摘?要：近年來(lái)，結(jié)合地域特色進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的想法逐漸興起，但專門針對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的此類研究很少。本文討論了結(jié)合地域特色進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的意義及優(yōu)勢(shì)。結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、定積分和解析幾何給出了帶有天津特色的具體題目。最后結(jié)合所給案例進(jìn)一步分析了地域特色對(duì)教學(xué)效果的促進(jìn)作用，并給出了本文案例設(shè)計(jì)思想在其他省市的拓展思路。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；地域特色；教學(xué)案例

高等數(shù)學(xué)是一門理論性較強(qiáng)的課程，其教學(xué)內(nèi)容是實(shí)際問(wèn)題高度提煉后的結(jié)果，為了更好地實(shí)現(xiàn)育人效果，本文以天津市為例，給出結(jié)合地域特色設(shè)計(jì)高等數(shù)學(xué)案例的方法，以此拉近學(xué)生距離，理論聯(lián)系實(shí)際的過(guò)程更加順暢。

一、結(jié)合地域特色進(jìn)行高等數(shù)學(xué)案例設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)

地域文化是中華文化的重要組成部分，具有重要的思想教育價(jià)值。天津擁有復(fù)雜的歷史，蘊(yùn)含著大量獨(dú)具特色的文化資源，承載著深厚的傳統(tǒng)基因，它們?cè)谂嘤褡逄厣鐣?huì)主義文化自信方面發(fā)揮著重要作用。在實(shí)際教學(xué)中，高等數(shù)學(xué)的理論授課內(nèi)容過(guò)于抽象，要想更好地吸引學(xué)生的注意力，需要在授課過(guò)程穿插一些實(shí)際案例，既能提升教學(xué)效果，又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。另一方面，受課時(shí)等多種因素影響，為了保證課堂效果，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理論的同時(shí)能夠有足夠時(shí)間進(jìn)行題目練習(xí)，可能會(huì)擠壓具體案例的講解時(shí)間，因此需要優(yōu)化案例的選取及其切入方法。結(jié)合地域特色進(jìn)行教學(xué)案例的設(shè)計(jì)，可以更快速地引起學(xué)生的興趣，拉近學(xué)生與課程內(nèi)容的距離，使學(xué)生更真切地感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值。

二、結(jié)合地域特色的高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例

本節(jié)以天津市為例，結(jié)合高等數(shù)學(xué)課程不同章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，給出幾個(gè)結(jié)合天津地域特色的高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例。

（一）函數(shù)表示與空氣質(zhì)量

在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)的概念有兩個(gè)基本要素——定義域和法則，因此函數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)非常寬泛的概念，并不局限于y=f（x）這種表達(dá)式的形式。通過(guò)函數(shù)定義的教學(xué)，除了讓學(xué)生掌握基本的概念和性質(zhì)外，還應(yīng)讓學(xué)生意識(shí)到函數(shù)不僅是數(shù)學(xué)中的概念，要把它看成一種工具，它可以不只作用于抽象的變量x，還可以以表格、圖像等形式體現(xiàn)，甚至可以直接將實(shí)際生活中的某些數(shù)據(jù)看成一種函數(shù)。因此，可以在函數(shù)概念這一小節(jié)引入帶有地域特色的實(shí)際案例，體現(xiàn)函數(shù)的另一種呈現(xiàn)方式。

例1：天津市近年來(lái)在環(huán)保方面采取了一系列舉措來(lái)改善環(huán)境質(zhì)量。例如在減排治污方面，天津市加大了大氣污染治理力度，通過(guò)推行清潔能源、減少高污染車輛、加強(qiáng)工業(yè)排放管理等措施，有效降低了大氣污染物排放量。在多方面的努力下，天津市近幾年的PM2.5年均濃度如下表，可以看出天津市的空氣質(zhì)量在近幾年持續(xù)提升，說(shuō)明現(xiàn)行的減排治污方案是有效果的。

上表中的數(shù)據(jù)也可以看作一個(gè)自變量為時(shí)間，因變量為PM2.5年均濃度的一個(gè)函數(shù)，其定義域可看作是D={2017，2018，2019，2020，2021，2022}，對(duì)應(yīng)法則就是不同年份測(cè)量出的數(shù)據(jù)，如規(guī)定f（2017）=62等，這樣也可以是一種函數(shù)的表現(xiàn)形式，在數(shù)學(xué)中還可以以這種函數(shù)為基礎(chǔ)，對(duì)后續(xù)年份的空氣質(zhì)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

