)，這樣看才精采：李國偉的數(shù)學(xué)文化講堂》等，譯作則有《宇宙的詩篇》《科學(xué)迎戰(zhàn)文化敵手》《數(shù)學(xué)教你不犯錯(cuò)》（上、下冊(cè)）《小學(xué)算術(shù)教什么，怎么教》等。最近高等教育出版社推出了他的新著《數(shù)學(xué)文化攬勝集》，分為“人物”“歷史”“藝數(shù)”“教育”四篇，各自單獨(dú)成冊(cè)，可謂洋洋大觀，別開生面。

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《人物篇》由11章組成，各章的主角，按照李國偉的說法——“都曾經(jīng)在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)主流之外，蹚出一條清溪，有的日后甚至拓展開恢宏的水域”。因此阿基米德、牛頓、高斯、歐拉、黎曼、龐加萊乃至希爾伯特這些數(shù)學(xué)殿堂的頂級(jí)大神都沒有入列，作者選擇的12位英雄以及他們各自的特色分別是：“形象由淡入濃的圖靈”“被老婆澆冷水而亡的自學(xué)成器的布爾”“以邏輯建構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的奇才皮茨”“哈代與李特爾伍德要合作先約法”“籠罩拉馬努金的那些道陰影”“推波助瀾更待誰的戴森”“園丁之子解碼英雄塔特”“從數(shù)學(xué)到哲學(xué)的王浩”“畢達(dá)哥拉斯的事跡可信嗎”“未獲科學(xué)史恰當(dāng)評(píng)價(jià)的開普勒”“孔多塞說：‘來搞點(diǎn)社會(huì)數(shù)學(xué)吧！”。

今日幾乎沒有人懷疑機(jī)器可以計(jì)算、學(xué)習(xí)甚至思考，但在20世紀(jì)的絕大多數(shù)時(shí)間里情況是截然不同的。1933年，21歲的圖靈通過自學(xué)懷特海與羅素的《數(shù)學(xué)原理》開始進(jìn)軍數(shù)理邏輯領(lǐng)域，他又在劍橋數(shù)學(xué)家紐曼（Max Newman）的課上，獲知希爾伯特的第三問題相當(dāng)于問是否存在一種機(jī)械程序，可以辨識(shí)一個(gè)命題在系統(tǒng)里能否得到證明？事實(shí)上，哈代早在幾年前就斷然否定了這種想法，他還說幸虧沒有這類東西，否則我們數(shù)學(xué)家就無事可干了。法國大數(shù)學(xué)家龐加萊在《科學(xué)與方法》一書中，則以嘲諷的口吻把這種想法比喻為從一頭送進(jìn)活豬而在另一頭收獲火腿與香腸的機(jī)器。1935年圖靈在長跑休息時(shí)，突然萌生了一種通用計(jì)算的思想，后來寫成《論可計(jì)算數(shù)及其在可判定性問題上的應(yīng)用》，這篇論文至少有三項(xiàng)極重要的貢獻(xiàn)：（1）創(chuàng)新定義一種抽象的計(jì)算機(jī)；（2）證明通用計(jì)算機(jī)的存在性；（3）證明存在任何計(jì)算機(jī)都不能解決的問題。他所定義的機(jī)器后來被稱為圖靈機(jī)，相當(dāng)于用形式上極為簡單的抽象設(shè)備代替了哥德爾以通用算術(shù)為基礎(chǔ)的形式語言。除了在計(jì)算機(jī)科學(xué)與人工智能領(lǐng)域的開拓性工作之外，圖靈在密碼學(xué)、生物形態(tài)發(fā)生學(xué)、非線性動(dòng)力學(xué)與認(rèn)知科學(xué)方面也都做出了重要貢獻(xiàn)。1947年他在倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)的演講中有一句話特別值得今人回味，他說：“如果期望機(jī)器永不犯錯(cuò)，那么它就不可能有智慧?！?/p>

