紀華山

［摘? 要］ 學生經(jīng)歷數(shù)學化的活動可習得數(shù)學思維、獲得數(shù)學品格、提升數(shù)學核心素養(yǎng). 文章認為初中數(shù)學綜合實踐課程的實施需遵循“以學生為主體的原則”“以問題為載體的原則”“以活動為形式的原則”“過程化教育的原則”，并以“分割三角形”的綜合實踐教學為例，具體談談在“問題”的引領下數(shù)學綜合實踐教學的具體措施.

［關鍵詞］ 數(shù)學綜合實踐；問題；教學；原則

數(shù)學綜合實踐課是對數(shù)學常規(guī)授課模式的必要補充，對發(fā)展學生的數(shù)學思維，提煉數(shù)學思想方法以及培養(yǎng)思維品質(zhì)與創(chuàng)新意識等具有重要促進作用. 調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當前仍有不少教師在實施綜合實踐教學時，缺少操作性的課程開發(fā)，只是流于形式地走個過場，喪失了培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)的重要契機. 為此，筆者對初中數(shù)學綜合實踐活動課程的實施展開了大量研究.

實施原則

1. 堅持以學生為主體的原則

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在原有的基礎上，再次強調(diào)了學生是課堂的主人，課堂教學應建立在“以生為本”的原則上，充分尊重學生的個體差異性，讓每個學生都能在學習中獲得發(fā)展［1］. 綜合實踐活動的開展雖說著重在實踐與綜合上，但實踐與綜合的主體必須是學生，只有認清這個事實，才能讓課程教學效益最大化.

學生在活動過程中應積極、主動、全程參與，并通過手腦并用的方式啟發(fā)思維、挖掘潛能，充分認識到生活與數(shù)學、其他學科與數(shù)學學科以及數(shù)學內(nèi)部各知識間的聯(lián)系. 實施綜合實踐教學時，教師作為課堂的組織者與引導者，需在充分尊重學生的基礎上帶領學生親歷實踐活動過程，讓學生自發(fā)地促進自身數(shù)學意識的發(fā)展.

2. 秉承以問題為載體的原則

問題是數(shù)學的核心，是思維的起點，創(chuàng)新的起點是一問. 沒有問題的數(shù)學教學稱不上教學，有了問題的驅(qū)動與引導，數(shù)學教學與學生的思維才有明確的方向［2］. 由此可見，問題在數(shù)學領域乃至其他學科的教學中，都占有舉足輕重的地位. 數(shù)學綜合實踐活動的開展，應秉承以問題為載體的原則，讓學生的思維在問題的引導下不斷得以突破與提升.

設置綜合實踐活動內(nèi)容時，應從培養(yǎng)學生的應用意識、問題意識、創(chuàng)新意識出發(fā)，讓學生在活動中不斷積累經(jīng)驗，獲得發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的能力. 任何實踐活動的開展都應圍繞核心問題而展開，如此才能幫助學生建構完整的知識脈絡，提升學生的“四基與四能”.

3. 落實以活動為形式的原則

綜合實踐屬于一種活動形式的教學，是基于核心問題的引導下，學生積極主動地全程參與實踐的過程. 學生在活動中感知完整的學習活動，獲得相應的學習體驗. 綜合實踐課程的特點是以活動的形式進行思維的啟發(fā)，學生在活動過程中獲得感知、體驗與領悟，實現(xiàn)從“要我學—我要學—我會學”的轉(zhuǎn)變.

數(shù)學活動是實施“做中學”理念的根本. 豐富的活動，能有效地激起學生的探究欲，助推學生的自我發(fā)展意識，讓學生在多維度的嘗試、思考與發(fā)現(xiàn)中不斷完善認知，建構綜合實踐課程的新樣態(tài).

4. 立足于過程化教育的原則

新課標強調(diào)數(shù)學教學要注重“過程性的教學”. 綜合實踐活動的開展是師生、生生互動與交流的過程，是教學相長的過程，亦是讓學生感知知識形成與發(fā)展的過程. 綜合實踐雖然不強調(diào)學生對某個知識點的掌握與理解程度，但對學生參與活動過程中的表現(xiàn)、體驗、領悟與反思等尤為關注.

綜合實踐著重強調(diào)學生活動經(jīng)驗的積累情況、應用意識以及數(shù)學思想發(fā)展情況等. 而這一切并不是教師手把手地“傳授”給學生，而是學生通過參與活動自主感受、體驗而來的. 這些經(jīng)驗與能力，學生唯有主動參與活動才能獲得. 因此，綜合實踐活動需立足于過程化教育的原則.

