李天成 鄧兆祥 張河山 盧泮蘋 曾鵬飛

摘要：電動車用輪轂電機受路面激勵和車重的雙重作用，定轉子相對偏心進而產(chǎn)生不平衡磁拉力，其垂向分量與車輛懸架系統(tǒng)的垂向振動相耦合，影響電動汽車的平順性、舒適性等性能。針對這一機電耦合問題，以一臺永磁式輪轂電機為研究對象，利用磁場疊加法獲得負載氣隙磁密分布，引入復數(shù)相對磁導和偏心磁導修正系數(shù)，建立考慮定子開槽效應的電機偏心磁場和不平衡磁拉力解析模型，并通過有限元仿真和樣機試驗驗證了解析模型的有效性。根據(jù)懸架系統(tǒng)的垂向振動與電機偏心不平衡磁拉力的實時耦合關系，利用拉格朗日法求解車輛動力學方程，建立1/4車身垂向耦合振動模型。以輪轂電機定子垂向振動加速度、車身垂向振動加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷為主要指標，研究機電耦合效應對車輛垂向動力學特性的影響，揭示不平衡磁拉力輸出特性與車輛動力學響應之間的機電耦合機理。研究結果表明，機電耦合效應使電動汽車的平順性、操穩(wěn)性和安全性等性能總體下降。

關鍵詞：輪轂電機；磁隙偏心；機電耦合；不平衡磁拉力；垂向動力學特性

中圖分類號：TM341????????? 文獻標志碼：A????????? 文章編號：1000-582X（2024）01-069-15

Vertical dynamic characteristics of electromechanical coupling of in-wheel motor drive system for electric vehicle

LI Tiancheng1a，， DENG Zhaoxiang1a，1b， ZHANG Heshan2， LU Panping1a， ZENG Pengfei1a

（1a. College of Mechanical and Vehicle Engineering; 1b. The State Key Laboratory of Mechanical Transmissions， Chongqing University， Chongqing 400044， P. R. China; 2. College of Traffic & Transportation， Chongqing Jiaotong University， Chongqing 400074， P. R. China）

Abstract： Due to the double action of road excitation and vehicle weight， the stator and rotor of the in-wheel motor （IWM） for electric vehicles （EVs） are relatively eccentric， thus generating an unbalanced magnetic force （UMF）. When the vertical component of UMF is coupled with the vertical vibration of the suspension system of the vehicle， the ride comfort and other properties of EV are affected. To study this electromechanical coupling problem， by taking a permanent magnet IWM as the research object， the vertical dynamic characteristics of electromechanical coupling of an IWM drive system for electric vehicle were investigated. Firstly， the air gap flux density distribution of IWM under load was obtained by superposition method of magnetic field. By introducing complex relative permeance and correction coefficient of permeance when the motor was eccentric， analytical models of the eccentric magnetic fields of IWM and UMF were obtained with the stator slotting effect taken into account， and the validity of the analytical models was verified by finite element simulation and prototype test. Then， according to the real-time coupling relationship between the vertical vibration of the suspension system and the eccentric UMF of IWM， the dynamic equation of the vehicle was solved by using the Lagrangian method， and the vertical coupling vibration model of a quarter car body was established. Finally， taking the vertical vibration acceleration of the stator of IWM， the vertical vibration acceleration of the car body， the dynamic deflection of the suspension and the dynamic load of the tire as the main indexes， the effect of electromechanical coupling on the vertical dynamic characteristics of EV was studied， and the mechanism of electromechanical coupling between the output characteristics of UMF and dynamic response of EV was revealed. The results show that the electromechanical coupling effect impairs the ride stability， operation stability and safety of EV.

