宋逸豪 黃普明 劉波 馮雪峰 李帥 張千

摘 要：????? 傳統(tǒng)的固定基線干涉儀多誤差聯(lián)合標(biāo)校方法需要三個以上的標(biāo)校站才能實(shí)現(xiàn)干涉儀的在軌實(shí)時標(biāo)校， 但是在標(biāo)校站數(shù)量不足時傳統(tǒng)方法性能將降低甚至失效。 針對標(biāo)校站數(shù)量不足的情況， 本文提出一種固定基線干涉儀單/雙站標(biāo)校算法。 在干涉儀與標(biāo)校站之間存在相對運(yùn)動的條件下， 首先通過多次測量獲得一組標(biāo)校信號相位差， 其次利用所得相位差列出關(guān)于干涉儀各項(xiàng)系統(tǒng)誤差的方程組， 最后使用Penrose逆矩陣輔助的迭代最小二乘法求解出各項(xiàng)系統(tǒng)誤差值。 仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的可行性。 在此基礎(chǔ)上， 針對標(biāo)校站選址對標(biāo)校后干涉儀定位性能影響的問題， 分解標(biāo)校站選址的各項(xiàng)指標(biāo)， 通過數(shù)值仿真的方式， 定性分析了標(biāo)校站選址的各個參數(shù)對干涉儀定位精度的影響。 分析結(jié)果表明， 單站情況下位于星下點(diǎn)附近的標(biāo)校站或雙站情況下相距較遠(yuǎn)的兩個標(biāo)校站均能讓標(biāo)校后的干涉儀獲得更優(yōu)的定位性能。

關(guān)鍵詞：???? 干涉儀; 標(biāo)校; 系統(tǒng)誤差; 單站; 雙站

中圖分類號：??? ??TJ760； TN971

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：??? A

文章編號：??? ?1673-5048（2024）01-0122-06

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0089

0 引? 言

干涉儀測向方法是無源測向定位的重要手段之一， 它通過對到達(dá)波信號到達(dá)不同接收器之間的相位差進(jìn)行處理來獲取到達(dá)波的到達(dá)方向， 進(jìn)而計算出輻射源的位置［1-3］。 干涉儀具有較高的測向精度且可以實(shí)現(xiàn)單脈沖測向， 因此被廣泛地應(yīng)用于聲吶、 雷達(dá)等電子偵察相關(guān)領(lǐng)域。 不過， 受限于器件、 設(shè)備的工藝水平和機(jī)械結(jié)構(gòu)的控制水平等， 在復(fù)雜環(huán)境的影響下， 工作過程中的干涉儀會存在多項(xiàng)系統(tǒng)偏差， 對測向精度產(chǎn)生較大的影響。 例如， 各個接收通道之間的幅/相不一致性會導(dǎo)致測量相位差出現(xiàn)偏差； 連接桿的伸縮、 旋轉(zhuǎn)等活動會造成兩陣元間基線的長度和角度出現(xiàn)偏差； 干涉儀平臺對本身姿態(tài)的控制和測量也會存在一定的偏差。 這些偏差最終都會影響到兩通道間接收信號相位差的測量結(jié)果， 對波達(dá)方向的估計產(chǎn)生影響， 造成測向精度的降低。

為了提高測向精度， 干涉儀需要對自身的各種誤差進(jìn)行標(biāo)定和校正（簡稱標(biāo)校）。 許多學(xué)者對此進(jìn)行了深入研究。 文獻(xiàn)［4］研究了干涉儀的靜態(tài)標(biāo)校方法； 文獻(xiàn)［5］通過求解線性方程組在兩個標(biāo)校站的輔助下校正了干涉儀的空間指向； 文獻(xiàn)［6］使用總體最小二乘法分別在靜態(tài)標(biāo)校和動態(tài)標(biāo)校的條件下分離了接收信號中的目標(biāo)信號與噪聲， 對接收通道進(jìn)行了校正； 文獻(xiàn)［7］利用干涉儀自身的運(yùn)動特性通過單個長基線測量模糊相位差， 聯(lián)合估計出輻射源位置和相位差偏差； 文獻(xiàn)［8］提出了一種標(biāo)校站輔助的對不同系統(tǒng)誤差的非線性最小二乘聯(lián)合估計方法， 能同時有效估計出多種系統(tǒng)誤差； 文獻(xiàn)［9］利用迭代最小二乘法對旋轉(zhuǎn)干涉儀的多種系統(tǒng)偏差進(jìn)行校正， 提升了系統(tǒng)性能。