本案例將天津市的環(huán)保成效與函數(shù)表示相結(jié)合，既體現(xiàn)了函數(shù)表示形式的多樣性，讓學(xué)生更深入理解函數(shù)的思想，又反映了函數(shù)思想在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，對(duì)于學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有很大的激勵(lì)作用。

（二）極限與垃圾處理

極限思想是微積分整個(gè)學(xué)科的基礎(chǔ)，其定義的完善促進(jìn)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解除，微積分中的導(dǎo)數(shù)和積分的概念都是極限形式體現(xiàn)的，因此極限是微積分的重要研究對(duì)象。在學(xué)習(xí)極限時(shí)，同學(xué)們具有高中階段的學(xué)習(xí)背景，對(duì)極限的運(yùn)算等有一定的了解，但對(duì)于極限的內(nèi)涵和實(shí)踐應(yīng)用理解得并不深入，因此，在高等數(shù)學(xué)階段，對(duì)學(xué)生的教育目標(biāo)會(huì)從為了應(yīng)試，向培養(yǎng)思維方面傾斜，這就更需要引入一些貼近學(xué)生生活的教學(xué)案例，帶動(dòng)學(xué)生思考。下面給出一個(gè)以城市垃圾處理為背景的極限問(wèn)題設(shè)計(jì)思路。

例2：根據(jù)官方給出的數(shù)據(jù)可知，2022年天津市全年生活垃圾產(chǎn)生量432萬(wàn)噸?，F(xiàn)假設(shè)城市當(dāng)前待處理垃圾總量為A，未來(lái)每年新增生活垃圾產(chǎn)量和2022年一致，城市每年可處理上一年堆積垃圾的80%，那長(zhǎng)此以往，天津市的垃圾能否被完全處理完？

針對(duì)上面的問(wèn)題，2022年末若待處理垃圾量為A0，則按照上述假設(shè)；2023年末待處理垃圾量為A1=A0（1-80%）+432；2024年末待處理垃圾A2=A1（1-80%）+432=0.22A+0.2×432+432；以此類推，n年后，城市待處理垃圾為An=0.2nA+432（0.2n-1+0.2n-2+…+0.2+1）。這里An包括兩個(gè)部分，第一部分在n→∞時(shí)趨近于0，第二部分是一個(gè)公比q=0.2<1的等比數(shù)列求和，在n→∞時(shí)有極限，通過(guò)計(jì)算可得An→432/（1-0.2）=540萬(wàn)噸。

按照上述假設(shè)，可以得到若干年后，城市垃圾總量并不會(huì)減少至0，也不會(huì)增加至無(wú)限大，而是受垃圾增長(zhǎng)速度和垃圾處理能力影響，而穩(wěn)定在一個(gè)固定值。另外這個(gè)固定值和城市最初的垃圾積累量無(wú)關(guān)，減少垃圾產(chǎn)生量，提高垃圾處理能力才是問(wèn)題的關(guān)鍵，這種現(xiàn)象與一些同學(xué)最初的設(shè)想可能并不一致，這也正是極限的魅力，不管基數(shù)有多大，只要趨勢(shì)是趨于0的，那經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間的演化，就能變得很小，直至無(wú)限小。

極限思想是抽象的，但極限的應(yīng)用是豐富的。類似上述這種以年為單位的迭代過(guò)程可以通過(guò)極限去預(yù)測(cè)按當(dāng)前形勢(shì)保持不變，未來(lái)會(huì)如何發(fā)展，這種應(yīng)用不止存在于垃圾處理上，還可應(yīng)用于傳染病發(fā)展、人口增長(zhǎng)等方面。但是如果單純以人口增長(zhǎng)為例，難免有些空洞，學(xué)生會(huì)感覺(jué)這種舉例更像是應(yīng)用題，依舊停留在書本上的內(nèi)容，將地域特色引入進(jìn)來(lái)既能引起學(xué)生興趣，又能增加說(shuō)服力，讓學(xué)生受教育的同時(shí)以實(shí)際為背景列式并求解極限值，加深了知識(shí)點(diǎn)的印象，做到學(xué)以致用。

（三）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與大沽口炮臺(tái)

導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)重要概念，具有非常豐富的實(shí)際應(yīng)用，最常見(jiàn)也是學(xué)生最容易理解的就是用來(lái)描述變速運(yùn)動(dòng)的速度和加速度。另外，導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)解決函數(shù)的極值和最值問(wèn)題，這使得它可以應(yīng)用于很多實(shí)踐中的最優(yōu)化問(wèn)題。在講解導(dǎo)數(shù)時(shí)，如果只是引用基本的抽象的變速直線運(yùn)動(dòng)的例子，不容易引起學(xué)生的興趣，學(xué)生也沒(méi)有熟悉感，因此可以在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí)，以天津市的大沽口炮臺(tái)為例，讓學(xué)生通過(guò)題目分析最大射程與發(fā)射角度的聯(lián)系。

