摘 要：高中物理熱學(xué)板塊中有一類(lèi)問(wèn)題，是玻璃管內(nèi)利用水銀柱封閉一部分或幾部分氣體，改變外部環(huán)境，判斷氣體體積變大還是變小，或者判斷水銀柱的液面升高還是降低.解決這類(lèi)問(wèn)題，如果方法不對(duì)，那會(huì)相當(dāng)麻煩.本文將總結(jié)歸納解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法，并通過(guò)變式，尋找解決這類(lèi)問(wèn)題的共性.

關(guān)鍵詞：液柱；氣柱；理想氣體；假設(shè)歸謬法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）04-0130-03

高中物理中的熱學(xué)問(wèn)題，與力學(xué)知識(shí)有很大的關(guān)聯(lián)，近幾年常常出現(xiàn)在高考計(jì)算題第一題的位置.很多學(xué)生力學(xué)問(wèn)題解決起來(lái)得心應(yīng)手，但是碰到熱學(xué)問(wèn)題由于研究對(duì)象選擇不明確，或者方法不對(duì)，導(dǎo)致做起來(lái)比較吃力.下面以玻璃管中的水銀柱和理想氣體類(lèi)問(wèn)題為例，簡(jiǎn)單歸納一下解決這類(lèi)題目的基本方法.

1 單液柱、單氣柱問(wèn)題

指玻璃管內(nèi)有一段水銀柱，一段被封閉氣體.

例1 如圖1所示，玻璃管開(kāi)口向下豎直放置，管內(nèi)用水銀柱封閉一定質(zhì)量的理想氣體.在玻璃管繞頂端緩慢轉(zhuǎn)到虛線所示位置的過(guò)程中，管內(nèi)封閉氣體的體積怎么變？

分析 設(shè)大氣壓強(qiáng)為p0，水銀柱長(zhǎng)度為h，水銀密度為ρ，則管內(nèi)氣體的初始?jí)簭?qiáng)p1＝p0-ρgh.當(dāng)玻璃管繞頂端緩慢轉(zhuǎn)過(guò)θ角的過(guò)程中，封閉氣體的壓強(qiáng)p2＝p0-ρghcosθ，易知p2不斷增加. 由p1V1=p2V2得：V2=P1V1/P2，因此封閉氣體的體積是減小的.

變式1 如果玻璃管逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)90°、150°，氣體的體積怎么變？

分析 即使該玻璃管轉(zhuǎn)動(dòng)角度更大一些，關(guān)系式p2＝p0-ρghcosθ依然成立. 轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)，cos90°=0，p2＝p0，可求得封閉氣體體積減??；轉(zhuǎn)過(guò)角度超過(guò)90°時(shí)，cosθ為負(fù)值，則封閉氣體壓強(qiáng)p2＝p0-ρghcosθ將大于大氣壓強(qiáng)，氣體體積依然減小. 因此解決例1的方法，可以推廣到玻璃管在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)180°的任何情況.

變式2 如果該玻璃管呈豎直狀并向上加速，那么管內(nèi)封閉氣體的體積怎么變？

分析：由于封閉在管內(nèi)的氣體質(zhì)量一般不計(jì)，因此在試管加速、減速中，就要以水銀柱為研究對(duì)象. 水銀柱受到向下的重力、封閉氣體對(duì)它的壓力以及向上的大氣壓力. 初始狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)靜止，易知：mg+p1S=p0S. 向上加速時(shí)，p0S-（mg+p1S）=ma，由于水銀柱的質(zhì)量不變，大氣壓不變，故封閉氣體的壓強(qiáng)肯定要減小，由p1V1=p2V2得：封閉氣體體積增大.

變式3 如果該玻璃管及管內(nèi)水銀一起向下做自由落體運(yùn)動(dòng)，那么穩(wěn)定后封閉氣體的體積如何變化？

分析 變式2玻璃管向上加速，我們得到的結(jié)論是封閉氣體體積增大；那么玻璃管做自由落體運(yùn)動(dòng)，也就是向下加速，我們可以反推出封閉氣體的體積減小.也可以這樣分析：當(dāng)系統(tǒng)做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)論是玻璃管還是水銀柱，向下的加速度都是g，水銀柱的重力將產(chǎn)生向下的加速度g，此時(shí)如果上、下兩部分氣體對(duì)水銀柱的壓力不相等，那么水銀柱的加速度將不等于g，與事實(shí)不符. 因此水銀柱上方被封閉氣體的壓強(qiáng)應(yīng)該等于大氣壓p0，由p1V1=p0V2可得：V2減小.