以上研究成果能夠滿足常規(guī)環(huán)境下的干涉儀標(biāo)校需求， 但是固定基線干涉儀的多項(xiàng)系統(tǒng)誤差需要用到多個標(biāo)校站輔助標(biāo)校工作。 考慮到星載干涉儀可偵察范圍大， 在有偵察需求時波束范圍內(nèi)可能沒有足夠數(shù)量的標(biāo)校站， 于是有必要討論依托僅有的標(biāo)校站或者其他位置、 信號已知的廣播站（如電視臺）等來輔助完成標(biāo)校工作。 本文開展了在干涉儀波束范圍內(nèi)僅有一個或兩個標(biāo)校站時的干涉儀標(biāo)校算法研究， 提出了一種適用固定基線干涉儀單/雙站的多誤差聯(lián)合標(biāo)校算法。 考慮到星載干涉儀可以通過姿態(tài)控制調(diào)整波束方向， 本文討論了在衛(wèi)星可視范圍內(nèi)存在多組可選擇的標(biāo)校站時的選站問題， 定性分析了標(biāo)校站布局對干涉儀定位精度的影響。

1 干涉儀誤差模型分析

根據(jù)干涉儀測向原理［10］， 兩陣元接收到信號間的無模糊相位差為

式中： c為光速； f為來波頻率； d為基線長度； u為本體坐標(biāo)系下的目標(biāo)視線單位矢量； b為干涉儀基線的單位矢量。 假設(shè)在測量時刻基線在本體坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)角或方位角為ζ， 俯仰角為ξ， 那么干涉儀基線的單位矢量b可以表示為

假設(shè)在測量時刻主陣元的位置坐標(biāo)為xO， 目標(biāo)的位置坐標(biāo)為xT， 那么本體坐標(biāo)系下的目標(biāo)視線單位矢量u可以表示為

由式（1）～（3）可知， 能夠影響干涉儀定位的誤差有： 測量相位差誤差、 信號載頻測量誤差、 基線長度誤差、 基線的方位角誤差、 基線的俯仰角誤差以及平臺位置誤差。 誤差由系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩部分組成。 系統(tǒng)誤差由器件本身造成， 可以認(rèn)為在一次測量的多次采樣過程中是保持不變的； 隨機(jī)誤差由測量過程中的各種不穩(wěn)定隨機(jī)因素造成， 每次采樣都會產(chǎn)生不同的隨機(jī)誤差。 標(biāo)校工作的目的是標(biāo)定和校正干涉儀的系統(tǒng)誤差。

在典型應(yīng)用條件下， 信號載頻測量誤差和平臺位置誤差對定位結(jié)果的影響較小， 通常在標(biāo)校過程中可以忽略； 基線長度誤差和基線的方位角誤差對定位結(jié)果影響較大， 在標(biāo)校過程中應(yīng)考慮予以校正； 測量相位差誤差和基線的俯仰角誤差對定位結(jié)果影響最大， 在標(biāo)校過程中必須得到校正［8］。 因此， 標(biāo)校工作一般會考慮基線的長度誤差、 方位角誤差和俯仰角誤差以及測量相位差誤差4項(xiàng)系統(tǒng)誤差。

