周俊文,劉界鵬

（重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院；山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045）

中國(guó)位于地震多發(fā)帶，受地震作用的影響，大量建筑物被損毀，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡[1-3]。據(jù)建筑業(yè)發(fā)展報(bào)告統(tǒng)計(jì)，2021 年上半年，中國(guó)建筑業(yè)企業(yè)完成建筑業(yè)總產(chǎn)值119 843.55 億元，同比增長(zhǎng)18.85%，呈現(xiàn)出蓬勃向上的發(fā)展趨勢(shì)，建筑結(jié)構(gòu)的安全性和經(jīng)濟(jì)性成為重要的關(guān)注點(diǎn)。因此，研究高效的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，對(duì)保證建筑行業(yè)的快速發(fā)展具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

傳統(tǒng)的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法主要依賴PKPM 等設(shè)計(jì)軟件的力學(xué)計(jì)算分析結(jié)果，憑借專家經(jīng)驗(yàn)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行人為調(diào)整，包括合理的構(gòu)件布置和截面取值等，使其滿足相關(guān)規(guī)范的要求，以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)，在保證結(jié)構(gòu)安全性的同時(shí)降低建筑材料成本[4-8]，該方法受人為主觀因素的影響較大且耗時(shí)耗力，已無(wú)法滿足建筑行業(yè)快速發(fā)展的需求。以智能化方法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的自動(dòng)建模分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，能有效改善傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)效率低下的問(wèn)題，并保證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)有效性[9-12]。

與傳統(tǒng)的混凝土結(jié)構(gòu)、砌體結(jié)構(gòu)相比，鋼框架結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)高強(qiáng)、延性好、結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單、施工方便等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)推廣其在地震區(qū)的應(yīng)用[1]，近年來(lái)，在鋼框架結(jié)構(gòu)的智能優(yōu)化設(shè)計(jì)方面已有大量學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。Degertekin 等[13]考慮截面選型和位移約束，采用和聲搜索算法對(duì)鋼框架進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低了鋼框架的重量。Gholizadeh[14-15]采用智能算法對(duì)平面鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，包括蝙蝠算法和海豚回聲算法，研究了結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)總質(zhì)量的降低，研究了剪力墻位置的優(yōu)化，得到了最優(yōu)布局。Talatahari 等[16]采用基于差分進(jìn)化的鷹策略算法，?arba?[17]采用基于生物地理學(xué)的優(yōu)化算法，Kaveh 等[18]采用先進(jìn)的充電系統(tǒng)搜索算法對(duì)鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)能夠滿足約束限值的要求，其材料總成本得到了有效地降低。智能算法已在結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究中有了廣泛的應(yīng)用，在每次優(yōu)化過(guò)程中，需要首先對(duì)算法參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的設(shè)置，當(dāng)其取值不合理時(shí)，容易會(huì)引起算法的收斂性和優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)異性等問(wèn)題，造成計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)、結(jié)果不理想、隨機(jī)性強(qiáng)等后果，如遺傳算法中的變異概率，當(dāng)其設(shè)定較大時(shí)，容易破壞原有優(yōu)秀個(gè)體的基因，當(dāng)其設(shè)定較小時(shí)，可能使優(yōu)化陷入局部最優(yōu)解而過(guò)早收斂。在單次優(yōu)化過(guò)程中，引入多種群的概念，每個(gè)種群設(shè)置不同參數(shù)值而表現(xiàn)出不同的優(yōu)化性能，通過(guò)信息共享來(lái)進(jìn)行不同種群間的交流，從而發(fā)揮多種群算法的綜合性能優(yōu)勢(shì)，能夠有效提高搜索能力，降低優(yōu)化結(jié)果對(duì)參數(shù)設(shè)置的依賴性[19-20]?；诙喾N群思想的算法在優(yōu)化問(wèn)題中存在一定的優(yōu)勢(shì)，已應(yīng)用到兵工、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域[21-22]，然而其在土木工程領(lǐng)域的應(yīng)用仍有限。對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)而言，優(yōu)化問(wèn)題比較復(fù)雜，涉及非凸性、非線性、變量離散性、局部最優(yōu)解眾多等，優(yōu)化對(duì)象存在較大的結(jié)構(gòu)差異和較強(qiáng)的構(gòu)件相互作用，且優(yōu)化結(jié)果和收斂性高度依賴于算法的更新機(jī)制和搜索能力，因此，在實(shí)現(xiàn)高效的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，該算法的適用性仍有待研究。

目前，中國(guó)正在大力推進(jìn)經(jīng)濟(jì)有效結(jié)構(gòu)的發(fā)展，以最小的資源和成本，造出外觀美、空間分布合理并滿足安全性要求的建筑物，實(shí)現(xiàn)資源的最大化利用和經(jīng)濟(jì)性。筆者以遺傳算法為基礎(chǔ)，通過(guò)多種策略對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)并引入多種群思想，將其應(yīng)用于鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題中，以驗(yàn)證方法的有效性，旨在為鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

