周洪海,秦 超,徐振邦,王學(xué)問,鞏 浩,陳 洋

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,長(zhǎng)春 130033;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049;3.中國(guó)科學(xué)院空間光學(xué)系統(tǒng)在軌制造與集成系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)春 130033)

0 引言

隨著精密光學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,光學(xué)設(shè)施對(duì)精密調(diào)整機(jī)構(gòu)的精度要求越來越高,有的甚至達(dá)到納米、亞納米級(jí)水平[1-3]。傳統(tǒng)的導(dǎo)向或調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)如導(dǎo)軌、絲杠螺母、凸輪機(jī)構(gòu)等,存在摩擦、側(cè)隙、需要潤(rùn)滑、精度低等缺點(diǎn)。而且在制造和組裝過程中也存在不可避免的誤差。雖然有著大行程、高穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn),但并不適用于超精密導(dǎo)向、調(diào)整領(lǐng)域。

為了解決這些問題,柔性機(jī)構(gòu)逐漸成為當(dāng)下的研究熱點(diǎn)。相對(duì)于傳統(tǒng)的導(dǎo)向或調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu),柔性機(jī)構(gòu)具有更小的體積、更高的靈敏度、沒有機(jī)械摩擦和齒隙等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于高性能顯微鏡、光刻機(jī)物鏡系統(tǒng)、微定位臺(tái)等精密調(diào)整、導(dǎo)向機(jī)構(gòu)中[4-9]。通過使用柔性機(jī)構(gòu)代替?zhèn)鹘y(tǒng)機(jī)構(gòu),可以實(shí)現(xiàn)納米甚至亞納米級(jí)的高精度調(diào)整,從而滿足現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)所需的要求[10]。因此,柔性機(jī)構(gòu)將成為未來精密光學(xué)技術(shù)中不可或缺的一部分。

曾超等[11]設(shè)計(jì)了一種納米精度的位移機(jī)構(gòu),采用平面連桿柔性鉸鏈實(shí)現(xiàn)了0.2 mm的運(yùn)動(dòng)行程和1.1 nm(均方根誤差)的高位置穩(wěn)定性。趙磊等[12]用直梁型柔性鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)副,設(shè)計(jì)了一款用于光刻投影物鏡中的x-y面內(nèi)的微動(dòng)調(diào)整機(jī)構(gòu)。張德福等[13]采用由倒角形柔性鉸鏈構(gòu)成的對(duì)稱平行四邊形機(jī)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)z向的位置調(diào)整。但以上結(jié)構(gòu)的適配性相對(duì)較差,整體的位移調(diào)整模型需要圍繞著柔性鉸鏈搭建。

如圖1所示,本文設(shè)計(jì)了一種以繞中心均勻分布的6條柔性梁為柔性部分的導(dǎo)向膜片。通過6條柔性梁的彎曲來約束中心平臺(tái)的運(yùn)動(dòng),使光學(xué)元件嚴(yán)格沿軸向平移。這種結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為低軸向剛度和高徑向剛度,能夠抑制垂直于運(yùn)動(dòng)軸向的寄生運(yùn)動(dòng)。而且膜片結(jié)構(gòu)尺寸小、可單獨(dú)加工。在使用時(shí)將膜片固定在基座即可,安裝方便,與整體結(jié)構(gòu)的適配性好。

(a) 導(dǎo)向膜片組成 (b) 導(dǎo)向膜片的工作原理

本文采用柔度矩陣法對(duì)膜片內(nèi)圈進(jìn)行建模,列出柔度矩陣并通過有限元分析驗(yàn)證了公式的正確性。然后根據(jù)使用需求,對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化,提高了軸向柔度、軸向/徑向柔度比和最小應(yīng)力的指標(biāo)數(shù)值。優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)可用在由小型音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)、具有微米級(jí)行程的精密導(dǎo)向機(jī)構(gòu)上。

1 精密導(dǎo)向膜片的組成及工作原理

精密導(dǎo)向膜片如圖1所示。膜片的柔性由6條繞中心對(duì)稱的柔性梁組成,膜片的外圈和內(nèi)圈被固定約束,因?yàn)榧s束后的剛度遠(yuǎn)大于柔性梁結(jié)構(gòu),可將膜片內(nèi)圈,外圈視為剛體。為了增強(qiáng)膜片在受到軸向力時(shí)的柔性,可以采取以下措施:減小柔性梁厚度并增大長(zhǎng)度,這有助于柔性梁發(fā)生彎曲變形。此外,由于軸向運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生寄生的徑向運(yùn)動(dòng),為了抑制這種運(yùn)動(dòng),需要增大柔性梁寬度,提高其在平面內(nèi)的抗拉壓和抗剪切能力。

