DOI：10.16601/j.cnki.issn2096-7330.2024.01.006"文章編號：2096-7330（2024）01-0032-15

摘"要：該文研究在干旱平原環(huán)境下隨機(jī)植物-地表水反應(yīng)擴(kuò)散模型的長期演化行為.首先，利用壓縮映射及逼近的方法證明了該模型存在唯一的溫和解，并且該解關(guān)于初始值是連續(xù)依賴的.其次，通過比較定理構(gòu)建了一個(gè)新的估計(jì)量，給出了該模型的解在均方意義下的滅絕性和持久性，從而進(jìn)一步證明了模型溫和解的馬爾可夫性和不變測度的存在性.最后利用Chebyshev不等式、Hlder不等式和弱收斂方法，證明了該模型的大偏差結(jié)果.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)植物-地表水反應(yīng)擴(kuò)散模型；持久性和滅絕性；不變測度；大偏差原理

中圖分類號：O211.63""""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1"研究背景

植被的生長和分布受諸多因素影響，包括氣候因素（如光照、溫度和降雨量等[1]）和人為因素（如伐木、放牧等[2，3，4]）.環(huán)境的惡化會嚴(yán)重影響植被的數(shù)量，導(dǎo)致生態(tài)系統(tǒng)發(fā)生災(zāi)難性的改變[5-8].由于水是維持植被和土壤質(zhì)量的重要組成部分，故降雨量稀少的干旱地區(qū)植被對水資源的競爭非常激烈，通常會導(dǎo)致同質(zhì)植被形成非均勻、非隨機(jī)分布的格局.因此，要避免發(fā)生植被消失的現(xiàn)象，探索植被格局形成的內(nèi)在機(jī)制及其動力學(xué)行為具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

2自1952年英國數(shù)學(xué)家圖靈提出反應(yīng)擴(kuò)散方程的圖靈不穩(wěn)定性[9]以來，大量學(xué)者基于該想法從多方面對植被反應(yīng)擴(kuò)散模型進(jìn)行了研究.經(jīng)過學(xué)者們的不斷努力，植被反應(yīng)擴(kuò)散模型已經(jīng)得到了改進(jìn)[4，10，11]，且在反饋、非局部效應(yīng)方面取得較大的進(jìn)展[12-17]，但關(guān)于其動力學(xué)性質(zhì)的研究還比較少.2012年Stelt等將水的擴(kuò)散項(xiàng)引入了Klausmeier 模型獲得GKGS模型[18]，此模型可由如下的偏微分方程描述：

{HL（1：1，ZSX（NTSX）=RJWN2-MN+D1ΔN，SX（WTSX）=A-LW-RWN2+VW+D2ΔW，HL）JY，2（1.1）

其中N表示植物生物量的密度，W表示水的密度，=SX（XSX）是梯度，Δ=SX（2X2SX）+SX（2Y2SX）是Laplace算子，D1和D2分別表示植物與水的擴(kuò)散系數(shù)，A表示降雨量，L表示水的蒸發(fā)率，M表示植物的死亡率，R表示水的滲透率，J表示植物的轉(zhuǎn)化率.為解釋在干旱平坦環(huán)境中虎灌（帶狀灌木叢）模式的出現(xiàn)，Kealty等忽略微分方程 （1.1）中的對流項(xiàng)[19]，建立了一個(gè)植物-地表水反應(yīng)擴(kuò)散模型，該模型由如下的偏微分方程表述：

{SX（NTSX）=RJWN2-MN+D1ΔN，SX（WTSX）=A-LW-RWN2+D2ΔW.JY，2（1.2）

引入無量綱變量和參數(shù)

HL（1v=SX（KF（S"RKF）JKF（S"LKF）SX）W，"u=SX（KF（S"RKF）KF（S"LKF）SX）N，"a=SX（KF（S"RKF）JLKF（S"LKF）SX）A，"t=LT，nbsp;x=SX（KF（S"LKF）KF（S"D1KF）SX）X，"m=SX（MLSX），"μ=SX（D2D1SX），HL）

則模型（1.2）可改寫為

{SX（utSX）=vu2-mu+uxx，"x∈（0，lπ），"t＞0，

SX（vtSX）=a-v-vu2+μvxx，"x∈（0，lπ），"t＞0，

SX（uxSX）=SX（vxSX）=0，"x=0，"lπ，t≥0，

u（x，0）=φ（x）≥0，"v（x，0）=ψ（x）≥0，"x∈[0，lπ].JY，2（1.3）

近年來隨機(jī)微分動力系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)，但隨機(jī)微分動力系統(tǒng)的幾何理論、大偏差、擬遍歷性和擬平穩(wěn)分布等基礎(chǔ)性重要問題的研究仍然面臨重大挑戰(zhàn)[20-24].在實(shí)際情況中，植被生態(tài)環(huán)境不可避免地會受到氣候因素（光照、溫度和降雨量等）和人為因素（伐木、放牧等）等環(huán)境噪聲的影響[25，26]，因此本文考慮引入隨機(jī)噪聲，將確定性的反應(yīng)擴(kuò)散模型（1.3）改寫為隨機(jī)性的反應(yīng)擴(kuò)散模型如下：

{SX（utSX）=vu2-mu+uxx+uW·1（x，t），"x∈（0，lπ），"t＞0，

SX（vtSX）=a-v-vu2+μvxx+vW·2（x，t），"x∈（0，lπ），"t＞0，

SX（uxSX）=SX（vxSX）=0，"x=0，"lπ，t≥0，

u（x，0）=φ（x）≥0，"v（x，0）=ψ（x）≥0，"x∈[0，lπ]，JY，2（1.4）

其中φ（x）和ψ（x）為初始值；Wi為獨(dú)立的維納場，W·i為Wi關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，i=1，2.

2"預(yù)備知識

考慮非線性隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程

{SX（KtSX）=AK+χ（K，x，t）+g（x，t）+ζ（K，x，t）dW（x，t），

SX（KnSX）｜WTHTOWTBX=0，K（x，0）=K0（x）.JY，2（2.1）

式中t∈[0，T]，x∈WTHTOWTBX∶=（0，lπ）；A是J∶=L2（WTHTOWTBX，KX（RKX）n）上的算子

（HL（3：3，Zd1ΔdnΔHL）），

其中Δ=∑ni=1SX（2x2iSX），di＞0（i=1，2，…，n）；{W（x，t）}0≤t≤T是L2（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）上的KX（RKX）-維納過程，且滿足以下條件：

（1） E［W（x，t）］=0.

（2） E［W（x，t）W（y，s）］=（t∧s）ρ（x，y），其中協(xié)方差函數(shù)ρ（x，y）：WTHTOWTBX×WTHTOWTBX→KX（RKX）滿足

∫WTHTOWTBXρ（x，x）dx＜.

對任意θ∈J，定義積分算子（Qθ）（x）=∫WTHTOWTBXρ（x，y）θ（y）dy，則TrQ=∫WTHTOWTBXρ（x，x）dx＜.

設(shè)算子-A的特征值為λ1≤λ2≤…≤λn≤….根據(jù)緊算子定理，可取到-A的屬于特征值λn的特征向量pn，使得SX（pnnSX）=0.n=1，2，…，且{pn}∞n=1是J的完備正交基.定義格林函數(shù)

G（x，t）∶=∑n=1e-λntpn（x），"x∈WTHTOWTBX，"t∈[0，T].

對方程（2.1）進(jìn)行積分，得到

Kt=GtK0+∫t0Gt-sgsds+∫t0Gt-sχt-s（K）ds+∫t0Gt-sζs（K）dWs.JY，2（2.2）

定義2.1""稱K∈L2（Ω×[0，T];J）是方程（2.1）的一個(gè)弱解，若它滿足以下條件：

（1） {K（x，t）}0≤t≤T是J上的WTHTFWTBXt-適定隨機(jī)過程，且有

E∫T0（‖χt（K）‖2+[Qζt（K），ζt（K）]）dt=E∫T0∫WTHTOWTBX[｜χ（K（x，t），x，t）｜2+

ρ（x，t）ζ2（K（x，t），x，t）]dxdt＜

（2） {K（x，t）}0≤t≤T滿足（2.2）.