布爾的大名是同邏輯代數(shù)、電路設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)編程聯(lián)系在一起的，可以說沒有他的工作就沒有電子計(jì)算機(jī)日后的發(fā)展，但是很少有人知道他是一名自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，家境貧寒，出身低微，沒有上過正式大學(xué)，更沒有博士學(xué)位，即使成名后也沒有多少人能夠預(yù)見他的工作將對(duì)人類社會(huì)產(chǎn)生多么深遠(yuǎn)的影響。特別不幸的是天不假年，布爾中年而故，去世時(shí)才49歲，而他的意外身亡與愛妻的社會(huì)理念及生活態(tài)度脫不開干系。1855年已在愛爾蘭科克市皇后學(xué)院擔(dān)任數(shù)學(xué)教授的布爾與瑪麗·埃佛勒斯（Mary Everest）喜結(jié)連理，女方的父親是教區(qū)會(huì)長、叔叔是著名的測繪學(xué)家?，旣愖孕≡诜▏邮芙逃?1歲才回到英國，她與布爾相差17歲，家庭背景也不相同，但二人的婚姻十分完美，一共生育了五個(gè)女兒。1864年11月24日，布爾像往常一樣步行前往學(xué)校上課，途中突遇暴雨，但他不愿耽誤上課，來不及更衣就直奔教室，結(jié)果得了感冒，隨后惡化成肺炎?，旣愂莻€(gè)超前的女權(quán)主義者和順勢療法的信奉者，對(duì)自己和家人都有嚴(yán)苛的要求，例如洗澡要用冰冷的水，早餐前要長途步行，以及遵守嚴(yán)格的飲食規(guī)矩等。據(jù)說回到家的布爾被安置在浸濕的床上，被瑪麗澆了好幾桶冷水，最終生命之火被徹底澆熄。其實(shí)瑪麗并不是一位無知的村婦，她從小熱愛代數(shù)，曾參與布爾的微分與差分方程著作的編輯工作。布爾去世后，她成為有名的兒童教育專家，還寫過一本名為《引人入勝的代數(shù)原理》的科普讀物，從一個(gè)寓言開始進(jìn)入歷史脈絡(luò)，以有趣的方式向孩子們講述代數(shù)和邏輯。她獨(dú)立撫養(yǎng)大的五個(gè)女兒，個(gè)個(gè)都有精彩的人生。在布爾-埃佛勒斯家族的后代中出了很多名人，中國人熟悉的有小說《牛虻》的作者艾杰爾·麗蓮·伏尼契（Ethel Lilian Voynich）、1948年來到中國的國際友人寒春（Joan Hinton），以及當(dāng)代人工智能領(lǐng)域的大咖、2018年圖靈獎(jiǎng)獲得者杰弗瑞·埃佛勒斯·辛頓（Geoffrey Everest Hinton）。

書中還有很多有趣的段子。例如拉馬努金由于不習(xí)慣英國的陰冷天氣又堅(jiān)守婆羅門的素食傳統(tǒng)，導(dǎo)致營養(yǎng)不良和多發(fā)性疾病，回到印度后獲得妻子的悉心照料。1984年這位賢惠的印度遺孀告訴專門研究拉馬努金的訪客，丈夫回來后的第一句話就是“真該帶你一道去英國的”。再比如談到了王浩對(duì)哲學(xué)的興趣，以及他對(duì)英美分析哲學(xué)的批判沒能得到華人學(xué)界的響應(yīng)，以致即便有吳大猷亟力舉薦，最終都未能當(dāng)選“中研院”院士。

畢達(dá)哥拉斯、開普勒、孔多塞、哈代與李特爾伍德、以及戴森的事跡，公眾也許通過其他讀物有所耳聞。皮茨（Walter Pitts， Jr）和塔特（William Tutte）對(duì)于一般讀者可能是比較陌生的。前者是美國人，才華橫溢的機(jī)器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與深度學(xué)習(xí)的先驅(qū)，曾獲得維納、馮·諾依曼等控制論大神的青睞；后者是英國人，二戰(zhàn)時(shí)破解德軍“洛倫茲”密碼的幕后英雄，據(jù)說解碼的困難程度更甚于圖靈面臨的升級(jí)版“恩尼格瑪”。