例3：天津的大沽口炮臺(tái)作為歷史悠久的早期炮臺(tái)，其設(shè)計(jì)并不完美。在忽略空氣阻力的影響時(shí)，炮彈的發(fā)射軌跡有其數(shù)學(xué)規(guī)律，若炮彈以初始速度v，初始角度θ發(fā)射，它的水平方向速度為vx=vcosθ，垂直方向速度為vy=vsinθ，又受重力加速度影響，炮彈運(yùn)行時(shí)間為t=2vy/g，根據(jù)上述條件討論如何發(fā)射炮彈能使炮彈射程達(dá)到最大值。

綜合以上條件，首先可得炮彈發(fā)射距離為L(zhǎng)=2v2sinθcosθ/g。在此基礎(chǔ)上，如果想在初始速度不變的情況下達(dá)到射程最遠(yuǎn)，需要將發(fā)射角度θ作為自變量對(duì)射程L進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，可解的得θ=45°時(shí)射程最遠(yuǎn)。另外，如果希望炮彈能夠命中射程內(nèi)的任意目標(biāo)，可以通過(guò)調(diào)整θ值來(lái)實(shí)現(xiàn)。

通過(guò)上面的例子和具體題目，可以引導(dǎo)學(xué)生以實(shí)際問(wèn)題為背景計(jì)算出最優(yōu)發(fā)射角度θ，并且借此理解現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常提到的扔?xùn)|西呈45°角扔的最遠(yuǎn)的現(xiàn)象。另外該案例反映出國(guó)防科技的重要性和數(shù)學(xué)之于其他理工科目的重要性，讓學(xué)生看到高等數(shù)學(xué)的實(shí)踐應(yīng)用，如果不以大沽口炮臺(tái)做引，可能學(xué)生會(huì)覺(jué)得案例空洞，不容易想到炮臺(tái)的真實(shí)樣貌；或者教師只以拋物線為題目，讓學(xué)生去求極限，即便最終也能得到45°角的最優(yōu)拋物角度，但其過(guò)程難免乏味枯燥。而本案例通過(guò)天津特色的歷史遺跡，讓學(xué)生真聽真看，真正理解科學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)踐意義。同一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論可以應(yīng)用于日常拋物，也可以應(yīng)用于軍事領(lǐng)域，這也是數(shù)學(xué)這門極度抽象學(xué)科的意義所在，通過(guò)這個(gè)案例也可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)習(xí)興趣。

（四）定積分與治水

高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容就是微積分，而微積分分為微分和積分兩大部分。其中微分就是導(dǎo)數(shù)，它用來(lái)描述事物的變化速度，微分的逆運(yùn)算即為積分。在學(xué)生高中時(shí)期，對(duì)導(dǎo)數(shù)是非常熟悉的，而隨著高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的推進(jìn)，積分的出現(xiàn)會(huì)讓學(xué)生有很突然的陌生感。在一般授課過(guò)程中，定積分經(jīng)常會(huì)與求面積、求體積這類問(wèn)題聯(lián)系到一起，體現(xiàn)出積分的積累效果，但實(shí)際上其應(yīng)用不止于此。對(duì)于實(shí)際中的很多變化過(guò)程，如曲線斜率、瞬時(shí)速度等都可以用導(dǎo)數(shù)去描述，而反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)變化過(guò)程能夠采集到他的變化速度，也可以通過(guò)求積分來(lái)得到總量的變化。下面給出一個(gè)以天津市為背景的，不同于體積面積這類數(shù)學(xué)形狀的定積分的應(yīng)用案例。

例4：天津市地處海河下游、九河下梢，人民日常生產(chǎn)活動(dòng)和河流息息相關(guān)。千百年來(lái)，海河兒女通過(guò)筑堤防、浚河道、開減河和建閘涵等方式取得了輝煌的治水業(yè)績(jī)。天津境內(nèi)的著名水閘，歷史悠久者有九宣閘、馬圈閘（洋閘）、耳閘“三老”；重要的入?？诜莱遍l，有海河防潮閘等。在現(xiàn)代化技術(shù)不斷發(fā)展的今天，對(duì)于日常水位的控制離不開各項(xiàng)指標(biāo)的精準(zhǔn)監(jiān)測(cè)，若想測(cè)量河流排入大海的總水量，直接去獲得流水的總體積是不現(xiàn)實(shí)的，那要怎么對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算呢？