為證明方程（2.1）有局部解，我們引入以下三個(gè)條件：

（a） 對任意正整數(shù)n，存在正數(shù)Fn，使得當(dāng)K∈J滿足‖K‖≤n時(shí)，對任意t∈[0，T]都有

‖χ（K，x，t）‖2+‖ζ（K，x，t）‖2≤Fn，a.s..

（b） 4對任意正整數(shù)n，存在正數(shù)Fn和cn，使得對K，KTX-∈J和t∈[0，T]，如果‖K‖∨‖KTX-‖≤n，則有

‖χ（K，x，t）-χ（KTX-，x，t）‖2+‖ζ（K，x，t）-ζ（KTX-，x，t）‖2≤Fn‖K-KTX-‖2，

‖χ（K，x，t）-χ（0，x，t）‖2+‖ζ（K，x，t）-ζ（0，x，t）‖2≤cn（1+‖K‖2）.

（c） {y（x，t）}0≤t≤T是J-值可測過程，且有E[∫T0‖yt‖2dt）p]＜，p≥1.

引理2.2[27]"設(shè)條件（a）、（b）和（c）均成立，K0是WTHTFWTBX0-可測的隨機(jī)域，且有E（‖K0‖2）＜，則方程（2.1）的初始邊界問題存在唯一的局部解K（x，t），此時(shí)存在一個(gè)爆炸時(shí)間τe＞0，使得K（x，t），0≤t＜τe是J上的連續(xù)適定過程，且滿足（2.2）.

設(shè)K0∈L2（Ω×[0，T];J），則方程（2.1）有近似系統(tǒng){SX（KtSX）=AKdt+R（l）（χ（K，x，t）+g（x，t））dt+R（l）ζ（K，x，t）dW（x，t），

SX（KnSX）JB）｜WTHTOWTBX=0，

K（x，0）=R（l）K0（x），JY，2（2.3）

3其中t∈[0，T]，x∈WTHTOWTBX，l∈ρ（A），ρ（A）是A的預(yù)解集，R（l）=lR（l，A），而A是R（l，A）的預(yù)解式.

引理2.3"設(shè)K0∈J是一任意給定的隨機(jī)變量，‖K0‖p＜，p＞2.如果方程（2.1）中的非線性項(xiàng)χ（K，x，t）和ζ（K，x，t）同時(shí)滿足條件（a）、（b）和（c），則有：

（1） 對任意l∈ρ（A）和任意p＞2，方程（2.3）在Lp（Ω，WTHTFWTBX，P）中都有唯一的局部強(qiáng)解Kt（l）.

（2） 對任意的停時(shí)T＞0，存在｛Knt｝的子列｛KnDD（-*1/2＾t｝，使得當(dāng)n→，t∈[0，T]時(shí)limDD（Xn→KnDD（-*1/2＾t=Kt幾乎必然成立.

記H為可分Hilbert空間L2（WTHTOWTBX;KX（RKX）），其中內(nèi)積定義為〈u，v〉H=∫WTHTOWTBXu（x）v（x）dx，范數(shù)為｜u｜H=KF（S"〈u，v〉HKF）.進(jìn)而空間L2（WTHTOWTBX;KX（RKX）2）可視為H2，其中內(nèi)積為

〈u，v〉H2=〈u1，v1〉H+〈u2，v2〉H=∫WTHTOWTBX（u1（x）v1（x）+u2（x）v2（x））dx，

這里u=（u1，u2），v=（v1，v2〉∈H2.Banach 空間XC黃燕慧0.TIF∶=C（WTHTOWTBXTX-;KX（RKX））中的范數(shù)定義為｜u｜WTHTEWTBX=supDD（Xx∈WTHTOWTBX｜u（x）｜.

令（Ω，WTHTFWTBX，{WTHTFWTBXt}t≥0，P）為完備概率空間，L2（Ω;C（[0，T]，C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）））表示在C（WTHTOWTBXTX-;KX（RKX）2）中所有可預(yù)測過程u的空間，定義Lt，p范數(shù)為

｜u｜pLt，p：=EsupDD（Xs∈[0，t]｜u（s）｜pC（WTHTOWTBXTX-;KX（RKX）2），

其中

｜u｜C（WTHTOWTBXTX-;KX（RKX）2）=（∑2j=1supDD（Xx∈WTHTOWTBX｜uj（x）｜2）1/2，"u=（u1，u2）∈C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）.

3對ε＞0，p≥1，Wε，p（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）表示Sobolev-Slobodeckij空間（該空間為非整數(shù)指數(shù)），其內(nèi)范數(shù)定義為

｜u｜ε，p∶=｜u｜LpC（WTHTOWTBX;KX（RKX）2）+∑2j=1∫WTHTOWTBX×WTHTOWTBXSX（｜uj（x）-uj（y）｜p

｜x-y｜εp+lSX）dxdy.

設(shè)Bk，1（t），Bk，2（t），k=1，2，…為獨(dú)立的{WTHTFWTBXt}t≥0適定一維維納過程.現(xiàn)固定一個(gè)在H中的正交基{ek}k=1并假設(shè)其為L（WTHTOWTBX，KX（RKX））中的一致有界序列，定義

C0∶=supDD（Xk∈KX（NKX）｜ek｜L（WTHTOWTBX，KX（RKX））=supDD（Xk∈KX（NKX）esssupDD（Xx∈WTHTOWTBX ek（x）＜

定義無窮維維納過程Wj（t）為模型（1.4）中的噪聲項(xiàng)，其表達(dá)式為

Wj（t）=∑d=1KF（S"ad，jKF）Bd，j（t）ed，"j=1，2，

這里的{ad，j}d=1為一非負(fù)實(shí)數(shù)列且滿足

aj∶=∑d=1ad，j＜，"j=1，2.JY，2（2.4）

令A(yù)1和A2分別為d1Δ和d2Δ在H中的諾曼實(shí)現(xiàn)，即有

D（Aj）={u∈H｜Δu∈H，且在WTHTOWTBX上有vu=0}，"Aju=dju，u∈D（Aj），

其中A1和A2分別是解析半群etA1和etA2的無窮小生成元；且有諾曼熱核pN，1WTHTOWTBX（t，x，y），pN，2WTHTOWTBX（t，x，y），定義為（etAju）（x）=∫WTHTOWTBXpN，jWTHTOWTBX（t，x，y）u（y）dx，j=1，2.

另外，用A∶=（A1，A2）表示定義在H2上的算子，即Au∶=（A1u1，A2u2），u=（u1，u2）∈H2.A生成的解析半群etA在空間L1（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）∩L（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）中是不變的，且可擴(kuò)展成在Lp（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）中的非負(fù)單參數(shù)半群etA（p），1≤p≤；當(dāng)etA（p）u=etA（q）u，u∈Lp（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）∩Lq（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）時(shí)所有半群都是一致強(qiáng)連續(xù)的[26].所以在不致引起混淆的情況下可用etA 表示etA（p）.進(jìn)一步地，考慮連續(xù)函數(shù)E在Aj中的部分AEj，它所產(chǎn)生的解析半群一般來說是不存在稠密集的，但由WTHTOWTBX的邊界條件可知本研究中的AEj在E中稠密，因此該解析半群是強(qiáng)連續(xù)的[20，21].算子Aj和解析半群etAj（j=1，2）有如下一些基本性質(zhì).

（1） 對所有u∈H，有∫t0esAjuds∈D（Aj），Aj（∫t0esAjuds）=etAju-u.

（2） 通過格林恒等式可以證明Aj是對稱的，在H 中是自伴的，且對任意u∈D（Aj）都有

∫WTHTOWTBXAj（u）（x）dx=0.