其中， 基線的長度誤差、 方位角誤差和俯仰角誤差由干涉儀安裝過程中的測量和安裝精度、 干涉儀本身和所在平臺自身姿態(tài)的控制精度共同決定； 測量相位差誤差是整個接收環(huán)節(jié)中各器件工作產(chǎn)生的幅相誤差累加而成， 包括接收天線、 接收機(jī)、 鑒相器以及連接各器件的饋線產(chǎn)生的各類誤差。 由于基線的長度、 方位角和俯仰角無需實(shí)時測量， 因此可以認(rèn)為在一次測量過程中這三者的隨機(jī)誤差為0。 用下腳標(biāo)t的變量符號來表示該變量的真值， 否則表示該變量的測量值， 則有

式中： Δd， Δξ， Δζ， Δφ分別為基線長度、 方位角、 俯仰角以及測量相位差的系統(tǒng)誤差； δφ為測量相位差的隨機(jī)誤差， δφ服從均值為0、 方差為σ2的高斯分布。 在考慮誤差后， 兩陣元接收到信號間的無模糊相位差為

由式（5）可知， 如果能對各項(xiàng)系統(tǒng)誤差進(jìn)行精確估計， 就能有效提升干涉儀定位的精度。

2 系統(tǒng)誤差聯(lián)合估計方法

假設(shè)標(biāo)校站的位置和發(fā)射信號頻率已知， 向運(yùn)動中的干涉儀不間斷地發(fā)送標(biāo)校信號， 干涉儀可以通過導(dǎo)航系統(tǒng)得知自身的位置。 在接收到標(biāo)校信號后， 通過比較測量到的標(biāo)校信號相位差與計算得到的理論標(biāo)校信號相位差， 干涉儀可以對各個系統(tǒng)誤差量進(jìn)行估計。 通過將系統(tǒng)誤差的估計值與原本的測量值相加， 即可得到標(biāo)校后真值的估計值。 為了減小運(yùn)算量， 并提高估計精度， 本文使用高斯-牛頓法（G-N法）對系統(tǒng)誤差值進(jìn)行估計。

設(shè)定系統(tǒng)誤差向量為

Δ=ΔdΔξΔζΔφT （6）

bΔ為考慮誤差后的基線單位矢量記， 即

那么， 在某次測量中的測得的第i個標(biāo)校站發(fā)出信號的第n次采樣得到的無模糊相位差為

將式（8）在Δ0=Δd0Δξ0Δζ0Δφ0T處泰勒展開， 忽略隨機(jī)誤差項(xiàng)， 可以得到

式中： bΔ0為bΔ在Δ0處的值， 即

bΔξ0和bΔζ0分別為bΔ在Δ0處對Δξ和Δζ求導(dǎo)的結(jié)果， 即

記

將式（13）代入式（9）， 保留一階項(xiàng)， 則有

φi， n=gi， n（Δ）|Δ0=C0+（Δd－Δd0）C1+

（Δξ－Δξ0）C2+（Δζ－Δζ0）C3+

（Δφ－Δφ0）C4（14）

經(jīng)整理可得

C1Δd+C2Δξ+C3Δζ+C4Δφ=φΔ－C0+C1Δd0+C2Δξ0+C3Δζ0+C4Δφ0 （15）

令

在標(biāo)校測量過程中， 對每個標(biāo)校信號的每次采樣都能得到一組Ai， n和Bi， n。 將測量得到的所有采樣結(jié)果結(jié)合， 可得到如下兩個矩陣：

通過式（17）兩個矩陣可聯(lián)立得到關(guān)于干涉儀系統(tǒng)誤差的一階線性擬合方程組， 即

ΑΔ=Β（18）

由于隨機(jī)誤差的存在， 使得直接求解式（18）方程會得到偏差較大的解。 用最小二乘法求解該方程可得到干涉儀系統(tǒng)誤差的估計：

當(dāng)標(biāo)校站數(shù)量較多時， 由于每個標(biāo)校站的目標(biāo)視線向量間存在較大的夾角， 在多次采樣后方程系數(shù)矩陣A可以達(dá)到滿秩狀態(tài)， 此時ATA為一個非奇異方陣， 它的逆矩陣存在且唯一。 隨著標(biāo)校站數(shù)目的減少， 直至只有一個或兩個標(biāo)校站時， 每次采樣的目標(biāo)視線向量間只會由于干涉儀平臺自身運(yùn)動而產(chǎn)生微小的角度變化。 由于隨機(jī)誤差的存在， 在采樣間隔較小時， 多次采樣后的方程系數(shù)矩陣A存在非常相近的特征向量， 此時ATA會近似成一個奇異方陣， 致使式（19）無法求解。