1 優(yōu)化問(wèn)題

1.1 優(yōu)化對(duì)象

研究對(duì)象為4 跨10 層的平面鋼框架結(jié)構(gòu)，截面為工字型鋼，鋼號(hào)為Q235，跨度為4 m，層高為3 m，從下往上總共分為3 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層，其中1～4 層為標(biāo)準(zhǔn)層1，5～7 層為標(biāo)準(zhǔn)層2，8～10 層為標(biāo)準(zhǔn)層3。考慮荷載工況為1.3 倍重力荷載代表值+1.3 倍水平地震作用，前者由恒載4.5 kN/m2（樓面恒載2 kN/m2+樓板自重2.5 kN/m2）與活載2 kN/m2計(jì)算得到，將其等效為豎向線荷載作用在梁上；采用底部剪力法計(jì)算等效水平地震作用，地震設(shè)防烈度、地震動(dòng)設(shè)計(jì)特征周期、地震影響系數(shù)最大值、阻尼比分別取為6度、0.35 s、0.04、0.04，將其等效為水平荷載作用到每一層柱頂節(jié)點(diǎn)上。通過(guò)MSC.Marc 軟件建立鋼框架結(jié)構(gòu)的有限元模型，見(jiàn)圖1，梁柱構(gòu)件均采用梁?jiǎn)卧?，結(jié)構(gòu)底部和梁柱節(jié)點(diǎn)均為剛接。由于本文旨在研究智能算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的有效性，而優(yōu)化過(guò)程最耗時(shí)部分為結(jié)構(gòu)的有限元分析，因此，為了節(jié)約計(jì)算時(shí)間，僅考慮彈性分析，鋼材密度取為7 850 kg/m3，彈性模量取為206 GPa。

圖1 鋼框架結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig.1 Finite element model of steel frame structure

1.2 約束條件

根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）[23]和《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50017—2017）[24]規(guī)定，在鋼框架的優(yōu)化設(shè)計(jì)中考慮以下結(jié)構(gòu)約束條件。

最大層間位移角約束

式中：dri為第i層的層間位移角；dru為最大層間位移角限值，取為1/250；ns為樓層數(shù)量。

應(yīng)力約束

式中：σi為第i組構(gòu)件的最大應(yīng) 力；σu為鋼 材的屈服強(qiáng)度值，取為235 MPa；ng為構(gòu)件的組數(shù)。

穩(wěn)定性約束

式中：Ei、Ai、Wxi、Wyi、Ni、Mxi、Myi分別為構(gòu)件i的材料彈性模量、截面面積、x向毛截面模量、y向毛截面模量、軸力、x向最大彎矩、y向最大彎矩；λxi、λyi分別為構(gòu)件i對(duì)x軸、y軸的長(zhǎng)細(xì)比；λxi、λyi為構(gòu)件i的截面塑性發(fā)展系數(shù)；φxi、φyi分別為構(gòu)件i對(duì)x軸、y軸的軸心受壓整體穩(wěn)定系數(shù)；βmxi、βmyi為構(gòu)件i按《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50017—2017）第8.2.1 條彎矩作用平面內(nèi)穩(wěn)定計(jì)算采用的等效彎矩系數(shù)；βtxi、βtyi為構(gòu)件i按《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50017—2017）第8.2.1 條彎矩作用平面外穩(wěn)定計(jì)算采用的等效彎矩系數(shù)；f為構(gòu)件i的材料強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；η為截面影響系數(shù)，取為1；nm為構(gòu)件的總數(shù)。

尺寸約束

計(jì)算后約束：

式中：hbi、tbwi分別為第i組框架梁的腹板高度和腹板厚度；ρi為第i組框架梁的最大軸壓比；λci為第i組框架柱的長(zhǎng)細(xì)比；λu為框架柱最大長(zhǎng)細(xì)比限值，取為100ε，ε為鋼號(hào)修正系數(shù)。此類約束需要在有限元分析后由其結(jié)果計(jì)算得到，包括框架梁的腹板寬厚比和框架柱的長(zhǎng)細(xì)比。

計(jì)算前約束

式中：bci、hci、tcfi、tcwi分別為第i組框架柱的翼緣外伸部分寬度、腹板高度、翼緣厚度、腹板厚度；bbi、tbfi分別為第i組框架梁的翼緣外伸部分寬度、翼緣厚度，ngc、ngb分別為框架柱、框架梁的組數(shù)。此類約束可以在進(jìn)行有限元分析前計(jì)算得到，包括框架柱的翼緣外伸部分和腹板寬厚比、框架梁的翼緣外伸部分寬厚比。

2 優(yōu)化方法

2.1 設(shè)計(jì)變量

如圖1 所示，鋼框架結(jié)構(gòu)總共設(shè)有3 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層，將每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層中的構(gòu)件劃分3 組，包括角柱、中柱和梁，總共有9 組構(gòu)件，每組構(gòu)件設(shè)置4 個(gè)參數(shù)，包括工字型鋼截面的翼緣寬度b、總高度h、腹板厚度t1、翼緣厚度t2，記為（b、h、t1、t2），單位為mm，因此，該優(yōu)化問(wèn)題中總共考慮36 個(gè)設(shè)計(jì)變量，變量的取值范圍見(jiàn)表1。