（3） 對任意t＞0和x，y∈WTHTOWTBX，都有

0≤pN，jWTHTOWTBX（t，x，y）≤c1（t∧1）-1/2exp（SX（-c2｜x-y｜2tSX）），

其中c1，c2為與WTHTOWTBX相關(guān)、與u，t無關(guān)的常數(shù).

（4） 半群etA滿足不等式

｜etAu｜L（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）≤c｜u｜L（WTHTOWTBX，KX（RKX）2），｜etAu｜C（WTHTOWTBXTX-;KX（RKX）2）≤c｜u｜C（WTHTOWTBXTX-;KX（RKX）2），JY，2（2.5）

其中c為與WTHTOWTBX相關(guān)，與u，t無關(guān)的常數(shù).

（5） 2對任意t，ε＞0和p≥1，etA為從Lp（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）到Wε，p（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）的映射.對任意u∈Lp（WTHTOWTBX，KX（RKX）2），有

｜etAu｜ε，p≤c（t∧1）-ε/2｜u｜Lp（WTHTOWTBX，KX（RKX）2），

其中c為與u，t無關(guān)的常數(shù).

考慮WTHTOWTBXTX-上的有界連續(xù)函數(shù)空間C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）n）=∶C，我們有

‖S（t）f‖C≤‖f‖C，"‖fp‖C≤‖f‖pC，"t＞0，p≥1，f∈C.

對任意的（u，v），定義范數(shù)‖（u，v）‖C（[0，T];KX（RKX）×C）=‖u‖C（[0，T];KX（RKX））+‖v‖C（[0，T];C），T＞0.定義如下Cameron-Martin空間WTHTMWTBX={η∈C（[0，1];KX（RKX））：η（t）=∫t0ηDD（-*1/2·（s）ds，‖ηDD（-*1/2·‖L2（[0，1]，KX（RKX））≤}，則WTHTMWTBX為Hilbert空間，其范數(shù)為‖η‖WTHTMWTBX=‖ηDD（-*1/2·‖L2（[0，1]，KX（RKX））.顯然有｜η（t）-η（s）｜≤‖η‖WTHTMWTBX，0≤s＜t≤1.

設(shè)N＞0，記WTHTAWTBX dN={η∈WTHTMWTBX：‖η‖KG-*1/3WTHTMWTBX≤N}.對于{ηn}WTHTMWTBX和η∈WTHTMWTBX，如果有

limDD（Xn→∫10φ（s）ηDD（-*1/2·n（s）ds=∫10φ（s）ηDD（-*1/2·（s）ds，"φ∈L2（[0，1];KX（RKX）），

則有ηnη，其中表示在WTHTAWTBXdN中弱收斂.

令WTHTAWTBX為隨機(jī)過程η：Ω×[0，1]→KX（RKX）的全體.對任意ω∈Ω都有η（ω，·）∈WTHTMWTBX；對任意t∈[0，1]，η（·，t）都是WTHTFWTBXt-可測的.對于N＞0，有WTHTAWTBXN={η∈WTHTAWTBX：‖η（ω）‖WTHTMWTBX≤N，ω∈Ω}.

模型（1.4）等價(jià)于如下形式：

{dU（t）=[A1U（t）+V（t）U2（t）-mU（t）]dt+U（t）dW1（t），

dV（t）=[A2V（t）+a-V（t）-V（t）U2（t）]dt+V（t）dW2（t），

U（0）=U0，V（0）=V0.JY，2（2.6）

一般地，方程（2.6）有溫和解

{U（t）=etA1U0+∫t0e（t-s）A1（V（s）U2（s）-mU（s））ds+Wu（t），

V（t）=etA2V0+∫t0e（t-s）A2（a-V（s）-V（s）U2（s））ds+Wv（t），JY，2（2.7）

其中Wu（t）=∫t0e（t-s）A1U（s）dW1（s），Wv（t）=∫t0e（t-s）A2V（s）dW2（s），故其向量形式為

Z（t）=etAZ0+∫t0e（t-s）AF（Z（s））ds+∫t0e（t-s）AZ（s）dW（s），JY，2（2.8）

其中

Z=（U，V），"F（Z）=（F1（Z），F(xiàn)2（Z））∶=（VU2-mU，a-V-VU2），

e（t-s）AZ（s）dW（s）∶=（e（t-s）A1U（s）dW1（s），e（t-s）A2V（s）dW2（s）.

3"解的存在唯一性

本節(jié)主要證明模型（1.4）的非負(fù)溫和解的存在唯一性及其對初值的連續(xù)依賴性.

定理3.1"對任意非負(fù)初始值U0，V0∈WTHTEWTBX，模型（1.4）存在唯一的非負(fù)溫和解（U（t），V（t）），且該解對初值是連續(xù)依賴的.

證明"首先用f，f*來定義系數(shù)：

f（x，u，v）=（vu-m（x）u，a（x）-v-vu2），x∈WTHTOWTBX，（u，v）∈KX（RKX）2，

f*（x，u，v）=f（x，u∨0，v∨0）.

設(shè)z=（u，v）.如果vu2=0，則有v=0或u=0.易得f*（x，.，.）：KX（RKX）2XC箭頭-04.TIFKX（RKX）2在x∈WTHTOWTBX中是一致Lipschitz連續(xù)的.合成算子F*（Z）與f*有關(guān)，有F*（Z）（x）=（F*1（Z）（x），F(xiàn)*2（Z）（x））∶=f*（x，z（x）），x∈WTHTOWTBX，且F*在H2和C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）上都是Lipschitz連續(xù)的.

考慮如下問題：

3dZ*（t）=[AZ*（t）+F*（Z*（t））]dt+（Z*（t）∨0）dW（t），"Z*（0）=Z0=（U0，V0），JY，2（3.1）

3其中Z*（t）=（U*（t），V*（t））.Z*（t）∨0定義為（Z*（t）∨0）（x）=（U*（t，x）∨0，V*（t，x）∨0）.

對任意的S（t，x）=（S1（t，x），S2（t，x））∈Lp（Ω;C[0，T]，C（WTHTOWTBXTX-;KX（RKX）2）），考慮映射

Γ（S）（t）∶=etAZ0+∫t0e（t-r）AF*（S（r））dr+WTHTYWTBX（S）（t），

其中

WTHTYWTBX（S）（t）∶=（∫t0e（t-r）A1（S1（r）∨0）dW1（r），"∫t0e（t-r）A2（S2（r）∨0）dW2（r））.

接下來證明存在常數(shù)T0＞0和p0＞0，使得對任意p≥p0，Γ都是Lp（Ω;C（[0，T0]，C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）））中的一個(gè)壓縮映射.

引理3.2"存在常數(shù)p0＞0，使得對任意p≥p0都有：

（1） Γ是一個(gè)自映射.

（2） 對于任意s=（s1，s2），i=（i1，i2）∈Lp（Ω;C（[0，T]，C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2））），有

｜Γ（s）-Γ（i）｜Lt，p≤cp（t）｜s-i｜Lt，p.JY，2（3.2）

其中函數(shù)cp（t）滿足limDD（Xt→0 cp（t）=0.

證明"令p≥p0足夠大，使得能同時(shí)取到β，ε＞0滿足

SX（1pSX）＜β＜SX（12SX），"SX（lpSX）＜ε＜2（β-SX（1pSX））.

對任意固定的p（p≥p0），選擇滿足以上條件的β，ε，用因式分解變量， 得到

Γ（s）（t）-Γ（i）（t）=SX（sin πβπSX）∫t0（t-r）β-1e（t-r）AYβ（s，i）（r）dr，

其中Yβ（s，i）（r）=∫r0（r-k）-βe（r-k）A（s（k）∨0-i（k）∨0）dW（k）.

