田淑蓓

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，將要學(xué)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容分解成適合本班學(xué)情的教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生在任務(wù)的驅(qū)動下積極思考、探索、合作，并在探索與交流中獲得知識、經(jīng)驗(yàn)及方法，提高課堂教學(xué)有效性.筆者在教學(xué)“曲線與方程”時，以問題為導(dǎo)向，以任務(wù)為驅(qū)動，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識形成、發(fā)展、應(yīng)用等過程，取得了較好的教學(xué)效果.本文將教學(xué)過程呈現(xiàn)如下，供參考.

一、教學(xué)實(shí)錄

1、融入數(shù)學(xué)史，豐富內(nèi)涵

師：任何概念、公式、定理等內(nèi)容的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展都需要經(jīng)歷一個漫長的過程，人們認(rèn)識曲線和方程亦是如此，現(xiàn)在我們跟隨著視頻來了解一下解析幾何的發(fā)展史.

教師播放視頻，視頻中介紹了古希臘數(shù)學(xué)家阿波利尼奧斯和法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬、笛卡爾的發(fā)現(xiàn)：阿波利尼奧斯從純幾何的觀點(diǎn)研究圓錐曲線的性質(zhì)；費(fèi)馬和笛卡爾雖然其研究的出發(fā)點(diǎn)不同，不過他們通過建立坐標(biāo)系將方程與曲線聯(lián)系在一起，創(chuàng)立了解析幾何.

設(shè)計(jì)意圖：將數(shù)學(xué)史融于數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生知曉數(shù)學(xué)知識形成是一個漫長而曲折的過程，有利于學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀.另外，通過數(shù)學(xué)史讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家研究曲線的方法，有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué).同時有效地融入數(shù)學(xué)史，讓數(shù)學(xué)課堂散發(fā)著濃濃的文化味，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提高課堂教學(xué)品質(zhì)^［1］.

2、合作交流，生成概念

探究活動1：在平面直角坐標(biāo)系中，畫出方程2x²－y=0（x≠0）的對應(yīng)曲線.

問題給出后，教師預(yù)留時間讓學(xué)生動手作圖.

師：說一說，你是用什么方法畫曲線的？

生齊聲答：描點(diǎn)法.

師：那么曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)從何而來？

生1：解方程得來的.

師：剛剛在畫圖時我們挖掉了原點(diǎn)，說來說一說，為什么要這么操作呢？

生2：因?yàn)榉匠逃幸粋€限定條件“x≠0”，由此可以判定該曲線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以在畫圖時應(yīng)該挖掉原點(diǎn).

師：非常好，想得很周全.若不挖掉原點(diǎn)，你認(rèn)為是以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的個數(shù)多，還是曲線上點(diǎn)的個數(shù)多呢？

生3：我認(rèn)為是曲線上的點(diǎn)多，多了一個原點(diǎn).

師：剛剛用描點(diǎn)法得到了曲線的大致圖形，是否可以說方程上所有的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上呢？

生4：應(yīng)該成立，以前作圖也是這樣做的.

接下來教師用幾何畫板演示，驗(yàn)證以上說法是正確的.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過動手畫體會方程與曲線間的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)歷由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為學(xué)生理解方程的曲線提供了依據(jù).

探究活動2：如圖1，請寫出該曲線的對應(yīng)方程.

問題給出后，很快學(xué)生就給出了答案：x－y+2=0（x≠－1）.

師：誰來說一說，你是如何求曲線的方程的呢？

生1：由圖1可知，直線過（－2，0）和（0，2）兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)式得直線方程為x－y+2=0（x≠－1）.

師：很好，是不是直線上所有的點(diǎn)的坐標(biāo)都在曲線方程x－y+2=0（x≠－1）上呢？

生5：應(yīng)該是吧.

接下來，教師繼續(xù)用幾何畫板進(jìn)行演示，讓學(xué)生更加直觀地感知點(diǎn)的坐標(biāo)始終滿足所求方程.

師：如果所求直線方程沒有x≠－1這一限制條件，你認(rèn)為是以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的個數(shù)多，還是曲線上點(diǎn)的個數(shù)多呢？

生齊聲答：應(yīng)該是方程的解多.