Keywords： in-wheel motor; magnetic gap eccentricity; electromechanical coupling; unbalanced magnetic force; vertical dynamic characteristics

輪轂電機驅動系統(tǒng)具有高集成度、高功率密度等優(yōu)勢，能夠優(yōu)化車身結構，提高車輛的空間利用率，但也會增加整車非簧質量，使車輛平順性變差。馬英等[1]研究表明因驅動電機布置于車輪內部，簧載質量和非簧載質量之比減小，輪胎接地性能惡化。童煒等[2]應用1/4車輛動力學模型，研究輪轂電機作為非簧載質量對電動汽車垂向特性的影響。非簧質量增加帶來的不良影響可采用被動或主動的方法加以抑制，如根據(jù)動力吸振器原理將輪轂電機與簧下質量彈性隔離[3]、設計主動懸架來減小輪轂電機的垂向振動負效應等[4]。

以上研究重點關注非簧質量增加對輪轂電機驅動車輛相關性能的影響，忽略了輪轂電機定轉子偏心引起的機電耦合效應。在車輛實際運行中，輪轂電機驅動系統(tǒng)因同時受路面激勵和車重的雙重作用，其定轉子產(chǎn)生相對偏心，電機偏心導致磁隙不均進而產(chǎn)生不平衡磁拉力，而不平衡磁拉力的垂向分量直接作用于輪胎和懸架系統(tǒng)[5]，形成垂向懸架系統(tǒng)的機械運動和電機電磁場的耦合關系，進一步影響電動汽車的垂向動力學特性。

電機磁場和電磁性能研究主要采用有限元法和解析法。有限元法能考慮電機材料的非線性，計算精度高，可求解偏心不平衡磁拉力[6]，但其計算耗時，耗資源，且僅能研究固定偏心下電機本體的電磁性能，無法分析不平衡磁拉力與車輛懸架系統(tǒng)垂向振動的機電耦合問題；而解析法計算耗時短、效率高[7]，且可將電機不平衡磁拉力解析模型與懸架垂向振動模型聯(lián)合求解，以研究機電耦合效應對整車垂向動力學特性的影響[8]。Ma等[9]通過求解拉普拉斯方程和泊松方程得到無槽表貼式永磁電機的空載氣隙磁密解析模型。Zhang等[10-11]和杜剛等[12]基于子域分析技術和多層模型法，建立了永磁電機精確磁場解析模型，考慮了定子開槽和齒磁飽和效應。任杰等[13]提出基于等效變換的計算方法，得到轉子偏心時的空載氣隙磁場。Chen等[14]利用麥克斯韋張量法計算永磁電機偏心不平衡磁拉力，并通過實驗證明不平衡磁拉力是永磁電機振動噪聲的主要來源，將上述研究推導的電機偏心不平衡磁拉力與整車系統(tǒng)動力學方程聯(lián)立求解，用以分析機電耦合效應下的整車垂向動力學特性。Luo等[15]根據(jù)一種新型內置懸置電動輪結構，研究路面激勵和電機不平衡磁拉力的雙重激勵對整車垂向振動特性的影響。Wang等[16]分析并闡述了開關磁阻式輪轂電機驅動電動車的機電耦合機理。Li等[17-18]研究了開關磁阻電機在電動車中的機電耦合問題，證明輪轂電機的偏心不平衡磁拉力會給整車垂向振動帶來負效應。韓以倫等[19]建立1/4車輛動力學模型，以車輛平順性指標均方根值最小為優(yōu)化目標，對電機中的橡膠襯套和阻尼進行優(yōu)化設計，減小了不平衡磁拉力對車輛垂向振動的負效應。以上研究盡管討論了整車垂向振動系統(tǒng)和電機不平衡磁拉力間的機電耦合問題，但在基于能量法的電機磁場解析建模中，電機定子開槽被忽略，導致不平衡磁拉力的解析精度降低；并且大多研究對整車垂向耦合振動的分析僅考慮了電動輪定轉子固定偏心的情況，不符合電動汽車行駛中輪轂電機定轉子實時偏心的實際情形，即忽略了不平衡磁拉力與定轉子偏心距的實時耦合。

針對上述問題，筆者以課題組自主研發(fā)的外轉子永磁式輪轂電機為研究對象，研究分布式驅動電動汽車機電耦合垂向動力學特性。首先基于磁場疊加法，求解輪轂電機負載氣隙磁密，利用復數(shù)相對磁導和偏心磁導修正系數(shù)，得到考慮定子開槽效應的電機磁場解析模型，并利用復合Cotes法求解不平衡磁拉力。通過有限元仿真和樣機試驗對比驗證了解析法的有效性。然后利用拉格朗日法求解包含不平衡磁拉力和隨機路面激勵的整車系統(tǒng)動力學方程，建立輪轂電機驅動電動汽車1/4車身機電耦合數(shù)學模型，包括路面激勵時域模型、1/4車身垂向振動模型。最后通過上述模型研究不同車速下機電耦合效應對輪轂電機驅動電動車垂向動力學特性（電機定子垂向振動加速度、車身垂向振動加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷）的影響。