如果∫t0｜Yβ（s，i）（r）｜pLp（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）ds＜，a.s.，則由半群etA的性質(zhì)（2.5）和Hlder不等式可得

｜Γ（s）（t）-Γ（i）（t）｜ε，p=｜SX（sin πβπSX）∫t0（t-r）β-1e（t-r）AYβ（s，i）（r）dr｜ε，p≤

cβ，p（t）（∫t0｜Yβ（s，i）（r）｜pLp（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）dr）SX（1pSX），JY，2（3.3）

其中非負(fù)函數(shù)cβ，p（t）滿足limDD（Xt→0 cβ，p（t）=0.重令Yβ（s，i）（r）=（Y1，β（s，i）（r），Y2，β（s，i）（r）），其中

Yjβ（s，i）（r）∶=∫r0（r-k）-βe（r-k）Aj（sj（K）∨0-ij（K）∨0）dWj（K），"j=1，2.

利用Burkholder不等式，得到

E｜Yjβ（s，i）（r，x）｜p≤cpE［∫r0（r-k）-2β∑d=1ad，j｜Mj（r，k，d，x）｜2dk］SX（p2SX），

其中Mj（s，k，d）=e（s-k）Aj（sj（k）∨0-ij（k）∨0）ed.

定義Yjβ（s，i）（r，x）∶=Yjβ（s，i）（r）（x），Mj（r，k，d，x）∶=Mj（r，k，d）（x），j=1，2，則有

2∫t0｜Yβ（s，i）（r）｜pLp（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）dr≤cp（t）E∫t0∫WTHTOWTBX（｜Y1β（s，i）（r，x）｜p+｜Y2β（s，i）（r，x）｜p）dxdr=

cp（t）∫t0E（∫r0（r-k）-2β（a1+a2）supDD（Xd∈KX（NKX）｜M（r，k，d）｜2L（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）dk）SX（p2SX）dr，JY，2（3.4）

其中M（r，k，d）∶=（M1（r，k，d），M2（r，k，d）），a1，a2由（2.4）定義.再由{ed}d=1的一致有界性和半群etA的性質(zhì)（2.5），可得

supDD（Xd∈KX（NKX）｜M（r，k，d）｜L（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）≤c｜s（k）-i（k）｜C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）.JY，2（3.5）

這里c是與r，k，s和i獨(dú)立的一族常數(shù).由（3.4）和（3.5）有

E∫t0｜Yβ（s，i）（r）｜pLp（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）dr≤cp（t）∫t0EsupDD（Xk∈[0，r]｜s（k）-i（k）｜pC（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）dr（∫r0（r-k）-2βdk）SX（p2SX）≤

cβ，p（t）｜s-i｜pLt，p＜，JY，2（3.6）

其中非負(fù)函數(shù)cβ，p（t）滿足limDD（Xt→0 cβ，p（t）=0.從而（3.3）成立.Γ（s）（t）-Γ（i）（t）∈Wε，p（WTHTOWTBX，KX（RKX）2），

由ε＞SX（lpSX），Sobolev嵌套定理有Γ（s）（t）-Γ（i）（t）∈C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）.最后由（3.3）和（3.6）可得｜Γ（s）-Γ（i）｜

Lt，p≤cp（t）｜s-i｜Lt，p，其中函數(shù)cp（t）滿足limDD（Xt→0 cp（t）=0.該引理證畢.

對于p≥p0，當(dāng)p0足夠大時(shí)，在Lp（Ω;C（[0，T]，C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）））中的映射Γ是自映射.進(jìn)一步地，利用半群etA的性質(zhì)（2.5）和F*的Lipschitz連續(xù)性，有

∫t0｜e（t-r）A[F*（s（r））-F*（i（r））]｜pC（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）dr≤

c∫t0supDD（Xk∈[0，r]｜s（k）-i（k）｜pC（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）dr≤

ctsupDD（Xk∈[0，r]｜s（k）-i（k）｜pC（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）.JY，2（3.7）

由（3.2）和（3.7），有｜Γ（s）-Γ（i）｜Lt，p≤cp（t）｜s-i｜Lt，p，其中cp（t）滿足limDD（Xt→0 cp（t）=0.因此，對于足夠小的T0，Γ是Lp（Ω;C（[0，T]，C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）））中的一個(gè)壓縮映射.通過固定一個(gè)參數(shù)點(diǎn)，可以推出該模型在Lp（Ω;C（[0，T]，C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）））中存在唯一的溫和解.通過在每一個(gè)有限的時(shí)間區(qū)間[dT0，（d+1）T0]重復(fù)上述過程，對于任何T＞0和p≥p0，方程（3.1）在空間Lp（Ω;C（[0，T]，C（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）））中有唯一的溫和解Z*（t）=（U*（t）和V*（t））.我們進(jìn)一步證明U*（t）和V*（t）都是非負(fù)的.

引理3.3"設(shè)（U*（t），V*（t））是方程（3.1）的唯一的溫和解，則對于t∈[0，T]有U*（t），V*（t）≥0，a.s..

證明"方程（3.1）等價(jià)于如下方程：

{dU*（t）=[A1U*（t）+F*1（U*（t）∨0，V*（t）∨0]dt+（U*（t）∨0）dW1（t），

dV*（t）=[A2V*（t）+F*2（U*（t）∨0，V*（t）∨0]dt+（V*（t）∨0）dW2（t），

U*（0）=U0，V*（0）=V0.JY，2（3.8）

3令λj∈ρ（Aj）為Aj的預(yù)解集，j=1，2，且有Rj（λj）∶=λjRj（λj，Aj）其中Rj（λj，Aj）是Aj的預(yù)解式.

3當(dāng)正數(shù)ε足夠小，λ=（λ1，λ2）∈ρ（A1）×ρ（A2）時(shí)，以下方程存在唯一強(qiáng)解Uλ，ε（t，x），Vλ，ε（t，x）：

{dUλ，ε（t）=[A1Uλ，ε（t）+R1（λ1）F*1（εΦ（ε-1Uλ，ε（t）），εΦ（ε-1Vλ，ε（t））]dt+

R1（λ1）εΦ（ε-1Uλ，ε（t））dW1（t），

dVλ，ε（t）=[A2Vλ，ε（t）+R2（λ2）F*2（εΦ（ε-1Uλ，ε（t）），εΦ（ε-1Vλ，ε（t））]dt+

R2（λ2）εΦ（ε-1Vλ，ε（t））dW2（t），

Uλ，ε（0）=R1（λ1）U0，Vλ，ε（0）=R2（λ2）V0，

其中

Φ（ξ）={HL（2：3，Z0，ξ≤0，3ξ5-8ξ4+6ξ3，0＜ξ＜1ξ，ξ≥1，HL），

它滿足

{Φ∈C2（KX（RKX）），εΦ（ε-1ξ）→ξ∨0，ε→0.

由[20，Proposition 1.3.6]可知，在空間Lp（Ω;C（[0，T]，L2（WTHTOWTBX，KX（RKX）2）））中，對于序列{λ（k）}k=1ρ（A1）×ρ（A2），當(dāng)ε→0時(shí)有（Uλ（k），ε（t），Vλ（k），ε（t））→（U*（t），V*（t））.

令

g（ξ）={HL（3：3，Zξ2-SX（16SX），ξ≤-1，

SX（-ξ42SX）-SX（4ξ33SX），-1＜ξ＜0，

0，ξ≥0，HL）

則對任意ξ∈KX（RKX）有g(shù)′（ξ）≤0，g″（ξ）≥0.

由g′（ξ）Φ（ξ）=g″（ξ）Φ（ξ）=0，ξ∈KX（RKX），利用伊藤引理可得

∫WTHTOWTBXg（Vλ，ε（t，x））dx=-d2∫t0∫WTHTOWTBXg″（Vλ，ε（r，x））｜Vλ，ε（r，x）｜2dxdr+

∫t0∫WTHTOWTBXg′（Vλ，ε（r，x））R2（λ2）dxdr≤0，

其中最后一步由R2（λ2，A2）=∫0e-λ2tetA2dt可得.