為了解決上述問題， 本文用ATA的Penrose逆代替其逆矩陣代入式（19）中進(jìn)行運(yùn)算。 Penrose逆是矩陣的廣義逆的一種， 它同時滿足全部Moore-Penrose條件［11］。 對于任意方陣， 它的Penrose逆存在且唯一。 當(dāng)該方陣非奇異時， 其逆矩陣與Penrose逆相等。 本文利用奇異值分解的方法來求取矩陣的Penrose逆。

令P=ATA， 設(shè)定奇異值容差， 對P進(jìn)行奇異值分解：

式中： S為對角陣， 對角線上的值為從大到小排布的矩陣特征值， 即S=diag{σ1， σ2， …， σr}。 將大于容差的特征值組成的對角陣記為S1， 其余的記為S2。 U1、 U2和V1， V2為相應(yīng)的酉矩陣。 將S2中的奇異值近似為0， 則有

P=U1S1VH1（21）

因此， 可以求得P的Penrose逆為

P+=V1S-11UH1（22）

將式（22）代入式（19）可得， 對于單個或兩個標(biāo)校站也可適用的干涉儀系統(tǒng)誤差的估計結(jié)果為

一次最小二乘法求解得到的結(jié)果往往與真實(shí)值仍具有一定的偏差， 使用迭代運(yùn)算可以減小這個偏差。 將本輪運(yùn)算得到的系統(tǒng)誤差結(jié)果作為下一輪運(yùn)算的系統(tǒng)誤差初值， 每輪運(yùn)算結(jié)束后比較本輪與上一輪的運(yùn)算結(jié)果， 若差值小于設(shè)定門限值或迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定門限， 則將本輪運(yùn)算結(jié)果作為計算所得的系統(tǒng)誤差結(jié)果輸出。

本文干涉儀系統(tǒng)誤差估計方法的主要流程如下：

步驟1： 將系統(tǒng)誤差Δ的初始值設(shè)為0；

步驟2： 根據(jù)式（16）～（17）得到方程的系數(shù)矩陣A和B， 并列出方程（18）；

3 仿真分析

為了評估本文所提的干涉儀標(biāo)校算法性能， 對算法進(jìn)行數(shù)值仿真。

設(shè)定搭載干涉儀的衛(wèi)星平臺飛行在距地面800 km高度的圓軌道中， 此時衛(wèi)星的飛行速度為7.45 km/s。 將地面近似為一個平面處理。 設(shè)定零時刻衛(wèi)星在地面上的投影為坐標(biāo)原點(diǎn)， 衛(wèi)星飛行方向?yàn)閤軸正方向， z軸垂直于地面所在平面指向上。 星上搭載一個十字基線干涉儀， 四條基線的長度依次為1.1 m， 1.2 m， 2.1 m， 2.0 m， 方位角依次為0°， 90°， 180°， 270°， 俯仰角均為0°。 設(shè)定系統(tǒng)誤差如下： 最大測量相位差誤差為15°、 最大基線長度誤差為4 mm、 最大基線方位角誤差為0.15°、 最大基線俯仰角誤差為0.15°， 每條基線的每項(xiàng)系統(tǒng)誤差獨(dú)立， 服從均值為0的均勻分布。 設(shè)定測量相位差的最大隨機(jī)誤差為5°， 每條基線每次采樣結(jié)果獨(dú)立， 且服從均值為0的正態(tài)分布。