表1 設(shè)計(jì)變量取值范圍Table 1 Range of design parameters

2.2 目標(biāo)函數(shù)

以結(jié)構(gòu)的鋼材總質(zhì)量最小化為目標(biāo)函數(shù)，包括所有的框架梁柱構(gòu)件，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：li分別為構(gòu)件i的長(zhǎng)度。

采用外部罰函數(shù)法計(jì)算懲罰后的結(jié)構(gòu)總質(zhì)量，構(gòu)造輔助函數(shù)對(duì)約束條件進(jìn)行處理，其表達(dá)式為

通過(guò)輔助函數(shù)，將約束條件考慮到目標(biāo)函數(shù)中，得到懲罰后的目標(biāo)函數(shù)，稱為偽目標(biāo)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：gi為約束條件值，由式(1)～式(6)計(jì)算得到；n為約束條件總數(shù)。

當(dāng)結(jié)構(gòu)滿足所有的約束條件時(shí)，式（12）第2 項(xiàng)為0，偽目標(biāo)函數(shù)等于結(jié)構(gòu)總質(zhì)量；當(dāng)結(jié)構(gòu)存在約束超限的情況時(shí)，式（12）第2 項(xiàng)將遠(yuǎn)大于0，偽目標(biāo)函數(shù)大于結(jié)構(gòu)總質(zhì)量。因此，偽目標(biāo)函數(shù)值越小，則結(jié)構(gòu)更好，其既能滿足所有的約束條件，又能實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)性。

偽目標(biāo)函數(shù)是一項(xiàng)考慮結(jié)構(gòu)原始總質(zhì)量和所有約束條件的綜合指標(biāo)，可以將有強(qiáng)約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束問(wèn)題，通過(guò)種群個(gè)體函數(shù)值之間的對(duì)比，能夠反映出結(jié)構(gòu)違反約束條件的程度、超限數(shù)量、材料質(zhì)量和結(jié)構(gòu)相對(duì)優(yōu)劣等信息，以實(shí)現(xiàn)對(duì)個(gè)體的比較選擇。

2.3 優(yōu)化算法

以遺傳算法為基礎(chǔ)，引入多種改進(jìn)策略和多種群思想，結(jié)合結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)變量特征，基于規(guī)范要求對(duì)鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，旨在說(shuō)明多種群遺傳算法的有效性。采用的所有算法都具有相同的種群初始化、適應(yīng)度評(píng)估步驟，在設(shè)計(jì)變量生成和更新時(shí)都采用了基于約束的策略，將先對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)一描述。

基于約束的策略見(jiàn)圖2。遺傳算法是一種隨機(jī)性較強(qiáng)的算法，在初始化和迭代過(guò)程中生成種群時(shí)不具有方向性，通常存在新個(gè)體無(wú)法滿足約束條件或原本滿足要求的個(gè)體在變量更新后出現(xiàn)超限的情況，這會(huì)增加無(wú)效個(gè)體（存在超限情況的個(gè)體）的數(shù)量，從而導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間的增加。為了減少該情況發(fā)生的可能性，以構(gòu)件組為單位，采用基于約束的策略來(lái)改善該問(wèn)題，僅針對(duì)計(jì)算前約束條件。在初始化過(guò)程中或在迭代過(guò)程中通過(guò)交叉、變異操作后，當(dāng)有新個(gè)體生成時(shí)，遍歷每個(gè)構(gòu)件組，均通過(guò)式（7）～式（9）對(duì)其截面參數(shù)進(jìn)行相關(guān)驗(yàn)算，當(dāng)滿足要求時(shí)，該構(gòu)件組生成有效，否則重復(fù)進(jìn)行相同操作，直至滿足要求為止，為了避免某些構(gòu)件組始終無(wú)法滿足要求而陷入死循環(huán)的情況，設(shè)置最大重復(fù)操作的次數(shù)，在超過(guò)30 次后，將該構(gòu)件組的4 個(gè)參數(shù)在取值范圍內(nèi)重新隨機(jī)生成，直到滿足要求。該策略將應(yīng)用于包括種群初始化、交叉、變異、重生成等所有會(huì)生成新個(gè)體的步驟中。

圖2 基于約束的策略Fig.2 Constraint-based strategy

種群初始化。個(gè)體的所有設(shè)計(jì)變量在相應(yīng)的取值范圍內(nèi)隨機(jī)選擇，以構(gòu)件組為單位，采用基于約束的策略生成最終個(gè)體，最大限度地保證初始種群在可行域內(nèi)均勻分布和算法的全局搜索能力。

