李鵬飛,劉 威,張子煜,康 嘉,張嘉萍

(蘇州科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,蘇州 215000)

0 引言

數(shù)控加工是高精度復(fù)雜曲面的最重要加工手段,精加工使用的刀軌直接決定最終的加工精度。逼近誤差是指刀具在進(jìn)給方向上從一個(gè)刀位點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)刀位點(diǎn)形成的包絡(luò)面與刀觸點(diǎn)軌跡線之間的最大誤差。相鄰刀觸點(diǎn)、刀位點(diǎn)的距離(即步長(zhǎng))越大,逼近誤差越大。步長(zhǎng)規(guī)劃方法主要有等參數(shù)法、等距法、步長(zhǎng)篩選法和等誤差步長(zhǎng)法[1-2]。目前計(jì)算逼近誤差一般采用幾何迭代法[3-4],現(xiàn)有算法模式幾乎無(wú)法再提高計(jì)算效率,當(dāng)需要大量逼近誤差計(jì)算的高精度刀軌(如等誤差刀軌)生成時(shí),逼近誤差計(jì)算時(shí)間難以減少。逼近誤差計(jì)算效率低已成為制約高質(zhì)量刀軌廣泛應(yīng)用的主要瓶頸之一。

逼近誤差計(jì)算的實(shí)質(zhì)是在刀觸點(diǎn)軌跡線上搜索一刀觸點(diǎn),此刀觸點(diǎn)到刀位點(diǎn)連線的距離為最值,此最值可確定逼近誤差值。智能優(yōu)化算法是常用的高效率的最值計(jì)算方法,它們是通過(guò)對(duì)生物群體協(xié)同搜索機(jī)制和物理原理驅(qū)動(dòng)下的變化現(xiàn)象抽象、提煉出的優(yōu)化算法,在全局尋優(yōu)的精度和效率上比傳統(tǒng)的迭代法優(yōu)勢(shì)明顯[5],理論上能夠用于在刀觸點(diǎn)軌跡線上搜索與刀位點(diǎn)連線的距離為最值的點(diǎn)。

常見(jiàn)的智能算法有粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)[6]、遺傳算法(genetic algorithm,GA)[7]、模擬退火算法(simulated annealing,SA)[8]、引力搜索算法(gravitational search algorithm,GSA)[9]等。PSO算法模擬鳥(niǎo)群或蜂群的覓食行為進(jìn)行最優(yōu)解搜索。GA算法是一種基于進(jìn)化論的優(yōu)化算法,其核心思想是通過(guò)模擬自然界中的遺傳機(jī)制,逐步優(yōu)化問(wèn)題的解決方案。GA算法因?yàn)檫z傳算子交叉變異操作使其具有較強(qiáng)的全局搜索能力,但收斂速度慢。

作為應(yīng)用最廣泛的智能算法之一,PSO因計(jì)算高效,被廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域[10]。但標(biāo)準(zhǔn)PSO易過(guò)早收斂、陷入局部最優(yōu)[11]。為此,SHI等[12]提出了帶約束因子的PSO算法,以提高算法靈活性和收斂速度。EBERHART、SHI等[13-15]則對(duì)慣性權(quán)重的變化分別提出了線性遞減、隨機(jī)慣性、非線性遞減的優(yōu)化策略,以保持局部最優(yōu)和全局最優(yōu)之間的平衡。PENG等[16]提出一種跟隨非線性慣性權(quán)重系數(shù)變化的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子,以提高算法的全局搜索能力和局部搜索精度。SHI、GONG等[7-9]分別提出GA算法、SA算法、GSA算法與PSO算法相結(jié)合的方法。

受PSO算法、逼近誤差計(jì)算過(guò)程原理相似和上述研究成果啟發(fā),綜合PSO算法與GA算法兩種算法的優(yōu)點(diǎn),本文首先結(jié)合逼近誤差特點(diǎn)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)PSO算法種群初始化、慣性權(quán)重因子、學(xué)習(xí)因子進(jìn)行優(yōu)化,然后將GA算法中的交叉變異策略引入優(yōu)化后的PSO算法中,構(gòu)建出混合PSO算法,最終實(shí)現(xiàn)逼近誤差的高效、高精度計(jì)算。