1 輪轂電機磁場解析建模

所用的外轉子永磁輪轂電機的氣隙磁密由永磁體磁場和電樞反應磁場2部分組成。為簡化解析建模，提高解析模型計算效率，將永磁體結構由表面嵌入式簡化為表貼式，并做以下假設：鐵心磁導率為無窮大，忽略繞組的端部效應，定轉子鐵心和永磁體的電導率為零，永磁體材料為線性退磁特性。

1.1 永磁體磁場

外轉子輪轂電機的永磁體分布見圖1。永磁體磁化強度M可表示為徑向和切向分量Mr和Mθ的矢量和：

M=M_r r+M_θ θ。? （1）

圖1中的Bre為永磁體剩磁，μ0為真空磁導率，p為磁極對數(shù)，αp為極弧系數(shù)。根據(jù)磁化強度的周期性分布，其徑向和切向分量可寫成傅里葉級數(shù)形式[7]：

M_r=∑_（n=1，3，5...）^∞?〖M ?_rn cos（npα） 〗，? （2）

M_θ=∑_（n=1，3，5...）^∞?〖M ?_θn sin（npα） 〗。? （3）

式中：α為轉子角度，rad；M ?_rn和M ?_θn分別為磁化強度徑向和切向分量的傅里葉系數(shù)。當永磁體徑向充磁時，

M ?_rn=（4B_re）/（nπμ_0 ） sin （nπα_p）/2， （4）

M ?_θn=0。? （5）

空載氣隙磁密的徑向和切向分量分別為[9]

B_r^PM （α，r，t）=∑_（n=1，3，5，...）^（N_1）?〖（-μ_0 M ?_rn）/μ_r?? np/（（np）^2-1）〗×{├ （-（np+1）+2（R_m/R_r ）^（np-1）+（np-1） （R_m/R_r ）^2np）/（（μ_r+1）/μ_r? [1-（R_s/R_r ）^2np ]-（μ_r-1）/μ_r? [（R_s/R_m ）^2np-（R_m/R_r ）^2np ] ）} ┤×[（r/R_m ）^（np-1）+（R_s/R_m ）^（np-1） （R_s/r）^（np+1） ]cos[np（α-ω_r t-α_0 ） ]? ，??? （6）

B_θ^PM （α，r，t）=∑_（n=1，3，5，...）^（N_1）?〖（μ_0 M ?_rn）/μ_r?? np/（（np）^2-1）〗×{├ （-（np+1）+2（R_m/R_r ）^（np-1）+（np-1） （R_m/R_r ）^2np）/（（μ_r+1）/μ_r? [1-（R_s/R_r ）^2np ]-（μ_r-1）/μ_r? [（R_s/R_m ）^2np-（R_m/R_r ）^2np ] ）} ┤×[（r/R_m ）^（np-1）-（R_s/R_m ）^（np-1） （R_s/r）^（np+1） ]sin[np（α-ω_r t-α_0 ） ]? 。 （7）

式中：r為所求氣隙磁密處與定轉子幾何中心的距離，mm；t為時間，s；μr為永磁體的相對磁導率；Rm為永磁體內徑，mm；Rr為外轉子內徑，mm；Rs為定子外徑，mm；ωr為電機轉速，r/min；α0為永磁電機轉子的初始位置；N1為空載氣隙磁密的最大諧波次數(shù)。

1.2 電樞反應磁場

電機三相繞組通電會產(chǎn)生一個旋轉磁場，稱為電樞反應磁場。該磁場在氣隙內產(chǎn)生的磁密由A、B、C三相繞組的磁通密度矢量相加得到

B_r^AW （α，r，t）=B_（r，A）^AW+B_（r，B）^AW+B_（r，C）^AW，???? （8）

B_θ^AW （α，r，t）=B_（θ，A）^AW+B_（θ，B）^AW+B_（θ，C）^AW。 （9）

式中：B_（r，A）^AW 、B_（r，B）^AW 、B_（r，C）^AW、B_（θ，A）^AW 、B_（θ，B）^AW 、B_（θ，C）^AW分別對應A、B、C三相繞組生成的徑向和切向磁密。