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《歷史篇》延續(xù)《人物篇》選擇的視角，嘗試觀察評(píng)述一些不為主流史家留意的知識(shí)現(xiàn)象。按照作者的自述，他無意為錯(cuò)綜復(fù)雜的歷史厘出一條因果分明的線索，而樂于在涉獵數(shù)學(xué)史的過程里尋覓一些樂趣，感受那種如同在山野之中采擷到奇花異草的欣喜。全篇分為12章，分別是：“‘計(jì)算大敘事的簡要輪廓”“中國古代對(duì)角度的認(rèn)識(shí)”“假如徐光啟學(xué)通拉丁文”“鴿籠原理其來有自”“遲來報(bào)到的素?cái)?shù)”“如果0不算偶數(shù)，1也曾經(jīng)不是奇數(shù)”“崔錫鼎比歐拉更早造出歐拉方陣”“好難馴服的無窮小”“聆聽行星的天籟”“4 523 659 424 929 個(gè)符號(hào)定義1”“《戰(zhàn)爭與和平》與微積分”“數(shù)學(xué)家譜”。

首先令人感興趣的是此篇中的中國元素。長期以來，世界數(shù)學(xué)史中幾乎找不到中國的位置，除了祖沖之的圓周率數(shù)據(jù)、宋元算家的數(shù)字高次方程和被稱為“孫子定理”的同余式算法外，似乎沒有什么傲人的東西，然而一旦建立起全球性的敘事，中國古代算學(xué)占據(jù)的地位就突出了。作者從算法、表征與工具三個(gè)方面論述了中國古算的成就，分別以《九章算術(shù)》中的輾轉(zhuǎn)相除法、10進(jìn)位值制記數(shù)法、算籌與算盤為代表。書中還分別從技藝、天文與幾何學(xué)立場論述了中國古代有關(guān)角度的概念，認(rèn)為中國幾何的“角”與天文的“度”沒有自發(fā)地統(tǒng)合到一個(gè)整體中乃是一個(gè)缺陷。涉及中國的內(nèi)容還有籌算導(dǎo)出的負(fù)數(shù)、易數(shù)中的奇偶概念、古代筆記中“鴿籠原理”，以及清末李善蘭關(guān)于素?cái)?shù)的研究等。最有意思的是，作者引述哈代“沒有一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)進(jìn)展是由50歲以上的人所啟動(dòng)的”，而指出華人數(shù)學(xué)家張益唐在58歲做出孿生素?cái)?shù)間隔的開拓性貢獻(xiàn)，可以說是哈代偏見的一個(gè)反例。

“計(jì)算”大敘事是作者在《歷史篇》首章提出來的一個(gè)綱領(lǐng)性意見，要點(diǎn)有四：（1）人類文化早期就有計(jì)算活動(dòng)，數(shù)千年來構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分，但計(jì)算終將從數(shù)學(xué)中分離出來并形成獨(dú)立的發(fā)展軌跡；（2）應(yīng)該建立一個(gè)立足于多元文化基礎(chǔ)的“計(jì)算”演化觀，其中特別需要矯正以歐洲文明為中心的偏見；（3）在這種全球性的、整合性的大敘事中，自然不能忽視中國文明的貢獻(xiàn)；（4）應(yīng)該強(qiáng)調(diào)文化史的視角，要關(guān)注“計(jì)算”與社會(huì)的互動(dòng)，對(duì)于關(guān)鍵性人物應(yīng)予重新評(píng)價(jià)或深化認(rèn)識(shí)。

書中關(guān)于奇偶數(shù)的文字令人忍俊不禁。話說新冠病毒流行之際，口罩在臺(tái)灣地區(qū)市面上一度緊缺，民眾須憑全民健康保險(xiǎn)卡前往特約的藥局才能買到，并且還要根據(jù)身份證末位碼來區(qū)分購買的時(shí)間，奇數(shù)碼者限每周一、三、五，偶數(shù)碼者限每周二、四、六，周日則不限奇偶都能購買。對(duì)此臺(tái)南的陳志金醫(yī)生在臉書上發(fā)文諷刺，稱這一舉措最大的貢獻(xiàn)之一，“就是能夠在一夕之間讓大眾具體知道‘奇數(shù)和‘偶數(shù)的差別，還讓至少230萬人知道‘零是偶數(shù)！（按臺(tái)灣地區(qū)計(jì)有2300萬人口，陳醫(yī)生在這里取1/10為身份證末位碼為0者的約數(shù)）”0是不是偶數(shù)？這是常常令小學(xué)算術(shù)老師感到棘手的一個(gè)問題，如果按照能夠被2整除或奇偶相鄰排列這兩條原則來看，0確實(shí)是偶數(shù)。因此陳醫(yī)生又說，這是“數(shù)學(xué)教育史上的一大突破”，是“跨部會(huì)合作的典范”。