實施策略

（一）選擇問題，明確主題

綜合實踐活動的開展都有一個明確的主題，恰當?shù)剡x擇課堂切入問題，常能讓學生明確活動的方向. 高質(zhì)量的問題，往往取決于它是否具有數(shù)學性、生活性、綜合性與實踐性等特征. 只有綜合性強，具有可實踐性的問題才能有效指引學生進行實踐活動，并學會綜合應用“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”三大領域的知識來解決實際問題.

實踐證明，實踐性強的問題能有效驅(qū)動學生的思維，讓學生進入手、腦、口協(xié)調(diào)的狀態(tài)，并積極、主動地綜合應用相應的知識來解決實際問題；充滿“數(shù)學味”的問題能讓學生在實踐的基礎上從數(shù)學的角度進行思考，學會用數(shù)學的眼光看待世界、用數(shù)學的思維思考世界；具有“現(xiàn)實”意義的問題與學生的實際認知水平和生活經(jīng)驗相契合，能讓學生積極、主動、全程地參與到活動的探索中來，讓綜合實踐活動發(fā)揮其教學價值與意義.

綜上幾類明確活動主題的數(shù)學問題是開展綜合實踐活動的核心問題，而這些核心問題又可以從教學實踐中由師生自主開發(fā)而來，也可以從教材中提煉而來. 值得注意的是，這些核心問題與教材或教輔資料中的練習題有著本質(zhì)上的區(qū)別.

（二）圍繞主題，設計活動

綜合實踐活動的開展與實施需建立在核心問題的基礎上，讓學生明確活動主題. 學生的探索從核心問題出發(fā)，遵循由淺入深、由簡單到復雜、由感性到理性的認知發(fā)展規(guī)律. 教師在此過程中可設計一些層次分明的問題串，讓學生在低起點、小跨度、高密度的問題中實現(xiàn)思維循序漸進的螺旋式上升.

在此，筆者以“分割三角形”的綜合實踐活動教學為例，從核心問題和分層問題串的設計出發(fā)，具體談談綜合實踐活動的實施與開展過程.

1. 設計核心問題，讓學生感知數(shù)學

問題1？搖 若在一個三角形的內(nèi)部任意取2020個點，加上三角形本身的3個頂點，則有2023個點，若將這2023個點進行兩兩相連，同時讓這些連接而成的線段除了端點不存在其他公共點，這樣的圖形容易畫出來嗎？為什么？

設計意圖？搖 此問是對本節(jié)課核心知識點的分解，為探索分割三角形的數(shù)量服務，引導學生從能否畫出圖形著手，進入探究狀態(tài). 此問的設置，意在讓學生感知這樣的圖形不好畫的原因是從三角形內(nèi)部可以任意取的點太多了.

追問1？搖 經(jīng)探索，大家發(fā)現(xiàn)想從三角形的內(nèi)部任意取2020個點，確實比較困難. 那么我們可以怎么理解兩兩相連的線段將原三角形分割成多少個小三角形呢？

活動1？搖 試一試、畫一畫，小組交流畫法與體驗.

設計意圖？搖 追問與活動的開展，意在點撥學生從簡單的圖形著手進行分析，引導學生通過取三角形內(nèi)部1、2、3個點進行畫圖分析.

2. 設計分層問題，讓學生體驗數(shù)學

問題2？搖 通過以上活動的開展，大家畫出了從三角形內(nèi)部分別任取1、2、3個點所對應的圖形，這種畫法對研究本節(jié)課的主題（分割三角形）有什么幫助？

設計意圖？搖 讓學生思考并形成解決數(shù)學問題常用的策略“特殊—一般—特殊”. 學生在對三個最簡單的特例研究中自主歸納出三角形內(nèi)部任意取點的數(shù)量和連線可將原三角形分割成小三角形的數(shù)量之間存在著怎樣的一般性關系，并應用這個一般性關系來解決問題1. 同時，也滲透了特殊到一般、猜想與歸納等數(shù)學思想方法，為促進學生思維的發(fā)展奠定基礎.

追問2？搖 說一說三角形內(nèi)部任意取點的數(shù)量和連線可將原三角形分割成小三角形的數(shù)量之間存在怎樣的一般性關系（簡稱一般性關系）？

活動2？搖 猜想并歸納出這種一般性關系.

追問3？搖 這種一般性關系的探索，可以從哪些角度進行？

活動3？搖 分別從“數(shù)”與“形”的角度來探索這種一般性的關系.