以A相繞組為例，其產(chǎn)生的徑向氣隙磁密和切向氣隙磁密分別為

B_（r，A）^AW （α，r，t）=∑_（m=1）^（N_2）?〖B_mr i_A （t）{├ ∑_（k=1）^（N_A）?〖S_Ak cosm[α-2π/Q_s? （θ_Ak-1） ] 〗} ┤ 〗，? （10）

B_（θ，A）^AW （α，r，t）=∑_（m=1）^（N_2）?〖B_mθ i_A （t）{├ ∑_（k=1）^（N_A）?〖S_Ak sinm[α-2π/Q_s? （θ_Ak-1） ] 〗} ┤ 〗。? （11）

式中：iA為A相電流，iA=IA sin（2πfct+β）；fc為電流頻率，Hz；β為A相電流初相位，rad；Qs為電機定子槽數(shù)；N2為電樞反應磁場的最大諧波次數(shù)；NA為A相繞組所占槽數(shù)；SAk為符號向量，表示每槽繞組產(chǎn)生的磁動勢指向，如圖2所示，沿定子半徑方向指向外為+1，向內為1；θAk為角度向量，在圖2中為繞組向量所處空間位置的編號。

S_Ak=[（1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1）]， （12）

θ_Ak=[1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46]。? （13）

式（10）和（11）中，Bmr和Bmθ分別為m次電樞反應磁場徑向和切向分量的幅值[20]：

B_mr=4（μ_0 R_s N_c）/（πab_s r）? 1/m （R_s/r）^m? （r^2m+〖R_r〗^2m）/（R_s^2m-R_r^2m ） sin（（mα_y）/2）sin（（mb_0）/2），?? （14）

B_mθ=-4（μ_0 R_s N_c）/（πab_s r）? 1/m （R_s/r）^m? （r^2m-〖R_r〗^2m）/（〖R_s〗^2m-〖R_r〗^2m ） sin（（mα_y）/2）sin（（mb_0）/2）。 （15）

式中：Nc為繞組匝數(shù)；a為繞組并聯(lián)支路數(shù)；bs為繞組槽寬度；αy為繞組節(jié)距。B、C兩相電樞反應磁場解析式推導過程類似，不再贅述。

1.3 負載氣隙磁場

負載氣隙磁場為永磁體磁場和電樞反應磁場的線性疊加[20]，其徑向和切向分量分別為：

B_r （α，r，t）=（B_r^PM+B_r^AW ） λ_Re+（B_θ^PM+B_θ^AW ） λ_Im， （16）

B_θ （α，r，t）=（B_θ^PM+B_θ^AW ） λ_Re-（B_r^PM+B_r^AW ） λ_Im。 （17）

式中：λRe和λIm分別為復數(shù)相對磁導λ的實部和虛部；λ為考慮定子開槽效應而引入，為了提高復數(shù)相對磁導的計算效率，將定子槽簡化為無限槽深，再通過保形映射求解[20]：

λ（α）=λ_Re （α）+jλ_Im （α）。 （18）

λRe和λIm可分解為式（19）和（20）所示的傅里葉級數(shù)形式，其具體空間分布如圖3所示。

λ_Re （α）=λ_0+∑_（η=1）^（N_3）?〖λ_Reη cos（ηQ_s α） 〗，??? （19）

λ_Im （α）=∑_（η=1）^（N_3）?〖λ_Imη sin（ηQ_s α） 〗。???? （20）

式中，N3為負載氣隙磁場諧波分量的最大次數(shù)。

1.4 偏心不平衡磁拉力解析模型

輪轂電機驅動電動汽車在實際行駛過程中，驅動電機因車重、軸承磨損以及路面激勵等原因，會出現(xiàn)定轉子偏心（2個圓心不同心）的情況，如圖4所示。定轉子偏心引起電機內各圓周位置的氣隙長度發(fā)生變化，進而影響氣隙磁導，改變氣隙磁密的分布。因此，引入偏心時氣隙磁導的修正系數(shù)εs：