適應(yīng)度評(píng)估。采用式（12）計(jì)算每個(gè)個(gè)體的偽目標(biāo)函數(shù)值，進(jìn)而得到其適應(yīng)度。

2.3.1 遺傳算法

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是基于大自然中生物體進(jìn)化規(guī)律，模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇法則和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過(guò)程思想的一種優(yōu)化算法，具體為將優(yōu)化問(wèn)題以基因的形式對(duì)種群中所有個(gè)體進(jìn)行編碼，通過(guò)自然選擇、遺傳和變異過(guò)程實(shí)現(xiàn)新種群的更新迭代，最終獲得適應(yīng)性高的個(gè)體，即最優(yōu)個(gè)體，該方法已被廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理、組合優(yōu)化等領(lǐng)域。該算法的主要流程（見(jiàn)圖3）如下。

圖3 遺傳算法流程Fig.3 Process of genetic algorithm

1）個(gè)體編碼。采用實(shí)數(shù)編碼方式將求解問(wèn)題轉(zhuǎn)換為可供遺傳算法進(jìn)行后續(xù)操作的帶有數(shù)據(jù)信息的染色體或個(gè)體，建立問(wèn)題解空間和算法參數(shù)搜索空間的映射關(guān)系。

2）選擇算子。根據(jù)遺傳算法中“適者生存”的思想，從上一代種群的適應(yīng)度選擇出優(yōu)質(zhì)個(gè)體作為交叉和變異操作的基礎(chǔ)。采用輪盤賭策略對(duì)個(gè)體進(jìn)行選擇，即通過(guò)計(jì)算所有個(gè)體的適應(yīng)度，其值越高，則被選擇的概率越大。

3）交叉算子。在荷載作用下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件具有較強(qiáng)的相互作用關(guān)系，存在著荷載的分配問(wèn)題，如應(yīng)力不僅與該構(gòu)件的截面尺寸相關(guān)，還與其他構(gòu)件的剛度以及分配的荷載相關(guān)，若在所有設(shè)計(jì)變量之間采用多點(diǎn)交叉，容易導(dǎo)致原本滿足應(yīng)力要求的構(gòu)件發(fā)生超限的情況，使算法的收斂速度降低等問(wèn)題。為了提高算法的性能，采用基于構(gòu)件層次的多點(diǎn)交叉策略，即在每一組構(gòu)件的4 個(gè)參數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行交叉，突出相同構(gòu)件組之間父代特性的繼承和遺傳。

4）變異算子。與交叉算子相似，采用基于構(gòu)件層次的多點(diǎn)變異策略，即在每一組構(gòu)件的4 個(gè)參數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)點(diǎn)位，在其取值范圍內(nèi)隨機(jī)生成，提高對(duì)構(gòu)件組的局部搜索能力，增加種群的多樣性并避免“早熟”現(xiàn)象的發(fā)生。

5）終止準(zhǔn)則。設(shè)置最大迭代次數(shù)和最優(yōu)解保持在誤差范圍內(nèi)的最大連續(xù)次數(shù)，當(dāng)滿足任意一種情況時(shí)，優(yōu)化過(guò)程終止，輸出最優(yōu)解。

2.3.2 改進(jìn)遺傳算法

經(jīng)典遺傳算法存在著一些弊端，在基于輪盤賭策略的選擇操作中，迭代后期的個(gè)體差異較小，由于適應(yīng)度相近較難選擇出真正的優(yōu)質(zhì)個(gè)體，在交叉和變異操作中，概率固定且缺乏搜索方向的引導(dǎo)，對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值擾動(dòng)較大，容易破壞構(gòu)件層次的優(yōu)質(zhì)基因，使算法的局部搜索能力降低，整體未設(shè)置精英保留策略，可能造成優(yōu)質(zhì)個(gè)體基因的浪費(fèi)。因此，考慮采用適應(yīng)度尺度變換、基于方向的交叉算子、非均勻變異算子、自適應(yīng)概率、精英保留策略、重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，稱為基于方向的自遺傳算法（genetic algorithm，DBAGA），其主要流程見(jiàn)圖4。

圖4 DBAGA 算法流程Fig.4 Process of DBAGA

適應(yīng)度尺度變換[25]。適應(yīng)度對(duì)算法的收斂性有一定的影響，為了在優(yōu)化初期對(duì)少數(shù)適應(yīng)度較高的個(gè)體進(jìn)行控制，降低其與其他個(gè)體的差異，以維護(hù)種群多樣性，在優(yōu)化后期適當(dāng)放大個(gè)體之間的差異，提高優(yōu)質(zhì)個(gè)體的競(jìng)爭(zhēng)性，采用線性尺度變換策略對(duì)適應(yīng)度進(jìn)行處理，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：f、f ′分別為尺度變換前后的適應(yīng)度值；a、b為系數(shù)，由式（14）～（15）計(jì)算得到，即尺度變換后的適應(yīng)度平均值f ′ave和最大值f ′max應(yīng)分別等于尺度變換前的適應(yīng)度平均值fave和其指定倍數(shù)；c為最佳個(gè)體期望復(fù)制系數(shù)，一般取為1～2。