書中還有更多好玩的東西，例如懷特海與羅素在《數(shù)學(xué)原理》中用冗長的篇幅證明1+1=2；布爾巴基學(xué)派引入7個(gè)基本符號(hào)將數(shù)學(xué)形式化，定義1則需用4萬5千億以上的基本符號(hào)疊加（還不算1萬多億個(gè)輔助閱讀符號(hào)）；再如托爾斯泰《戰(zhàn)爭與和平》中有關(guān)“無窮小”“微分”“積分”的文字等。最有意思的還是設(shè)在美國的克雷數(shù)學(xué)研究所關(guān)于數(shù)學(xué)家譜系的一項(xiàng)資助計(jì)劃，作者借助網(wǎng)絡(luò)繪出了自己的學(xué)術(shù)譜系樹，笑稱“原來我是萊布尼茨與達(dá)朗貝爾的后裔”。

英國數(shù)學(xué)家哈代在其名著《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》中寫道：“數(shù)學(xué)家像是畫家或詩人，都是模式的創(chuàng)造者，如果說數(shù)學(xué)家的模式比較有永久性，那是因?yàn)樗鼈兪怯衫砟钏鶚?gòu)成的?！蹦Ｊ?，原文用的是patterns，按照某些科學(xué)哲學(xué)家的意見：數(shù)學(xué)科學(xué)不再只是對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式進(jìn)行研究，而已經(jīng)成為關(guān)于模式的科學(xué)，其理論建立在模式之間的關(guān)系以及從模式和觀察之間的契合中得出的應(yīng)用之上；而在藝術(shù)領(lǐng)域，patterns最直接的指向是花紋與圖案，往往又與旋轉(zhuǎn)、反射、投影、分形等數(shù)學(xué)概念密切相關(guān)，說到底也是理念（idea）的產(chǎn)物。

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“藝數(shù)”是近年來臺(tái)灣地區(qū)數(shù)學(xué)教育與普及領(lǐng)域常見的一個(gè)新名詞，反映了人們?cè)跀?shù)學(xué)普及活動(dòng)中與藝術(shù)溝通的努力，眼下正呈現(xiàn)越來越熱鬧的景象。李國偉特別強(qiáng)調(diào)“藝數(shù)不會(huì)是異數(shù)”，按照他的見解，藝數(shù)至少包含以下三方面：（1）以藝術(shù)手法展示數(shù)學(xué)內(nèi)容；（2）受數(shù)學(xué)思想或成果啟發(fā)的藝術(shù)；（3）數(shù)學(xué)家創(chuàng)作的藝術(shù)。

《藝數(shù)篇》共有15章，各章的名目分別是：“數(shù)學(xué)美美的”“藝數(shù)不會(huì)是異數(shù)”“國際上的數(shù)學(xué)展覽”“以藝術(shù)展示數(shù)學(xué)及其啟示”“默比烏斯把紙帶轉(zhuǎn)了幾圈”“充滿數(shù)學(xué)色彩的埃舍爾藝術(shù)”“一張紙折出了乾坤”“榫卯咬合益智玩具”“數(shù)學(xué)模型將風(fēng)華再現(xiàn)”“旅行售貨員跑出數(shù)學(xué)藝術(shù)”“王浩花磚鋪出美妙天地”“張拉整體結(jié)構(gòu)藝術(shù)的開端”“均質(zhì)不倒翁岡布茨”“聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)、藝術(shù)與教育的橋梁”“焦點(diǎn)透視看敦煌壁畫”。在這萬花筒般千奇百妙的迷人圖景中，我只能選取自己最有感觸的若干場景與讀者分享。