為了能夠更加準(zhǔn)確地分析算法， 本文采用Monte- Carlo試驗(yàn)對算法進(jìn)行仿真， 并通過仿真結(jié)果的均方根誤差（RMSE）來進(jìn)行評估。

假設(shè)地面上存在一個非合作目標(biāo)輻射源和若干個已知的標(biāo)校輻射源。 非合作目標(biāo)輻射源在每次試驗(yàn)時隨機(jī)位于距離原點(diǎn)800 km內(nèi)的某處， 信號頻率為4～6 GHz的隨機(jī)值； 標(biāo)校輻射源在每次試驗(yàn)時隨機(jī)散布在距離原點(diǎn)400 km的范圍內(nèi)， 標(biāo)校信號頻率為（6+0.15i）GHz， 其中i為標(biāo)校站序號。 設(shè)定干涉儀每0.2 s對到達(dá)信號進(jìn)行一次采樣并獲得測量相位差， 每次測量進(jìn)行300次采樣， 進(jìn)行500次Monte-Carlo試驗(yàn)， 當(dāng)標(biāo)校站數(shù)量由0個（不進(jìn)行標(biāo)校）逐步增加到4個時， 使用各種方法標(biāo)校后對非合作目標(biāo)定位距離偏差的RMSE如圖1所示。 可以看出， 相較于其他文獻(xiàn)中提到的只對某項(xiàng)進(jìn)行校正的方法， 本文提出的對多誤差聯(lián)合校正的方法能夠有效提高定位精度， 并解決了傳統(tǒng)的多誤差聯(lián)合校正方法中在單/雙站情況下難以解算的問題。

由于測量相位差隨機(jī)誤差的存在， 在相同采樣次數(shù)的條件下， 更多的標(biāo)校站能提供更多的采樣數(shù)據(jù)， 因此相較于標(biāo)校站較少的情況能得到更好的標(biāo)校結(jié)果。 圖2展示了在保持采樣總時間不變的前提下， 通過改變采樣頻率以調(diào)整總采樣點(diǎn)數(shù)后， 使用本文所提的標(biāo)校算法標(biāo)校后對非合作目標(biāo)定位距離偏差的RMSE。 可以看出， 對于單站和雙站， 通過減小采樣間隔來增加采樣點(diǎn)數(shù)， 能夠有效提高定位精度。

4 選站方案分析

4.1 單標(biāo)校站選站方案分析

在波束范圍內(nèi)只有一個可用的標(biāo)校站時， 標(biāo)校站的位置可以用站與星下點(diǎn)之間的距離以及站與星下點(diǎn)連線同衛(wèi)星運(yùn)動方向之間的夾角兩個維度來表征， 因此用極坐標(biāo)來描述標(biāo)校站的位置。? 干涉儀與衛(wèi)星平臺的設(shè)定與仿真分析時的設(shè)定相同， 同時保持相同的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的設(shè)定， 分別對標(biāo)校站在不同距離和夾角的情況下干涉儀標(biāo)校后的定位精度進(jìn)行仿真， 圖3為距離對定位精度的影響， 圖4圖為夾角對定位精度的影響。

由于隨機(jī)誤差的存在， 仿真結(jié)果存在一定的抖動， 不過仍然能夠看出相應(yīng)變量對定位精度影響的趨勢。 為了使趨勢更加清晰明確， 對單標(biāo)校站與星下點(diǎn)距離對定位精度影響的仿真結(jié)果進(jìn)行了線性擬合， 對單標(biāo)校站與星下點(diǎn)連線夾角對定位精度影響的仿真結(jié)果進(jìn)行了正弦曲線擬合， 可以認(rèn)為， 擬合過后的曲線能夠代表相應(yīng)變量變化對結(jié)果帶來的影響趨勢。