例1及3個(gè)變式，讓學(xué)生體會(huì)解決這類(lèi)問(wèn)題要怎樣選擇研究對(duì)象.當(dāng)系統(tǒng)有加速度時(shí)，就要先對(duì)水銀柱運(yùn)用牛頓定律，得出其受力情況，轉(zhuǎn)換到氣體的壓強(qiáng)，然后再對(duì)封閉氣體運(yùn)用氣體實(shí)驗(yàn)定律解決問(wèn)題.

2 單液柱、雙氣柱問(wèn)題

指玻璃管內(nèi)有一段水銀柱，兩段被封閉氣體.

例2 如圖2所示，粗細(xì)均勻、兩端封閉、豎直

放置的內(nèi)壁光滑的玻璃管內(nèi)有一段長(zhǎng)為 h 的水銀柱，將管內(nèi)氣體分為兩部分，它們的溫度相同.若使兩部分氣體同時(shí)升高相同的溫度，試判斷圖中l(wèi)1、l2和h分別怎么變化？

分析 盡管絕大多數(shù)物體都有熱脹冷縮的現(xiàn)象，但是如果有氣體存在，固體、液體的脹縮效應(yīng)一般是忽略不計(jì)的，所以水銀柱的長(zhǎng)度h不變.由分析可知：兩部分氣體的壓強(qiáng)、體積會(huì)相互影響，但是l1+l2的總長(zhǎng)度不變；且下面空氣柱壓強(qiáng)大于上面空氣柱壓強(qiáng)，即p1＞p2. 由于題中只要求定性分析，無(wú)需定量計(jì)算，我們采用假設(shè)歸謬法.

以下面長(zhǎng)度為l1的空氣柱為研究對(duì)象：設(shè)初始時(shí)它的壓強(qiáng)為p1，假設(shè)升高一定的溫度ΔT后它的體積不變，壓強(qiáng)增加ΔP1，則：P1/T1=P1+ΔP1/T1+ΔT=ΔP1/ΔT，得ΔP1=ΔT/T1P1；同理可得：ΔP2=ΔT/T2P2.

由于兩部分氣體的初始溫度相同，且升高相同的溫度，所以根據(jù)p1＞p2得Δp1＞Δp2，故水銀柱會(huì)向上移動(dòng)，初始假設(shè)被推翻，同時(shí)問(wèn)題也得到解決.

變式1 如圖3所示，水平放置的玻璃管內(nèi)，一段長(zhǎng)為 h 的水銀柱，將管內(nèi)氣體分為a和b兩部分，它們的溫度相同.若使兩部分氣體同時(shí)升高相同的溫度，試判斷圖中兩部分氣柱的長(zhǎng)度分別怎么變化？

分析 因?yàn)椴ＡЧ芩椒胖?，可知pa=pb.以a部分氣體為研究對(duì)象，假設(shè)升高一定的溫度ΔT后它的體積不變，由Pa/Ta=ΔPa/ΔT得：ΔPa=ΔT/TaPa，同理可得ΔPb=ΔT/TbPb，因?yàn)閍、b兩部分氣體初始溫度相同，且升高相同的溫度，故Δpa=Δpb，因此水銀柱不移動(dòng)，la和lb也都不變.

變式2 如果玻璃管水平放置，a端初始溫度為300 K，b端初始溫度為400 K，若使兩部分氣體同時(shí)升高相同的溫度，則圖中l(wèi)a和lb分別怎么變化？

分析 因?yàn)椴ＡЧ芩椒胖?，則pa=pb. 還是以a部分氣體為研究對(duì)象，假設(shè)升高一定的溫度ΔT后它的體積不變，由Pa/Ta=ΔPa/ΔT得：ΔPa=ΔT/TaPa，同理可得ΔPb=ΔT/TbPb，因?yàn)門(mén)a＜Tb，所以Δpa＞Δpb，因此la變大，lb變小.

例2及2個(gè)變式，讓學(xué)生歸納出解決這一類(lèi)題目的基本方法：假設(shè)歸謬法.

如果將直玻璃管換成U型管，題目看起來(lái)好像變了，但解決問(wèn)題的方法還是差不多.