中國古代建筑普遍使用木結(jié)構(gòu)，論者謂榫卯咬合對(duì)應(yīng)凸凹互補(bǔ)，形象上符合陰陽耦合的思想，實(shí)際上反映了古代工匠巧妙的空間構(gòu)思。不知從什么時(shí)候起，有人將榫卯結(jié)構(gòu)應(yīng)用于益智游戲，發(fā)明了被稱為孔明鎖或魯班鎖的玩具，有民謠唱道：“不用釘連，不用膠合；我中有你，你中有我。陰陽拼插，卯榫成鎖；嚴(yán)絲合縫，豈奈我何?！睋?jù)李國偉稱，目前所見最早記載這一玩具的文獻(xiàn)是寫了《七劍十三俠》的晚清文人唐蕓洲，他在1889年出版的《鵝幻匯編》中描述了一件名為“六子聯(lián)芳”的玩具，所謂“六子”就是六塊榫卯咬合并能拆開的木構(gòu)件，分別以禮、樂、射、御、書、數(shù)命名；“鵝幻”則源自南朝文人吳均《續(xù)齊諧記》中的一個(gè)志怪故事，寓含“變戲法”的意思。后來唐蕓洲又在《鵝幻續(xù)編》中介紹了名為“桂花球子”的球狀魯班鎖。而在大約200年前，法王路易十四的御用畫師勒克萊克（Sébastien Leclerc）在一幅版畫的右下角，留下了一個(gè)“六子聯(lián)芳”的圖像，在西方則被稱為“中國十字架”。增加木構(gòu)件的個(gè)數(shù)，可以使榫卯咬合玩具的種類愈加繁復(fù)，在游戲中體會(huì)空間的幾何性質(zhì)并訓(xùn)練邏輯思維的能力，在近代西方和日本都很流行。從一定程度上可以說，魯班鎖是當(dāng)今流行全球的魔方（Rubiks Cube）的前身。

哈密頓（William Hamilton）是愛爾蘭（當(dāng)時(shí)屬英國）數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)造的四元數(shù)代數(shù)是傳統(tǒng)復(fù)數(shù)系在四維實(shí)數(shù)空間的推廣，元素之間可作類似復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，但是不滿足乘法的交換律，對(duì)于近世代數(shù)、經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)、狹義相對(duì)論和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等學(xué)科的發(fā)展都有很大影響。1856年，哈密頓又發(fā)現(xiàn)了另一種只有乘法的代數(shù)系統(tǒng)，他察覺到可以用三維空間的正12面體來表達(dá)這一系統(tǒng)，乘法運(yùn)算就對(duì)應(yīng)到棱線間的轉(zhuǎn)換。因?yàn)檎?2面體有20個(gè)頂點(diǎn)，所以就把這個(gè)系統(tǒng)稱為“廿算”（icosian calculus）。由此他又設(shè)計(jì)出一種正12面體的“廿算”游戲：假如把20個(gè)頂點(diǎn)當(dāng)作20座城市，玩法是從一個(gè)城市出發(fā)沿著棱線（不需要經(jīng)過每一條棱）周游各地，要求游遍其他19座城市且每個(gè)城市僅允許經(jīng)過一次，最后回到原地。1857年，哈密頓公開了這款游戲，兩年后賣給倫敦的玩具商賺了25英鎊。這個(gè)商品化之后的游戲叫作“環(huán)游世界”，因?yàn)橥娣▎握{(diào)，賣得并不怎么好。若將正12面體壓扁構(gòu)成一個(gè)平面圖形，圖上則有20個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)聯(lián)系著3條線段，共有30條線段。如同歐拉的“哥尼斯堡七橋”問題一樣，哈密頓的“環(huán)游世界”游戲也成了現(xiàn)代圖論的濫觴。