ε_s （α）=g_eff/（g_eff-ecosα）=1/（1-εcosα）=∑_（q=0）^∞?〖ε_q cos（qα） 〗；??? （21）

ε_q={（1/√（1-ε^2 ），????????????????????????? q=0；@2/√（1-ε^2 ） （（1-√（1-ε^2 ））/ε）^q，????? q=1，2，3，…。）┤?? （22）

式中：ε為偏心率，ε=e/geff；e為偏心距，mm；geff為有效氣隙長度，mm；geff =g+wm/μr；g為電機無偏心時永磁體與定子間的氣隙長度，mm；wm為永磁體厚度，mm。

電機定轉子偏心引起氣隙磁導改變，因此偏心負載磁場的求解需在電機無偏心氣隙磁密的基礎上乘以隨轉子角度變化的磁導修正系數(shù)。結合式（16）和（17），永磁式輪轂電機定轉子偏心時負載氣隙磁密的徑向和切向分量分別為：

B_rs （α，r，t，e）=B_r×ε_s=[（B_r^PM+B_r^AW ） λ_Re+（B_θ^PM+B_θ^AW ） λ_Im ]×ε_s；? （23）

B_θs （α，r，t，e）=B_θ×ε_s=[（B_θ^PM+B_θ^AW ） λ_Re-（B_r^PM+B_r^AW ） λ_Im ]×ε_s。 （24）

如圖4所示，基于麥克斯韋張量法，利用氣隙磁密計算電機偏心時X和Y方向產(chǎn)生的不平衡磁拉力，見式（25）和（26）。式中積分采用復合Cotes法求解，將積分區(qū)間[0，2π]劃分為Kn等份，區(qū)間步長h=2π/Kn；各區(qū)間再等分為4個區(qū)域，各區(qū)間節(jié)點αl=lh（l=1，2，3，…，Kn），αl+d=αl+dh（d∈[0，1]），本研究中Kn=700。

F_XS=Lr∫_0^2π?（f_r cosα-f_θ sinα）dα≈（Lr_I h）/90 {7[f_r （α_0）cosα_0-f_θ （α_0）sinα_0 ]+┤32∑_（l=0）^（K_n）?[f_r （α_（l+0.25） ）cosα_（l+0.25）-f_θ （α_（l+0.25） ）sinα_（l+0.25） ] +12∑_（l=0）^（K_n）?[f_r （α_（l+0.5） ）cosα_（l+0.5）-f_θ （α_（l+0.5） ）sinα_（l+0.5） ] +32∑_（l=0）^（K_n）?[f_r （α_（l+0.75） ）cosα_（l+0.75）-f_θ （α_（l+0.75） ）sinα_（l+0.75） ]?? +14∑_（l=0）^（K_n）?[f_r （α_l ）cosα_l-f_θ （α_l ）sinα_l ] + ├ 7∑_（l=0）^（K_n）?[f_r （α_（K_n ） ）cosα_（K_n ）-f_θ （α_（K_n ） ）sinα_（K_n ） ] }，?? （25）

F_YS=Lr∫_0^2π?（f_r sinα+f_θ cosα）dα≈（Lr_I h）/90 {7[f_r （α_0）sinα_0+f_θ （α_0）cosα_0 ]+┤32∑_（l=0）^（K_n）?[f_r （α_（l+0.25） ）sinα_（l+0.25）+f_θ （α_（l+0.25） ）cosα_（l+0.25） ] +12∑_（l=0）^（K_n）?[f_r （α_（l+0.5） ）sinα_（l+0.5）+f_θ （α_（l+0.5） ）cosα_（l+0.5） ] +32∑_（l=0）^（K_n）?〖[f_r （α_（l+0.75） ）sinα_（l+0.75）+f_θ （α_（l+0.75） ）cosα_（l+0.75） ]+〗14∑_（l=0）^（K_n）?[f_r （α_l ）sinα_l+f_θ （α_l ）cosα_l ] +├ 7∑_（l=0）^（K_n）?[f_r （α_（K_n ） ）sinα_（K_n ）+f_θ （α_（K_n ） ）cosα_（K_n ） ] }。??? （26）