例3 如圖4所示，兩端封閉的U形玻璃管中裝有水銀，并在上端分別封有一定質(zhì)量理想氣體A和B，溫度相同，現(xiàn)將管放在冰水混合物中使兩段氣體同時(shí)下降相同溫度，則A和B兩部分氣柱的體積將怎樣變化？

分析 題目雖然變了，但是屬于換湯不換藥，解題方法與例2類(lèi)似. 因?yàn)锳側(cè)液面低于B側(cè)液面，故pA＞pB.以A氣體為研究對(duì)象，假設(shè)降低溫度ΔT后它的體積不變，壓強(qiáng)減小ΔPA，則：：PA/TA = PA-ΔPA/TA-ΔT = ΔPA/ΔT，得ΔPA=ΔT/TAPA；同理可得：ΔPB=ΔT/TBPB，所以ΔpA＞ΔpB，A氣柱壓強(qiáng)減小的多，故A液面上升，A氣柱體積減小，B氣柱體積增加.

可見(jiàn)，單液柱、雙氣柱問(wèn)題，我們采用假設(shè)法，假設(shè)體積不變，由氣體實(shí)驗(yàn)定律得出兩部分氣柱壓強(qiáng)的變化量的大小關(guān)系，便可以進(jìn)一步判斷氣柱的體積變化情況.

例2和例3有共同點(diǎn)：兩段氣柱加水銀柱的總長(zhǎng)度不變，在此前提下，當(dāng)溫度變化時(shí)，求兩段氣柱的體積變化情況. 采用的方法是假設(shè)體積不變，利用氣體實(shí)驗(yàn)定律得到壓強(qiáng)的增加量Δp的表達(dá)式，利用兩部分氣體Δp大小關(guān)系去分析氣體體積是否變化. 下面這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)差不多，但分析起來(lái)卻要復(fù)雜得多.

例4 如圖5所示，內(nèi)壁光滑、上端封閉的玻璃管，下端豎直插在水銀槽里，管內(nèi)有長(zhǎng)度分別為l1和l2的兩段理想氣體被一小段水銀柱分開(kāi)，外界溫度不變，大氣壓為p0，將玻璃管慢慢地向上提起一小段距離時(shí)，管內(nèi)氣柱l1和l2的長(zhǎng)度將怎樣變化？

分析 設(shè)上端空氣柱壓強(qiáng)為p1，水銀的密度為ρ，水銀柱的長(zhǎng)度為h，下端空氣柱壓強(qiáng)為p2，則p1+ρgh=p2，又因?yàn)椴ＡЧ軆?nèi)外液面相平，因此p2=p0.當(dāng)玻璃管向上提起一小段距離Δh時(shí)，假設(shè)l1和l2都不變，那試管內(nèi)液面也將隨之升高Δh，如圖6所示. 這就會(huì)得出p1和p2都不變，那么p2+ρgΔh＞p0，試管內(nèi)升高的液柱是不能平衡的，假設(shè)不成立. 那么有沒(méi)有可能試管內(nèi)外液面相平，兩段氣柱的長(zhǎng)度都變大一些，就像圖7一樣？

由于兩段氣柱的體積都增加了一些，導(dǎo)致它們的壓強(qiáng)分別減小為p1′、p2′，p1′+ρgh=p2′的關(guān)系可以滿(mǎn)足，但是p2′肯定不會(huì)和p0相等，那么試管內(nèi)外液面相平也就不成立了. 綜上，我們可以得出結(jié)論：試管內(nèi)的水銀液面應(yīng)該稍稍比水銀槽中的液面高出一些，而兩段氣柱l1和l2都將變大一些［1］.

變式 若管內(nèi)兩段氣柱l1=l2，那么在玻璃管稍稍向上提起一小段后，這兩段氣柱長(zhǎng)度的增加量哪個(gè)更大一些？

分析 以氣柱l1為研究對(duì)象，由p1l1S=（p1-Δp）l1′S，則Δl1=l1′-l1=Δp/p1-Δpl1，因?yàn)樯舷聝啥慰諝庵膲簭?qiáng)差為定值，故它們?cè)隗w積增大過(guò)程中，Δp也為定值，同理可得：Δl2=l2′-l2=Δp/p2-Δpl2，因?yàn)閜1Δl2，即上面這段空氣柱長(zhǎng)度增加更多一些.

3 結(jié)束語(yǔ)

熱學(xué)問(wèn)題變化很多，在講解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，如果就題論題，會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得無(wú)所適從.適當(dāng)歸納，同類(lèi)型問(wèn)題以變式訓(xùn)練呈現(xiàn)，會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得思路清晰許多.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 沈克琦.高中物理學(xué)②熱學(xué)[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2015.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡(jiǎn)介：劉東新（1978-），男，江蘇省常州人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.