王淑嬙 ,阮浩 ,鄒貽權(quán) ,劉苗苗

（1.湖北工業(yè)大學(xué) 土木建筑與環(huán)境學(xué)院，武漢 430000；2.北京構(gòu)力科技有限公司，北京 100020）

“十四五”期間，裝配式建筑進入全面發(fā)展期，作為推進裝配式建筑發(fā)展的重要主體，預(yù)制混凝土構(gòu)件生產(chǎn)企業(yè)在整個裝配式建筑產(chǎn)業(yè)鏈中所處的地位非常關(guān)鍵[1]。然而，當(dāng)前大部分生產(chǎn)企業(yè)存在生產(chǎn)效率低下、管理過程混亂、智能化水平過低等問題，導(dǎo)致企業(yè)微利甚至虧損經(jīng)營。為節(jié)約生產(chǎn)成本，企業(yè)必須改變當(dāng)前生產(chǎn)方式，由粗放式生產(chǎn)向精益生產(chǎn)轉(zhuǎn)變，其中預(yù)制構(gòu)件生產(chǎn)布局優(yōu)化是第一步。目前構(gòu)件生產(chǎn)布局主要依靠經(jīng)驗，具有隨意性和不科學(xué)性，為提高模臺利用率并減少資源投入，研究預(yù)制構(gòu)件生產(chǎn)定序和定位問題十分必要。

目前，關(guān)于布局優(yōu)化的研究主要集中在原材料切割領(lǐng)域，涉及原材料切割定序和定位問題[2-8]。常用的定位算法包括：最左最下算法（BL）、下臺階算法和最低水平線算法[9-11]，其中，BL 算法常導(dǎo)致排樣左側(cè)較高，無法充分利用空間；下臺階算法和最低水平線算法排樣結(jié)果相近，但在某些情況下，下臺階算法會導(dǎo)致排樣右側(cè)偏高[12]。最低水平線算法通過確定最低水平線段，使所布物體盡可能放置在該線段最左最下側(cè)，直至最低水平線段放置不下，再重新選擇線段并重復(fù)操作,直至布局完成。劉少云[13]采用遺傳算法與最低水平線算法排樣,并將該算法應(yīng)用于某激光裝備企業(yè)的板材切割；姚剛等[14]在模型信息的基礎(chǔ)上應(yīng)用最低水平線算法排布構(gòu)件,從而提高了混凝土預(yù)制（Precast Concrete，PC）構(gòu)件生產(chǎn)的信息化程度和生產(chǎn)效率。

已有的定序智能算法有遺傳算法、模擬退火算法和蟻群算法。張娜等[15]采用蟻群算法配合動態(tài)最低水平線法，分別計算矩形的排樣序列和排放位置。凌晗等[16]使用改進遺傳算法進行矩形件排樣優(yōu)化。夏以沖等[17]采用一種自適應(yīng)遺傳模擬退火算法，應(yīng)用于矩形件優(yōu)化排樣問題。其中遺傳算法全局搜索能力較好，但收斂速度慢，易受參數(shù)影響；蟻群算法收斂速度慢且易陷入局部優(yōu)解的情況?；依撬惴ㄊ且环N模擬狼群狩獵的元啟發(fā)算法，算法中狼群被分為3 只頭狼α、β、γ和普通狼群η，η會根據(jù)α、β、γ的位置進行移動并更新自己的位置，每一次更新后也會根據(jù)適應(yīng)值重新選出α、β、γ，直至滿足終止條件后得出最優(yōu)解。徐逸凡等[18]通過灰狼算法解決帶AGV 的柔性作業(yè)車間調(diào)度最小化完工時間問題；麻鷹等[19]使用灰狼算法對18 個影響民航維修人為差錯的因子構(gòu)建了評價模型。相較于遺傳算法、蟻群算法等傳統(tǒng)智能算法，灰狼算法具有更強的全局搜索能力，收斂速度快，更具有適用性。上述研究僅考慮原料使用率最大，而在預(yù)制構(gòu)件生產(chǎn)中，應(yīng)綜合考慮模臺、構(gòu)件類型和尺寸構(gòu)成、模具數(shù)量、操作空間等復(fù)雜條件和約束。