1 逼近誤差計(jì)算模型構(gòu)造

1.1 逼近誤差幾何原理

(1)

圖1 逼近誤差ei示意圖

1.2 建立刀觸點(diǎn)軌跡線區(qū)間與粒子搜索區(qū)間的映射

(2)

圖2 刀觸點(diǎn)Pj映射到標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間示意圖

1.3 建立逼近誤差計(jì)算的適應(yīng)度函數(shù)

步驟1:運(yùn)用式(3)計(jì)算出粒子mj所對(duì)應(yīng)的刀觸點(diǎn)的參數(shù)值uj,代入式(4)計(jì)算出參數(shù)值uj在刀觸點(diǎn)軌跡線CC上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)pj;

uj=mjui+(1-mj)ui+1

(3)

pj=CC(uj)

(4)

步驟2:運(yùn)用式(1)計(jì)算出刀觸點(diǎn)到刀位點(diǎn)連線之間的距離Lj;

步驟3:運(yùn)用式(5)計(jì)算出粒子mj的適應(yīng)度值f(j)。

f(j)=|R-Lj|

(5)

2 混合粒子群算法

為了提高計(jì)算效率,結(jié)合逼近誤差的幾何原理,本節(jié)基于標(biāo)準(zhǔn)PSO算法提出混合PSO算法:引入Tent映射的種群初始化,設(shè)計(jì)基于sigmoid函數(shù)的非線性慣性權(quán)重系數(shù),運(yùn)用非線性控制方法學(xué)習(xí)因子,以改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的效率;引入GA算法中的交叉變異算子,提高算法的全局搜索能力,從而建立適用于逼近誤差計(jì)算的混合PSO算法。

2.1 構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法計(jì)算過(guò)程中,每個(gè)粒子都能夠由適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算出適應(yīng)度值,記錄個(gè)體的適應(yīng)度極值pbest與群體極值gbest,以此驅(qū)動(dòng)粒子在迭代計(jì)算中更新位置和速度,最終計(jì)算出滿足精度要求的理論最優(yōu)解。

將標(biāo)準(zhǔn)PSO算法用于在刀觸點(diǎn)軌跡線上搜索一個(gè)到刀位點(diǎn)連線的距離為最值刀觸點(diǎn),刀觸點(diǎn)粒子的速度和位置的更新如式(6)所示。

(6)

式中:xi(k)、vi(k)分別為第i個(gè)粒子在第k次迭代時(shí)速度和位置,w為慣性權(quán)重因子,c1、c2分別為個(gè)體、社會(huì)學(xué)習(xí)因子,r1、r2為(0,1)之間相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。隨著迭代次數(shù)的增加,所獲得的極值逐漸逼近理論解,一般以迭代次數(shù)上限或極值變化量作為終止條件結(jié)束算法。

2.2 基于Tent映射的種群初始化

在PSO算法中,初始化粒子的位置對(duì)算法的收斂速度和性能有著重要的影響。作為一種典型的混沌序列映射函數(shù),Tent映射生成的混沌序列隨機(jī)性好,具有簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)[17],將Tent映射引入PSO算法能夠可以有效地?cái)U(kuò)展搜索空間,提高全局搜索能力。

由于精加工的相鄰刀觸點(diǎn)之間的局部刀觸點(diǎn)軌跡線長(zhǎng)度較小,曲率變化不大,因此逼近誤差理論刀觸點(diǎn)位置基本分布在搜索區(qū)間的中間位置附近。為此,提出使用Tent映射生成[0,1]之間隨機(jī)數(shù),并通過(guò)線性變換將這些隨機(jī)數(shù)映射到中間區(qū)間[0.25,0.75]上,作為PSO算法初始粒子的位置。具體實(shí)現(xiàn)步驟為:

步驟1:生成[0,1]之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù),作為初始值x0;

步驟2:通過(guò)Tent映射公式計(jì)算下一個(gè)值,如式(7)所示;