由于對任意ξ＜0都有g(shù)（ξ）＞0，故對任意的λ∈ρ（A1）×ρ（A2），ε＞0，t∈[0，T]，都有Vλ，ε（t，x）≥0.在WTHTOWTBX中類推，有∫WTHTOWTBXg（Uλ，ε（t，x））dx≤0.

再次由g（ξ）＞0，ξ＜0，可得Uλ，ε（t，x）是非負(fù)的，對于t∈[0，T]，x∈WTHTOWTBX，U*（t，x），V*（t，x）≥0，a.s.，由于（U*（t，x），V*（t，x））是（3.8）的唯一非負(fù)溫和解，也是（2.6）的一個(gè)溫和解，所以（26）有唯一的非負(fù)溫和解（U（t），V（t））.

第二部分證明：為了方便起見，用下標(biāo)去表示與初始值獨(dú)立的解.令ZZ0（t），ZZ'0（t）均為（2.8）的非負(fù)溫和解，初始條件為ZZ0（0）=Z0，ZZ'0（0）=Z'0，則有

ZZ0（t）=etAZZ0+∫t0e（t-r）AF*（ZZ0）dr+∫t0e（t-r）A（ZZ0（r））dW（r），

ZZ'0（t）=etAZZ'0+∫t0e（t-r）AF*（ZZ'0）dr+

∫t0e（t-r）A（ZZ'0（r））dW（r）.

從而

ZZ0（t）-ZZ'0（t）=etAZ0-etAZ'0+∫t0e（t-r）A（F*（ZZ0（r））-F*（ZZ'0（r）））dr+

∫t0e（t-r）A（ZZ0（r）-ZZ'0（r））dW（r）.

由（3.3）和（3.6）成立，可得

E［supDD（Xr∈[0，T]｜∫r0e（t-r）A（ZZ0（k）-ZZ'0（k））dW（k）｜pC（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）］≤

cp（t）∫t0E［supDD（Xk∈[0，r]｜ZZ0（k）-ZZ'0（k）｜pC（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）］dk≤

cp（t）∫t0｜ZZ0-ZZ'0｜pLr，pdr.JY，2（3.9）

因此利用（3.7）和（3.9），可得到

｜ZZ0-ZZ'0｜pLt，p≤cp｜Z0-Z'0｜pC（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）+cp∫t0｜ZZ0-ZZ'0｜pLr，pds.

由Gronwall不等式得

｜ZZ0-ZZ'0｜pLt，p≤cp（t）｜Z0-Z'0｜pC（WTHTOWTBXTX-，KX（RKX）2）.

模型（1.4）的解關(guān)于初始值的連續(xù)依賴性得證.

4"滅絕性和持久性

本節(jié)主要證明模型（1.4）的滅絕性和持久性.考慮隨機(jī)微分方程

SX（v（j）tSX）（x，t）=Av（j）（x，t）+F（j）（ω，x，t，v（j）（x，t））+ψ（ω，x，t，v（j）（x，t））W˙（x，t），j=1，2，

其中t≥0，x∈WTHTOWTBX，初始值v（j）：Ω×WTHTOWTBX→KX（RKX），且滿足諾曼邊界條件，A=vΔ，v＞0.

引理4.1（比較定理[24]）"設(shè)θ（j）一致有界，令F（j），G一致Lipschitz連續(xù)、一致有界，j=1，2.

如果

F（1）（ω，x，t，v）≥F（2）（ω，x，t，v），"（x，t）∈WTHTOWTBXTX-×［0，），v∈KX（RKX），

則v（1）≥v（2）幾乎處處成立.

事實(shí)上，用局部Lipschitz條件替代一致Lipschitz條件，引理4.1仍成立.而在其他例子中，必存在正數(shù)R，T使得

P（supDD（Xx∈WTHTOWTBX，0≤t≤Tv（2）（x，t）-v（1）（x，t）＞0;supDD（Xx∈WTHTOWTBX，0≤t≤T‖v（1）（x，t）‖∨‖v（2）（x，t）‖≤R）＞0.

對于F（j），當(dāng)ψ在Ω×WTHTOWTBX×[0，T]×［-R，R］上時(shí)，該結(jié)論與引理4.1矛盾.

定理4.2"設(shè)（2.6）的初始值U0，V0滿足U0，V0∈XC黃燕慧0.TIF，則有

limDD（Xt→‖U（.，t）‖XC黃燕慧0-1.TIF=0，a.s.，"limDD（Xt→‖V（.，t）‖XC黃燕慧0-1.TIF=0，a.s..

證明"考慮（U1（t），V1（t））t≥0∈XC黃燕慧0.TIF×H2使得

{U1t=d1ΔU1（x，t）+V（x，t）U21（x，t）+U1（x，t）W˙1（x，t），"x∈WTHTOWTBX，"t＞0，

V1t=d2ΔV1（x，t）+a-V1（x，t）+V1（x，t）W˙2（x，t），"x∈WTHTOWTBX，"t＞0，

U1（x，0）=U0，V1（x，0）=V0，"x∈WTHTOWTBX.

由引理4.1可得

0≤U（x，t）≤U1（x，t），"0≤V（x，t）≤V1（x，t），

dV1（x，t）=（a-V1（x，t））dt+V1（x，t）dW2（t）.JY，2（4.1）

由伊藤公式解得（4.1）的溫和解為

V1（x，t）=eSX（3t2SX）+W2（t）［V0+a∫t0eSX（3s2SX）-W2（s）ds］∶=（φV（t）V0）（x）eSX（3t2SX）+W2（t）=mTX-，

其中x∈WTHTOWTBX，φV是ε中由d2Δ生成的壓縮半群.

eSX（32SX）+SX（W2（t）tSX）→0，"t→，a.s..

另外，當(dāng)t→時(shí)有SX（W2tSX）→0，‖V1（x，t）‖ε→0，根據(jù)V（x，t）≤V1（x，t），由引理4.1得‖V（x，t）‖ε→0，t→，結(jié)合V（x，t）≤V1（x，t）=mTX-，有U1t=d1ΔU1（x，t）+mTX-U21+U1（x，t）W˙1（x，t）.

同理可得‖U（x，t）‖ε→0，t→.

上述結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)，在環(huán)境噪聲的干擾下植被和水都會消失.

定理4.3"令-λΔ為Δ的最大特征根，則對任意U0，V0∈H都有

E‖U（x，t）‖2≤‖U0‖2e-ηut，"E‖V（x，t）‖2≤‖V0‖2e-ηvt，

其中ηu，ηv均為正的常數(shù).

證明"令UTX-（V）=‖V‖2，對于隨機(jī)微分方程

{V1t=d2ΔV1（x，t）+a-V1（x，t）+V1（x，t）W˙2（x，t），"x∈WTHTOWTBX，"t＞0，

V1（x，0）=V0（x），

需要考慮其近似模型的強(qiáng)解

{Vn1t=d2ΔVn1（x，t）+a-R（n）Vn1（x，t）+R（n）Vn1（x，t）W˙2（x，t），x∈WTHTOWTBX，t＞0，

Vn1（x，0）=R（n）V0（x），

其中n∈ρ（Δ）是非負(fù)整數(shù)，ρ（Δ）是Δ 的預(yù)解集，R（n）=nR（n，Δ），nR（n，Δ）是Δ 的預(yù)解式.

易推得

LUTX-（V1）=2〈V1，d2ΔV1〉H+2〈a，V1〉H-2〈V1，V1〉H+〈V1，V1〉H≤

（-2d2λΔ）‖V1‖2+2〈a，V1〉H.

選擇正常數(shù)ηv＜2d2λΔ，將伊藤公式應(yīng)用于eηvtUTX-（Vn1），得

eηvtUTX-（Vn1（x，t））-UTX-（Vn1（x，0））

=ηv∫t0eηvr‖Vn1‖2dr+∫t02eηvr〈Vn1，d2ΔVn1+

a-R（n）Vn1〉Hdr+∫t02eηvr〈Vn1，R（n）Vn1W˙2〉Hdr+

∫t0eηvr trace（（R（n）Vn1）（R（n）Vn1）T）dr.