基于方向的交叉算子[26]。智能算法如粒子群算法中通常通過(guò)較優(yōu)個(gè)體來(lái)引導(dǎo)種群中其他個(gè)體的搜索方向，從而使其向更好的方向移動(dòng)，采用基于方向的交叉算子來(lái)實(shí)現(xiàn)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：、分別為第k次迭代中選擇出的第i個(gè)和第j個(gè)個(gè)體；λ為步長(zhǎng)，取為1；R1、R2為取值為[0,1]且與維度設(shè)計(jì)變量相同的隨機(jī)數(shù)向量；D為和中較優(yōu)個(gè)體與較差個(gè)體的向量差，即交叉方向。

非均勻變異算子[27]。通過(guò)基因位隨機(jī)數(shù)替代可能導(dǎo)致優(yōu)質(zhì)個(gè)體被破壞，采用非均勻變異算子，僅在所選點(diǎn)位附近作一微小隨機(jī)擾動(dòng)，可以提高對(duì)重 點(diǎn)區(qū)域的局部搜索，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：x、xu、xl分別為基因位對(duì)應(yīng)參數(shù)的當(dāng)前取值、最大取值、最小取值，r為[0,1]的隨機(jī)數(shù)；t為當(dāng)前迭代數(shù)；T為最大迭代數(shù)；b為系數(shù)。

自適應(yīng)概率。固定概率的設(shè)置會(huì)影響算法的性能，當(dāng)其過(guò)大時(shí)，優(yōu)質(zhì)個(gè)體的基因被破壞的可能性變大，從而增加算法的隨機(jī)性，當(dāng)其過(guò)小時(shí)，會(huì)使搜索過(guò)程緩慢，陷入局部最優(yōu)解，采用自適應(yīng)概率可以改善該問(wèn)題。根據(jù)適應(yīng)度的不同，在交叉操作中，設(shè)置2 階段概率[25]；在常見(jiàn)的2 階段變異操作中，較大概率值通常較小，難以達(dá)到變異作用，為了增加種群的多樣性，增加變異的可能性，設(shè)置3 階段概率。當(dāng)適應(yīng)度低于設(shè)定適應(yīng)度時(shí)，說(shuō)明個(gè)體較差，采用較大的交叉和變異概率，當(dāng)適應(yīng)度高于設(shè)定適應(yīng)度時(shí)，采用較小的交叉和變異概率，以自適應(yīng)概率的方式增加個(gè)體的競(jìng)爭(zhēng)，提高算法的收斂速度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：pc1、pc2分別為較大和較小交叉概率；pm1、pm2、pm3分別為較大、一般和較小變異概率。

精英保留策略[25]。為了避免精英個(gè)體的丟失，提高子代個(gè)體對(duì)父代個(gè)體優(yōu)質(zhì)基因的繼承特性，將歷史最優(yōu)解保存并在每一次迭代過(guò)程中用于替代最劣解，可以有效保證最優(yōu)個(gè)體不會(huì)被破壞，提高算法的收斂性，但同樣存在某個(gè)局部最優(yōu)解不易被淘汰而使優(yōu)化過(guò)早收斂的問(wèn)題，因此與重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制配合使用。

重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制[26]。由于算法的遺傳特性，經(jīng)過(guò)選擇、交叉和變異操作后，種群中很可能存在重復(fù)個(gè)體，為了避免重復(fù)計(jì)算和降低優(yōu)化時(shí)間，用變異后的精英個(gè)體來(lái)替代重復(fù)項(xiàng)，能夠有效增加種群的多樣性，同時(shí)提高對(duì)精英個(gè)體參數(shù)取值附近的局部搜索，改善因精英保留策略帶來(lái)的過(guò)早收斂和陷入局部最優(yōu)解問(wèn)題。

2.3.3 多種群遺傳算法

優(yōu)化算法的性能和結(jié)果受到算法中參數(shù)的影響，如遺傳算法中的交叉概率等，基于固定參數(shù)的優(yōu)化隨機(jī)性較強(qiáng)、魯棒性較差，采用基于多種群的思想可以改善此類問(wèn)題。在同一次優(yōu)化中，同時(shí)生成多個(gè)初始種群或者將整體群體劃分為多個(gè)子群體，每個(gè)子群體設(shè)置不同的算法參數(shù)，各自同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，在一定的迭代次數(shù)后，通過(guò)移民算子將各子種群在進(jìn)化過(guò)程中出現(xiàn)的最優(yōu)個(gè)體引入相鄰的子種群中，實(shí)現(xiàn)種群之間的信息交換。該方法能夠有效降低的單一種群算法的隨機(jī)性和提高魯棒性，減少對(duì)參數(shù)設(shè)置的依賴性。對(duì)上述GA 和DBAGA都進(jìn)行多種群的設(shè)置，即多種群遺傳算法（Multi Population GA，MPGA）和基于方向的多種群遺傳算法（Direction-based MPGA，DMPGA），以MPGA為例進(jìn)行說(shuō)明，見(jiàn)圖5。在多種群算法中，各參數(shù)值不固定，只給定各自的取值范圍，在每次優(yōu)化開(kāi)始時(shí)隨機(jī)得到。