式中：L為定轉子鐵心的軸向有效長度，mm；rI為積分處半徑，mm。其中電磁激振力密度的徑向和切向分量分別為

f_r （α，r，t，e）=（B_rs^2 （α，r，t，e）-B_θs^2 （α，r，t，e））/（2μ_0 ），??? （27）

f_θ （α，r，t，e）=（B_rs （α，r，t，e）×B_θs （α，r，t，e））/μ_0 。? （28）

同樣，采用復合Cotes法可求解偏心時永磁式輪轂電機的電磁轉矩表達式如下：

T_ems=（Lr^2）/μ_0? ∫_0^2π?（B_rs （α，r，t，e） B_θs （α，r，t，e） ）dα≈（Lr^2）/μ_0? {h_t/90┤ [7B_rs （α_0 ） B_θs （α_0 ）+┤32∑_（l=0）^（K_n）?〖B_rs （α_（l+0.25） ） B_θs （α_（l+0.25） ） 〗+12∑_（l=0）^（K_n）?〖B_rs （α_（l+0.5） ） B_θs （α_（l+0.5） ） 〗+32∑_（l=0）^（K_n）?〖B_rs （α_（l+0.75） ） B_θs （α_（l+0.75） ） 〗+├ ├ 14∑_（l=0）^（K_n）?〖B_rs （α_l ） B_θs （α_l ） 〗+7∑_（l=0）^（K_n）?〖B_rs （α_（K_n ） ） B_θs （α_（K_n ） ） 〗] }。? （29）

式中，ht=2π/Kn。

2 解析計算與驗證

本研究中的外轉子永磁式輪轂電機的額定功率為10 kW，額定扭矩160 N?m，額定轉速為600 r/min，其主要電磁參數(shù)如表1所示。采用MATLAB軟件建立輪轂電機磁場和電磁性能的解析模型，并用ANSYS/Maxwell軟件根據(jù)樣機結構參數(shù)建立輪轂電機有限元模型來驗證解析法的有效性。

圖5為有限元仿真得到的額定工況下輪轂電機的磁感應強度B和矢量磁位A的分布云圖。

計算電機偏心率ε=20%時額定工況下解析模型和有限元模型的氣隙磁密，結果如圖6所示。圖中氣隙磁密的解析值和有限元吻合較好。對比左右兩圖可知電機偏心造成氣隙減小處磁阻減小，磁密增大；氣隙增大處磁阻增大，磁密減小。根據(jù)式（29）求解額定工況下電機電磁轉矩的解析解，并與有限元仿真結果對比，見圖7。圖中2條轉矩曲線的趨勢和波動范圍都吻合較好，驗證了解析模型的正確性。

圖8為原理樣機和搭建的輪轂電機試驗臺架。利用臺架測試樣機的轉矩特性，圖9為解析法和試驗測試得到的輪轂電機轉矩/功率-轉速特性曲線。結果表明：解析預測結果與實測結果吻合較好，但也存在一定的誤差，解析計算結果略高于試驗測試值，其誤差主要來源于解析法對電機模型的簡化以及試驗儀器的機械磨損和測量精度等，總體誤差在合理范圍內，且解析計算曲線與實測曲線在幅值和趨勢上基本符合。通過此試驗進一步驗證了解析模型的有效性。

3 機電耦合模型

3.1 1/4車身垂向振動模型

輪轂電機驅動電動車在行駛過程中，路面不平度激勵造成電機定轉子產(chǎn)生相對偏心，進而產(chǎn)生不平衡磁拉力，不平衡磁拉力的垂向分量直接作用于車輪和懸架系統(tǒng)，形成車輛懸架系統(tǒng)和電機不平衡磁拉力的耦合關系。圖10為車輛機電耦合關系的原理簡圖和1/4車身機電耦合模型，模型假設車身整體為剛體，輪胎剛度、懸架剛度、懸架阻尼和輪轂電機定轉子之間的滾動軸承剛度都是線性的。

圖中，ms1為車身質量，m11為輪胎及外轉子質量；m12為電機定子及其支撐軸質量；k11為輪胎剛度；k12為電機軸承支撐剛度；k13為懸架剛度；c13為懸架阻尼；z11為電機轉子垂向位移；z12為電機定子垂向位移；zs1為車身垂向位移；qi（t）為車輪受到的路面激勵；FYS為輪轂電機垂向不平衡磁拉力。1/4車身結構參數(shù)見表 2。

