馬小強(qiáng)　柳小林

［摘 要］從一道常見物理習(xí)題的解答過程入手，深化拓展題目所給條件，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律分析均質(zhì)小球繞球面運(yùn)動(dòng)的過程，計(jì)算小球運(yùn)動(dòng)過程中由無滑滾動(dòng)變?yōu)橛谢瑒?dòng)滾動(dòng)的臨界角度，通過圖像直觀地給出臨界角以及呈現(xiàn)此時(shí)大球面對(duì)小球的支持力隨球面間摩擦因數(shù)變化的關(guān)系。

［關(guān)鍵詞］無滑滾動(dòng)；有滑滾動(dòng)；臨界角；摩擦因數(shù)

［中圖分類號(hào)］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2024）05-0050-03

一、習(xí)題呈現(xiàn)及解析

如圖1所示，光滑球面[A]固定在水平面上，其半徑為[R]。一個(gè)可以當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)且質(zhì)量為[m]的小球[B]放在球面A的頂部，由于受到擾動(dòng)，小球B無初速地沿[A]的表面滑下，求小球[B]與球面[A]分離時(shí)的速度和位置。

解析：小球[B]未脫離球面[A]之前做圓周運(yùn)動(dòng)，下滑過程中只有重力做功，小球[B]機(jī)械能守恒，小球[B]減少的重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為它的動(dòng)能。假設(shè)當(dāng)小球[B]在球面[A]上的偏離角度為[θ] 時(shí)，小球B與球面A脫離，脫離時(shí)，小球所受重力沿球面法線方向的分力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力（如圖2）。

小球B脫離球面A時(shí)下落的高度為

[h=R（1-cosθ）] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

設(shè)此時(shí)小球[B]的速度為[v]，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：

[mgh=12mv2] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力的分力提供，則：

[mgcosθ=mv2R] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

聯(lián)立式（1）（2）（3），解得角度[θ]滿足[cosθ=2 3]， 即[θ=48.19°]。

結(jié)論：當(dāng)小球B的偏離角度為[48.19°]時(shí)，小球B與球面A脫離，脫離時(shí)小球B的速度[v=2gR3]，下落高度[h=R 3]。

二、習(xí)題拓展分析

提出問題：如果小球不能當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，大球面不完全光滑，小球?qū)⑷绾芜\(yùn)動(dòng)？

定性分析：小球靜止在大球面頂端時(shí)，受到重力以及球面所施加的支持力，合力為零，處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。小球由于擾動(dòng)一旦偏離平衡位置，則受重力mg、支持力[N]、與兩球面都相切的靜摩擦力[f] （為方便分析，將小球進(jìn)行放大；如圖3）。

小球剛開始運(yùn)動(dòng)，角度[θ]較小，質(zhì)心速率[vc]較小，小球法向加速度較小，重力的法向分量[mgcosθ] 較大，因此支持力[N]較大，此時(shí)所受靜摩擦力小于最大靜摩擦力[fmax=μsN]（其中[μs]為靜摩擦因數(shù)），小球做無滑滾動(dòng)。一方面，隨著[θ]增大，小球所受支持力[N]和球面間的最大靜摩擦力減??；另一方面，由對(duì)瞬軸的角動(dòng)量定理可知，隨著角度[θ]增大，小球重力對(duì)瞬軸的力矩逐漸變大，小球自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度逐漸變大。另外，在質(zhì)心的平動(dòng)參考系中，重力和支持力對(duì)質(zhì)心的力矩為零，由質(zhì)心的角動(dòng)量定理可知要使小球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和角速度增加，必須要求靜摩擦力隨[θ]的增大而增大。當(dāng)[θ]達(dá)到一定值時(shí)，無滑滾動(dòng)需要的摩擦力和能提供的最大靜摩擦力相等，此時(shí)為無滑滾動(dòng)和有滑滾動(dòng)的臨界狀態(tài)，此角度為臨界角，記為[θc]，如果[θ>θc]，就會(huì)出現(xiàn)滑動(dòng)，但小球已經(jīng)具有繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，由定量分析可知該臨界狀態(tài)支持力不為零，小球不會(huì)立即脫離大球面，還會(huì)繼續(xù)有滑滾動(dòng)一段時(shí)間。隨著[θ]繼續(xù)增大，質(zhì)心速度[vc]也增大，小球法向合力逐漸增大，而重力的法向分力越來越小，所以支持力會(huì)越來越小，當(dāng)支持力[N]減小到零時(shí)，達(dá)到最小值，此時(shí)小球脫離大球面。