2 基于柔度矩陣法的柔度建模

2.1 建立單條柔性梁的柔度矩陣

在導(dǎo)向膜片的使用過程中,膜片外圈不發(fā)生運(yùn)動(dòng),膜片內(nèi)圈和導(dǎo)向桿件的運(yùn)動(dòng)相同。由于導(dǎo)向膜片的變形主要集中于柔性梁,此時(shí)需要建立柔性梁的柔度模型來分析其支承和導(dǎo)向的性能。如圖2所示,柔性梁連接外圈的一端為固定約束,連接內(nèi)圈的一端為自由端。

圖2 柔性梁末端的局部坐標(biāo)系

對(duì)膜片內(nèi)圈進(jìn)行軸向運(yùn)動(dòng)和徑向運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力分析,軸向運(yùn)動(dòng)與徑向運(yùn)動(dòng)的受力分析圖如圖3a和圖3b所示。

(a) 軸向運(yùn)動(dòng)受力分析 (b) 徑向運(yùn)動(dòng)受力分析

如圖3a所示,在膜片發(fā)生軸向運(yùn)動(dòng)時(shí),因柔性梁的分布為膜片內(nèi)圈各邊的中心,所以6條柔性梁沿各自局部坐標(biāo)軸x方向力Fx1、Fx2、Fx3、Fx4、Fx5、Fx6它們的作用線穿過膜片內(nèi)圈的形心,對(duì)形心的作用為矢量力的疊加。而沿局部坐標(biāo)軸z方向的力Fz1、Fz2、Fz3、Fz4、Fz5、Fz6它們會(huì)對(duì)形心產(chǎn)生力矩作用,對(duì)形心的作用為矢量力與力矩的疊加。同理可知在膜片軸向運(yùn)動(dòng)和徑向運(yùn)動(dòng)時(shí)柔性梁末端施加給膜片中心Fx、Fy、Fz、My、Mz的作用,根據(jù)受力特點(diǎn)列出單條柔性梁末端的局部柔度矩陣。

柔性梁末端受F=[Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz]T的作用,其對(duì)應(yīng)的變形可以表示為:

δ=CF

(1)

式中:變形δ=[Δx,Δy,Δz,Δα,Δβ,Δγ],柔性梁的柔度矩陣Ci(i=1,2,3,…,6)為:

(2)

式中:柔度系數(shù)CΔx-Fx、CΔy-Fy、CΔy-Mz、CΔz-Fz、CΔz-My、CΔα-Mx、CΔβ-Fz、CΔβ-My、CΔγ-Fy、CΔγ-Mz分別為:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

對(duì)x軸慣性矩:

Ix=βab3

(13)

對(duì)y軸慣性矩:

(14)

對(duì)z軸慣性矩:

(15)

2.2 建立膜片的整體柔度矩陣

膜片中6條獨(dú)立的柔性梁為并聯(lián)連接。為了獲得整個(gè)膜片的柔度矩陣,需要將局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為用于描述整個(gè)膜片的整體坐標(biāo)系。

把以各柔性梁末端中心為原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系oi-xiyizi稱為局部坐標(biāo)系,把以膜片內(nèi)圈中心為原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系o-xyz稱為整體坐標(biāo)系。局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系的關(guān)系如圖4所示。以整體坐標(biāo)系為基準(zhǔn),因6條柔性梁均勻分布,各局部坐標(biāo)系至整體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度θ為0°、60°、120°、180°、240°、360°。局部坐標(biāo)原點(diǎn)與整體坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為r。

圖4 局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系示意圖

如圖4所示,設(shè)第i條柔性梁在局部坐標(biāo)系oi-xiyizi的柔度為Ci,根據(jù)柔度矩陣法,建立空間變換矩陣Toi將單元柔度矩陣從局部坐標(biāo)系oi-xiyizi轉(zhuǎn)到整體坐標(biāo)系上。第i(i=1,2,3,4,5,6)條柔性梁的整體柔度矩陣為:

Coi=ToiCi(Toi)T

(16)

式中:第i(i=1,2,3,4,5,6)條柔性梁的變換矩陣Toi為:

(17)

最后,膜片整體的柔度矩陣為:

(18)

2.3 膜片內(nèi)圈在軸向力下的運(yùn)動(dòng)求解

當(dāng)施加載荷F=[0,0,1,0,0,0]T時(shí),根據(jù)式(18)求出的整體柔度矩陣可以得到變形量為:δ=[0,0,l3/72EIy,0,0,0]T。由上述公式推導(dǎo)結(jié)果可知,當(dāng)膜片內(nèi)圈受到力Fz,膜片內(nèi)圈只有z方向的位移。即單條柔性梁末端的x向位移為0,末端轉(zhuǎn)角為0,單條柔性梁以及膜片整體的變形如圖5所示。