兩邊取期望，得

eηvtEUTX-（Vn1（x，t））≤UTX-（Vn1（x，0））+（ηv-2d2λΔ）∫t0eηvrE‖Vn1‖2dr+

eηvr∫t02〈a，V1〉Hdr+2∫t0eηvrE（Vn1，（R（n）-I）Vn1〉Hdr+

eηvr∫t0trace［（R（n）Vn1）（R（n）Vn1）T-Vn1（Vn1）T］dr.JY，2（4.2）

由引理2.3，存在{n}∈ρ（Δ）的一個(gè)子列，仍記為｛n｝，使得對于T≥0，當(dāng)n→時(shí)有Vn1→V1，a.s..在（4.2）中令n→，則對任意的t＞0都有

eηvrEUTX-（V1（x，t））≤UTX-（V1（x，0））+（ηv-2d2λΔ）∫t0eηvrE‖V1（x，r）‖2dr.

因此有E‖V1（x，t）‖2≤‖V0‖2eηvt，V0∈H，t≥0.

由定理4.2的證明可知0≤V（x，t）≤V1（x，t），從而有E‖V（x，t）‖2≤‖V0‖2eηvt，V0∈H，t≥0.類似地，選擇0＜ηu＜2d1Δ-2mTX--1，通過計(jì)算可得到E‖U（x，t）‖2≤‖U0‖2eηut，U0∈H，t≥0.定理4.3證畢.

5"不變測度

本節(jié)主要證明模型（1.4）的不變測度的存在性.將方程（2.6）改寫為

{dZ（x，t）=ATX-Z（x，t）dt+FTX-（Z（x，t），t）dt+γTX-（Z（x，t），t）dW（x，t），"t＞0，

SX（ZnSX）｜WTHTOWTBX=0，

Z（x，0）=Z0（x），

其中

ATX-=（HL（2：2，Zd1Δ00d2ΔHL）），"FTX-（Z（.，t），t）=（HL（1VU2-mUa-V-VU2HL）），

γTX-（Z（.，t），t）=（HL（2U0

0VHL）），"dW（x，t）=（HL（1dW1（x，t）dW2（x，t）HL））.

對于一個(gè)J-值隨機(jī)變量X以及一個(gè)在Ω中的概率測度P，用S（X）表示X的分布律：

S（X）（Ξ）=P（ω：X（ω∈Ξ）），"ΞJ.

令Z（t，s，z）為如下方程的溫和解：

{dZ（x，t）=ATX-Z（x，t）dt+FTX-（Z（x，t），t）dt+γTX-（Z（x，t），t）dW（x，t），"t≥s，

SX（ZnSX）｜WTHTOWTBX=0，

Z（s）=z，JY，2（5.1）

令Ps，t，P（s，x，t;Π），t≥0，z∈J，Π∈D（J）分別為Z（t，s，z）的轉(zhuǎn)移半群、轉(zhuǎn)移函數(shù)[21].其中D（J）是包含J中所有子集的最小σ域.因此，Ps，tφ（x）=Eφ（Z（t，s，z）），φ∈Db（J），z∈J，P（s，x，t;Π）=Ps，tΠ（x）=S（Z（t，s，z））（Π），t≥0，z∈J，Π∈D（J），其中Π（x）為集合Π的特征函數(shù)，Db（J）為J中的全體有界Borel函數(shù)構(gòu)成的Banach空間.

定理5.1"在定理3.1和引理3.2的條件下，對任意φ∈Db（J）及t＞l＞s，都有

E［φ（Z（t，s，Z0））｜Fl］=［φ（Z（t，s，y））］y=Z（l，s.Z0）.

證明"假設(shè)φ∈Cb，Cb為J中所有有界連續(xù)的實(shí)值函數(shù)，由[21，Lemma 1.1]可知，存在J-值WTHTFWTBXl可測簡單函數(shù)列{Xq：Ω1→J，Xq=∑nk=1τqkXq=τqk，n∈KX（NKX）}，其中τq1，τq2，…，τqn為正數(shù)，Ω1=∪nk=1{Xq=τqn}，使得｜Xq（ω）-Z（l，s，Z0）（ω）｜↓0，n→，ω∈Ω1.

由于方程（3.1）的溫和解可表示為Z（t，s，Z0）=Z（t，l，Z（l，s，Z0）），對于任意的ε∈WTHTFWTBXl，有

∫εφ（Z（t，s，Z0））dP=E［χεφ（Z（t，l，Z（l，s，Z0）））］=∫εEφ（Z（t，l，y））y=Z（l，s，Z0）dP，

則有E［φ｜Z（t，s，Z0）｜Fl］=E［φ（Z（t，l，y））］y=Z（l，s，Z0）.定理證畢.

令WTHTMWTBX（J）為（J，D（J））中的全體有界測度構(gòu)成的空間.對于φ∈Db（J），ν∈WTHTMWTBX（J），記〈φ，ν〉=∫Jφ（x）ν（dx）.記C1bD（J+）為有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)φ：J+→R構(gòu)成的Banach空間.定義對偶半群P*，φ，P*s，tν=Ps，tφ，ν，∈Db（J），ν∈WTHTMWTBX（J）.

引理5.2"轉(zhuǎn)移半群Ps，t是Feller的.

證明"由前面定理3.1的第二部分證明可知，對于φ∈C1bD（J+），Z1，Z2∈J+，有

｜Ps，tφ（Z1）-Ps，tφ（Z2）｜≤E｜φ（Z1（t））-φ（Z2（t））｜≤

‖φ‖E｜Z1（t）-Z2（t）｜→0，｜Z1-Z2｜J→0.

由于CbD（J+）中的每個(gè)函數(shù)都可用C1bD（J+）中的一個(gè)序列來逼近，所以對于任意φ∈C1bD（J+），都有Ps，tφ∈C1bD（J+）.引理證畢.

定義5.3（不變測度）"如果對任意t≥0和φ∈C1bD（J+）都有

∫J+Ps，tφ（Z）dν（Z）=∫J+φ（Z）dν（Z），

則在（J+，C1bD（J+）中的概率測度ν稱為Ps，t的不變測度.

對任意θ＞0，Hlder空間Cθ（［0，lπ］，KX（RKX）2）在J中是緊的.所以，如果對于Z∈J+，θ＞0，t0≥0，有supDD（Xt≥t0 E｜Z（t）｜Cθ（［0，lπ］，

KX（RKX）2）＜成立，則概率測度族{Ps，t（Z，.）}是緊的.故由Krylov-Bogoliubov定理可知Ps，t存在不變測度.

引理5.4（[23， Proposition 6.1]）"設(shè)infDD（Xx∈[0，lπ]m（x）＞0.令z=（U0，V0）∈J，U0，V0≥0，則對任意p≥1都有

E［supDD（Xt≥0｜Zz（t）｜pJ］≤cp（1+｜z｜pJ）.

引理5.5（[23， Proposition 6.2]）"設(shè)infDD（Xx∈WTHTOWTBX m（x）＞0，令z=（U0，V0）∈J，U0，V0≥0，則有θ＞0和t0＞0，使得

supDD（Xt≥t0 E［∣Zz（t）∣Cθ（[0，lπ]，KX（RKX）2）］＜

由引理5.4和引理5.5可得

定理5.6""設(shè)infDD（Xx∈WTHTOWTBX m（x）＞0，與ZZ（t）相關(guān)的轉(zhuǎn)移半群Ps，t在J+中有一個(gè)不變測度ν.

6"大偏差原理

設(shè)E'為一Polish空間，B（E′）為該空間上的Borel子集σ代數(shù)，{Zε，ε＞0}為定義在概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的E′值隨機(jī)變量.