設(shè)計(jì)意圖：通過由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生更加直觀地體會曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與所求方程的解的對應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生理解曲線的方程提供依據(jù).

探究活動3：請按照要求畫如下曲線：①曲線C：到點(diǎn)O（0，0）距離為1的圓，且在y軸右側(cè)部分的曲線；②方程f（x，y）=0：x²+y²=1（y>0）表示的曲線.

師：結(jié)合圖形想一想，曲線C上的點(diǎn)的集合與方程f（x，y）=0的解是否存在包含關(guān)系？

生齊聲答：不存在.

師：很好，這就說明曲線與方程不能建立某種對應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過思考辨析讓學(xué)生不僅理解概念的內(nèi)涵，而且掌握概念的外延，為后期概念的靈活應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

師：結(jié)合以上3個探究請大家想一想，若使方程和曲線可以相互表示，需要滿足什么條件呢？（生積極交流）

生6：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的數(shù)量一樣多.

師：非常好，通過經(jīng)歷由數(shù)到形和由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，我們知道以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，若想它們同時成立，就要確保其在數(shù)量上是一致的.

在此基礎(chǔ)上，教師給出方程與曲線的定義也就水到渠成了.

設(shè)計(jì)意圖：以豐富的實(shí)例為依托，讓學(xué)生通過觀察、對比、抽象等過程揭示概念的本質(zhì)屬性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括素養(yǎng)^［2］.

3、任務(wù)驅(qū)動，深化理解

探究活動4：如圖2，以下方程與曲線是否一致，如果不一致，是否可以通過修改其中一個使方程變成曲線的方程，而曲線變成方程的曲線呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過具體練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生思考、辨析，以此深化概念理解.在此基礎(chǔ)上，通過修改方程或曲線來自動建立一一對應(yīng)的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對方程與曲線概念的再認(rèn)識與升華.

師：在判斷曲線與方程不對應(yīng)時，有時只要舉一個反例即可，而在判斷兩者對應(yīng)時需要嚴(yán)格證明.對于題（4），若要說明方程與曲線的一一對應(yīng)關(guān)系，你認(rèn)為該如何證明呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過以上環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生通過親歷命題的證明過程進(jìn)一步理解方程與曲線的概念.同時，通過數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，有利于激發(fā)學(xué)生的探究熱情，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.另外，通過以上探究讓學(xué)生明白，數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，若想證明一個結(jié)論是否正確需要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，以此培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

4、課堂小結(jié)，升華認(rèn)知

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了哪些知識和方法呢？

該環(huán)節(jié)教師以生生交流為主，在適當(dāng)?shù)臅r機(jī)進(jìn)行點(diǎn)撥與評價，然后結(jié)合學(xué)生交流結(jié)果，給出圖3.

設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生梳理知識，形成方法，積累經(jīng)驗(yàn)，以此達(dá)到深化理解，升華認(rèn)知

的效果.

二、教學(xué)思考

在新課程的推動下，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)越來越關(guān)注于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升.教學(xué)中，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)文化的滲透，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人功能，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)研究熱情.

本課教學(xué)中，教師結(jié)合教學(xué)實(shí)際有目的、有針對性地設(shè)計(jì)探究性的問題情境，讓學(xué)生通過經(jīng)歷由數(shù)到形、由形到數(shù)、數(shù)形互化等過程更好地理解概念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)^［3］.同時，在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考辨析，以此揭示概念的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷更新教學(xué)觀念，與時俱進(jìn)，充分發(fā)揮教師啟發(fā)者和組織者的作用，從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，設(shè)計(jì)符合教學(xué)實(shí)際的問題情境，啟發(fā)學(xué)生思考，暴露學(xué)生的思維過程，以此通過有效的點(diǎn)撥幫助學(xué)生突破教學(xué)重難點(diǎn)，提高課堂教學(xué)效率.

參考文獻(xiàn)

［1］危志剛.立足教材，創(chuàng)設(shè)文化情境，引導(dǎo)課堂教學(xué)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版）2022（10）：25-28.

［2］舒明德.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中問題導(dǎo)學(xué)法的應(yīng)用研究［J］.試題與研究，2022（28）：4-6.

［3］張金標(biāo).關(guān)于高中數(shù)學(xué)探索型問題的教學(xué)探究［J］.高考，2021（22）：153-154.