針對(duì)該問(wèn)題，可以通過(guò)采集水流速去計(jì)算瞬時(shí)的流量。假設(shè)某段河流的瞬時(shí)流速函數(shù)為v（t），可以借此得到瞬時(shí)流出函數(shù)Q（t），如果想測(cè)量從t1至t2時(shí)刻之間經(jīng)過(guò)該處的總水量，就可以利用定積分的思想，即總水量為Q（t）函數(shù)在區(qū)間［t1，t2］上的定積分。

上述案例以更貼近學(xué)生生活的形式體現(xiàn)了定積分的豐富應(yīng)用，同時(shí)引發(fā)學(xué)生思考，天津的治水工作離不開幕后的專業(yè)技術(shù)人員，他們通過(guò)各種科學(xué)的方法實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)地監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)、匯總計(jì)算、分析趨勢(shì)，保障了我們生活的平穩(wěn)進(jìn)行。數(shù)學(xué)理論及其相關(guān)科技的發(fā)展在實(shí)際生活中的一個(gè)重要作用就是為保護(hù)人民的生命財(cái)產(chǎn)安全提供理論依據(jù)。本案例從地域上讓學(xué)生有熟悉感，學(xué)生在上課時(shí)更容易代入進(jìn)去，通過(guò)案例進(jìn)行思考，理解定積分的本質(zhì)。

（五）坐標(biāo)系與水滴體育館

解析幾何是高等數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)重要分支，是一種將函數(shù)、方程等形式與曲面、曲線這類幾何圖形相結(jié)合的學(xué)科。在解析幾何中將數(shù)與形相聯(lián)系的關(guān)鍵工具就是坐標(biāo)系，一般高等數(shù)學(xué)課程中涉及的解析幾何內(nèi)容都是以空間直角坐標(biāo)系為背景進(jìn)行展開的。由于解析幾何這一部分相對(duì)比較獨(dú)立，很多內(nèi)容也是直接將高中的二維平面中的結(jié)論直接推廣到三維空間，因此這一部分內(nèi)容學(xué)生學(xué)起來(lái)相對(duì)容易，但是會(huì)做題和真正理解并不能完全等同。學(xué)習(xí)解析幾何的重要意義在于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。例如，空間直角坐標(biāo)系中關(guān)于某個(gè)坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)，其坐標(biāo)有一定規(guī)律性，學(xué)生按照規(guī)律可以完成相關(guān)題目，但如果不知道規(guī)律，通過(guò)空間想象力找到點(diǎn)所在位置，也應(yīng)該能得到正確的結(jié)果，學(xué)生最終的學(xué)習(xí)目標(biāo)就是要這樣“知其然，知其所以然”。

為了讓學(xué)生更好地理解空間直角坐標(biāo)系，可以在授課過(guò)程中以天津特有的水滴體育館作為切入點(diǎn)。像水滴體育館這樣的大型建筑工程，一定是通過(guò)精確的設(shè)計(jì)后才開始動(dòng)工的，這其中很大一部分工作是通過(guò)電腦軟件建模實(shí)現(xiàn)的，在電腦軟件中，設(shè)計(jì)者們會(huì)在軟件中構(gòu)造一個(gè)等比例的體育館模型，而這個(gè)模型也要滿足各方面的設(shè)計(jì)要求及標(biāo)準(zhǔn)，需要精確其多方面的數(shù)據(jù)，在此坐標(biāo)系是必須的工具。這種虛擬的設(shè)計(jì)過(guò)程，其實(shí)就是在軟件中有一個(gè)內(nèi)在的空間直角坐標(biāo)系，以這個(gè)坐標(biāo)系的各坐標(biāo)軸數(shù)據(jù)作為標(biāo)尺，在設(shè)計(jì)中結(jié)合其他方面，如受力分析等，最終逐步完成的。

教師在引入上述案例時(shí)，可以展示水滴體育館的三維模型圖片，體現(xiàn)解析幾何在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到提升空間想象力的重要性。相對(duì)于其他一般化的案例來(lái)說(shuō)，由于大部分高等數(shù)學(xué)課程設(shè)置中，解析幾何部分屬于大一下半學(xué)期的內(nèi)容，很多同學(xué)可能之前去過(guò)水滴體育館，再聽這樣的案例時(shí)更容易有畫面感，教師也可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)資料的搜集及水滴體育館三維模型的圖片展示，提問(wèn)學(xué)生，按照這樣的建模方法，設(shè)計(jì)者將坐標(biāo)系的原點(diǎn)放在了哪個(gè)位置，是體育館的中心還是體育館的一端；如果將體育館地面看作xOy平面，則體育館表面的坐標(biāo)滿足什么特點(diǎn)，處于哪幾個(gè)卦線；若體育館對(duì)稱軸取在yOz平面方向，則兩側(cè)對(duì)稱位置上的點(diǎn)坐標(biāo)有什么規(guī)律等。以一個(gè)實(shí)際案例為基礎(chǔ)，通過(guò)提問(wèn)，認(rèn)識(shí)教科書上的定義，總結(jié)原本教科書上抽象的結(jié)論，活躍課堂氣氛。