定量計(jì)算：大球面的半徑與小球的半徑分別用[R]和[r]（[R>r]）表示。如圖3所示，小球由于偏離大球面的豎直方向的夾角為[θ]，小球滾動(dòng)轉(zhuǎn)過的角度為[φ]，小球繞大球面圓心運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度分別為[ω1] 和[β1] ，小球繞自身質(zhì)心（球心）運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度分別為[ω2]和[β2]，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

[I=25mr2] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

小球繞大球面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心的線速度和角速度之間滿足以下關(guān)系：

[vc=（R+r）ω1] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

1.小球做無滑滾動(dòng)時(shí)角速度、角加速度與偏離角度的關(guān)系

在開始階段，小球做無滑滾動(dòng)，設(shè)[t=0]時(shí)，[θ=0]，[φ=0]，無滑滾動(dòng)過程中的幾何條件可以寫為：

[R+rθ=rφ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

無滑滾動(dòng)時(shí)兩球面接觸位置相對(duì)靜止，所以小球的角速度和角加速度滿足以下關(guān)系：

[R+rω1=rω2] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

[R+rβ1=rβ2] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律可知，小球運(yùn)動(dòng)的滿足方程為：

切線方向：[mgsinθ-f=mR+rβ21]? ? ? ? ? ? （9）

法線方向：[mgcosθ-N=mv2cR+r]? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可以得到：

[Iβ2=fr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）

由式（4）（8）（9）（11）解得小球質(zhì)心繞大球面球心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與偏離角度的關(guān)系為：

[β1=57gR+rsinθ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

又因?yàn)樾∏蜃鰺o滑滾動(dòng)時(shí)摩擦力為靜摩擦力，摩擦力和支持力都不做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知：

[mgR+r1-cosθ=12mv2c+12Iω22]? ? ? ? ?（13）

由式（4）（5）（7）（13）解得小球質(zhì)心繞大球面球心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與偏離角度之間的關(guān)系為：

[ω1=107gR+r（1-cosθ）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

式（12）（14）為小球做無滑滾動(dòng)時(shí)質(zhì)心繞大球面圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和角速度與偏離角度的關(guān)系，可以由式（7）（8）得到小球繞自身質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度，不再贅述。

2.摩擦因數(shù)足夠大時(shí)小球脫離大球面的角度以及脫離球面瞬間小球的角速度與線速度關(guān)系

由前面分析可知，靜摩擦因數(shù)足夠大時(shí)小球只能做無滑滾動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的角速度滿足式（14）。另外，小球脫離大球面時(shí)大球面對(duì)小球的支持力[N=0]，此時(shí)的偏離角度為最大偏離角度，記為[θmax]。當(dāng)[θ=θmax]時(shí)，聯(lián)立式（5）（7）（10）（14）得到：

[107gR+r（1-cosθmax）=gR+rcosθmax]? ? ? ? ?（15）

所以[cosθmax=1017]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

由式（16）求得為小球脫離大球面時(shí)偏離的最大角度[53.97°]。由式（5）求得此時(shí)小球運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的線速度為[vc=1017R+rg]，繞大球面圓心運(yùn)動(dòng)的角速度為[ω1=1017gR+r]，小球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度可以由式（7）求得。