由圖可以看出， 在單標(biāo)校站的條件下， 標(biāo)校站位置距離星下點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)， 干涉儀的定位精度越低； 標(biāo)校站和星下點(diǎn)之間的連線與干涉儀平臺飛行方向所在直線的夾角越小， 干涉儀的定位精度越高。 從定位精度的變化率分析， 標(biāo)校站位置與星下點(diǎn)之間的距離對定位精度的影響更大。 因此， 當(dāng)只有單標(biāo)校站可以選擇時， 應(yīng)優(yōu)先選擇距離星下點(diǎn)距離近的標(biāo)校站。

4.2 雙標(biāo)校站選站方案分析

為了方便討論兩個標(biāo)校站位置對干涉儀定位精度的影響， 將每個標(biāo)校站的位置由下列4項(xiàng)數(shù)據(jù)來表示： 兩標(biāo)校站連線中心與原點(diǎn)之間的距離L、 兩標(biāo)校站連線中心到原點(diǎn)的連線與衛(wèi)星飛行方向之間的夾角α、 兩標(biāo)校站之間的距離D、 兩標(biāo)校站連線與衛(wèi)星飛行方向所在直線之間的夾角β， 具體如圖5所示。

通過仿真分析可知， 當(dāng)存在多組雙標(biāo)校站可供選擇時， 兩個標(biāo)校站之間距離對標(biāo)校后定位精度的影響最大， 為了能夠在標(biāo)校后達(dá)到更好的定位精度， 應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇兩個標(biāo)校站之間距離較遠(yuǎn)的那一組； 標(biāo)校站連線中心到原點(diǎn)之間距離也對標(biāo)校后的定位精度有一定的影響， 距離較近的一組能夠得到更優(yōu)的定位精度； 兩標(biāo)校站連線中心到原點(diǎn)的連線與衛(wèi)星飛行方向之間的夾角與兩標(biāo)校站連線與衛(wèi)星飛行方向所在直線之間的夾角對標(biāo)校后的定位精度基本沒有影響。

5 結(jié) 束 語

本文針對干涉儀的單站和雙站標(biāo)校開展了研究， 提出了一種干涉儀單站和雙站標(biāo)校的算法， 算法基于干涉儀多次測量的數(shù)據(jù)， 利用Penrose逆矩陣輔助的迭代最小二乘法求解出各項(xiàng)系統(tǒng)誤差值， 并通過數(shù)值仿真的方法對單站和雙站情況下干涉儀標(biāo)校站的選站方案做出了定性的分析。 結(jié)果表明： 單站情況下位于星下點(diǎn)附近的標(biāo)校站能讓標(biāo)校后的干涉儀獲得更優(yōu)的定位性能； 雙站情況下相距較遠(yuǎn)的兩個標(biāo)校站能讓標(biāo)校后的干涉儀獲得更優(yōu)的定位性能。

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Calibration and Emitters Selection Method of Interferometer

Based on Single or Double Emitters

Abstract：The traditional method of joint calibration of fixed baseline interferometer with multiple errors requires more than three calibration emitters to achieve real-time calibration of the interferometer in orbit， but the performance of the traditional method will be reduced or even failed when the number of calibration emitters is insufficient. For the situation that the number of calibration emitters is insufficient， a single or double emitters calibration method for fixed baseline interferometer is proposed. Under the condition of relative motion between the interferometer and the calibration emitters， a set of phase differences of calibration signals is obtained firstly by multiple measurements， and a set of equations about the systematic errors of the interferometer is listed by using the obtained phase differences， finally the systematic errors are solved by the Penrose inverse matrix assisted iterative least squares method. The simulation results verify the feasibility of the proposed method. On this basis， the influence of the emitter selection on the positioning performance of the interferometer after calibration is analyzed qualitatively by means of numerical simulation， decomposing the parameters of the emitter selection. The analysis results show that the calibration emitter located near the sub-star in the single emitter case or two calibration emitters located far apart both can make the interferometer obtain better positioning performance after calibration.

Key words： ?interferometer;? calibration;? systematic error;? single emitter;? double emitters