(7)

步驟3:將xi的值線性映射到[0.25,0.75]之間,如式(8)所示;

(8)

2.3 慣性權(quán)重優(yōu)化

慣性權(quán)重w表示粒子繼承先前速度的多少,PSO算法的初期一般需要較大的慣性權(quán)重因子以獲得較強(qiáng)的全局搜索能力,并隨著迭代次數(shù)增加遞減,從而加快粒子收斂。為了提高逼近誤差計(jì)算效率,鑒于非線性動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重的綜合性能優(yōu)于線性[18],本文利用sigmoid函數(shù)曲線在區(qū)間[-6,6]內(nèi)的前、中、后段上升速度由慢到快再到慢的非線性特點(diǎn),提出將PSO算法的迭代次數(shù)映射到此區(qū)間,獲得如式(9)所示的慣性權(quán)重函數(shù),此函數(shù)能夠在搜索初期、中期、后期分別獲得較慢、較快、較慢的慣性權(quán)重下降速度,從而使粒子的全局搜索能力在初期時(shí)較強(qiáng),隨后中期近似線性遞減,局部搜索能力逐漸增強(qiáng),后期變化率再次減小,保證較強(qiáng)的局部搜索能力。

(9)

式中:k為迭代次數(shù),wmax、wmin為慣性權(quán)重系數(shù)最大、最小值。

2.4 非線性學(xué)習(xí)因子設(shè)置

PSO算法的學(xué)習(xí)因子c1和c2分別調(diào)節(jié)個(gè)體學(xué)習(xí)能力和群體學(xué)習(xí)能力。當(dāng)c1>c2時(shí),粒子的運(yùn)動(dòng)更偏向個(gè)體最優(yōu)方向,反之則更偏向群體最優(yōu)方向。c1取值過(guò)大時(shí),會(huì)導(dǎo)致過(guò)多刀觸點(diǎn)粒子聚集于局部刀觸點(diǎn)軌跡線,影響全局尋優(yōu)效果;c2取值過(guò)小時(shí),刀觸點(diǎn)粒子會(huì)過(guò)早收斂局部最優(yōu)。

鑒于刀觸點(diǎn)軌跡線的凹凸性易使計(jì)算逼近誤差時(shí)陷入局部最優(yōu),合適的尋優(yōu)策略是:在迭代初期,由于位置不確定性,粒子應(yīng)注重自我認(rèn)知,側(cè)重個(gè)體最優(yōu)解進(jìn)行全局搜索;在迭代后期,粒子較為接近最優(yōu)位置,應(yīng)注重群體認(rèn)識(shí),側(cè)重群體最優(yōu)解鄰域的局部搜索。為此,本文在文獻(xiàn)[9]學(xué)習(xí)因子變化策略的基礎(chǔ)上,提出了基于迭代次數(shù)的學(xué)習(xí)因子非線性變化方法,使得c1、c2隨著迭代次數(shù)k的增加而分別減小、增大,如式(10)所示。

(10)

式中:c1max、c1min、c2max和c2min分別為個(gè)體、群體學(xué)習(xí)因子的最大、最小值。

2.5 基于粒子交叉變異的算法優(yōu)化

為了進(jìn)一步改善PSO算法容易陷入局部最優(yōu)解的問(wèn)題,引入GA算法的交叉變異策略提高刀觸點(diǎn)粒子的全局搜索能力。

交叉方面,將刀觸點(diǎn)粒子以固定交叉概率放入交叉池中,在雜交池中隨機(jī)挑選出兩兩相互獨(dú)立刀觸點(diǎn)粒子進(jìn)行交叉,根據(jù)兩刀觸點(diǎn)粒子的位置平均值計(jì)算出的交叉權(quán)重確認(rèn)交叉點(diǎn),直到雜交池中所有粒子完成交叉操作。交叉操作有助于交叉后的刀觸點(diǎn)粒子繼承交叉前粒子的優(yōu)勢(shì)并保持種群的多樣性,交叉后粒子位置由兩交叉粒子的位置加權(quán)計(jì)算,新個(gè)體的位置公式如式(11)所示。速度公式如式(12)所示。