以滿足訂單生產(chǎn)為目標(biāo)，采用灰狼算法確定構(gòu)件順序，選取最低水平線排布算法確定構(gòu)件在模臺上的位置，充分考慮模臺、構(gòu)件、模具、操作空間等約束，通過不斷優(yōu)化確定構(gòu)件布置最優(yōu)方案，使模臺的空間利用率最大化，減少模臺數(shù)量，進一步達到減少人工投入、降低生產(chǎn)成本的目的。

1 預(yù)制混凝土構(gòu)件布局問題分析

現(xiàn)階段，預(yù)制混凝土構(gòu)件生產(chǎn)方式有流水線式和固定式。流水線式生產(chǎn)是構(gòu)件與模臺一起，按一定順序，根據(jù)不同工序在各工位順序流轉(zhuǎn)，主要生產(chǎn)疊合板、內(nèi)外墻體等常規(guī)構(gòu)件；固定式生產(chǎn)是在一個固定模臺上完成預(yù)制構(gòu)件所有工序的操作，主要生產(chǎn)樓梯梯段等異型構(gòu)件，一些小型的作坊式生產(chǎn)企業(yè)僅有固定模臺生產(chǎn)線，生產(chǎn)所有預(yù)制混凝土構(gòu)件，生產(chǎn)效率低下。流水線式生產(chǎn)方式更符合工業(yè)化生產(chǎn)特征，是未來構(gòu)件廠生產(chǎn)的主流模式。筆者基于流水式生產(chǎn)方式，對構(gòu)件布局中存在的實際約束進行分析，為建立構(gòu)件布局優(yōu)化數(shù)學(xué)模型提供基礎(chǔ)。在此問題中，存在的實際約束包括以下幾個方面：

1）模臺空間限制。模臺為混凝土或鋼制矩形操作平臺，預(yù)制構(gòu)件生產(chǎn)過程是以模臺為載體布置模具和構(gòu)件，根據(jù)工序模臺在不同工位順序流轉(zhuǎn)，常見尺寸為：寬3.5～4 m、長9～12 m，在生產(chǎn)過程中,任何模具和構(gòu)件（含出筋長度）均不能超出模臺范圍。

2）構(gòu)件布局尺寸計算。與一般矩形原材料不同，預(yù)制混凝土構(gòu)件有疊合板、梁、柱、墻體等多種類型，很多構(gòu)件有外伸鋼筋，構(gòu)件在布局中的尺寸應(yīng)為模具尺寸和構(gòu)件外伸鋼筋長度總和。

3）構(gòu)件擺放要求。為便于操作和質(zhì)量控制，構(gòu)件的各邊應(yīng)平行或垂直于生產(chǎn)模臺的長和寬，構(gòu)件不能重疊擺放，構(gòu)件之間應(yīng)預(yù)留操作空間。

4）模具數(shù)量限制。構(gòu)件生產(chǎn)過程中，模具為周轉(zhuǎn)材料，由于成本較高、模具數(shù)量有限，每次可同時生產(chǎn)的某類型構(gòu)件數(shù)量不應(yīng)大于其模具數(shù)量。

在以上約束限制下，優(yōu)化過程可以分為兩部分。

1）確定布局的順序

預(yù)制構(gòu)件廠主流的生產(chǎn)模式為按訂單組合（Assemble-to-Order，簡稱為ATO）生產(chǎn)模式，即生產(chǎn)方在收到來自不同施工方的訂單后，根據(jù)各類訂單吊裝需求對訂單進行重新組合，生成工廠生產(chǎn)計劃，同一生產(chǎn)批次有不同類型、不同尺寸的多個構(gòu)件，然后確定構(gòu)件的生產(chǎn)順序。采用灰狼算法作為定序算法，灰狼算法是根據(jù)灰狼群體的捕獵行動而提出的優(yōu)化算法，具有較強的局部搜索能力和全局搜索能力。主要步驟為：①初始化灰狼種群，確定狼群的初始位置；②計算各灰狼適應(yīng)度，保留排名前3 位的頭狼；③更新灰狼位置；④計算適應(yīng)度，并重新確定3 只頭狼；⑤重復(fù)③、④，直至達到最大迭代次數(shù)。