《藝數(shù)篇》中還有很多令人驚艷的題材，例如印度人魯生達(dá)（Sundara Row）開創(chuàng)的“折紙幾何學(xué)”，以及冠名為“藤田-羽鳥”的折紙作圖公理系統(tǒng)；默比烏斯的生平和公元3世紀(jì)羅馬遺跡中帶有默比烏斯環(huán)圖樣的馬賽克鑲嵌；倫敦大學(xué)神經(jīng)生物學(xué)家澤奇（Semir Zeki）在數(shù)學(xué)泰斗阿蒂亞（Michael Atiyah）協(xié)助下開展的數(shù)學(xué)美感之神經(jīng)基礎(chǔ)的量化研究；荷蘭畫家埃舍爾（Maurits Escher）與國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，以及他同彭羅斯（Roger Penrose）等數(shù)學(xué)家的合作；王浩發(fā)明的“王氏花磚”（Wang tiles）模型與圖靈機(jī)“停機(jī)問題”的關(guān)系，以及這一模型引出的無周期平鋪問題對(duì)20年后以色列化學(xué)家謝赫特曼（Dan Shechtman）發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體的啟發(fā)，等等。

書中提及法、德、美、英、日等國近年籌辦的一些數(shù)學(xué)展覽，如2008年德國“數(shù)學(xué)年”活動(dòng)及IMAGINARY巡回展。中國臺(tái)灣地區(qū)的學(xué)者們?cè)诟咝邸⑴_(tái)北和嘉義舉辦了“超越無限·數(shù)學(xué)印象”展事，旨在溝通數(shù)學(xué)、藝術(shù)與教育的“橋梁研討會(huì)”，無不顯示了作者的豐富閱歷和對(duì)國際數(shù)學(xué)教育與普及領(lǐng)域最新動(dòng)態(tài)的掌握。

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《教育篇》更集中反映了作者多年來對(duì)數(shù)學(xué)教育的關(guān)注，共有15章，分別是：“證明的流變”“‘不解之解，是解嗎”“19世紀(jì)英國一場幾何教育的紛爭”“一生最重要的數(shù)學(xué)教育——小學(xué)數(shù)學(xué)”“給贏得最高贊譽(yù)數(shù)學(xué)家的陳省身獎(jiǎng)”“離散數(shù)學(xué)走進(jìn)舞臺(tái)中央”“人工智能的‘名稱政治學(xué)”“分進(jìn)合擊的協(xié)力數(shù)學(xué)”“圖靈的向日葵”“誰是今日最有影響力的數(shù)學(xué)家”“百萬人數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)能力與孤獨(dú)癥”“數(shù)學(xué)教育家反擊數(shù)學(xué)家的霸凌”“斯穆里安的邏輯謎題”“分享、責(zé)任與欣賞──科普寫作與閱讀的動(dòng)機(jī)”。

前兩章帶有強(qiáng)烈的哲學(xué)色彩，涉及到什么是真理、如何辨識(shí)真理的認(rèn)識(shí)論問題，也是數(shù)學(xué)教育不能回避的重要議題。在將“證明的流變”梳理一過之后，作者告訴我們，如果要用一句簡潔的話來解釋證明，那就是一個(gè)說服的過程；而一旦以此來審視證明，就可對(duì)中國古代數(shù)學(xué)的意義加以重新詮釋，具體的例子可見劉徽對(duì)《九章算術(shù)》的精辟注解，內(nèi)容包含豐富的說理方式，他靈活地運(yùn)用直觀、模擬、觀察、歸納和類推等手段，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生命力，也發(fā)揚(yáng)了知識(shí)創(chuàng)造的活性。