(11)

(12)

變異方面,在每次進(jìn)化中,為了彌補(bǔ)了隨機(jī)突變的不準(zhǔn)確性,提出對(duì)交叉后的新粒子群體根據(jù)固定的變異概率pm選取粒子進(jìn)行變異,有效地增加了種群的多樣性。對(duì)交叉后的刀觸點(diǎn)粒子計(jì)算適應(yīng)度值,進(jìn)行降序排列,對(duì)適應(yīng)度值較小(即距離理論逼近誤差刀觸點(diǎn)位置較遠(yuǎn))的刀觸點(diǎn)粒子進(jìn)行變異操作,將(0,1)之間隨機(jī)數(shù)作為變異后粒子的位置,使它們具有一定概率跳動(dòng)到理論逼近誤差刀觸點(diǎn)位置附近。刀觸點(diǎn)粒子位置公式如式(13)所示。

(13)

2.6 混合粒子群算法總體流程

基于2.1～2.5節(jié)提出的PSO算法構(gòu)建和優(yōu)化方法,可規(guī)劃出混合PSO算法計(jì)算逼近誤差的整體流程,具體步驟如下,流程如圖3所示。

圖3 逼近誤差計(jì)算流程圖

步驟1:將搜索區(qū)間[ui,ui+1]映射到[0,1],設(shè)置種群規(guī)模N和速度閾值vmax、vmin,交叉概率pc,變異概率pm,設(shè)置最大迭代次數(shù)kmax或計(jì)算精度作為終止條件,初始化速度和位置;

步驟2:計(jì)算全部粒子的適應(yīng)度值;

步驟3:對(duì)刀觸點(diǎn)粒子以交叉概率pc進(jìn)行交叉操作,對(duì)交叉操作后的刀觸點(diǎn)粒子計(jì)算適應(yīng)度值并進(jìn)行降序排列;

步驟4:以變異概率pm選擇交叉操作后適應(yīng)度值最小的刀觸點(diǎn)粒子的粒子進(jìn)行變異操作;

步驟5:計(jì)算變異操作后粒子適應(yīng)度值并記錄pbest與gbest;

步驟6:判斷是否滿足收斂條件(如滿足計(jì)算精度或達(dá)到最大迭代次數(shù)),如果滿足轉(zhuǎn)向步驟7;否則以式(9)改變慣性權(quán)重w,根據(jù)式(10)改變學(xué)習(xí)因子c1、c2。根據(jù)式(6)更新粒子的速度和位置,轉(zhuǎn)向步驟2繼續(xù)迭代;

步驟7:輸出當(dāng)前最優(yōu)粒子位置和適應(yīng)度值,作為理論逼近誤差位置和逼近誤差值,算法終止。

3 算法實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證

3.1 算法實(shí)現(xiàn)

算法的實(shí)現(xiàn)需要對(duì)種群規(guī)模N、最大迭代次數(shù)kmax、最大速度vmax與最小速度vmin、慣性權(quán)重w、學(xué)習(xí)因子c1和c2、交叉概率pc、變異概率pm進(jìn)行設(shè)置。

較小的種群規(guī)模N與最大迭代次數(shù)kmax可能會(huì)導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)解,而較大的種群規(guī)模與最大迭代次數(shù)可以提高算法的全局搜索能力,但增加了算法的計(jì)算量,參考文獻(xiàn)[19]進(jìn)行測(cè)試,設(shè)置種群規(guī)模N為50,最大迭代次數(shù)kmax為100。

最大速度和最小速度的取值范圍通常在搜索空間的范圍內(nèi),并且被設(shè)置為搜索空間范圍的一定比例。通過(guò)測(cè)試、比較不同取值,選取最大速度和最小速度設(shè)置為搜索空間范圍的20%與5%,即速度閾值vmax與vmin為0.2與0.05時(shí)算法收斂速度較好。