2）確定布局的位置

構(gòu)件布局順序確定后，通過最低水平線算法確定構(gòu)件在模臺上的位置。最低水平線算法的優(yōu)點在于排布時更加平均，不易存在排件扎堆的情況，對于空間的利用效率更高。最低水平線算法的主要步驟為：①找到當(dāng)前的最低水平線段；②在約束條件限制下，將構(gòu)件置于最低水平線段上，盡可能向最左側(cè)移動；③若最低水平線段放置不下，則轉(zhuǎn)入次低級水平線段進行排布；④若所有最低線段均排布不下，則轉(zhuǎn)入下一塊模臺。

構(gòu)件生產(chǎn)布局問題可視為二維排布問題，即在有限的布局空間內(nèi)，考慮實際約束，通過確定構(gòu)件生產(chǎn)順序和布局方法，使模臺空間利用率最大化。

2 建立預(yù)制混凝土構(gòu)件排布數(shù)學(xué)模型

根據(jù)預(yù)制構(gòu)件廠實際生產(chǎn)條件和流水線式生產(chǎn)方式，模型可以描述為：以工廠生產(chǎn)計劃為排布對象，以實際約束為前提，應(yīng)用最低水平線法確定構(gòu)件位置，通過不斷優(yōu)化得到的最優(yōu)布局方案中所占模臺總長度LZ最短（所占模臺數(shù)量最少）。

模型的約束條件：

1）總布局構(gòu)件數(shù)量符合訂單所需數(shù)量要求；

2）布置構(gòu)件時，構(gòu)件不能超過模臺所占范圍；

3）所有構(gòu)件之間不能相互重疊；

4）布局某類構(gòu)件時，其布置數(shù)量不能超過該類構(gòu)件的模具數(shù)量；

5）模具的各邊與模臺邊平行，不存在傾斜布置的情況；

6）考慮外伸鋼筋長度和構(gòu)件間的操作空間。

上述約束的數(shù)學(xué)表達和基于最低水平線法的數(shù)學(xué)模型的建立過程如下：

1）確定模臺坐標(biāo)系和構(gòu)件位置表示方法

設(shè)模臺的長為L，寬為W，該模臺左下角點為原點（0，0），以模臺長邊為x軸，模臺寬邊為y軸建立直角坐標(biāo)系，xi，yi為坐標(biāo)系內(nèi)的橫縱坐標(biāo)。其中，xi≤L，yi≤W，xi,yi≥0。

任意一個預(yù)制構(gòu)件的位置可描述為

式中：xi0,yi0為該構(gòu)件左下角位置點的坐標(biāo)值；xi1,yi1為右上角位置點的坐標(biāo)值。

按照最低水平線法的布局規(guī)則，找到最低水平線段并盡可能向其最左側(cè)布置，可以得出xi0,yi0,xi1,yi1的坐標(biāo)計算公式。

式中：xleft為在最低水平線段上構(gòu)件所能放置的最左側(cè)點的橫坐標(biāo)值；ylow為最低水平線段的縱坐標(biāo)值；l為平行于模臺長邊的構(gòu)件長度；w為平行于模臺寬邊的構(gòu)件長度。

2）考慮出筋長度和操作空間

為保證構(gòu)件有適當(dāng)?shù)匿摻钌扉L量占用空間和操作空間，對構(gòu)件尺寸做出規(guī)定

式中：lpc為該構(gòu)件本身平行于模臺長邊的長度；wpc為該構(gòu)件本身平行于模臺寬邊的長度；lg為外伸鋼筋長度；lc為預(yù)留操作空間長度（其中預(yù)留操作空間長度表示某構(gòu)件與其左右相鄰兩個構(gòu)件之間需要保留的長度和）。

3）確定布局方式和約束條件

為滿足構(gòu)件不相互重疊的要求，布置方式和約束條件如圖1 所示。

圖1 構(gòu)件分布情況Fig.1 Component distribution

4）計算構(gòu)件和模具約束關(guān)系

設(shè)布局情況為

式中：Bi為第i次的布局情況；gin為第i次布局的第n個構(gòu)件。

每次布局，構(gòu)件數(shù)量不能超過模具數(shù)量，因此,構(gòu)件所屬種類模具數(shù)Sm應(yīng)大于等于該類構(gòu)件在本次布局中的數(shù)量值Sg，即Sm≥Sg。