定義6.1[28]"如果函數(shù)I：E′→［0，+）是下半連續(xù)的，即當(dāng)zn→z時(shí)有l(wèi)iminfDD（Xn→I（zn）≥I（z），則稱I為速率函數(shù).進(jìn)一步地，若存在有限數(shù)K1＜，使得E′的水平集{z∈E′：I（z）≤K1}是緊集，則稱I是好的速率函數(shù).

定義6.2（大偏差原理）[28]"設(shè)I為E′上的速率函數(shù)，如果{Zε，ε＞0}在E′中滿足大偏差原理且有速率函數(shù)I，則以下兩個(gè)條件成立：

大偏差上界：對于E′中任意的閉子集F'有l(wèi)im supDD（Xε→0 εlog P（Z∈F′）≤-I（F′）.

大偏差下界：對于E′中任意的開子集G'有l(wèi)im supDD（Xε→0 εlog P（Z∈G′）≥-I（G′）.

本節(jié)主要在時(shí)間區(qū)間[0，1]中研究模型（1.4）的大偏差結(jié)果. 重述隨機(jī)植物-地表水反應(yīng)擴(kuò)散模型（1.4）：

{dUε（t）=［Vε（t）U2ε（t）-mUε（t）］dt+KF（S"εKF）U（t）dW1（t），

dVε（t）=［A2Vε（t）+a-Vε（t）-Vε（t）U2ε（t）］dt，

Uε（0）=Uε0，Vε（0）=Vε0.

令η∈WTHTMWTBX，考慮擴(kuò)散方程

{dUη=［VηU2η-mUη］dt+Uηdη（t），dVη=［A2Vη+a-Vη-VηU2η］dt.JY，2（6.1）

令ε∈[0，1]，（ηε）o≤ε≤1WTHTAWTBXs，要得到模型（1.4）的大偏差結(jié)果，先要研究隨機(jī)偏微分方程

{dUεηε=［VεηεU2εηε-mUεηε］dt+Uεηεdη（t）+KF（S"εKF）UεηεdW（t），

dVεηε=［A2Vεηε+a-Vεηε-Vεηε

U2εηε］dt.JY，2（6.2）

引理6.3"設(shè)φn，η∈WTHTAWTBXdN，（Uφn，Vφn）為方程（6.1）的解，則有

limDD（Xφn→η‖（Uφn，Vφη）-（Uη，Vη）‖C（[0，1];KX（RKX）×C）=0.

證明"對所有的s＜t∈[0，1]，φη∈WTHTAWTBXdN，由方程（6.1）的解的有界性和

Hlder不等式知，存在常數(shù)Ki（i=1，2，3），使得

｜Uφn（t）-Uφn（s）｜≤-K1（t-s）+K2（t-s）+

（∫tsU2φn（ι）dι）SX（12SX）（∫10｜ηDD（-*1/2·（ι）｜2

dι）SX（12SX）≤

（K2-K1）（t-s）+K3（t-s）SX（12SX），JY，2（6.3）

從而易得{Uφn（t），n≥1}是等度連續(xù)的.由Arzela-Ascoli定理，對U∈C（[0，1];KX（RKX））及序列{Uφn（t），n≥1}有

limDD（Xn→‖Uφn-U‖C（[0，1];KX（RKX））=0.JY，2（6.4）

另一方面，存在常數(shù)Ki（i=4，5）和S（t）=eAjt，使得

3‖Vφn（t）-Vφm（t）‖C=‖∫t0S（t-s）

［Vφm（s）-Vφn（s）+Vφm（s）U2φm（s）-Vφn（s）U2φn（s）］ds‖C≤

∫t0‖Vφm（s）-Vφn（s）‖Cds+K4∫t0‖Vφm（s）-Vφn（s）‖Cds+

K5∫t0‖U2φm（s）-U2φn（s）‖Cds.JY，2

由（6.3）和（6.5）易知{Vφn（t），n≥1}是在C（[0，1];C）上的一個(gè)柯西列，因此對于V∈C（[0，1];KX（RKX））有

limDD（Xn→‖Vφn-V‖C（[0，1];C）=0.JY，2（6.6）

由于Vφn（t）=S（t）V0+∫t0S（t-s）（a-Vφn（s）-Vφn（s）U2φn（s））ds，則當(dāng)n→時(shí)，由（6.3）和（6.5）可得

V（t）=S（t）V0+∫t0S（t-s）（a-V（s）-V（s）U2（s））ds.JY，2（6.7）

另一方面，在WTHTMWTBX中，當(dāng)n→時(shí)有φn→η，結(jié)合（6.4）可得

3∫t0Uφn（ι）φ˙n（ι）dι-∫t0U（ι）ηDD（-*1/2·（ι）dι=∫t0［Uφn（ι）-U（ι）］φ˙n（ι）dι-∫t0［φ˙n（ι）-ηDD（-*1/2·（ι）］U（ι）dι→0.JY，2（6.8）

由（6.4）、（6.6）和（6.8），可得

Uφn（t）=U0+∫t0Vφn（ι）U2φn（ι）dι-m∫t0Uφn（ι）dι+∫t0Uφn（ι）ηDD（-*1/2·（ι）dι.

所以

U=U0+∫t0V（ι）U2（ι）dι-m∫t0U（ι）dι+∫t0U（ι）ηDD（-*1/2·（ι）dι.JY，2（6.9）

由（6.7）和（6.9）可知（U，V）是擴(kuò)散方程（6.1）的解.由解的唯一性可知（U，V）=（Uη，Vη），因此有

limDD（Xφn→η‖（Uφn，Vφn）-（Uη，Vη）‖C（[0，1];KX（RKX）×C）=0.

引理證畢.

引理6.4"設(shè)ξTX-（t）是方程

dξTX-=ξTX-［mTX-*1/4ξTX--m］dt+ξTX-dW1（t）JY，2（6.10）

的一個(gè)解，則對任意ξTX-（0）=ξTX-0＞0，方程（6.10）有唯一的連續(xù)非負(fù)解

ξTX-（t）=SX（e（m-SX（12SX））t+W1（t）SX（1ξTX-0SX）+mmTX-∫t0e（m-SX（12SX））s-W1（s）dsSX），JY，2（6.11）

且limDD（Xt→ξTX-（t）在m≤SX（12SX）時(shí)為0，在m＞SX（12SX）時(shí)不超過SX（2mmTX-e2W12m-1SX）.

證明"對任何初始值ξTX-0，方程（6.10）的系數(shù)都是局部Lipschitz連續(xù)的，其在t∈［0，τe］時(shí)有局部唯一解，其中τe為爆炸時(shí)間.首先結(jié)合定理4.2易得ξTX-（t）為方程（6.10）的連續(xù)非負(fù)解，且它在［0，）上是全局的.

當(dāng)m＞SX（12SX）時(shí)有

limDD（Xt→ξTX-（t）≤limDD（Xt→

SX（eW1SX（1ξTX-0SX）e-（m-SX（12SX））t+mmTX-e-（m-SX（12SX））t∫t0e（m-SX（12SX））s-W1（s）dsSX）=SX（2mmTX-e2W12m-1SX）.JY，2（6.12）

當(dāng)m＜SX（12SX）時(shí)有

0=limDD（Xt→SX（e（m-SX（12SX））t-W1（t）SX（1ξTX-0SX）+mmTX-∫t0e（m-SX（12SX））s+W1（s）dsSX）≤limDD（Xt→ξTX-（t）≤limDD（Xt→SX（e（m-SX（12SX））t+W1（t）SX（1ξTX-0SX）+mmTX-∫t0e（m-SX（12SX））s-W1（s）dsSX）=0.

當(dāng)m=SX（12SX）時(shí)有

0=limDD（Xt→SX（e-W1（t）SX（1ξTX-0SX）+mmTX-∫t0eW1（s）dsSX）≤limDD（Xt→ξTX-（t）≤limDD（Xt→SX（eW1（t）SX（1ξTX-0SX）+mmTX-∫t0e-W1（s）dsSX）=limDD（Xt→SX（eW1（t）SX（1ξTX-0SX）+mmTX-e-W1tSX）=0.