歐幾里得《幾何原本》是一個(gè)廣為人知的認(rèn)“真”的樣板，但是在中等數(shù)學(xué)教育中，用什么樣的方式、采用什么教材來學(xué)習(xí)這門功課，自古就有不同意見。19世紀(jì)中葉，隨著工業(yè)化進(jìn)程對(duì)專門性技術(shù)人才的需求日增，英國社會(huì)上出現(xiàn)了改革幾何學(xué)教育的聲音，一些著名的社會(huì)賢達(dá)，如達(dá)爾文演化論的忠實(shí)衛(wèi)士赫胥黎（Thomas Huxley）、數(shù)學(xué)家西爾維斯特（James Sylvester）都支持對(duì)幾何學(xué)教材加以改革。另一位年高德劭的數(shù)學(xué)家德摩根（Augustus De Morgan）對(duì)此則大為光火，他沒有與西爾維斯特硬剛，而是針對(duì)年輕數(shù)學(xué)教師威爾遜（James Wilson）剛出版的一本初等幾何教材大加撻伐。以寫作《愛麗絲漫游奇境》等書出名的道奇森（Charles Dodgson，筆名劉易斯·卡洛爾）站在德摩根一邊，在1879年出版的《歐幾里得與其當(dāng)代對(duì)手》中，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)歐幾里得《幾何原本》就如同接受一種精神洗禮，由此方能進(jìn)入一個(gè)兩千多年的文化園地，成為一個(gè)有教養(yǎng)的紳士，學(xué)習(xí)的方式自然要遵循歐幾里得安排的路徑。

書中有關(guān)中國臺(tái)灣地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容很有現(xiàn)實(shí)意義。我們常聽到這樣一種說辭，稱美國亞裔兒童的數(shù)學(xué)成績普遍高于其他族裔的同齡孩子，但是在臺(tái)灣地區(qū)進(jìn)行的一項(xiàng)調(diào)查表明：臺(tái)灣地區(qū)四年級(jí)小學(xué)生的數(shù)學(xué)成績平均值確實(shí)居于世界前列，但是在“不喜歡數(shù)學(xué)”和“對(duì)數(shù)學(xué)缺乏自信”這兩項(xiàng)指標(biāo)上卻高達(dá)國際平均值的兩倍。造成這一現(xiàn)象的原因，作者認(rèn)為應(yīng)該從小學(xué)生學(xué)習(xí)的社會(huì)環(huán)境去分析，他引述臺(tái)灣大學(xué)數(shù)學(xué)系翁秉仁的觀察：“在臺(tái)灣，一般家長雖然怕數(shù)學(xué)，卻很喜歡‘干預(yù)小學(xué)老師的教學(xué)。家長多半覺得自己會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)，因此可以‘盡一份心。但是他們干預(yù)的方式很簡單，看到孩子不會(huì)做習(xí)題，就指導(dǎo)學(xué)生怎么算；厲害一點(diǎn)的，更直接把初中方法搬下來，卻不做任何解釋。問題是，除了數(shù)學(xué)老師之外的成人，多半覺得數(shù)學(xué)就是公式和計(jì)算，不需要解釋（‘反正你這樣算就對(duì)了！）。他們還會(huì)因此據(jù)理力爭，為小孩向老師爭取分?jǐn)?shù)，造成許多教學(xué)困擾?！弊髡呓又a(bǔ)充道：除了家長干預(yù)以外，很多學(xué)生還在補(bǔ)習(xí)班承受折磨，后果是抵銷了老師正常教學(xué)的成效。這種幫倒忙的做法，除了歸咎于將背誦公式等同數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更基本的原因是缺乏對(duì)兒童心智發(fā)展特點(diǎn)的理解。

與此相反，作者也介紹了以色列理工學(xué)院教授阿哈羅尼（Ron Aharoni）的見解，此人是離散數(shù)學(xué)方面的國際知名專家，卻愿意付出時(shí)間了解小學(xué)數(shù)學(xué)的教育情況。因?yàn)榫哂懈呱畹臄?shù)學(xué)修養(yǎng)和從事創(chuàng)造性研究的經(jīng)驗(yàn)，能夠針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)表常人所不能的真知灼見。他在自己的書《給家長看的算術(shù)書》里寫道：“我教小學(xué)時(shí)領(lǐng)悟出來一個(gè)道理，就是小學(xué)數(shù)學(xué)一點(diǎn)也不單純，除了美之外還有深度?！?/p>

最后還是交代一下本文的標(biāo)題，它出自作者序言中引用的美國女詩人米萊（Edna StVincent Millay）1923年寫下的詩作《只有歐幾里得見過赤裸之美》（Euclid Alone Has Looked on Beauty Bare），詩中不僅贊美歐幾里得的數(shù)學(xué)成就，也彰顯了美在數(shù)學(xué)中的崇高位置。