三、總結(jié)

本文結(jié)合高等課程具體知識(shí)點(diǎn)，給出了五個(gè)結(jié)合天津地域特色的高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例，這些案例不僅豐富了教學(xué)內(nèi)容，還結(jié)合了地域特色，以比較新穎的角度展示了知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用價(jià)值，使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)更加豐富，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加深入。結(jié)合地域特色實(shí)踐案例不再生硬，教師在課堂上如果持續(xù)不斷地輸出知識(shí)，學(xué)生會(huì)感到疲憊，在此期間如果教師偶然說(shuō)一些個(gè)人經(jīng)歷、自身感悟之類的“題外話”，學(xué)生經(jīng)常會(huì)瞬間被吸引。把地域特色融入教學(xué)案例中，使得案例內(nèi)容更接近教師和學(xué)生當(dāng)下的生活，教師可以用類似聊天的形式順利地把知識(shí)點(diǎn)的實(shí)踐應(yīng)用展示出來(lái)，與傳統(tǒng)“應(yīng)用題”相比更生動(dòng)自然。

本文展示的教學(xué)案例均以作者所在地天津?yàn)槌霭l(fā)點(diǎn)，但這些案例也有很大的拓展性。對(duì)于函數(shù)表示的案例，各個(gè)省市的發(fā)展都伴隨著各項(xiàng)民生方面的數(shù)據(jù)，如地區(qū)生產(chǎn)總值、農(nóng)作物產(chǎn)量、創(chuàng)新成果數(shù)量等，這些都可以看作是函數(shù)的一種表現(xiàn)形式。前文極限部分的案例是從城市垃圾處理的角度引出的，該角度對(duì)各個(gè)城市都能適用，教師根據(jù)自己所在地的政府公開數(shù)據(jù)，結(jié)合極限的問(wèn)題背景設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的案例即可。在導(dǎo)數(shù)案例中，雖然其他省市沒(méi)有大沽口炮臺(tái)這樣的遺址，但很多當(dāng)?shù)匕l(fā)展數(shù)據(jù)也可以利用導(dǎo)數(shù)去觀察其變化趨勢(shì)，另外我國(guó)在投標(biāo)槍和投鉛球等項(xiàng)目上均取得過(guò)較為顯著的成績(jī)，如果當(dāng)?shù)赜袕氖逻@些領(lǐng)域的代表人物，也可以作為一個(gè)出發(fā)點(diǎn)引出投擲角度最優(yōu)的問(wèn)題。定積分如果在聯(lián)系實(shí)際時(shí)沒(méi)有類似本文的情況，可以從最基礎(chǔ)的面積出發(fā)，校園面積、湖泊面積、著名景點(diǎn)占地面積等，結(jié)合當(dāng)?shù)靥攸c(diǎn)，將定積分與實(shí)際地點(diǎn)相結(jié)合，也能形成有當(dāng)?shù)靥厣慕虒W(xué)案例。在解析幾何方面，各地都存在類似體育館等現(xiàn)代特色建筑，這些建筑在設(shè)計(jì)之初都是有模型的，都可以作為坐標(biāo)系的一個(gè)實(shí)踐應(yīng)用去展示。

最后，本文中提到的防汛抗洪案例是以當(dāng)前時(shí)事為背景的，更能夠提升案例的真實(shí)感。教學(xué)設(shè)計(jì)不能拘泥于某個(gè)案例不變，要經(jīng)常更新，緊跟當(dāng)下熱點(diǎn)，多了解學(xué)生感興趣的內(nèi)容，才能更好地引起學(xué)生的共鳴。在后續(xù)的研究過(guò)程中，作者還將繼續(xù)結(jié)合地域特色擴(kuò)充高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例，同時(shí)挖掘其可拓展性。

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課題信息：天津市職業(yè)教育與成人教育學(xué)會(huì)、天津職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報(bào)課題（XHXB2023B020）

作者簡(jiǎn)介：趙文雯（1989—?），女，漢族，天津人，碩士，講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。