(a) 單條柔性梁的變形示意圖 (b) 膜片在x-z平面的變形示意圖

從上述分析可知,當(dāng)受到z向力時(shí),單條柔性梁對(duì)膜片內(nèi)圈有x、z方向的運(yùn)動(dòng)以及繞y、z方向的角運(yùn)動(dòng),但關(guān)于中心對(duì)稱的兩條柔性梁對(duì)膜片內(nèi)圈x的運(yùn)動(dòng)和y、z的角運(yùn)動(dòng)相互抵消。只保留了z方向上的位移,z方向上的柔度為:

Cz=l3/72EIy

(19)

2.4 膜片內(nèi)圈在徑向力下的運(yùn)動(dòng)求解

在運(yùn)動(dòng)元件帶動(dòng)膜片做徑向運(yùn)動(dòng)時(shí),其對(duì)膜片內(nèi)圈的作用力可認(rèn)為穿過形心,設(shè)其在x-y平面內(nèi)作用力為Fr、與x軸的夾角為β。用F=[Frcosβ,Frsinβ,0,0,0,0]T表示其對(duì)形心的作用力,根據(jù)整體柔度矩陣得到變形量δ=[l3/3E(abl2+12Iz)]·[Frcosβ,Frsinβ,0,0,0,0]。由上述公式推導(dǎo)結(jié)果可知,膜片內(nèi)圈在x-y平面內(nèi)有以下特性:①運(yùn)動(dòng)方向與施加力方向相同。②任何運(yùn)動(dòng)方向的柔度相同。圖6為其效果圖。以Cr表示其在x-y平面的柔度。

(a) 單條柔性梁的變形示意圖 (b) 膜片內(nèi)圈在x-y平面的變形示意圖

Cr=l3/3E(abl2+12Iz)

(20)

3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

根據(jù)導(dǎo)向膜片的使用特點(diǎn),優(yōu)化膜片的3個(gè)參數(shù)來提升其性能。首先,需要提高導(dǎo)向膜片的軸向柔度以確保其調(diào)節(jié)和導(dǎo)向能力;其次,需要提高導(dǎo)向膜片的徑向柔度,以抑制寄生的徑向運(yùn)動(dòng);最后,膜片在運(yùn)動(dòng)行程內(nèi)的最大應(yīng)力應(yīng)小于許用應(yīng)力,且應(yīng)降低最大應(yīng)力的值,這能夠提高結(jié)構(gòu)的安全可靠性、減少疲勞損傷并降低成本。

3.1 優(yōu)化目標(biāo)

3.1.1 軸向柔度

目前,由于音圈電機(jī)具有響應(yīng)速度快、運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量輕、無(wú)力紋波、非接觸式進(jìn)給驅(qū)動(dòng)、易于控制等超精密定位特性[14],被廣泛應(yīng)用于精密導(dǎo)向調(diào)整機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)裝置中。目前直徑在5 cm之內(nèi)的音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)力約為0～10 N,為了得到微米級(jí)以上的行程,需增大膜片在軸向的柔度,使其至少要大于2×10-3mm/N。

3.1.2 優(yōu)化軸向/徑向柔度比

如圖1a所示,在運(yùn)動(dòng)元件運(yùn)動(dòng)過程中,實(shí)際軌跡與理想軌跡的同軸度越小,運(yùn)動(dòng)精度越高。本文使用軸向/徑向柔度比[15]來衡量運(yùn)動(dòng)軌跡的偏離程度。在同樣的約束條件和行程下,軸向/徑向柔度比越高,軌跡的偏離程度越小,軌跡越接近軸線位置。本文設(shè)計(jì)的導(dǎo)向膜片軸向/徑向柔度比為:

(21)

3.1.3 優(yōu)化軸向運(yùn)動(dòng)最大應(yīng)力

由第2節(jié)分析可知,在膜片軸向運(yùn)動(dòng)過程中,單條柔性梁的末端的轉(zhuǎn)角為0,z方向上的位移為w,根據(jù)疊加法列出平衡方程:

(22)

(23)

由圖7可知,在沿z向運(yùn)動(dòng)時(shí)柔性梁的最大彎矩可能出現(xiàn)在其兩端,分別對(duì)兩端的彎矩進(jìn)行計(jì)算。

(24)

(a) 受力分析圖 (b) 剪力圖

由推導(dǎo)結(jié)果可知,首末兩端彎矩的大小相等,方向相反。

(25)

根據(jù)公式計(jì)算,最大應(yīng)力出現(xiàn)在柔性梁局部坐標(biāo)系x=0,y=2/b或x=l,y=2/b處,最大應(yīng)力值為σmax=3Ebw/l2,w為柔性梁的撓度。

3.2 優(yōu)化柔性梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)