利用拉格朗日法求解系統(tǒng)動力學方程（30），整理得到1/4車身垂向耦合振動的數(shù)學模型式（31）：

{（m_s1 z ¨_s1+k_13 （z_s1-z_12 ）+c_13 （z ˙_s1-z ˙_12 ）=0，@m_11 z ¨_11+k_12 （z_11-z_12 ）+k_11 z_11=k_11 q-F_YS，@m_12 z ¨_12+k_12 （z_12-z_11 ）+k_13 （z_12-z_s1 ）+c_13 （z ˙_12-z ˙_s ）=F_YS；）┤????? （30）

MZ ¨+CZ ˙+KZ=K_t Q+K_Y F_YS。?? （31）

式中：Z為位移矩陣；Q為路面激勵矩陣；M為系統(tǒng)質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Kt為路面激勵的系數(shù)矩陣；KY為垂向不平衡磁拉力的系數(shù)矩陣；FYS為不平衡磁拉力矩陣。各個系數(shù)矩陣皆由式（30）推導得到。

車輛懸架動撓度和輪胎動載荷的計算見式（32）和（33）：

f_df=z_f1-z_s1，???? （32）

F_df=m_f1 z ¨_f1-k_13 （z_s1-z_f1 ）-c_13 （z ˙_s1-z ˙_f1 ）。??? （33）

式中：fdf為懸架動撓度；Fdf為輪胎動載荷；zf1為輪轂電機與輪胎的垂向位移，zf1=z11z12；mf1為輪轂電機與輪胎的總質量，mf1=m11+m12。

將式（31）轉變?yōu)橄到y(tǒng)無阻尼自由振動方程：

MZ ¨+KZ=0。?? （34）

求解其特征值和特征向量，得到電動汽車1/4車身垂向振動的固有特性，結果見表3。

3.2 隨機路面激勵

路面激勵是電動車行駛過程中必須考慮的外界激勵源，式（35）為電動車行駛中輪胎接觸的路面不平度時域表達式[21]。

q ˙（t）=-2πn_00 vq（t）+2πn_0 √（G_q （n_0）?v）? W（t）。 （35）

式中：n00為路面空間截止頻率，n00=0.011 m1；n0為參考空間頻率；Gq（n0）為路面不平度系數(shù)；W（t）為隨機白噪聲；v為參考車速。

式（35）中路面不平度系數(shù)Gq（n0）的具體數(shù)值見表4。

利用式（35）推導隨機路面激勵時域模型，計算電動汽車在B級路面上（Gq（n0）=32 cm3）以額定車速（v=65 km/h）行駛時車輪所受的路面不平度激勵，結果如圖11所示。

4 車輛垂向動力學特性分析

現(xiàn)有的機電耦合研究中，常將定轉子偏心距設為固定值，而實際路面行駛中輪轂電機定轉子偏心距受路面激勵處于實時變化的狀態(tài)。本研究中所建機電耦合模型在研究車輛的垂向動力學特性時考慮了定轉子偏心的實時變化。以未考慮機電耦合效應（即忽略實際工況中輪轂電機的定轉子偏心，只考慮路面激勵）的垂向動力學特性為參照，研究輪轂電機定子垂向振動加速度、車身垂向振動加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷在機電耦合效應下的變化。

以左前輪為例，圖12為電動汽車在B級路面上以8.9 km/h行駛，輪轂電機定轉子偏心距因車身自重和路面激勵而產(chǎn)生的實時變化曲線。圖13（a）為此過程中電機偏心不平衡磁拉力在偏心距不斷變化下的時域曲線，圖 13（b）中可以看出不平衡磁拉力的頻率分量主要為電流基頻f（車速為8.9 km/h時，f=21.88 Hz）的偶數(shù)倍（2f等）。