引理證畢.

回顧方程（2.6）為

{dU（t）=［V（t）U2（t）-mU（t）］dt+U（t）dW1（t），

dV（t）=［a-V（t）］dt+V（t）dW2（t），

U（0）=U0，V（0）=V0.

由定理3.1可知方程（2.6）存在非負(fù)解.又有dU（t）＜［mTX-U2（t）-mU（t）］dt+U（t）dW1（t），U（0）=U0.由（6.11）和（6.12） 及比較定理，可得

0≤U（t）≤SX（e（m-SX（12SX））t+W1（t）SX（1ξ0SX）+mmTX-∫t0e（m-SX（12SX））s-W1（s）dsSX）≤SX（2mmTX-e2W12m-1SX），"m＞SX（12SX）.JY，2（6.13）

再結(jié)合定理3.1和定理4.2，得

0≤V（x，t）≤mTX-.JY，2（6.14）

引理6.5"對于一族{ηε}WTHTAWTBXsN，（Uε，ηε，Vε，ηε）是（6.2）的解，且當(dāng)n→時(shí)， ηεn依分布收斂于η，（Uε，ηε，Vε，ηε）依分布收斂于（Uη，Vη）.進(jìn)一步地，存在有界連續(xù)函數(shù)f0：C（[0，1];KX（RKX）×C）使得limDD（Xε→0 Ef0（Uε，ηε，Vε，ηε）=Ef0（Uη，Vη）.

證明"令Uε=Uε，η，Vε=Vε，η.由 Skorohood嵌入定理可知，在概率空間 （Ω︿，F(xiàn)︿，P︿）中，隨機(jī)變量{U︿εn}，U︿分別與{Uεn}，U有相同的分布，由此可得limDD（Xn→‖U︿εn-U︿‖C（[0，1];KX（RKX））=0幾乎處處成立.

接著考慮方程

｛dV︿εn=［A2V︿εn+a-V︿εn-V︿εnU︿2εn］dt，"V︿εn（0）=V0，dV︿=［A2V︿+a-V︿-V︿U︿2］dt，"V︿（0）=V0.JY，2（6.15）

由引理6.3易得limDD（Xn→‖V︿εn-V︿‖C（[0，1];C）=0幾乎處處成立，這表明（U︿εn，V︿εn）與（Uεn，Vεn）有相同的分布.由鞅不等式有l(wèi)imDD（Xε→0+ EKF（S"εKF）supDD（X0≤t≤1｜∫t0VεdWs｜=0，由此得limDD（Xεn→0+EKF（S"εnKF）supDD（X0≤t≤1｜∫t0VεdWs｜=0.結(jié)合引理6.3可得

U︿（t）=U0+∫t0V︿（ι）U︿2（ι）dι-m∫t0U︿（ι）dι+∫t0U︿（ι）ηDD（-*1/2·（ι）dι.JY，2（6.16）

由（6.15）和（6.16）易知（U︿，V︿）滿足方程（6.1）.由解的唯一性可知（U︿，V︿）與（Uη，Vη）有相同的分布，故存在U∈C（[0，1];KX（RKX））、序列{Uεn}及l(fā)imDD（Xn→εn=0使得limDD（Xn→ Uεn=U.

下一步，證明其緊性.

（1） 對于任意的0≤t1＜t2…＜tn≤1，n∈N，分布（Uε（t1），…，Uε（tn））0≤ε≤1是緊的.

（2） 對于任意的ρ＞0，limDD（Xδ→0limDD（Xε→0P{supDD（X0≤s＜t≤1，｜t-s｜≤δ｜Uε（t）-Uε（s）｜＞ρ}=0.

由引理6.3及（6.13）有

0≤U2ε（t）≤（SX（e（m-SX（ε2SX））t+W1（t）SX（1ξ0SX）+mmTX-∫t0e（m-SX（12SX））s-W1（s）dsSX））2≤（SX（2mmTX-e2W12m-1SX））2，"t∈[0，1]，

由此可得

EsupDD（X0≤t≤1 U2ε（t）≤K6.JY，2（6.17）

選擇k，λTX-=KF（S"SX（K6kSX）KF），由Chebyshev不等式，對于λTX-＞0有P（supDD（X0≤t≤1 U2ε（t）＞λTX-）≤SX（E[supDD（X0≤t≤1U2ε（t）]λTX-2SX）=k.從而有P（supDD（X0≤t≤1U2ε（t）≤λTX-）≥1-k.對任意0≤t1＜t2＜…＜tn≤1，n∈KX（NKX），有

P（U2ε（t1）≤λTX-，U2ε（t2）≤λTX-，…，U2ε（tn）≤λTX-）≥1-k.

因k＞0是任意的，故易得分布（U2ε（t1），U2ε（t2），…，U2ε（tn））是緊的.

進(jìn)一步地，有

supDD（X｜t-s｜≤δ｜Uε（t）-Uε（s）｜≤δ（supDD（X｜t-s｜≤δVε（ι）supDD（X｜t-s｜≤δU2ε（ι））-mδsupDD（X｜t-s｜≤δUε（ι）+

supDD（X｜t-s｜≤δ｜∫tsUε（ι）ηε˙（ι）dι｜+2KF（S"εKF）supDD（X0≤t≤1｜∫t0UεdW1，ι｜.JY，2（6.18）

由Hlder不等式可知

supDD（X｜t-s｜≤δ｜∫tsUε（ι）ηε˙（ι）dι｜≤supDD（X｜t-s｜≤δ（∫tsU2ε（ι）ηε˙（ι）dι）SX（12SX）‖ηε‖M≤NKF（S"δKF）supDD（X0≤t≤1Uε（ι）.

根據(jù)（6.15）和（6.16）可得

EsupDD（X｜t-s｜≤δ｜∫tsUε（ι）ηε˙（ι）dι｜≤K7δSX（12SX）.JY，2（6.19）

進(jìn)一步地，由鞅的性質(zhì)可得

EKF（S"εKF）supDD（X0≤t≤1｜∫t0UεdW1，ι｜≤KF（S"εKF）（EsupDD（X0≤t≤1｜∫t0UεdW1，ι｜2）SX（12SX）≤K8KF（S"εKF）.JY，2（6.20）

由（6.14）、（6.17）、（6.18）、（6.19）和（6.20），可得

EsupDD（X｜t-s｜≤δ｜U（t）-U（s）｜≤max{mTX-K6，KSX（12SX）6，K7，K8}（δ（1-m）+δSX（12SX）+KF（S"εKF））.

由Chebyshev不等式，即可得到

P{supDD（X0≤s＜t≤1，｜t-s｜≤δ｜Uε（t）-Uε（s）｜＞ρ}≤SX（EsupDD（X｜t-s｜≤δ｜U（t）-U（s）｜λTX-SX）≤

SX（max{mTX-K6，KSX（12SX）6，K7，K8}（δ（1-m）+δSX（12SX）+KF（S"εKF））λTX-SX）.

由引理6.3和引理6.5，結(jié)合[29，Theorem 2.3.4]，可得

定理6.6"設(shè)（Uε，Vε）為方程（2.6）的解，則{（Uε，Vε）}ε＞0在C（[0，1];KX（RKX）×C）中滿足大偏差原理，且有速率函數(shù)

I（U，V）∶=infDD（Xη∈WTHTMWTBX

（Uη，Vη）=（U，V）（SX（12SX）=η=2WTHTMWTBX），

其中（Uη，Vη）是方程（6.1）的解，（U，V）∈C（[0，1];KX（RKX）×C）.

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[責(zé)任編輯：彭喻振]

收稿日期：2023-09-17

*基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（12061049）

第一作者簡介：黃燕慧（1998—），女，廣西欽州人，碩士研究生，研究方向：隨機(jī)分析及其應(yīng)用。

通信作者簡介：黃在堂（1978—），男，廣西崇左人，教授，博士，博導(dǎo)，研究方向：隨機(jī)分析及其應(yīng)用。