根據(jù)式(19)、式(21)和式(25)可推導(dǎo)出膜片軸向柔度、軸向/徑向柔度比、最大應(yīng)力值與柔性梁厚度b以及柔性梁長(zhǎng)度l的關(guān)系,如圖8所示。當(dāng)b變小或l變大時(shí),軸向柔度變大、軸向/徑向柔度比變大、最大應(yīng)力值變小。與期望的優(yōu)化結(jié)果相同。當(dāng)a變化時(shí),軸向柔度與軸向/徑向柔度比變化的方向相反。根據(jù)膜片的實(shí)際使用要求及柔性梁的特點(diǎn)對(duì)a的值進(jìn)行優(yōu)化,設(shè)置邊界條件為:

(26)

(a) Cz與b、l的關(guān)系 (b) Cz/Cr與b、l的關(guān)系

式中:[σ]為材料的彈性許用應(yīng)力,本文膜片使用的鋁合金的彈性許用應(yīng)力約為240 MPa。以a取值范圍的中值a=5為標(biāo)準(zhǔn),賦予軸向柔度、軸向/徑向柔度比的權(quán)重分別為0.4、0.6建立優(yōu)化函數(shù):

(27)

U與a的關(guān)系如圖9所示。U在區(qū)間的最大值為1.03,此時(shí)a=6。優(yōu)化前與優(yōu)化后的參數(shù)如表1、表2所示。優(yōu)化后的膜片的柔度為4.2×10-3mm/N,圖8b所示機(jī)構(gòu)在0～10 N驅(qū)動(dòng)力作用下的最大應(yīng)力值為9.03 MPa,滿足使用要求。

表1 優(yōu)化前柔性梁參數(shù)及理論計(jì)算結(jié)果

表2 優(yōu)化后柔性梁參數(shù)及理論計(jì)算結(jié)果

圖9 優(yōu)化函數(shù)U隨a的變化圖

4 柔度模型的有限元和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖10為有限元分析中的網(wǎng)格圖。對(duì)膜片內(nèi)圈在x、y、z方向分別施加1 N的力得到表3和表4的結(jié)果,膜片的位移變化云圖如圖11和圖12所示。從表3和表4中可以看出優(yōu)化前后理論計(jì)算柔度與仿真計(jì)算柔度x、y方向最大誤差為6.7%,z方向的最大誤差為4.3%皆處于可接受范圍內(nèi)。仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果存在誤差的原因主要來自兩個(gè)方面:①網(wǎng)格單元的劃分類型與網(wǎng)格質(zhì)量存在影響;②理論計(jì)算中并未將與柔性梁相連膜片內(nèi)圈的柔度計(jì)算在內(nèi),而仿真中膜片內(nèi)圈有微量的變形并與柔性梁結(jié)構(gòu)存在耦合關(guān)系,影響了仿真結(jié)果。

表3 優(yōu)化前的有限元計(jì)算結(jié)果

表4 優(yōu)化后的有限元計(jì)算結(jié)果

圖10 有限元網(wǎng)格圖

(a) 在x向力作用下 (b) 在y向力作用下

(a) 在x向力作用下 (b) 在y向力作用下

為了驗(yàn)證柔度模型的準(zhǔn)確性,搭建了柔度測(cè)試系統(tǒng),其原理如圖13所示。壓力測(cè)試儀用來測(cè)量施加在膜片上的z向壓力,電子高度尺測(cè)量膜片的z向變形量。通過測(cè)量不同壓力下的z向變形量得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖14所示。其中數(shù)據(jù)擬合曲線的斜率就是膜片的z向柔度。實(shí)測(cè)模型z向柔度與理論計(jì)算柔度的相對(duì)誤差為7.8%,驗(yàn)證了本文方法的可行性。

圖13 柔度測(cè)試裝置

5 結(jié)論

(1)提出了一種具有精密導(dǎo)向作用的柔性膜片,建立其軸向與徑向柔度的理論計(jì)算模型,并通過有限元分析與實(shí)驗(yàn)測(cè)試,驗(yàn)證了理論模型的正確性。

(2)分析了單條柔性梁參數(shù)對(duì)導(dǎo)向膜片軸向與徑向柔度的影響。

(3)以導(dǎo)向膜片的高軸向柔度、高軸向/徑向柔度比和低應(yīng)力為目標(biāo),建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)模型,通過對(duì)不同目標(biāo)權(quán)重比例的分配,對(duì)柔性梁結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行目標(biāo)優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果顯示,軸向/徑向柔度比優(yōu)化率為172%,軸向柔度優(yōu)化率為233%,最大應(yīng)力優(yōu)化率為32%。優(yōu)化結(jié)果完全符合預(yù)期,說明優(yōu)化結(jié)果具有可行性。