5）目標(biāo)函數(shù)的表達

最終優(yōu)化目標(biāo)為布局長度最短，其目標(biāo)函數(shù)為

式中：LBi為第i次布局時的橫向長度；Ni為第i次布局時占用模臺的數(shù)量；LLi為第i次布局時，最后一塊模臺所占用的橫向長度。

式中：LZ為本生產(chǎn)批次所需布局總長度之和。

6）預(yù)制混凝土構(gòu)件布局數(shù)學(xué)模型

構(gòu)建函數(shù)

在滿足式（11）約束條件的情況下，通過重復(fù)計算構(gòu)件坐標(biāo)值（式（12）），最終得到目標(biāo)函數(shù)解值（式（13））。

3 基于灰狼算法和最低水平法的布局優(yōu)化算法

布局優(yōu)化算法的核心思想是：通過灰狼算法不斷優(yōu)化待排預(yù)制構(gòu)件的排入順序，再由最低水平線算法將排入序列轉(zhuǎn)化成模臺布局方案。整體優(yōu)化過程是由多約束條件限制的尋找最優(yōu)解的復(fù)雜數(shù)學(xué)問題，核心算法設(shè)計如下：

設(shè)某生產(chǎn)方案為

其中變量xi為生產(chǎn)計劃中的一個構(gòu)件。

令每個生產(chǎn)構(gòu)件xi為

式中：T為構(gòu)件的類型；Ls為構(gòu)件的短邊長度；Ll為構(gòu)件的長邊長度。

按規(guī)定條件和約束條件得到其一組分布情況為

式中：bij為第i次布局時的第j個構(gòu)件。

定義差異數(shù)組

另外，在迭代優(yōu)化過程中，為使算法不陷入局部最優(yōu)解的情況，設(shè)置灰狼的自由系數(shù)f，其取值范圍在[0,10]之間,數(shù)值越大，全局搜索能力越強，但收斂速度越慢，除3 只頭狼外，位移時其他狼群自由移動的概率為

算法的主要流程如圖2 所示，其詳細步驟如下：

圖2 基于灰狼算法和最低水平線排布算法的布局優(yōu)化流程圖Fig.2 Layout optimization flow chart based on grey wolf algorithm and minimum horizontal line algorithm

步驟1：輸入初始種群數(shù)、最大迭代次數(shù)、模臺和模具的基本信息、生產(chǎn)計劃的基本信息。

步驟2：建立約束條件，通過式（11）的設(shè)置，實現(xiàn)構(gòu)件擺放、模具數(shù)量限制等要求。

步驟3：由步驟1 鍵入的基本信息和步驟2 中的約束條件，隨機生成初始灰狼種群并進行編碼處理，最終得到一組隨機的構(gòu)件初排序列。

步驟4：使整個灰狼種群按照最低水平線法進行布局，計算整個灰狼種群的適應(yīng)度，并選擇排名最靠前的3 只灰狼α、β、γ作為整個灰狼種群的頭狼，將其他狼定義為狼群η。

步驟5：狼群η需要按照3 只頭狼α、β、γ的位置調(diào)整自己所處的位置，η中每一只灰狼都會在α、β、γ這3 只領(lǐng)頭狼中隨機選取一只作為參照，根據(jù)差異數(shù)組判別可調(diào)節(jié)部位，并根據(jù)追隨系數(shù)ε、自由系數(shù)f對每個部位做出相應(yīng)調(diào)整。

步驟6：重復(fù)步驟4、步驟5，直至達到最大迭代次數(shù)，得到最優(yōu)解。

4 案例分析

4.1 項目概況

以武漢市某PC 構(gòu)件生產(chǎn)基地的一批疊合板生產(chǎn)任務(wù)為例，該批次疊合板需求量為87 塊，共有21種尺寸類型，采用流水式生產(chǎn)，其構(gòu)件數(shù)量、模具數(shù)量和尺寸等詳細信息如表1 所示。工廠配備的模臺尺寸為4 m×10 m，疊合板為雙向出筋且出筋長度均按0.15 m 計算，預(yù)設(shè)工人操作空間為0.6 m。