3.摩擦因數(shù)為[μ]時(shí)，小球做有滑滾動(dòng)的臨界角

小球做無滑滾動(dòng)時(shí)，摩擦力與壓力之間的關(guān)系可以寫為[f=μN(yùn)']（[N']為壓力），由牛頓第三定律可知小球所受支持力和小球?qū)Υ笄蛎娴膲毫κ亲饔昧头醋饔昧?，大小相等。小球的?dòng)力學(xué)方程滿足式（9）和式（10），當(dāng)[θ=θc]，聯(lián)立式（4）（8）（9）（10）（11）（13）（14）可以得到：

[27mgsinθc=17μmg（17cosθc-10）]? ? ? ? ?（17）

結(jié)合[sin2θc+cos2θc=1]，余弦函數(shù)在[0→90°]是減函數(shù)，當(dāng)[θc]取較小解時(shí)已經(jīng)達(dá)到無滑滾動(dòng)和有滑滾動(dòng)的臨界狀態(tài)， [θc]的較大解就不可能達(dá)到臨界狀態(tài)，所以解得：

[θc=arccos170μ2+2189μ2+4289μ2+4]（已舍棄較大值） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

顯然無滑滾動(dòng)和有滑滾動(dòng)的臨界角大小和兩個(gè)球面接觸的摩擦因數(shù)相關(guān)。

討論：為了看出臨界角與摩擦因數(shù)之間的直觀關(guān)系，得出[θc]與[μ]（取[0≤μ≤1]）之間的關(guān)系，作出了它們的圖像如圖4（左軸）所示。

由圖4可以看出，[θc]隨[μ]增加而增大。當(dāng)[μ=0]時(shí)，[θc=0°]，即接觸面光滑時(shí)，小球一旦偏離平衡位置，只能滑動(dòng)不會(huì)滾動(dòng)，這時(shí)候由于摩擦力為0，小球只受重力和支持力，這兩個(gè)力的方向均通過小球質(zhì)心，產(chǎn)生的力矩為零，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理可知小球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為0，只有純的滑動(dòng)，沒有轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)[μ]足夠大時(shí)，[θc=53.97°]，這個(gè)角度是小球能夠做無滑滾動(dòng)的最大角度，由前面的分析可知，這個(gè)角度也是小球和大球面脫離的位置。

當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)達(dá)到無滑滾動(dòng)和有滑滾動(dòng)臨界狀態(tài)時(shí)，由式（10）（19）可以得到，大球面對(duì)小球的支持力為：

[N=17mg34189μ2+4-40289μ2+4]? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

作出支持力[N]隨[μ]的變化圖像如圖4（右軸）所示，從圖像上可以看到，支持力隨摩擦因數(shù)增大而減小。當(dāng)[μ]為零時(shí)，臨界狀態(tài)出現(xiàn)在[θ=0]的位置，此時(shí)壓力為[mg]。當(dāng)摩擦因數(shù)足夠大時(shí)，臨界狀態(tài)的支持力為零，此時(shí)的臨界角為最大，也是小球脫離大球面的角度。

從圖4還可以看出，摩擦因數(shù)為有限大或有限小時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)由無滑滾動(dòng)變?yōu)橛谢瑵L動(dòng)，小球受到的支持力不為零，說明在這個(gè)臨界狀態(tài)，小球和大球面沒有脫離，小球的偏轉(zhuǎn)角超過臨界角后，小球還要繼續(xù)在大球面上以有滑滾動(dòng)的形式繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間，只有轉(zhuǎn)過更大的角度才會(huì)和大球面脫離。

三、反思小結(jié)

物理習(xí)題練習(xí)不是簡單地模仿，更重要的是通過對(duì)習(xí)題進(jìn)行深層次挖掘，變換題目已知條件，以起到舉一反三的作用。通過對(duì)習(xí)題的深層次拓展分析，既能豐富學(xué)生的知識(shí)，又能讓學(xué)生深入理解物理題目蘊(yùn)含的物理規(guī)律；既能幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通和觸類旁通的效果，又能有效訓(xùn)練學(xué)生的物理思維，提升學(xué)生的解題能力。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 強(qiáng)元棨，程稼夫.物理學(xué)大題典：力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

（責(zé)任編輯 黃春香）