追問4？搖 以上探索、歸納與猜想出的結論是否一定是正確的？

活動4？搖 該怎樣應用更具一般性的合情推理，獲取以上一般性的關系呢？

設計意圖？搖 追問與活動的應用，促使每個學生都進入獨立思考與探索之中，并通過與同伴的交流，對這種“一般性的關系”產(chǎn)生了更深層次的理解與認識. 學生在交流過程中，感知、歸納、提煉出相應的數(shù)學思想方法，并獲得嘗試從不同的角度來分析數(shù)學問題的策略，如：

策略1？搖 將在三角形內(nèi)部分別任意取1、2、3個點的情況整理成表格形式（見表1）.

學生嘗試從“數(shù)”的角度進行猜想，獲得結論：在三角形的內(nèi)部任意取n個點，再加上原三角形的三個頂點，共存在“n+3”個點，將n+3個點進行兩兩相連，且讓所連線段除了端點不存在其他公共點，可把原三角形分割出（2n+1）個小三角形.

策略2？搖 嘗試從“形”的角度來剖析.

如圖1，在三角形的內(nèi)部取一個點，按照要求可獲得3個三角形；若增加1個點，則分成以下兩種情況：①如圖2，所增加的點位于分割而來的三角形的內(nèi)部，按照要求分割而成的三角形總數(shù)比取一個點時增加了2個；②如圖3，若增加的點恰巧位于分割線上，則此時分割而成的三角形總數(shù)比取一個點時也增加了2個.

經(jīng)過分析，獲得猜想：于一個三角形的內(nèi)部任意取n個點，再加上原三角形的3個點，將所有點兩兩相連，使得所連線段除了端點不存在其他公共點，可將原三角形分割成3+2（n－1）=2n+1個小三角形.

策略3？搖 進行一般推理，假設在一個三角形的內(nèi)部任意取n個點，加上原三角形的3個頂點，一共有“n+3”個點，把這n+3個點按照以上要求連接，可將原三角形分成x個小三角形，那么這些分割而來的小三角形的所有內(nèi)角和就是180°·x.

這些分割而來的小三角形的內(nèi)角又存在兩種情況，一種是頂點為原來三個大三角形的頂點，它們的和是180°；還有一種情況就是小三角形的頂點是在三角形內(nèi)部任取的n個點中的一個，那么以該點為頂點的三角形內(nèi)角恰好拼成了周角，因此以n個點中的一個點為頂點的小三角形的內(nèi)角拼接在一起就形成一個周角，和為360°·n.

基于以上分析，不難獲得：180°·x=360·n+180°，解得x=2n+1.

3. 設計拓展問題，讓學生感悟數(shù)學

眾所周知，數(shù)學綜合實踐以問題引領整個活動過程. 當學生解決了核心問題后，課堂是否就此終止了呢？答案是否定的. 當學生獲得相應的結論后，需要通過問題的縱橫延伸來深化學生對知識的理解程度，為發(fā)展學生的創(chuàng)新意識奠定基礎■［3］.

為了夯實學生對此類問題的研究經(jīng)驗，讓學生在后續(xù)學習中遇到類似問題能快速想出解決辦法，在學生已經(jīng)解決了取點連三角形問題的基礎上，教師可提出拓展性的問題供學生思考與探索，以增強學生的領悟能力.

問題3？搖 將問題1中的三角形替換成四邊形，取2020個點加四邊形原來的4個頂點后，求兩兩連線將原四邊形分割成的小三角形數(shù)量，同樣要求所有的連線段除了端點不可以有其他公共點.

活動5？搖 合作交流問題3，思考解決這個問題的方案，并設法提出其他拓展性的問題.

設計意圖？搖 問題拓展環(huán)節(jié)，意在讓學生在原有活動探究的基礎上，更進一步地認識由淺入深、類比歸納、從特殊到一般以及從一般到特殊的數(shù)學思想方法等，為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識以及科學的鉆研精神奠定基礎.

總之，綜合實踐活動的關鍵在于問題的擇取是否恰到好處. 在核心問題的驅(qū)動下，教師組織學生積極主動地參與數(shù)學探究活動是實施綜合實踐教學的重中之重. 教師應從思想上重視綜合實踐活動課程，通過逐層遞進問題的設置，引導學生感知數(shù)學知識，體悟數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］張文明. 基于多元智能理論的數(shù)學問題設置及思考［J］. 新課程研究（上旬刊），2015（11）：117-121.

［3］章建躍，陶維林. 注重學生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學（續(xù)）［J］. 數(shù)學通報，2009，48（07）：26-31，60.