表1 生產(chǎn)需求及構(gòu)件信息Table 1 Production requirements and component information

4.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

批次劃分是根據(jù)模具的數(shù)量和需要生產(chǎn)的構(gòu)件數(shù)量并本著最大化利用模具資源的原則來確定的。假設(shè)某類構(gòu)件的需求量為5 個，該類構(gòu)件模具數(shù)為3。由于一批最多生產(chǎn)3 個，則該構(gòu)件應(yīng)分2 個批次進行布局操作，每個批次布局數(shù)量分別為3、2。數(shù)據(jù)的預(yù)處理使案例的布局符合實際約束限制，保證優(yōu)化結(jié)果真實有效。因此由表1 分析，需要將本項目分兩次進行生產(chǎn)，第1 次生產(chǎn)45 個構(gòu)件，第2 次生產(chǎn)42 個構(gòu)件，構(gòu)件待排信息如表2 所示。

表2 待排構(gòu)件信息Table 2 Component information to be arranged

4.3 傳統(tǒng)排布方式模擬

在實際生產(chǎn)過程中，工廠生產(chǎn)管理人員依據(jù)個人經(jīng)驗隨機安排構(gòu)件生產(chǎn)順序和模臺布置，在本案例中，應(yīng)用Python 的隨機處理功能，通過隨機生成500 組布局情況并求出其平均值作為傳統(tǒng)生產(chǎn)布局的參照值。通過計算，87 塊疊合板分兩次生產(chǎn)，共占模臺總長度為358.23 m，占用模臺數(shù)37 個。

4.4 基于灰狼算法的優(yōu)化實現(xiàn)

應(yīng)用Python 編譯工具PyCharm Community Edition，通過編碼實現(xiàn)構(gòu)件定序和定位優(yōu)化算法。通過不同參數(shù)對比試驗，選取收斂效果好、資源消耗低的一組參數(shù)。因此，基于最低水平線的灰狼算法相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：種群數(shù)為500，最大迭代次數(shù)為100，追隨系數(shù)為4，自由系數(shù)為2，運行代碼得出迭代過程，如圖3 所示。第1 次生產(chǎn)45 個構(gòu)件，通過不斷優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)構(gòu)件所需模臺總長度由162.97 m降為147.84 m，迭代次數(shù)為74 次后趨于平穩(wěn)；第2次生產(chǎn)42 個構(gòu)件，通過不斷優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)構(gòu)件所占模臺總長度由149.50 m 降為139.96 m，迭代次數(shù)為33 次后趨于平穩(wěn)。兩次生產(chǎn)排布迭代過程變化趨勢如表3、表4 所示。最優(yōu)構(gòu)件布局方案中，87塊疊合板分兩次生產(chǎn)，共占模臺總長度為287.80 m，占用模臺數(shù)29 個。最終迭代后的構(gòu)件布局情況如圖4、5 所示。

表3 第1 次生產(chǎn)布局順序優(yōu)化主要迭代過程Table 3 Main iterative processes for first production layout sequence optimization

表4 第2 次生產(chǎn)布局順序優(yōu)化主要迭代過程Table 4 The main iterative process of second layout production sequence optimization

圖3 構(gòu)件排布優(yōu)化迭代過程Fig.3 Iterative process of component layout optimization

圖4 第1 次生產(chǎn)45 個構(gòu)件最優(yōu)布局圖Fig.4 Optimal layout for the first production of 45 components

4.5 基于灰狼算法的優(yōu)化結(jié)果分析

由圖3 可知，基于最低水平線的灰狼算法能夠有效地朝著最優(yōu)解不斷優(yōu)化，在迭代后期，目標(biāo)函數(shù)值基本保持穩(wěn)定。表3 和表4 能反映出各個構(gòu)件在不同排序下對目標(biāo)函數(shù)的影響及最優(yōu)排序方案，圖4 和圖5 能直觀展示出每張模臺上預(yù)制構(gòu)件的布置方案。按傳統(tǒng)人工排布方式，87 個疊合板共占用模臺數(shù)37 個，優(yōu)化后占用模臺數(shù)為29 個，模臺利用率提高了21.6%。另外，模臺占用數(shù)量減少后，所需操作工人的數(shù)量也相應(yīng)減少，可進一步節(jié)約生產(chǎn)成本。