圖14為上述過程中輪轂電機定子垂向振動加速度的時域/頻域特性。根據(jù)圖14（a）的時域數(shù)據(jù)計算可知，不考慮機電耦合效應的輪轂電機定子垂向振動加速度的均方根值為1.366 m/s2，考慮機電耦合效應后其值為1.750 m/s2，增加了28.12%。電機定子受不平衡磁拉力的作用，垂向振動加劇。圖14（b）的頻譜對比表明定子振動加速度的增量主要源于其高頻分量（6f、8f等）幅值增加，結合圖13可知幅值增加的高頻分量是由偏心不平衡磁拉力激勵引起的。

圖15為輪轂電機驅動電動汽車車身垂向振動加速度的時域/頻域曲線。由圖15（a）的數(shù)據(jù)求解車身垂向振動加速度的均方根值，考慮電機定轉子偏心后，均方根值由0.252 7 m/s2增加到0.253 5 m/s2，增大了0.32%。圖15（b）的頻譜表明因偏心不平衡磁拉力作用，車身垂向振動加速度在8f頻率處出現(xiàn)峰值。但因車身懸架的緩沖阻隔，機電耦合效應對車身垂向振動加速度的影響很小。

圖16為懸架動撓度的時域/頻域圖。對比圖中數(shù)據(jù)可知，機電耦合效應使車輛懸架動撓度的幅值從0.005 5增加到0.005 6，增加了1.82%，但整體數(shù)值小，與電機定子垂向振動相比，機電耦合效應對懸架動撓度的影響較小。

圖17為車輪輪胎動載荷時域/頻域曲線。從圖17（a）的數(shù)據(jù)可知，車輛行駛途中輪轂電機定轉子偏心引起的機電耦合效應導致輪胎動載荷的均方根值由148.682 N增加到180.824 N，增加了21.62%。圖17（b）的頻譜圖表明，考慮機電耦合效應后，輪胎動載荷在8f等處的分量幅值明顯增大。其外在表現(xiàn)為輪胎動載荷增大，輪胎抓地力減弱，導致電動汽車操穩(wěn)性變差，安全性降低。

圖18為電動汽車在不同行駛車速下機電耦合效應對車輛垂向動力學特性指標的影響。從柱狀圖對比可知，機電耦合效應對車輛垂向動力學特性存在負效應，且在車輛低速時影響更大，隨車速增加影響減小。其中車速為8.9 km/h時影響較大是因為在此工況下不平衡磁拉力2f（43.76 Hz）處的頻率分量與轉子及輪胎部分偏頻（即該部分單獨振動時的部分頻率，此處為48.63 Hz）接近，24f（525.3 Hz）處的頻率分量與整車第3階固有頻率（549.9 Hz）接近?？偟膩碚f，機電耦合效應對電機定子垂向振動加速度和輪胎動載荷的影響更明顯，其主要原因是由于機電耦合效應引起8f等處的高頻分量幅值增大；機電耦合效應對懸架動撓度影響較??；又因車身懸架的阻隔作用，機電耦合效應對車身垂向振動加速度幾乎無影響。

5 結? 論

從電動車垂向振動系統(tǒng)與輪轂電機不平衡磁拉力間的機電耦合機理出發(fā)，建立電機偏心磁場和不平衡磁拉力的解析模型，并通過有限元模型和樣機試驗共同驗證解析法的準確性，然后將隨機路面激勵和偏心不平衡磁拉力考慮進整車垂向振動系統(tǒng)，建立輪轂電機驅動電動汽車1/4車身垂向振動的機電耦合模型。

利用該機電耦合模型研究不同車速下機電耦合效應對車輛垂向動力學特性的影響，將電機定轉子實時偏心引起的不平衡磁拉力引入1/4車身垂向振動系統(tǒng)，輪轂電機定子和車身的垂向振動加速度在不平衡磁拉力激勵下，部分頻率分量幅值增大，定子振動加劇，導致電機軸承磨損加重，電機壽命縮短，懸架動撓度增加，輪胎動載荷明顯增大，輪胎抓地力減弱，車輛的行駛平順性、操穩(wěn)性、安全性和舒適性總體降低。

重點研究了輪轂電機驅動電動汽車在機電耦合效應下的車輛垂向動力學特性以及機電耦合效應對車輛平順性的影響，揭示了輪轂電機驅動系統(tǒng)不平衡磁拉力的激勵特性，為后續(xù)改善機電耦合效應引起的垂向振動負效應奠定理論基礎。

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（編輯? 羅敏）