慣性權(quán)重最大最小值wmax和wmin的取值也影響算法的收斂速度,然而取值并無(wú)明確的理論依據(jù),多采用實(shí)驗(yàn)法選值,常將其設(shè)置在0.4～0.9之間[19]。算法選用了多組數(shù)值進(jìn)行測(cè)試,當(dāng)wmax=0.9、wmin=0.4時(shí),性能提高明顯,代入式(9)獲得慣性權(quán)重w計(jì)算式,w隨迭代次數(shù)k的變化如圖4所示。

圖4 慣性權(quán)重變化圖

與慣性權(quán)重類(lèi)似,常將個(gè)體、群體學(xué)習(xí)因子設(shè)置為固定值2[19]。本文結(jié)合優(yōu)化后慣性權(quán)重的變化趨勢(shì),在選用了多組數(shù)值組合進(jìn)行了測(cè)試后,確定當(dāng)c1max=2.5、c1min=1.5、c2max=2.5、c2min=1.5時(shí),學(xué)習(xí)因子變化如圖5所示,滿足了前中期加強(qiáng)粒子運(yùn)動(dòng)遍歷性、全局搜索能力和后期加強(qiáng)局部搜索能力的要求。

交叉和變異概率的設(shè)置與粒子搜索區(qū)間復(fù)雜度有關(guān),如果解空間較大且復(fù)雜,較高的交叉和變異概率可以更好地探索潛在解;相反,如果解空間較小或具有明顯的最優(yōu)解,較低的概率可能足夠。參照文獻(xiàn)[7],算法選用多組數(shù)值進(jìn)行測(cè)試,交叉概率pc和變異概率pm分別為0.6和0.05時(shí),算法有較好的收斂速度。

完成上述數(shù)值選取后,在課題組自主開(kāi)發(fā)的CAM軟件上完成了所有算法的程序開(kāi)發(fā),實(shí)現(xiàn)了逼近誤差計(jì)算功能。

3.2 算法驗(yàn)證

以圖6a中的曲面為例生成刀軌,曲面包圍盒尺寸為190 mm×150 mm×45 mm,選擇直徑10 mm的球頭刀,刀軌行數(shù)為150,使用等誤差步長(zhǎng)法生成刀軌,逼近誤差允許區(qū)間為[9 μm,10 μm],計(jì)算精度為0.1 μm。分別采用幾何迭代算法、標(biāo)準(zhǔn)PSO算法和本文提出的混合PSO算法計(jì)算逼近誤差,進(jìn)而生成等誤差刀軌。生成的刀軌如圖6b所示,仿真圖如圖6c所示,運(yùn)行環(huán)境為Intel i5-13400、16 G RAM的計(jì)算機(jī),3種算法所消耗的時(shí)間如表1所示,本文算法比幾何迭代算法的計(jì)算時(shí)間減少了18%以上,比標(biāo)準(zhǔn)PSO優(yōu)化算法的計(jì)算時(shí)間減少了8%以上,驗(yàn)證了算法的高效率。

表1 等誤差刀軌的計(jì)算時(shí)間

(a) 曲面示意圖 (b) 等誤差刀軌 (c) 等誤差刀軌加工仿真圖

4 結(jié)論

為了提高數(shù)控加工中逼近誤差的計(jì)算效率,本文研究了基于混合PSO算法的逼近誤差計(jì)算方法。將刀觸點(diǎn)設(shè)置為粒子,將刀觸點(diǎn)軌跡線上搜索范圍映射到標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間[0,1],提出了適應(yīng)度函數(shù);結(jié)合逼近誤差特點(diǎn)引入Tent映射初始化種群,優(yōu)化了慣性權(quán)重因子和學(xué)習(xí)因子的變化策略并引入了GA算法的交叉變異操作。測(cè)試結(jié)果表明,所提出的混合PSO算法耗時(shí)更短。在未來(lái)的研究中,可進(jìn)一步在結(jié)構(gòu)、參數(shù)優(yōu)化等方面改進(jìn)算法,或探索其它類(lèi)型的智能算法,以進(jìn)一步提高逼近誤差的計(jì)算效率。