圖5 多種群遺傳算法Fig.5 Multi population genetic algorithm

移民算子。在多種群算法中，將群體劃分為一些子種群，通過(guò)移民操作建立子種群之間的相互聯(lián)系并實(shí)現(xiàn)信息交流，具體步驟如下：設(shè)置子種群數(shù)、移民間隔（相鄰兩次移民的間隔迭代數(shù)）和移民率（每次被移民的個(gè)體數(shù)量）；每個(gè)子種群按一定的模式（即獨(dú)立優(yōu)化器，在圖5 中為GA）分別進(jìn)行獨(dú)立優(yōu)化；當(dāng)?shù)螖?shù)滿足移民間隔時(shí)，相鄰子種群進(jìn)行有序的移民操作。如設(shè)置子種群數(shù)為4，移民間隔為5，移民率為1，則將群體劃分為4 個(gè)子種群，每個(gè)子種群進(jìn)行獨(dú)立優(yōu)化，每5 次迭代時(shí)，用子種群1 中歷史最優(yōu)的1 個(gè)個(gè)體替換子種群2 中當(dāng)代最差的1個(gè)個(gè)體，以此類推，按順序完成所有子種群間的移民操作（2→3，3→4，4→1）。

2.4 自動(dòng)優(yōu)化過(guò)程

結(jié)構(gòu)體系的自動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程主要包括結(jié)構(gòu)的有限元分析和智能算法的迭代更新兩步，搭建優(yōu)化算法框架，通過(guò)MSC.Marc 有限元軟件完成對(duì)初始化種群的力學(xué)分析，基于Python 二次開(kāi)發(fā)技術(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行提取和整理，得到個(gè)體的適應(yīng)度，再由優(yōu)化算法生成新一代種群，基于參數(shù)化建模方法和智能算法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的反復(fù)計(jì)算分析和自動(dòng)尋優(yōu)過(guò)程，見(jiàn)圖6。為了節(jié)約結(jié)構(gòu)分析時(shí)間，利用多核CPU 設(shè)置并行計(jì)算。

圖6 結(jié)構(gòu)自動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程Fig.6 Automatic structural optimization design process

采用4 種算法對(duì)鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，各進(jìn)行20 次優(yōu)化，在優(yōu)化過(guò)程中，各算法的參數(shù)設(shè)置保持不變，具體取值見(jiàn)表2。在2 種單種群算法中，因試算后發(fā)現(xiàn)種群規(guī)模設(shè)置較小時(shí)會(huì)出現(xiàn)過(guò)早收斂情況且優(yōu)化結(jié)果不理想，故均設(shè)置為100；在2 種多種群算法中，移民算子均設(shè)置為每1 次迭代后進(jìn)行相應(yīng)操作，子種群均設(shè)置為5 個(gè)且每個(gè)子種群10 個(gè)個(gè)體。

表2 算法參數(shù)設(shè)置Table 2 Parameter setting of algorithms

3 結(jié)果分析

鋼框架結(jié)構(gòu)不同算法的優(yōu)化曲線和計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7、圖8 和表3。對(duì)于GA，20 次優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足所有的約束條件，但最優(yōu)解呈現(xiàn)出較強(qiáng)的離散性，其標(biāo)準(zhǔn)差為1.79 t，其中，最優(yōu)解和最劣解分別為19.75、27.04 t，差值較大，達(dá)到7.29 t。從圖7（a）中可見(jiàn)，大多數(shù)優(yōu)化所需的分析次數(shù)在4 000 次左右，其中，有6 次優(yōu)化所需的分析次數(shù)小于2 800次，計(jì)算成本較小，但在1 000 次分析后，大多數(shù)優(yōu)化曲線進(jìn)入平穩(wěn)階段且后期僅存在1～2 次下降，由此說(shuō)明，該算法容易陷入局部最優(yōu)解而過(guò)早收斂，局部搜索能力較差，這是因?yàn)槠浣徊婧妥儺惒呗远际轻槍?duì)每個(gè)構(gòu)件組的某一個(gè)隨機(jī)的基因位進(jìn)行的相關(guān)操作，不確定性較高，缺乏一個(gè)搜索方向的引導(dǎo)，容易造成優(yōu)質(zhì)基因被破壞。

表3 不同算法的優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of different algorithms

圖7 不同算法的優(yōu)化曲線Fig.7 Optimization curves of different algorithms

圖8 不同算法的最優(yōu)解計(jì)算結(jié)果Fig.8 Results of optimized solutions by different algorithms