圖5 第2 次生產(chǎn)42 個構(gòu)件最優(yōu)布局圖Fig.5 Optimal layout for the second production of 42 components

由計算過程和優(yōu)化結(jié)果可知，基于最低水平線的灰狼算法能夠在較短時間內(nèi)得到一個明顯優(yōu)于傳統(tǒng)情況的構(gòu)件排序和定位方案，適用于預(yù)制混凝土構(gòu)件排件布局優(yōu)化。由Python 語言完成算法設(shè)計后，生產(chǎn)管理人員可以便捷地通過Excel 表格導(dǎo)入生產(chǎn)構(gòu)件信息，可大大降低對個人經(jīng)驗的依賴程度，實現(xiàn)科學(xué)排序和定位。優(yōu)化后的模臺布置圖一目了然地展示了布局方案，便于車間組織生產(chǎn)。

4.6 灰狼算法與其他智能優(yōu)化算法的對比分析

為了更直觀地體現(xiàn)灰狼算法在構(gòu)件布局優(yōu)化問題上的高效性和優(yōu)越性，采用模擬退火算法（SA）和遺傳算法（SA）對案例進行優(yōu)化，并對其優(yōu)化結(jié)果進行分析。其中，模擬退火算法參數(shù)設(shè)置情況為：初始溫度1 500 ℃，溫度下降速度0.98，迭代次數(shù)1 000 次；遺傳算法參數(shù)設(shè)置情況為：種群數(shù)500，迭代次數(shù)100，交叉概率0.7，變異概率0.05。

表5 和表6 列出了3 種算法的運行結(jié)果對比情況，表7 列出了3 種算法的性能指標(biāo)對比情況。

表5 第1 次生產(chǎn)優(yōu)化結(jié)果對比Table 5 Comparison of the first production optimization results

表6 第2 次生產(chǎn)優(yōu)化結(jié)果對比Table 6 Comparison of the second production optimization results

表7 算法性能指標(biāo)對比Table 7 Comparison of algorithm performance indexes

由表5、表6 可知，與SA 和GA 相比，第1 次生產(chǎn)時灰狼算法的優(yōu)化結(jié)果分別縮短了21.55、9.9 m，差距分別為12.72%和6.28%；而第2 次生產(chǎn)時灰狼算法同樣優(yōu)于SA 和GA，差距達到16.16% 和7.89%。綜合表7 分析，模擬退火算法運行時資源占用和耗時很少，但優(yōu)化效果一般；遺傳算法資源占用和耗時多，優(yōu)化結(jié)果較好；灰狼算法資源占用和耗時多，略微低于遺傳算法，但優(yōu)化效果更好，表明在布局問題的應(yīng)用上灰狼算法更加理想和高效。

5 結(jié)論

與已有研究相比，建立的最低水平線數(shù)學(xué)模型更符合構(gòu)件廠實際生產(chǎn)情況，更具適用性。在構(gòu)件排布定序算法中，應(yīng)用灰狼算法不斷優(yōu)化待排預(yù)制構(gòu)件的排入順序，再由最低水平線法將排入序列轉(zhuǎn)化成模臺布置圖，形成最優(yōu)布局方案。將灰狼算法結(jié)果與遺傳算法和模擬退火算法進行綜合對比發(fā)現(xiàn)，灰狼算法的優(yōu)化效果最好。該優(yōu)化方法能提高模臺空間利用率，提高模具利用效率，進一步節(jié)約生產(chǎn)成本，且在構(gòu)件生產(chǎn)規(guī)模越大時優(yōu)化效果越顯著。通過Excel 表格將構(gòu)件信息導(dǎo)入模型和算法中運行，即可快速計算出優(yōu)化后的布局方案，具有較好的實用性。最后，通過案例分析，驗證了算法可以在較短時間內(nèi)得出布局結(jié)果，并使模臺利用率提高21.6%。在未來的研究中，將以此成果為基礎(chǔ)，進一步研究流水線式生產(chǎn)模式下構(gòu)件整體調(diào)度優(yōu)化問題。