對(duì)于DBAGA，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)中有8 次無(wú)法滿足所有的約束條件，由于偽目標(biāo)函數(shù)中考慮了約束條件的影響，因此，受多個(gè)最劣解的影響，優(yōu)化結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均較差，分別達(dá)到89.35、89.11 t，在該算法參數(shù)的設(shè)置下呈現(xiàn)出較強(qiáng)的離散性和隨機(jī)性。從優(yōu)化所需的分析次數(shù)來(lái)說(shuō)，有14 次算例小于3 000 次即可達(dá)到終止判別條件，計(jì)算代價(jià)較低，同樣存在容易陷入局部最優(yōu)解而過(guò)早收斂的問(wèn)題。這是因?yàn)樵撍惴ǖ慕徊娌呗允轻槍?duì)設(shè)計(jì)變量的所有維度，雖然通過(guò)較優(yōu)個(gè)體向較差個(gè)體提供了搜索方向的引導(dǎo)，但受到算法參數(shù)的設(shè)置影響，如果交叉的兩個(gè)個(gè)體都較差，其交叉后的子代個(gè)體則有較大可能無(wú)法得到好的改善，此外，在迭代后期，由于精英策略保留的歷史最優(yōu)個(gè)體將在種群中重要性增加，即使設(shè)置了重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制對(duì)該個(gè)體的重復(fù)項(xiàng)進(jìn)行了變異且在其參數(shù)取值附近進(jìn)行了局部搜索，但由于該個(gè)體本身質(zhì)量較差且每一次迭代僅存在少數(shù)重復(fù)項(xiàng)，算法的局部搜索能力仍不易尋到更優(yōu)質(zhì)的解。

對(duì)于MPGA，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足所有的約束條件，最優(yōu)解和最劣解分別為18.25、24.50 t，差值達(dá)到6.25 t，但除少數(shù)案例以外，其他優(yōu)化結(jié)果相對(duì)集中且標(biāo)準(zhǔn)差僅有1.56 t，表現(xiàn)出較大的離散性，但優(yōu)于GA。從圖7（c）中可見(jiàn)，大多數(shù)優(yōu)化所需的分析次數(shù)小于2 700 次，計(jì)算時(shí)間較短，在迭代前期能下降到接近最終解便進(jìn)入到平穩(wěn)階段且后期出現(xiàn)下降的次數(shù)較GA 有所增加，說(shuō)明算法的局部搜索能力較GA 更好，這是因?yàn)椴捎昧硕喾N群思想，部分改善了GA 存在的局部搜索能力較差的缺點(diǎn)。該算法的基礎(chǔ)是GA，同樣是基于構(gòu)件組進(jìn)行的交叉操作，在迭代過(guò)程中容易破壞較優(yōu)個(gè)體，缺少搜索方向的引導(dǎo)，大多靠全局搜索來(lái)尋優(yōu)，具有一定的隨機(jī)性。

對(duì)于DMPGA，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足所有的約束條件，其中，最優(yōu)解和最劣解分別為13.27、17.52 t，標(biāo)準(zhǔn)差僅有1.17 t，該算法的魯棒性較好。從圖7（d）可見(jiàn)，優(yōu)化所需的分析次數(shù)大多集中于5 000 次左右，少數(shù)案例進(jìn)行到了最大迭代次數(shù)才終止，受其影響，20 次優(yōu)化所需的平均分析次數(shù)達(dá)到6 403 次，所有的優(yōu)化曲線表現(xiàn)出較多次的下降，說(shuō)明該算法的局部搜索能力較強(qiáng)。這是因?yàn)镈MPGA設(shè)置了多個(gè)子種群，集合了多個(gè)不同參數(shù)設(shè)置且獨(dú)立的DBAGA，極大地降低了單種群算法對(duì)其參數(shù)取值的依賴性，由于自適應(yīng)概率和基于方向的交叉算子，每個(gè)DBAGA 都存在較差個(gè)體向較優(yōu)個(gè)體前進(jìn)的機(jī)制，即使其歷史最優(yōu)解的質(zhì)量較差，但通過(guò)移民算子可以得到極大地改善。

由圖7（e）可見(jiàn)，除DBAGA 之外，其他3 種算法優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足約束條件。其中，GA、DBAGA 和MPGA 的平均優(yōu)化曲線分別在約1 000、2 000 和1 500 次分析后下降到較低水平，優(yōu)化前期的收斂速度較快，但隨后基本保持平穩(wěn)狀態(tài)，此外，由表3 可見(jiàn)，3 種算法所需的平均分析次數(shù)分別為4 195、3 305、3 205 次，整體表現(xiàn)為局部搜索能力不足，存在早期陷入局部最優(yōu)解而過(guò)早收斂的問(wèn)題。相比之下，DMPGA 的平均優(yōu)化曲線在1 000～3 000次分析中仍有較大幅度的下降，約6 000 次分析后進(jìn)入穩(wěn)定期，所需的平均分析次數(shù)為6 403 次，雖然遠(yuǎn)高于其他算法，但優(yōu)化前期和后期均能表現(xiàn)出較好的搜索能力且最終得到的優(yōu)化結(jié)果遠(yuǎn)好于其他算法，具體如下：從平均解來(lái)說(shuō)，DMPGA 的結(jié)果為15.58 t，比GA、DBAGA、MPGA 的結(jié)果分別低33.3%、82.6%、29.2%；從最優(yōu)解來(lái)說(shuō)，DMPGA 的結(jié)果為13.27 t，比GA、DBAGA、MPGA 的結(jié)果分別低32.8%、32.1%、27.3%；從標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)說(shuō)，DMPGA 的結(jié)果為1.17 t，比GA、DBAGA、MPGA的結(jié)果分別低34.7%、98.7%、25.2%；從最劣解來(lái)說(shuō)，DMPGA 的 結(jié)果 為17.52 t，比GA、DBAGA、MPGA 的最優(yōu)解都小，分別低11.3%、10.3%、4.0%。因此，由于采用了并行計(jì)算技術(shù)，平均一次結(jié)構(gòu)分析所用時(shí)間約為1～2 s，一次結(jié)構(gòu)優(yōu)化所需的總體計(jì)算時(shí)間約為1～4 h，耗時(shí)較短，DMPGA 在計(jì)算效率方面雖有不足和有待改進(jìn)之處，但在可接受范圍之內(nèi)，此外，該算法在搜索能力和優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的質(zhì)量結(jié)果方面有明顯的優(yōu)勢(shì)。

由圖8 和表3 可見(jiàn)，不同算法的最優(yōu)解都能滿足約束條件，但最優(yōu)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量參數(shù)值和性能指標(biāo)結(jié)果相差較大，這是因?yàn)槊糠N算法都是基于遺傳算法的思想，具有一定的隨機(jī)性，即使結(jié)構(gòu)總質(zhì)量相近，但構(gòu)件尺寸和結(jié)構(gòu)性能仍存在較大差異。與GA 和DBAGA 相比，總體來(lái)說(shuō)，基于多種群思想的MPGA 和DMPGA 最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)更接近限值，兩者相比，DMPGA 的結(jié)果更好，如最大層間位移角為0.003 98，基本等于限值1/250，多組構(gòu)件的穩(wěn)定性結(jié)果接近1，說(shuō)明其優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)更優(yōu)，既能滿足約束條件，又具有較小的總質(zhì)量。

總體來(lái)說(shuō)，DBAGA 比GA 的局部搜索能力更強(qiáng)，這是因?yàn)榉蔷鶆蜃儺愃阕雍椭貜?fù)項(xiàng)替代機(jī)制同時(shí)增加了種群的多樣性和歷史最優(yōu)個(gè)體參數(shù)取值附近的局部搜索，但優(yōu)化結(jié)果仍較差；基于多種群的算法能夠有效改善基于單種群的算法的隨機(jī)性和魯棒性，通過(guò)多組不同參數(shù)設(shè)置降低了優(yōu)化結(jié)果對(duì)其的依賴性，如在前面分析中提到的DBAGA 可能由于精英策略保留的個(gè)體質(zhì)量較差而不易尋到更優(yōu)質(zhì)的解，但通過(guò)多種群機(jī)制的移民算子，能夠有效建立起子種群之間多個(gè)歷史最優(yōu)解的聯(lián)系，有效彌補(bǔ)了單種群算法的不足；與MPGA 相比，由于增加了基于方向的交叉算子能夠引導(dǎo)較差個(gè)體向較優(yōu)個(gè)體學(xué)習(xí)，DMPGA 具有更強(qiáng)的全局和局部搜索能力。

4 結(jié)論

以結(jié)構(gòu)的材料用量最小化為目標(biāo)，通過(guò)罰函數(shù)法同時(shí)考慮多種結(jié)構(gòu)約束條件，以遺傳算法為基礎(chǔ)，結(jié)合鋼框架結(jié)構(gòu)的特征，建立了結(jié)構(gòu)的自動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，通過(guò)多種策略對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)，引入多種群思想，驗(yàn)證了多種群遺傳算法在鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中的有效性，主要結(jié)論如下：

1）與GA 相比，DBAGA 由于引入了基于方向的交叉算子、非均勻變異算子和重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制，有效地提高了算法的局部搜索能力，但其優(yōu)化結(jié)果仍較差，多數(shù)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)無(wú)法滿足所有的約束條件。

2）基于多種群思想的遺傳算法通過(guò)設(shè)置多個(gè)不同參數(shù)的子種群和移民算子，建立起子種群之間的聯(lián)系，降低了單種群遺傳算法對(duì)參數(shù)設(shè)置的依賴性，有效地改善了其隨機(jī)性較強(qiáng)的問(wèn)題，提高了算法的魯棒性。

3）基于多種群思想的DMPGA 由于存在基于方向的交叉算子、非均勻變異算子、重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制，其局部搜索能力得到了較大的改善，優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)解為13.27 t，比GA、DBAGA、MPGA 的結(jié)果分別低32.8%、32.1%、27.3%。